PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-22

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ELIPSE
D 101- Dada la elipse x
2
25 
y2
16  1, hallar las ecuaciones de las normales trazadas desde el punto 3,0.
Solución: La hipérbola de Apolonio es: 25 − 16xy  16x − 25y  0. Para   3,   0, se tiene:
y3x − 25  0, es decir: y  0, x  253 . Para y  0, se tienen las abscisas x   25  5. Para
x  253 , se tienen las ordenadas y  
16i
3 . Luego los pies de las normales son: 5,0, −5,0,
25
3 ,
16
3 i ,
25
3 ,
−16
3 i . Las ecuaciones de las normales trazadas desde 3,0, son: y  0 (doble),
y  ix − 3.
D 102- Dada la elipse x
2
a2
 y
2
b2
 1, se pide: 1º) Lugar geométrico de los puntos de intersección de un
diámetro variable con la perpendicular trazada por un punto fijo ,, sobre el diámetro conjugado de
aquel. 2º) Naturaleza y dibujo del lugar, para a  4, b  3,     1.
Solución: 1º) Sea el diámetro variable: y  mx, y su conjugado: y  −b
2x
a2m
. La perpendicular por ,,
es: y −   a
2m
b2
x − . Sustituyendo m  yx , se tiene la ecuación del lugar geométrico pedido:
a2 − b2xy  b2x − a2y  0. 2º) Como A33  − a
2 − b2
2
2
 0, se trata de una hipérbola, cuya
ecuación para los valores dados, es: 7xy  9x − 16y  0. Su centro es 167 ,
−9
7 , pasa por 0,0, y sus
asíntotas son: x  167 , y 
−9
7 . El dibujo se refiere a esta hipérbola y sus asíntotas.
-5 5
-5
5
D 103- Dada la elipse canónica, hallar las coordenadas de los extremos de un diámetro que sea visto desde un
extremo de su diámetro conjugado, bajo un ángulo recto.
Solución: Sea el diámetro y  mx, y su conjugado y  −b
2
ma2
x. Los extremos de ambos diámetros son
concíclicos, siendo la circunferencia concéntrica con la elipse, por lo que su ecuación es x2  y2 − R2  0.
Los puntos de intersección de ambas curvas, son: a R
2 − b2
a2 − b2
,b a
2 − R2
a2 − b2
. Las pendientes de los
correspondientes diámetros, son: m1  ba
a2 − R2
R2 − b2
, m2  − ba
a2 − R2
R2 − b2
. Para que sean conjugados:
b
a
a2 − R2
R2 − b2
 −ba
a2 − R2
R2 − b2
 −b
2
a2
. Luego: R2  a
2  b2
2 . Las coordenadas pedidas, son:
a 2
2 ,
b 2
2 ,
−a 2
2 ,
−b 2
2 ,
−a 2
2 ,
b 2
2 ,
a 2
2 ,
−b 2
2 .
D 104- Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas de la elipse que son vistas desde
el centro de la elipse, bajo un ángulo recto.
Solución: Sea la elipse, en coordenadas homogéneas, b2x2  a2y2 − a2b2z2  0, y sea ,, 1 el punto
medio de las cuerdas. La ecuación de una recta que pasa por dicho punto es: y − mx − z  mz  0. Las
abscisas de los puntos de corte de esta recta con la elipse, vienen dadas por la ecuación:
b2x2  a2mx    m2 − a2b2  0. Luego la suma de las abscisas de los puntos de corte, es:
−2a2m − m
b2  a2m2
 2, de donde: m  −b
2
a2
. La ecuación del conjunto de las dos rectas que unen el
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centro de la elipse con los extremos de la cuerda, se obtiene eliminando z entre la ecuación de la elipse y
la ecuación de la cuerda: z  y − mx − m ; de donde: b
2x2  a2y2 − a2b2 y − mx − m
2
 0. Operando:
y2 a2 − m2 − a2b2 − 2a2b2mxy  x2 b2 − m2 − a2b2m2  0. Obligando a que ambas rectas
sean perpendiculares: b
2 − m2 − a2b2m2
a2 − m2 − á2b2
 −1. Sustituyendo en esta ecuación el valor de m, y
poniendo x,y en vez de ,, se obtiene la ecuación del lugar geométrico buscado:
b2x2  a2y22a2  b2 − a2b2b4x2  a4y2  0, cuyo dibujo se incluye seguidamente para el caso
a  2, b  1.
-1 1
-1
1
D 105- Hallar el lugar geométrico de los centros de los círculos inscritos en los triángulos que tienen por
vértices los dos focos de una elipse y un punto variable de ella.
Solución: Sea la elipse x
2
a2
 y
2
b2
 1. Los focos son c, 0. Siendo Px1,y1 un punto de la elipse, los
vértices del triángulo son: Fc, 0, F′−c, 0, Px1,y1. Sea , el centro del círculo inscrito en dicho
triángulo. Se tiene que:   FF
′  x1  PF  −c  PF′  c
FF′  PF  PF′

2cx1 − c a − cx1a  c a 
cx1
a
2c  a − cx1a  a 
cx1
a
.
Operando, se obtiene: x1  ac . Procediendo de forma análoga con la ordenada , se tiene que:
 
FF′  y1  PF  0  PF′  0
FF′  PF  PF′
 2cy12c  2a . De donde: y1 
c  a
c . Introduciendo estos valores
en la ecuación de la elipse, y cambiando , por x,y, se tiene la ecuación del lugar pedido:
b2x2  a  c2y2 − c2b2  0. El dibujo se refiere al caso a  2, b  1. Incluye en línea de trazos la elipse
dada.
-2 -1 1 2
-1
1
D 106- Demostrar que la recta que une el foco de una cónica con el punto de intersección de una tangente con
la directriz de dicho foco, es perpendicular al radio vector del punto de contacto de la tangente.
Solución: Sea la cónica 1  Acos  B sin  C. La directriz es:
1
  Acos  B sin. La tangente en
el punto   1, es: 1  Acos  B sin  Ccos − 1. La intersección de la tangente y la directriz,
corresponde a: Acos  B sin  Acos  B sin  Ccos − 1, es decir: cos − 1  0. Luego:
  1  2 .
D 107- Demostrar que el semieje menor de una elipse, es media proporcional entre las dos perpendiculares
bajadas desde cada foco sobre cualquier tangente a la elipse.
Solución: Sea la tangente: y  mx  a2m2  b2 , y sean p y p ′ las longitudes de las perpendiculares
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