PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-75

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Solución: M1M2 ≡ x − 2−5 
y − 1
−1 
z  1
3 , cuyo plano proyectante es: 3x − 15y  4  0. Los planos
que pasan por M1M2, son: 3x  5z − 1  3y  z − 2  0, es decir: 3x  3y  5  z − 1 − 2  0.
Por ser perpendiculares ambos planos, se tiene: 3  3 − 15  3  0, de donde:   15 . El plano pedido es:
15x  3y  26z − 7  0.
F 10- Dado el punto 1,2,−1, la recta 2x  3y − z  1, x − 2y  0, y el plano x  y  4z  0, hallar la
ecuación de la recta que pasa por dicho punto, es paralela al plano dado, y se apoya en la recta dada.
Poner la ecuación de la recta en forma continua.
Solución: Coordenadas de un punto genérico de la recta dada: 2,, 7 − 1. Ecuaciones de la recta que
pasa por el punto dado y por el punto genérico: x − 12 − 1 
y − 2
 − 2 
z  1
7 . La condición de paralelismo
con el plano dado, es: 2 − 1   − 2  4  7  31 − 3  0, de donde:   331 . Luego la ecuación de la
recta en forma continua, es: x − 1−25 
y − 2
−59 
z  1
21 .
F 11- Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto 1,−1,3 y es perpendicular al plano
2x  5y  z − 1  0, determinando las coordenadas del punto de corte con el plano.
Solución: Ecuación de la recta: x − 12 
y  1
5 
z − 3
1 . Punto de intersección:
16
15 ,
−5
6 ,
91
30 .
F 12- Un triángulo de lados a,b,c, tiene los puntos medios de los lados, situados sobre los ejes X,Y,Z
respectivamente. Calcular las coordenadas de los vértices.
Solución: Las coordenadas de los puntos medios son: , 0, 0, 0,, 0, 0,0,, y las de los vértices
son: ,,−, −,,, ,−,. Como   2   − 2  − − 2  42  42  b2, y sus
análogas, 42  42  c2, 42  42  a2, se tiene:    −a
2  b2  c2
8 ,   
a2 − b2  c2
8 ,
   a
2  b2 − c2
8 . Hay ocho soluciones según los siguientes conjuntos de signos:   , − − −,
  −, − − , −  ,  − −,  − , −  −.
F 13- Hallar las ecuaciones de una recta que se apoya en la recta x  3y  −5z, y en la recta x  2y − 4z  1,
2x − y − 3z  0, y es paralela a la recta 3x − 5y  7z  0, x  y − 2z  0.
Solución: La ecuación del haz de planos que pasan por la segunda recta dada, es:
x  2y − 4z − 1  2x − y − 3z  1  2x  2 − y − 4  3z − 1  0. Los parámetros directores de
la tercera recta dada, son: 3,13,8. La condición de paralelismo entre el plano y dicha tercera recta, es:
31  2  132 −  − 84  3  0, de donde se obtiene:   −331 . Luego la ecuación del plano es:
25x  65y − 115z − 31  0, cuya intersección con la primera recta dada, es: 93209 ,
31
209 ,
−93
1045 . La
ecuación continua de la recta pedida es:
x − 93209
3 
y − 31209
13 
z  931045
8 .
F 14- Se conocen las coordenadas xg,yg, zg del centro G de un triángulo equilátero, y las de uno de sus
vértices A,,. Hallar las de los otros dos vértices.
Solución: Las coordenadas del punto medio A′ del lado opuesto al vértice A son conocidas,
3xg − 
2 ,
3yg − 
2 ,
3zg − 
2 , así como la distancia R de los vértices B y C a A
′ que es igual a
AA′
3
 32 xg − 
2  yg − 2  zg − 2 . Por tanto, B y C son puntos diametralmente opuestos en
la circunferencia intersección de la esfera de centro A′ y radio R, con el plano que pasando por A′ es
perpendicular a AA′, por lo que hay infinitas soluciones. Tomando A′ como origen de coordenadas, y AA′
como eje de las X, las coordenadas de A son a, 0, 0, R  a
3
, la esfera es: y2  z2  a
2
3 , y el plano
perpendicular a AA′ es x  0. Las coordenadas del punto B son: 0, a sin
3
, acos
3
y las del punto C
son: 0, −a sin
3
, −acos
3
.
223
F 15- Se da la recta 2x  3y − 4z  1, x − 2y − 3z  0, y la recta x  y − 7z  0, 4x  3y  3. Hallar las
ecuaciones de la perpendicular común y el valor de la mínima distancia.
Solución: Las ecuaciones en forma continua, de las dos rectas dadas, son: x  717 
y − 1
−2 
z  3
7 ,
x  18
−21 
y − 25
28  z − 1. Las ecuaciones de la recta pedida corresponden al conjunto de las ecuaciones
de los dos planos siguientes:
x  7 y − 1 z  3
17 −2 7
−2 7
28 1
7 17
1 −21
17 −2
−21 28

x  7 y − 1 z  3
7 −2 7
−198 −164 434
 0,
x  18 y − 25 z − 1
−21 28 1
−198 −164 434
 0. La mínima distancia es:
−18  7 25 − 1 1  3
17 −2 7
−21 28 1
1982  1642  4342
 0,0436.
F 16- Hallar la ecuación del plano simétrico del plano x  2y − 3z  1, respecto de la recta x  y  z.
Solución: Siendo el plano dado paralelo a la recta dada, la ecuación del plano simétrico es de la forma
x  2y − 3z − m  0. Este plano pasará por el punto simétrico de un punto cualquiera del plano dado. Sea
este punto 1,0,0, y su simétrico respecto al punto 0,0,0 de la recta dada, es −1,0,0. Luego:
−1 − m  0, m  −1. El plano simétrico es: x  2y − 3z  1  0.
F 17- Hallar las ecuaciones de la recta simétrica de la recta x  3y − z  3, 2x − y  z  2, respecto a la recta
x  y  z.
Solución: Las dos rectas dadas se cortan en 1,1,1. Un punto de la primera recta es 3,−2,−6. El plano
perpendicular a la segunda recta, pasando por este punto, es: x − 3  y  2  z  6  0, o bien:
x  y  z  5  0, que corta a la segunda recta en −53 ,
−5
3 ,
−5
3 . El punto simétrico de 3,−2,−6
respecto a este punto, es: −193 ,
−4
3 ,
8
3 . La recta pedida es:
x − 1
−19
3 − 1
 y − 1−4
3 − 1
 z − 18
3 − 1
, o bien:
x − 1
−22 
y − 1
−7 
z − 1
5 .
F 18- Una recta forma con las cuatro diagonales de un cubo los ángulos ,,,. Hallar el valor de la
expresión E  cos2  cos2  cos2  cos2.
Solución: Sean los vértices del cubo: 0,0,0, 1,0,0, 1,1,0, 0,1,0, 0,0,1, 1,0,1, 1,1,1,
0,1,1. Los parámetros directores de las cuatro diagonales, son: 1,−1,1, 1,1,1, 1,1,−1, −1,1,1, y
los de la recta dada, a,b,c. Luego el valor de la expresión del enunciado viene dado por:
E  a − b  c
2  a  b  c2  a  b − c2  −a  b  c2
3a2  b2  c2

4a2  b2  c2
3a2  b2  c2
 43 .
F 19- Se da la recta 2x − 3y  1  0, x − y  z  0, y la recta x  y  z. Se pide: 1º) Ecuaciones de la
perpendicular común y valor de la mínima distancia. 2º) Ecuación del plano paralelo a las dos rectas y que
dista del origen la mínima distancia entre las dos rectas. 3º) Ángulos de este plano con los planos
coordenados.
Solución: 1º) Las rectas dadas en forma continua, son: x − 13 
y − 1
2 
z
−1 , x  y  z.
La perpendicular común viene dada por las ecuaciones:
x − 1 y − 1 z
3 2 −1
2 −1
1 1
−1 3
1 1
3 2
1 1
 0,
224
x y z
3 2 −1
2 −1
1 1
−1 3
1 1
3 2
1 1
 0, es decir: x  3y  9z − 4  0, 5x  2y − 7z  0. La mínima
distancia es:
−1 −1 0
3 2 −1
1 1 1
2 −1
1 1
2

−1 3
1 1
2

3 2
1 1
2
 1
26
. 2º) La ecuación del plano pedido es:
2 −1
1 1
x 
−1 3
1 1
y 
3 2
1 1
z  D  3x − 4y  z  D  0. Como D
32  42  12
 1
26
, se
tiene que D  1. Luego son dos planos cuyas ecuaciones son: 3x − 4y  z  1  0. 3º) Siendo  el
ángulo con x  0, se tiene: cos  3
26
, luego   53º57 ′36 ′′4. Siendo  el ángulo con y  0, se tiene:
cos  −4
26
, luego:   141º40 ′16 ′′3. Siendo  el ángulo con z  0, se tiene: cos  1
26
, luego:
  78º41 ′24 ′′2.
F 20- Dados los planos variables x1 − t2  y1  t2  2tz    t  t2, demostrar: 1º) Que los planos
pasan por un punto fijo, hallando sus coordenadas. 2º) Que forman un ángulo fijo con una recta fija,
hallando recta y ángulo.
Solución: 1º) Ordenando la ecuación en t, se tiene: −x  y − t2  2z − t  x  y −   0. Luego se
tiene el sistema: −x  y −   0, 2z −   0, x  y −   0, cuyas soluciones dan las coordenadas del
punto fijo:  − 2 ,
  
2 ,

2 . 2º) Siendo  el ángulo que forma el plano dado con una recta cuyos
parámetros directores son a,b,c, se tiene que: sin  1 − t
2a  1  t2b  2tc
1 − t22  1  t22  4t2 a2  b2  c2

 
−a  bt2  2ct  a  b
a2  b2  c2 2 1  t2
. Para que sea independiente de t, ha de cumplirse que a  c  0, con lo que
sin  22 , es decir:   45º, siendo la recta fija:
x
0 
y
b 
z
0, es decir: x  0, z  0.
F 21- Dado el punto A2,1,−3 y el plano 2x  3y − 4z  3, se pide: 1º) Ecuación de la perpendicular trazada
por el punto al plano. 2º) Siendo M el punto de intersección de la perpendicular con el plano, hallar las
coordenadas de un punto B de la perpendicular, tal que la distancia MB  4, estando situado B a distinto
lado de A respecto al plano.
Solución: 1º) x − 22 
y − 1
3 
z  3
−4 . 2º) M
26
29 ,
−19
29 ,
−23
29 . Siendo un punto genérico de la
perpendicular 2  2,3  1,−4 − 3, se tiene que el cuadrado de la distancia entre este punto genérico
y el punto M, es: 2  2 − 2629
2
 3  1  1929
2
 −4 − 3  2329
2
 42. De donde operando, se
tiene:   429 −4  29 . Como al sustituir las coordenadas de A en la ecuación del plano, el valor
obtenido es positivo, para que B esté situado a distinto lado que A, al sustituir sus coordenadas en la
ecuación del plano, ha de obtenerse un valor negativo, por lo que el valor válido de  es: −429 4  29 .
Por tanto las coordenadas de B son: 26 − 8 2929 ,
−19 − 12 29
29 ,
−23  16 29
29 .
F 22- 1º) Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos x  z − 1  0, y − z  2  0,
y es perpendicular al plano z  0. 2º) Hallar la ecuación del plano que pasa por dicha intersección y por el
origen. 3º) Hallar el ángulo de los dos planos calculados en los puntos anteriores. 4º) Hallar su plano
bisector.
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