PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-51

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-10 10
5
10
a  4
-10 10
5
a  4
3
-2 2
1
a  1/2
-2 -1 1 2
-0.5
0.5
1.0
a  24
151
1 1
0.2
0.4
0.6
-11 1
0.2
0.4
0.6
-
a  15
-2 0 2
-3
-2
-1
a  −1
-10 10
-5
a  −3
E 107- Dibujar la curva y
4
16  2ax − ay
2  64ax
3
27  0.
Solución: La curva es simétrica respecto al eje XX′. Para a  0, y para a  , la curva queda reducida al
eje XX′. La curva tiene una rama parabólica según el eje XX′, de acuerdo con: y
4
16 
64ax3
27  0. En el
origen tiene un punto de retroceso cuya tangente es y  0. Corta al eje XX′ en 0,0, y al eje YY ′, además,
en 0,4 2 a . Para a  0, la curva es real para x ≤ 3a4 , siendo la recta x 
3a
4 , tangente en
3a
4 ,2a . Para a  0, la curva es real para x ≥
−3a
4 , siendo la recta x 
−3a
4 , tangente en
−3a
4 ,2a . A continuación se dibuja la curva para a  1.
-0.5 0.5
-5
5
a  1
152
-0.5 0.5
-5
5
a  −1
E 108- Estudiar el haz x2 − 42  y2 − 12  a4, cuando a varía de 0 a .
Solución: Haciendo x2  X, y2  Y, se tiene la circunferencia: X − 42  Y − 12  a4. Todo punto de
esta circunferencia, situado en el primer cuadrante, da lugar a cuatro puntos de la curva dada,
correspondientes a las raíces cuadradas de su abscisa y su ordenada: si el punto de la circunferencia es
2,2, los de la curva son ,, −,, −,−, ,−. La curva es simétrica respecto a los dos
ejes y al origen. Las intersecciones con los ejes corresponden a los puntos  4  a4 − 1 ,0 y
0, 1  a4 − 16 .
Para a2  0, la curva se reduce a cuatro puntos, uno en cada cuadrante: 2,1, −2,1, −2,−1, 2,−1.
Para 0  a2  1, la curva está formada por cuatro óvalos, uno en cada cuadrante, que no cortan a los ejes.
La curva se ha dibujado para a2  0.5.
-2 2
-1
1
Para a2  1, los óvalos del 1º y 4º cuadrante, y los del 2º y 3º, tienen, cada pareja, un punto común sobre
el eje XX′, cuyas coordenadas son 2,0.
-2 2
-1
1
Para 1  a2  4, la curva consta de dos óvalos, uno en los cuadrantes 1º y 4º, y otro en los otros dos
cuadrantes. La curva se ha dibujado para a2  2.
-2 2
-2
2
Para a2  4, los dos óvalos del caso anterior, tienen dos puntos comunes situados sobre el eje YY ′,
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