PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-56

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( I )
( II )
( III )
( IV )
( V )
( VI )
Fig A Fig B Fig C Fig D
Y-X-4=0
Y=0
Fig E
X=0
1 2
3
4
5
6
7 8
( I )
( II )
( III )
( IV )
( V )
( VI )
Fig A Fig B Fig C Fig D
Y-X-4=0
Y=0
Fig E
X=0
El dibujo de la curva es el siguiente:
-5 5 10
5
10
15
E 131- Dibujar la curva y − x2 − 4x2y − x  3x5  2x6  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), se refiere a la rama
parabólica según el eje YY ′: y2  2x6  0, que es imaginaria. La curva es cerrada. La determinatriz (II)
corresponde a la intersección con el eje XX′: x22x4  3x3  4x  1  0, que además de 0,0, tiene las
raíces: −0.24, −1.95. La determinatriz (III) se refiere a la tangente doble en el origen: y − x  0;
añadiendo la primera y segunda paralela (monomios 4, 5, 6), se tiene: y − x2 − 4x2y − x  3x5  0, de
donde: y − x  2x2  2x2 1 − 3x4
1
2 , por tanto yc − yt  2x2  2x2 1 − 3x8 (figura B).
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( I )
( II )
( III )
(Fig A ) Fig B
Y-X=0
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2
3
4
5 6 7
( I )
( II )
( III )
(Fig A ) Fig B
Y-X=0
El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 -1 1
5
10
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E 132- Dibujar la curva y7 − xy6  x3y2  xy3  x2y2 − x3y − x4  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), corresponde a la asíntota
general: y − x  0; añadiendo la primera paralela, se obtiene yc − ya  −1x (figura B). La determinatriz
(II) se refiere a la rama parabólica según el eje XX′ (figura C). La determinatriz (III) corresponde a las
tangentes en el origen: y  x  0; añadiendo la primera paralela (monomio 3), se tiene, para y − x  0,
yc − yt  −x
2
4 (figura D), y para y  x  0, yc − yt  
x3
4 (figura E). La determinatriz (IV) se refiere a
la tangente en el origen: x  0; la posición de la curva está definida por: y4 − x  0 (figura F).
7
Fig B
Y=X
Fig C Fig F
X=0
Fig D
Y=X
Fig E
Y+X=0
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2
3
4
5
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( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A
7
Fig B
Y=X
Fig C Fig F
X=0
Fig D
Y=X
Fig E
Y+X=0
1
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5
6
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A
El dibujo de la curva es el siguiente:
-4 -2 2
-4
-2
2
E 133- Dibujar la curva y − xx3y − y − xx2y − xy2 − x2  y  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A) corresponde a la asíntota:
x  0; la posición de la curva viene definida por x  1y (figura B). La determinatriz (II) se refiere a las
asíntotas paralelas al eje YY ′: x2 − x − 1  0, es decir: x  1  52 ; añadiendo la primera paralela, se
tiene la posición de la curva, que para x  1  52 está dada por xc − xa ≃
0.4
y (figura C), y para
x  1 − 52 , por xc − xa ≃
−0.4
y (figura D). La determinatriz (III) corresponde a la asíntota general:
y − x  0; añadiendo las dos primeras paralelas, se tiene la posición de la curva yc − ya  1x − 1 (figura
E). La determinatriz (IV) corresponde a la asíntota: y  0; la posición de la curva está dada por
x   −1y (figura F). La determinatriz (V) corresponde a la tangente en el origen: y  0, estando la
posición de la curva definida por y  x2 (figura G).
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2
3
4
5
6
7
Fig A
( I )
( II )
( III )
( IV )( V )
Fig B
X=0
Fig C Fig D Fig E
Y-X=0
Fig F
Y=0
Fig G
Y=0
X=(1+ )/2 X=(1- )/2551
2
3
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7
Fig A
( I )
( II )
( III )
( IV )( V )
Fig B
X=0
Fig C Fig D Fig E
Y-X=0
Fig F
Y=0
Fig G
Y=0
X=(1+ )/2 X=(1- )/255X=(1+ )/2 X=(1- )/25555
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El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 2
-5
5
E 134- Dibujar la curva x3  y3  2y2  3xy − x2  y  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A) corresponde a la asíntota
general definida por: x3  y3  x  yx2 − xy  y2  0; el segundo factor, al corresponder a una curva
imaginaria, indica que una parte de la curva es cerrada; añadiendo la primera paralela, se obtiene la
asíntota: y  −x  23 ; añadiendo la siguiente paralela (monomio 6), se obtiene la posición de la curva con
relación a la asíntota, yc − ya  13x (figura B). La determinatriz (II) se refiere a la intersección con el eje
XX′: 0,0, 1,0. La determinatriz (III) corresponde a la tangente en el origen: y  0; la posición de la
curva viene dada por y  x2 (figura C). La determinatriz (IV) se refiere a la intersección con el eje YY ′:
0,0 y el punto doble 0,−1 en el que la curva es tangente al eje YY ′,
Y=-X+2/3
Fig B Fig C
Y=0
5 1( II )
( IV )
Fig A
2
3
46
( I )
( III )
Y=-X+2/3
Fig B Fig C
Y=0
5 1( II )
( IV )
Fig A
2
3
46
( I )
( III )
El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 -1 1 2
-2
2
E 135- Dibujar la curva x3y2 − xy4  x2 − 2y  1  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), se refiere a la asíntota: x  0,
estando dada la posición de la curva por y  3 −2x (figura B). La determinatriz (II) corresponde a las
asíntotas generales: x2 − y2  0; añadiendo la primera paralela, se tiene la posición de la curva respecto a:
y  x  0, que viene dada por yc − ya  −12x2
(figura C), y para: y − x  0, por yc − ya  12x2
(figura D).
La determinatriz (III) se refiere a la asíntota: y  0, estando dada la posición de la curva por y   −1
x2
(figura E). La curva no corta al eje XX′. Corta al eje YY ′ en 0, 12 . El punto −1,1 es doble, donde la
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