PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-59

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El dibujo de la curva es el siguiente:
-1 1
-2
2
E 145- Dibujar la curva y − x3y2x − y − xxy − 2x − y  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A), corresponde a la asíntota:
x  0, estando dada la posición de la curva, por x  1
y4
(figura B). La determinatriz (II) se refiere a la
asíntota general: y  x; añadiendo las dos paralelas siguientes, se tiene la posición de la curva,
yc − ya  3 3x2
(figura C). La determinatriz (III) se refiere a la asíntota: y  0, estando dada la posición
de la curva, por y   −2
x3
(figura D). La determinatriz (IV) corresponde a la tangente en el origen:
y  −2x; añadiendo la primera paralela, se tiene la posición de la curva, dada por yc − yt  −6x3 (figura
E).
1
2
3
45
6
7
8
( I ) ( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig B
X=0
Fig C
Y=X
Fig D
Y=0
Fig E
Y=-2X
1
2
3
45
6
7
8
( I ) ( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig B
X=0
Fig C
Y=X
Fig D
Y=0
Fig E
Y=-2X
El dibujo de la curva es el siguiente:
-3 -2 -1 1 2
-2
2
E 146- Dibujar la curva y − x2x4y2 − y  x3x2y − 4x4  8x2y2 − 4y4  0.
Solución: La curva es simétrica respecto al origen de coordenadas. La determinatriz (I) del diagrama de
Newton-Cramer (figura A), corresponde a las asíntotas: x   1  172 ≃ 1.6; añadiendo la primera
paralela (monomio 5), se tiene la posición de la curva respecto a la asíntota x ≃ −1.6, que viene dada por
175
xc − xa  2.5y (figura B), y respecto a x ≃ 1.6, por xc − xa 
2.5
y (figura C). La determinatriz (II) se
refiere a las asíntotas de dirección: y  x; añadiendo la primera paralela (monomios 4, 5, 6, 7), se tienen
las asíntotas: y − x  2 2  0; añadiendo la segunda paralela, se tiene la posición de la curva respecto a
y − x  2 2 , que está dada por yc − ya  6x (figura D), y respecto a y − x  −2 2 , por yc − ya 
6
x
(figura E). La determinatriz (III) corresponde a la asíntota: y  0, estando dada la posición de la curva por
yc − ya 
1  17
2x (figura F). La determinatriz (IV) corresponde a las tangentes en el origen: x  y;
para y − x  0, se tiene yc − yt 
 −2 x2
2 , luego es imaginaria; para y  x  0, se tiene yc − yt 
x3
2
(figura G).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig B
X+1,6=0
Fig C
X-1,6=0
Fig D Fig E Fig F
Y=0
Fig G
Y=-X
2 Y-X+ 22Y-X- 2 =01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
( I )
( II )
( III )
( IV )
Fig A Fig B
X+1,6=0
Fig C
X-1,6=0
Fig D Fig E Fig F
Y=0
Fig G
Y=-X
2 Y-X+ 22Y-X+ 22 22Y-X- 2 =0Y-X- 2 =0
El dibujo de la curva es el siguiente:
-5 5
-10
10
E 147- Dibujar la curva x3  3 3 y3  3 3 x2y  xy2 − 2x2 − 6y2 − 4 3 xy  x  3 y  0.
Solución: La determinatriz (I) del diagrama de Newton-Cramer (figura A) corresponde a la asíntota
general cuya dirección está definida por: x3  3 3 y3  3 3 x2y  xy2  x  3 3 y x2  y2  0, es
decir: y  −x
3 3
, teniendo la curva una parte cerrada; añadiendo la primera paralela se obtiene la asíntota:
y  −x
3 3
 2
7 3
; añadiendo la segunda paralela, se tiene la posición de la curva, yc − ya  −3
14 3 x
(figura B). La determinatriz (II) se refiere a la intersección con el eje XX′: 0,0, 1,0. La determinatriz
(III) corresponde a la tangente en el origen: y  −x
3
; añadiendo el resto de la ecuación, se tiene la
posición de la curva yc − yt  8x
3
3 3
(figura C). La determinatriz (IV) se refiere a la intersección con el
eje YY ′: 0,0, 0, 1
3
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
( I )
( II )
( III )
( IV )
(Fig A) Fig B Fig C
Y=-X/3 +2/7 33
Y=-X/ 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
( I )
( II )
( III )
( IV )
(Fig A) Fig B Fig C
Y=-X/3 +2/7 3Y=-X/3 +2/7 3333
Y=-X/ 3Y=-X/ 3
176
El dibujo de la curva es el siguiente:
-1 1 2
-0.5
0.5
1.0
E 148- Dibujar la curva y − x − 12x − 1 − x3  0.
Solución: Desarrollando la ecuación: xy2 − 2x2y  x2 − y2 − x  2y − 1  0, cuyo diagrama de
Newton-Cramer se recoge en la figura A, La determinatriz (I) corresponde a la asíntota: x  1; añadiendo
la primera paralela, se tiene la posición de la curva, yc − ya  1y2
(figura B). La determinatriz (II) se
refiere a la asíntota de dirección: y  2x; añadiendo la primera paralela, se obtiene la asíntota:
y  2x  32 , siendo la posición de la curva la indicada en la figura C. La curva corta a esta asíntota en el
punto de abscisa −13 . La determinatriz (III) corresponde a la asíntota: y 
1
2 ; añadiendo la primera
paralela, se tiene la posición de la curva, yc − ya  −3x8 (figura D). La determinatriz (IV) se refiere a la
intersección con XX′: 1  52 ,0 . La determinatriz (V) se refiere a la intersección con el eje YY
′: 0,1
doble, cuya tangente doble tiene por pendiente 1 (el punto es de retroceso). La curva puede construirse
como explícita, según la ecuación: y  x  1  x
3
x − 1 .
1
2
3
4
5
6
7
( I )
( II )
( III )
( IV )
( V )
(Fig A) Fig C
Y=2X+3/2
Fig B
X=1
Fig D
Y=1/2
1
2
3
4
5
6
7
( I )
( II )
( III )
( IV )
( V )
(Fig A) Fig C
Y=2X+3/2
Fig B
X=1
Fig D
Y=1/2
El dibujo de la curva es el siguiente:
-1 1 2
5
E 149- Dibujar la curva y4 − x4 − 24y2  25x2  0.
Solución: Resolviendo la ecuación en y2, se tiene: y2  12  x2 − 9x2 − 16 . No hay curva en los
intervalos: 3  x  4, −4  x  −3. Las asíntotas son: y  x. La curva tiene una parte cerrada. Las
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