Modelo Binomial de Cox, Ross y Rubenstein

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Modelo Binomial de Cox, Ross y Rubenstein
Este modelo hace la suposición simplificadora de que al final del 
siguiente período, el precio de las acciones sólo tiene 2 valores 
posibles, lo que permite demostrar la perspectiva clave de Black y 
Scholes de que es posible reproducir con exactitud los pagos de la 
opción por medio de la construcción de una cartera que contenga un 
bono libre de riesgo y acciones subyacentes. Asimismo se verá de que 
el modelo es muy realista si se consideran los movimientos del precio 
de las acciones en intervalos de tiempo muy cortos.
Se comenzará con el cálculo del precio de una opción de período 
único en un mundo muy sencillo. Primero, se valuará la opción con la 
construcción de una cartera replicante, que es aquella que incluye 
otros títulos valores con exactamente el mismo valor en un período, 
como la opción. Después, como tienen los mismos pagos, la ley del 
Precio único implica que el valor actual de la opción de compra y la 
cartera replicante deben ser iguales.
"Finanzas Internacionales" - Eduardo Noriega Febres - USMP
Modelo Binomial de Cox, Ross y Rubenstein
Considere una opción europea de compra que vence en un período y 
que tiene un precio de ejercicio de 50 soles. Suponga que el precio de 
las acciones hoy es igual a 50 soles. También se supone aquí que las 
acciones no pagan dividendos (a menos de que se indica de manera 
explícita lo contrario). En un período, el precio de la acción subirá 10 
ó caerá 10 soles. La tasa libre de riesgo a un período es del 6%. Esta 
información se resume en un árbol binomial como sigue:
0 1
Acción Bono Opción de compra
60 1,06 máx. (60 – 50, 0) = 10
Acción = 50
Bono = 1
40 1,06 máx. (40 – 50, 0) = 0
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Modelo Binomial de Cox, Ross y Rubenstein
El árbol binomial contiene toda la información que se posee 
actualmente: el valor de la acción, el bono y la opción de compra en 
cada estado de un período, así como el precio la acción y del bono el 
día de hoy. Se define el estado en que el precio sube (a 60 soles) como 
el estado sube o up (u) y aquel en que el precio disminuye (a 40 soles) 
como el estado baja o down (d).
A fin de determinar el valor de la opción por medio de la ley del 
precio único, se debe demostrar de que es posible reproducir sus 
pagos con el uso de una cartera que contenga las acciones y el bono. 
Sea Δ el número de acciones que se compran y B nuestra inversión 
inicial en bonos. Para crear una opción de compra con el empleo de 
las acciones y el bono, el valor de la cartera, que consiste en ambos 
tipos de títulos valor, debe coincidir con el valor de la opción en cada 
estado posible.
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Así, si el estado sube, el valor de la cartera debe ser de 10 soles (valor 
de la opción de compra en ese estado):
60 Δ + 1,06 B = 10 ….. ( 1 )
En el estado baja, el valor de la cartera debe ser igual a cero (valor de 
la opción de compra en ese estado):
40 Δ + 1,06 B = 0 ….. ( 2 )
Resolviendo simultáneamente ambas ecuaciones, tenemos la siguiente 
solución:
Δ = 0,5
B = - 18,8679 = - 18,87
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Una cartera que está larga en 0,5 acciones y corto aproximadamente 
18,87 del valor de los bonos (esto es, se pide un préstamo de 18,87 
soles con una tasa de interés del 6%), tendrá un valor en un período 
que coincida con exactitud con el valor de la opción de compra:
60 x 0,5 - 1,06 x 18,87 = 10
40 x 0,5 - 1,06 x 18,87 = 0
Por tanto, según la ley del precio único, el precio de la opción de 
compra hoy debe ser igual al valor de mercado de la cartera 
replicante. El valor de la cartera ahora es el valor de 0,5 acciones al 
precio actual de 50 soles cada una menos la cantidad que se obtiene 
en préstamo:
50 Δ + B = 50 (0,5) – 18,87 = 6,13
Así el precio de la opción de compra hoy es de 6,13 soles.
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Si el precio de la opción fuese distinto, habría una oportunidad de 
arbitraje. Por ejemplo, si el precio fuera de 6,50 soles, se ganaría al 
adquirir la cartera replicante en 6,13 y vender la opción de compra en 
6,50. como tienen el mismo pago futuro, no se corre ningún riesgo y se 
obtiene de inmediato una utilidad de: 6,50 – 6,13 = 0,37 soles por 
opción vendida.
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En la figura anterior se ilustra la forma en que se emplean en este caso 
las acciones y el bono para reproducir el pago de la opción de compra. 
Como función del precio futuro de las acciones, el pago de la cartera 
replicante es una recta con una pendiente de Δ = 0,50 e intercepta al 
eje vertical en 1,06 B = 1,06 (- 18,87) = - 20. Esta recta es muy 
diferente a aquella que representa el pago de la opción de compra, que 
es igual a cero por debajo del precio de ejercicio, 50 soles, y se 
incrementa en 1 : 1 con el precio de las acciones por arriba de 50 
soles. El secreto del modelo binomial es que, aunque en general la 
opción y la cartera replicante no tienen los mismos pagos, si los tienen 
dados los 2 únicos resultados que hemos supuesto son posibles para 
el precio de las acciones: 40 y 60 soles. 
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Observe que con el uso de la ley del precio único es posible resolver 
el precio de la opción sin conocer las probabilidades de los estados 
en el árbol binomial. Es decir, no necesitamos especificar la 
probabilidad de que las acciones suben o bajen. Este resultado notable 
fue un descubrimiento muy importante debido a que las 
probabilidades de los estados futuros son parte de las creencias del 
inversionista, por lo cual son muy difíciles de estimar. El anterior 
argumento demuestra que para valuar opciones no se necesitan 
conocer dichas probabilidades. También significa que no es necesario 
saber cuál será el rendimiento esperado de las acciones, que 
dependerían de las probabilidades.
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Modelo Binomial: fórmula de valuación
Ahora que se ha visto la idea fundamental, se considerará un ejemplo 
mas general. Suponga que el precio actual de las acciones es S y que en 
el siguiente período subirá a Su o bajará a Sd . La tasa libre de riesgo 
es rf . Se determinará el precio de una opción que tenga un valor de 
Cu si las acciones suben o de Cd si bajan:
0 1
Acción Opción
Su Cu
S
Sd Cd
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Modelo Binomial: fórmula de valuación
Observe que en la ilustración anterior, por sencillez no se escribió el 
pago del bono, toda vez que gana un rendimiento de rf en cualquier 
caso. ¿Cuál es el valor hoy de la opción? Otra vez se debe determinar 
el número total de acciones, Δ, y la posición en el bono, B, de modo 
que el pago de la cartera replicante coincida con el pago de la opción 
si las acciones suben o bajan:
Su Δ + (1 + rf ) B = Cu
Sd Δ + (1 + rf ) B = Cd
Y al resolver estas dos ecuaciones para las incógnitas Δ y B, se obtiene 
la fórmula general para la cartera replicante en el modelo binomial:
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Modelo Binomial: fórmula de valuación
Observe que la fórmula para Δ en la expresión anterior se interpreta 
como la sensibilidad del valor de la opción a cambios en el precio de 
las acciones. Es igual a la pendiente de la recta que muestra el pago de 
la cartera replicante en la figura mostrada anteriormente.
Una vez que se conoce la cartera replicante, se calcula el valor C de la 
opción hoy, como el costo de esta cartera:
C = S Δ + B 
Las dos últimas ecuaciones resumenel modelo binomial de valuación 
de una opción. Aunque son de una relativa sencillez, al aplicarlas de 
distintas maneras se verá que son muy útiles. La razón de ello es que 
no requieren que la opción que se valúa sea una compra (es posible 
emplearlas para valuar cualquier título cuyo pago dependa del precio 
de las acciones).
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Modelo Binomial: fórmula de valuación
Problema: imagine que una opción se cotiza el día de hoy en 60 soles y 
que en un período subirá 20% o bajará 10%. Si la tasa libre de riesgo a 
un período es del 3%. ¿Cuál es el precio de una opción de venta 
europea que expira en un período y tiene un precio de ejercicio de 60 
soles?
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Modelo Binomial: fórmula de valuación de varios períodos
Para hacer más realista el modelo anterior, se debe permitir la 
posibilidad de que haya muchos estados y períodos. Consideremos un 
árbol binomial de dos períodos para el precio de las acciones:
0 1 2
60
50
40 40
30
20
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Modelo Binomial: fórmula de valuación de varios períodos
La propiedad clave del modelo binomial es que en cada período sólo 
hay 2 resultados posibles: las acciones subirán o bajarán. Pero al 
agregar un período adicional, el número de precios posibles de las 
acciones al final se habrán incrementado. Se supondrá otra vez que la 
tasa de interés libre de riesgo es del 6% por período y se analizará la 
forma de valuar una opción de compra con precio de ejercicio de 50 
soles que expira en 2 períodos.
Para calcular el valor de una opción en un árbol binomial de períodos 
múltiples se comienza por el final del árbol y hay que trabajar hacia 
atrás. Así, en el momento 2 la opción expira, por lo que su valor es 
igual a su valor intrínseco. En este caso, la opción valdrá 10 soles si el 
precio de las acciones sube a 60 soles y será igual a cero en cualquier 
otro caso.
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Modelo Binomial: fórmula de valuación de varios períodos
A continuación, se determina el valor de la opción en cada estado 
posible del momento 1. ¿Cuál es el valor de la opción si el precio de las 
acciones sube a 50 soles en ese momento? En ese caso, como la opción 
expira en el período siguiente, la parte restante del árbol binomial queda 
como sigue:
Estado 1 2
Acción Opción de compra
60 máx (60 – 50, 0) = 10
Acción 50
40 máx (40 – 50, 0) = 0
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Modelo Binomial: fórmula de valuación de varios períodos
Este árbol binomial es exactamente el mismo que se consideró en el 
modelo de un único período. Ahí se determinó que la cartera 
replicante tenía un Δ = 0,50 acciones y una posición del bono de 
B = - 18,87 para un valor inicial de la opción de compra de 6,13 soles.
¿Qué habría pasado si el precio de las acciones hubiera caído a 30 
soles en el momento 1? En este caso tenemos un árbol como sigue:
Estado 1 2
Acción Opción de compra
40 máx (40 – 50, 0) = 0
Acción 30
20 máx (20 – 50, 0) = 0
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Modelo Binomial: fórmula de valuación de varios períodos
La opción carece de valor en ambos estados en el momento 2, por lo 
que su valor en el estado baja en el momento 1 también es igual a 
cero ( y la cartera replicante es únicamente Δ = 0 y B = 0). Dado el 
valor de la opción de compra en cualquier estado en el momento 1, 
ahora es posible trabajar hacia atrás para determinar el valor de la 
opción de compra en el momento 0, quedando el árbol:
Estado 0 1
Acción Opción de compra
50 6,13
Acción 40
30 0
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Modelo Binomial: fórmula de valuación de varios períodos
En este caso, los valores de la opción de compra al final del árbol 
(momento 1) no son los pagos finales de la opción, sino que se trata 
de los valores de ésta en un período antes de que expire. No obstante, 
se usan las mismas fórmulas binomiales para calcular la cartera 
replicante en el momento 0, que es uno cuyo valor coincidirá con el 
valor de la opción en el momento 1. Así, obtenemos:
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Modelo Binomial: fórmula de valuación de varios períodos
De la ecuación obtenemos que el valor inicial de la opción de compra 
es igual al costo inicial de esta cartera:
Por tanto, el valor inicial de la opción de compra en el momento cero 
es de 3,59 soles.
Para esta opción de compra de 2 períodos, aunque se puede construir 
la opción con las acciones y el bono, ahora es necesario ajustar nuestra 
cartera replicante al final de cada período. Es decir se comienza largo 
en 0,3065 acciones y se pide prestado 8,67 soles (para un costo inicial 
de 3,59 soles. Así, si el precio de las acciones baja a 30 soles, éstas 
valen 30 x 0,3065 = 9,20 y nuestra deuda crece a 8,67 x 1,06 = 9,20. 
de este modo, si la cartera carece de valor neto (coincide con el valor 
de la opción) y es posible liquidarlo (sin costo).
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C = S Δ + B = 40 (0,3065) – 8,67 = 3,59 
Modelo Binomial: fórmula de valuación de varios períodos
Si el precio de las acciones sube a 50 soles, el valor neto de la cartera 
aumenta a 6,13 soles. En este caso, la Δ nueva de la cartera replicante 
es 0,50. por tanto, compramos 0,50 – 0,3065 = 0,1935 más acciones y 
las pagamos con un préstamo de 0,1935 x 50 = 9,67. Esta transacción 
repetida no requiere dinero nuevo, al final, nuestra deuda total será de 
8,67 x 1,06 + 9,67 = 18,87, que coincide con el valor de B que 
calculamos antes. Entonces, en la fecha de vencimiento en el momento 
2, el valor de la cartera es de 10 soles si las acciones suben a 60 soles 
y de cero en el otro caso.
La idea de que es posible reproducir el pago de la opción en forma 
dinámica si se negocia con una cartera de las acciones subyacentes y 
un bono libre de riesgo, fue una de las aportaciones más importantes 
del artículo original de Black – Scholes. En el presente, esta clase de 
estrategia de reproducción se denomina estrategia de negociación 
dinámica.
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Modelo Binomial: fórmula de valuación de varios períodos
Ejemplo: suponga que el precio actual de una acción es de 50 soles. En 
cada uno de los 2 años siguientes, el precio se incrementará ya sea en 
20% o disminuirá en 10%. La tasa libre de riesgo a un año es de 3% y 
permanecerá constante. Calcule el precio de una opción de venta 
europea a 2 años de las acciones de la empresa, con un precio de 
ejercicio de 60 soles.
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