Problemas de calculo vectorial-92

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274 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 6274 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 6274 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 6
SOLUCIONES DEL CAṔITULO 6
6 1 Campos vectoriales. Potenciales escalares
720 ∇× F = (−2yz,−2xz,−x2); divF = 2xy + z2 + x2.
721 ∇× F = (−x2z, 2xyz + y2,−2yz); divF = −x2y.
723 ∇× F =
(
x
z ,−
y
z + xye
xyz, cos(x− y)− xzexyz
)
;
divF = yzexyz − cos(x− y)− xyz2 .
724 Calcúlese ∇× F .
725–729 Véase el Ejercicio 728.
730–732 Véase el Ejercicio 733
734 No es gradiente.
735 Es gradiente. Potencial escalar f(x, y) = y senx.
736 Es gradiente. Potencial escalar f(x, y) = 32x
2 + 5xy − y2.
737 No es gradiente.
739 Es gradiente. Potencial escalar: f(x, y) = x
4
4 + x
2y + xy2 + y
4
4 .
740 Es gradiente alĺı donde está definido. Potencial escalar: f(x, y) = 23x
3
2 +
x
√
y.
742 Es gradiente. Potencial escalar: f(x, y, z) = x2yz − cosx.
744 Es gradiente. Potencial escalar: f(x, y, z) = sen(xz) + cos(xy) + 1.
746
∂P (x)
∂y
=
∂Q(y)
∂x
= 0.
747
∂f(x+ y)
∂x
=
∂f(x+ y)
∂y
= f ′(x+ y).
6 2 Integrales de ĺınea
749
∫ 1
0
(9 + 8t)
√
9t+ 4t2 dt =
26
3
√
13.
750
∫ 0
−1
t3
√
1 + 9t4 dt =
1
54
(1− 10
√
10).
751
∫ 20
3
0
(1 +
9
4
t)
3
4 dt =
2032
63
.
752
∫ 1
0
t
√
1 + 4t2 dt =
1
12
(5
√
5− 1).
SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 6 275
755 σ1(t) = (0, t), t ∈ [0, 1];
σ2(t) = (t, 1− t), t ∈ [0, 1];
σ3(t) = (−t, 0), t ∈ [0, 1];
∫ 1
0
t dt+
∫ 1
0
√
2 dt+
∫ 0
−1
(−t) dt =
√
2 + 1.
757 σ es el trozo de recta y = x entre (1, 1) y (0, 0) con recorrido de ida y
vuelta;
∫
σ
f dσ = 0, long(σ) =
∫ 1
−1
√
32|t3| = 2
√
2.
758 Grafo de y = senx con x ∈ [0, π];
∫
σ
f =
3π
2
.
760
∫ π
3
0
(
sen(2t) + sen2 t cos t
)
dt =
√
3
8
+
3
4
.
761
∫ 1
0
3t dt =
3
2
.
762
∫ π
2
0
(− sen(2t)) dt = −1.
764 σ1(t) = (1− t, t, 0), t ∈ [0, 1]; σ2(t) = (0, 1− t, t), t ∈ [0, 1];
σ3(t) = (t, 0, 1− t), t ∈ [0, 1];∫
σ1∪σ2∪σ3
F · dσ = 0.
766
∫ 2π
0
dt = 2π.
768
∫ 1
0
(t2 + 2t4) dt =
11
15
.
770 2e3.
771 2.
774 Véase la Figura 91.
∫
C
F = 0.
775 7.
777
∫
C
F = −π.
779
∫
C
F = −π.
276 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 6276 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 6276 SOLUCIONES DEL CAPÍTULO 6
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
Figura 91: Hipocicloide del Ejercicio 774
780
∫
C
F = 2π.
781
∫
C
F = 2π.
784 Trabajo = 236 .
785 Trabajo = 106160 .
786 Trabajo = 4b2 + 4 + 8bπ. Mı́nimo para b = π.
790 f(x, y) = exy; f(5,−1)− f(−5, 1) = 0.
791 f(x, y) = x3y2; f(4, 2)− f(1, 0) = 256.
793 f(x, y, z) = 12 log(1 + x
2 + y2 + z2); f(1, 1, 1)− f(0, 0, 0) = 12 log(4)
796 (a) σ(t) = (cos t, sen t, 0), t ∈ [0, 2π];
∫ 2π
0
− sen2 t cos t dt = 0.
(b) ∇× F = 0; f(x, y, z) = x2y + xz3.
798
∫
σ
F = 1.
6 3 Teorema de Green
799
∫ 1
0
∫ 1
0
(−2) dA = −2.
800 σ(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2π];∫
∂D
xy dx+ xy dy =
∫ 2π
0
(− sen2 t cos t+ cos2 t sen t) dt = 0;∫∫
D
(y − x) dA = (polares)=
∫ 2π
0
∫ 1
0
r2(cos θ − sen θ) dr dθ = 0.