Problemas de calculo vectorial-76

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226 Capı́tulo 6 Análisis vectorial226 Capı́tulo 6 Análisis vectorial226 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
(b) Para aplicar el Teorema de Stokes debemos tener en cuenta que
div F = 0 implica que existe G tal que ∇×G = F, luego∫
S
F =
∫
S
∇×G = [Stokes] =
∫
∂S
G.
Calculando un potencial vectorial para F obtenemos, entre otras
muchas posibilidades G = (xz,−xz, 0).
Parametrizamos ahora la frontera de S, para ello observamos que
dicha frontera esta formada por las fronteras de S1 y S2. Para S1
consideramos
α1(t) = (cos t, sen t, 0) t ∈ [0, π],
α2(t) = (t, 0, 0), t ∈ [−1, 1],
que, si la normal a S es exterior, está bien orientada. Para S2
consideramos
β1(t) = (cos t, sen t, sen t), t ∈ [0, π],
β2(t) = α2(t)
que está mal orientada.
Si calculamos la integral de ĺınea de G sobre cada una de estas
curvas obtenemos: ∫
α1
G = 0∫
α2
G =
∫
β2
G = 0,
y ∫
β1
G =
∫ π
0
(cos t sen t,− cos t sen t, 0) · (− sen t, cos t, cos t) dt
= −
∫ π
0
(cos t sen2 t+ cos2 sen t) dt = −2
3
.
Por tanto,∫
S
F =
∫
∂S
G =
∫
α1
G +
∫
α2
G−
∫
β1
G−
∫
β2
G =
2
3
.
887 Considerar la superficie S definida por las ecuaciones
S = {z2 = x2 + y2, x ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1},
y el campo vectorial F(x, y, z) = (−x + 3, x2, z). Calcular el flujo de F a
través de S con orientación interior:
6.7 Potenciales vectoriales 227
(a) Directamente.
(b) Usando el Teorema de Gauss,
(c) Usando el Teorema de Stokes.
Solución 887:
(a) Parametrizamos la superficie S por la función
Φ(r, t) = (r cos t, r sen t, r) r ∈ [0, 1], t ∈ [−π2 , π2 ].
El vector normal correspondiente a esta parametrización es
n(r, t) = (−r cos t,−r sen t, r)
cuya orientación es interior. Entonces,
∫ π
2
−π
2
∫ 1
0
(−r cos t+ 3, r2 cos2 t, r) · n(r, t) dr dt
=
∫ π
2
−π
2
∫ 1
0
(
r2 cos2 t− 3r cos t− r3 cos2 t sen t+ r2
)
dr dt
=
∫ π
2
−π
2
(
1
3 cos
2 t− 32 cos t− 14 cos2 t sen t+ 13
)
dt =
π
2
− 3.
(b) Para usar el Teorema de Gauss debemos previamente cerrar la
superficie. Para ello elegimos las superficies (véase la Figura 68)
S1 = {x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, z = 1},
S2 = {y2 ≤ z, x = 0, 0 ≤ z ≤ 1}.
Entonces, S∪S1∪S2 = ∂D, con D = {z2 ≥ x2 +y2, x ≥ 0, 0 ≤ z ≤
1}. Si consideramos las tres superficies orientadas exteriormente,
resulta∫
S∪S1∪S2
F =
∫∫∫
D
div F dV = 0, pues div F = 0.
Luego ∫
S
F = −
∫
S1
F−
∫
S2
F
Ahora bien,∫
S1
F =
∫
S1
(−x+ 3, x2, z) · (0, 0, 1) =
∫
S1
z = Área(S1) =
π
2
.
228 Capı́tulo 6 Análisis vectorial228 Capı́tulo 6 Análisis vectorial228 Capı́tulo 6 Análisis vectorial
0 0.5
1
−1
0
1
0
0.5
1
Figura 68: Volumen del Ejercicio 887
∫
S2
F =
∫
S2
(−x+ 3, x2, z) · (−1, 0, 0) =
∫
S2
(x− 3)
= −3 Área(S2) = −3
Por tanto,
∫
S
F =
π
2
− 3, con orientación interior.
(c) Para aplicar el Teorema de Stokes debemos previamente calcular
un potencial vectorial, de manera que∫
S
F =
∫
S
∇×G =
∫
∂S
G.
Para calcular G resolvemos el sistema correspondiente, obteniendo,
por ejemplo
G = (x2z, (x− 3)z, 0).
La frontera de S se puede descomponer en tres partes
C1 = (cos t, sen t, 1), t ∈ [−π2 , π2 ] bien orientada,
C2 = (0, t, t) t ∈ [0, 1] mal orientada,
C3 = (0,−t, t) t ∈ [0, 1] bien orientada.
Entonces,∫
C1
G =
∫ π
2
−π
2
(− sen t cos2 t+ (cos t− 3) cos t) dt
=
[
cos3 t
3
− 3 sen t+ sen(2t)
4
+
t
2
]π
2
−π
2
= −6 + π
2