Apendice Introduccion a TP. Tablas graficos error

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1. INTRODUCCIÓN A LOS TRABAJOS PRÁCTICOS 
 
 
 
1.1. Instrucciones para la construcción de tablas y gráficos 
 
 
 
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1.2. Cifras, cifras significativas y expresión de resultados 
 
1.2.a Cifras significativas 
 
 Desde el punto de vista matemático, se entiende por primera cifra significativa de un 
número al primer dígito distinto de cero, que aparece cuando se lee de izquierda a derecha. (Ej.: 
0,02345, el 2 es la primera cifra significativa). Todo número escrito a continuación de la primera 
cifra significativa es una cifra significativa, aún cuando se trate de 0 (o sea sin valor numérico). 
 Al determinar experimentalmente magnitudes fisicoquímicas, se incurre inevitablemente en 
error. Es generalmente aceptado que el número de cifras con el que se expresa una magnitud 
fisicoquímica implica una indicación de la indeterminación del mismo. Así, se acepta que todas las 
cifras con las que se indica un resultado son significativas y que sólo la última es dudosa. Resulta 
obvio que la exactitud del valor 1,257843 es mayor que la del valor 1,2. En general, se acepta que 
la indeterminación es de aproximadamente una unidad en la última cifra decimal indicada, así 
1,456 puede entenderse como 1,456 ± 0,001. Sin embargo, hay otros criterios que consideran que 
1,456 debe entenderse como 1,456 ± 0,0005. 
 Por lo tanto debe acotarse el número de cifras con el que se expresa una magnitud 
fisicoquímica de acuerdo a su exactitud. Así, la correspondencia 1 cal = 4,184 J implica una 
indeterminación de 1/4184 o sea de 0,025% y la velocidad de la luz como 2,997925 implica una 
indeterminación de 1/2997925 o sea de 0,000003%. Nuestro trabajo en el laboratorio tiene 
habitualmente errores del orden del 1% por lo que la expresión de resultados con tres cifras 
significativas se adapta generalmente a la realidad. 
 
1.2.b Reglas para acotar el número de cifras de un resultado 
 
 El número de cifras de un resultado debe acotarse de acuerdo al error de la medición que 
lo originó. Esto incluye los errores de manejo de la muestra (toma de alícuotas, etc.), la exactitud 
del instrumento de medida (en general, la mitad de la menor división de una escala graduada o 
digital) y los errores del cálculo algebraico. Un resultado no puede ser más exacto que el dato 
menos exacto de los pasos de medición y cálculo que los originaron. 
 Hay reglas prácticas para ajustar el número de cifras de los resultados. 
 Regla 1: Al sumar o restar dos o más cantidades el resultado no debe indicar en sus cifras 
una incertidumbre menor que la incertidumbre de los sumandos. Se deben retener tantas cifras 
significativas a la derecha de la coma como las que tenga el componente con el menor número de 
ellas. 
 Ej.: Calculo del peso molecular del HCl: 
 H = 1,0079 Cl = 35,453 HCl=36,4609 
El valor a expresar será 36,461 
 
Regla 2: Al multiplicar o dividir, la incertidumbre relativa porcentual del resultado no será 
menor a la del factor de mayor incertidumbre relativo. La incertidumbre con la que se expresa un 
resultado debe estar entre el doble y 0,2 de la incertidumbre con la que se expresa la magnitud de 
mayor incertidumbre. 
Ej.: Cálculo de la constante del calorímetro (TP 1): 
 
k
t
 = - n H x 1/T 0,340615 kJ/K = - 49,2 kJ/mol x (0,0180 moles/ml x 4 ml) x 1/10,4 K 
Incertidumbre: 49,2 (tabulado): 1/492; 0,0180 (tabulado) 1/180; 4 (4,0 ml de SO4H2 con un error de 
media división de la escala en una pipeta de 5 ml) 0,05/4,0 = 1/80 y 10,4°C (con un error de media 
división de la escala en el termómetro) 0,05/10,4 = 1/208. 
 Resulta así que la mayor incertidumbre es de 1/80 y en consecuencia: Incertidumbre 
máxima 1/80 x 2 = 1/40 e Incertidumbre mínima = 1/80 x 0.2 = 1/400. Por lo tanto el resultado debe 
expresarse como: 0,341 (aproximando la última cifra). 
 
 1 
 Regla 3: Al aplicar logaritmo, el resultado se expresa con tantas cifras en la mantisa (parte 
del logaritmo que sigue al punto decimal), como cifras significativas tiene el número original. 
Ej.: Cálculo de la [H+] para una solución de HCl de pH 3,56: 
Si pH = 3,56 = - log [H+] = 2,8 x 10-4 M 
 
 
1.3. Criterio estadístico. Valor medio y error estándar de la media (ESM) 
 
 La mejor estimación de una magnitud está dada por su valor expresado en forma 
estadística. De esta manera se disminuye el peso de los errores accidentales de las deter-
minaciones y de la variación de las muestras. Al aumentar el número de determinaciones el error 
estadístico disminuye y el valor promedio se acerca al valor verdadero. La expresión de los 
resultados como x ± ESM (media ± error estándar de la media) resulta muy conveniente, dando un 
valor de la media con un intervalo de confianza del 68%. Desde el punto de vista experimental, es 
conveniente considerar como cifras significativas a aquellas cuyo valor es mayor que el error 
estadístico indicado. 
 Es buena práctica expresar los errores con UNA sola cifra significativa. En ciertos casos se 
justifica el uso de DOS cifras significativas en la expresión del error; lo que puede tener importancia 
al evaluar la significación de una diferencia en términos estadísticos. Los valores medios deberán 
expresarse con la misma cantidad de decimales que el error indicado. 
 Para la expresión de los resultados como x ± ESM resulta necesario efectuar la 
determinación por DUPLICADO (como mínimo) con lo que: 
 
 x = (x1 + x2) / 2 y E.S.M. = |x1
 - x | = |x
2
 - x| 
 El valor de ESM calculado de esta forma coincide para el caso de DOS medidas con el 
valor calculado de acuerdo a las ecuaciones dadas en fórmulas estadísticas. 
 
 
1.4. Propagación de error en operaciones algebraicas 
 
 Cada técnica utilizada en el laboratorio consta de numerosos pasos y cada paso lleva 
asociado algún tipo de error (aleatorio y/o sistemático). Cuanto mayor sea el número de pasos 
involucrados, más incierta será la medida real. Es necesario realizar la propagación del error ya 
que cada uno de los errores de cada paso contribuye con su parte al final. Las fórmulas indicadas 
en el punto 1.5 corresponden a la propagación de errores (con un intervalo de confianza del 68%) 
en funciones algebraicas comunes. 
 
 
1.5. Ecuaciones estadísticas de uso corriente 
 
Media = x x =  xj / n donde x = valor experimental 
 n = número de determinaciones 
 
Desviación standard = S S = 
 
1n
xx
2
j


 (de uso general) 
S=
1n
n/xx 22


 (comunmente utilizada en calculadoras) 
 
Error Standard de la Media = ESM = S / n 
 
Error relativo (ER%) = (ESM / x ) 100 
 1 
 
Cálculo del ESM en operaciones algebraicas 
 
 Ecuación general para el cálculo del ESM de una función (z) con dos variables (x e y). 
 
 ESMZ = 
2
Y
2
X
Y
ESMZ
X
ESMZ
















 
 
 
Suma:        22 yx)yx(yyxx  
Resta:        22 yx)yx(yyxx  
 
Multiplicación:   
22
y
y
x
x
yxyyxx 




 





 
 
 
División: 
22
y
y
x
x
y
x
yy
xx





 





 



 
 
 
Ej.: Cálculo del error del H en el T.P. 1 
Aplicando la ecuación general para el cálculo del ESM de una función (z) con dos variables 
(x e y), donde z = xy. 
 T
n
k
H T  donde z = H x = kT/n y = T 
 
 
2
T
2
n/k
T
H ESM
T
H
ESM
n/k
H
ESM
T 















  
 
 = 0 
 
entonces 
2
TH ESM
T
H
ESM 







  
 
TH ESM
T
H
ESM 


 
 
 T
T
H ESM
n
k
ESM   y siendo TERESM TT   
 
 T
T
H ERT
n
k
ESM

 
 
TH
ERHESM

 
 
 1 
 
Método de los cuadrados mínimos para la ecuación de la recta 
 
Estimación de la pendiente () y la ordenada al origen ( ) para la recta  xy 
 
n/xx  n/yy  siendo n = número de paresordenados (x,y) 
 
 
XX
XY
S
S
 donde   n/xxS 22XX  
   n/yyS 22YY  
 
  





 

n
yx
xySXY 
entonces 
 22 xxn
yxxyn


 
 
El error de la pendiente (ESM ) puede estimarse con la siguiente ecuación: 
 
 
  2XX
2
XYYYXX
S2n
SSS
ESM


 
 
El error de la ordenada al origen (ESM ) puede estimarse con la siguiente ecuación 
 
 
  2XX
22
XYXYXX
S2nn
xSSS
ESM


 
 
Para los cálculos descriptos es necesario operar con TODAS LAS CIFRAS (no se debe aproximar). 
Los valores numéricos iniciales deben estar expresados correctamente (con el número adecuado 
de cifras significativas, lo que está determinado por el error de la medición).