Variables aleatorias discretas - Estadística General - Ejercicios resueltos

Vista previa del material en texto

Ejercicios resueltos 
Semana 9. Variables aleatorias discretas 
 
1. Un hombre tienen cuatro llaves en su llavero. Una noche al llegar a su casa, no puede 
ver cual es la llave de la puerta de su casa, por lo que prueba cada una hasta encontrar 
la correcta. Sea X el número de llaves que se prueba hasta abrir la puerta (incluyendo 
la correcta). Determine la función de probabilidad de X 
 
Solución: 
 
 
X 1 2 3 4 
P(X) 0.25 0.25 0.25 0.25 
 
2. Se lanza un dado dos veces. Sea X la variable aleatoria que representa el mayor entre 
los dos números obtenidos. Por ejemplo, cuando se tiene (2, 4) X=4, cuando se tiene 
(3, 3) X=3. 
a) Calcular la distribución de probabilidad de X. 
b) Calcular la media, variancia y moda de X. 
 
Solución: 
a) 
X 1 2 3 4 5 6 
P(x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 
 
 b) E(x)=4.48, V(x)=1.94, Moda(x)=6 
 
3. Suponga que el número de accidentes por semana que ocurren en una empresa es una 
variable aleatoria X con función de distribución de probabilidades dada por: 
 
X 0 1 2 3 Otros valores 
f(x) 0.28 0.35 0.22 0.15 0 
 
a) Hallar la media y la variancia de X. 
b) La empresa incurre en una pérdida semanal Y según el número de accidentes dada 
por Y = 10 + 8X. Hallar la pérdida esperada semanal. 
c) Si en una semana se sabe que ocurrió al menos un accidente, ¿cuál es la 
probabilidad de que haya ocurrido exactamente uno? 
 
Solución: 
a) 
E(x) = 24.1)(
2
0

x
xxp 

2
0
22 ))(()()(
x
xExpxxV 1.58-(1.24)2=1.0424 
b) E(y)=E(10+8x)=10+8E(x)=10+8(1.24)=19.92 
 c) 48611.0
72.0
35.0
)1(
)1(
)1(
)1,1(
)1/1( 






xP
xP
xP
xxP
xxP 
 
4. Se cuenta con las siguiente información resumida sobre la utilidad (en miles de soles) 
obtenida en la bolsa de valores, de dos tipo de acciones diferentes A y B. Si ud debe 
decidir invertir sólo en una de las dos acciones, ¿por cuál invertiría? 
 
A B 
Utilidad x P(x) Utilidad y P(y) 
100 0.1 -100 0.15 
200 0.2 -500 0.1 
300 0.25 0 0.25 
)1(
2
1
3
2
4
3
)4(
2
1
3
2
4
3
)3(
3
1
4
3
)2(
4
1
)1( 

















 xpxpxpxP
400 0.3 100 0.25 
500 0.15 1460 0.25 
 
Solución: 
 Criterio: valor esperado: 
 E(x)=320 < E(y)=325, invertir en B 
 
5. Una compañía aérea ha vendido 205 pasajes de un avión de 200 plazas. Se define X: la 
variable aleatoria que expresa el número de viajeros que han comprado billete y se 
presentan en el aeropuerto para viajar en el avión. La distribución de X es: 
 
Xi 198 199 200 201 202 203 204 205 
Pi 0.05 0.09 0.15 0.20 0.23 0.17 0.09 0.02 
 
a) Comprobar que es una distribución de probabilidad. 
b) Hallar la probabilidad de que tengan plaza todos los pasajeros que lleguen al 
aeropuerto. 
c) Calcular el número esperado de viajeros que acuden al aeropuerto para tomar el 
vuelo. 
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona que está en la lista de espera 
tenga sitio en el vuelo? 
 
Solución: 
 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
 
6. Se pone un ratoncito en un laberinto. Hay cinco caminos posibles, de los cuales solo 
uno lleva fuera del laberinto. Supongamos que el ratoncito escoge un camino 
aleatoriamente hasta escoger el camino correcto, supongamos además que un camino 
incorrecto no se escoge dos veces. Sea X definido como el número de caminos 
incorrectos. Determine: 
a) El dominio de X 
b) El rango de la variable aleatoria X. 
c) La función de probabilidad asociada a X. 
d) El valor esperado y la variancia de esta variable aleatoria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 ip
29.0)200( ixp
  44.201)( iii pxxE
14.0199( ixp
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Supóngase que un container contiene 70 cajas de manzanas de las cuales 10 cajas no 
pasaron el control de calidad en las aduanas de la Union Europea, si se selecciona 4 
cajas de manzanas al azar con reemplazo y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de 
que por lo menos dos no pasen el control de calidad en dichas aduanas? 
a. Si el muestreo es con reemplazo. 
 
 
 
 
 
 
b. Si el muestreo es sin reemplazo. 
 70N  4n  10A  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
4
0
10
~ (4, 0.1) 0.1428
70
4
( 2) 1 ( 2) 1 0.1428 (0.8572) 1 0.8997 0.1003x x
x
x B
P x P x
x



 
 
         
 

1
0
70 10 10
4
( 2) 1 ( 2) 1 1 0.9050 0.0950
70
4
x
x x
P x P x

  
  
  
        
 
 
 

 70,4,10x H