Prueba de hipótesis de dos poblaciones - Estadística General - Ejercicios resueltos

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Ejercicios resueltos 
Semana 16. Prueba de hipótesis de dos poblaciones 
 
 
1. Las pruebas de resistencia a la tracción en 10 puntos de soldadura en un dispositivo 
semiconductor produjeron los siguientes resultados en libras requerida para romper la 
soldadura: 15.8, 12.7, 13.2, 16.9, 10.6, 18.8, 11.1, 14.3, 17.0, 12.5. Otro conjunto de 
8 puntos fueron probados después de recubrir el dispositivo para determinar si la 
resistencia a la tracción se incrementa con el recubrimiento, obteniendo los siguientes 
resultados: 24.9, 23.6, 19.8, 22.1, 20.4, 21.6, 21.8, 22.5. Con  = 0.05, ¿a qué 
conclusión llegará? Si  = 0.01, ¿llegaría usted a la misma conclusión? 
 
Sin recub. 15.8 12.7 13.2 16.9 10.6 18.8 11.1 14.3 17.0 12.5 
Con recub. 24.9 23.6 19.8 22.1 20.4 21.6 21.8 22.5 
 
X1: Resistencia del dispositivo sin recubrimiento 
 
X2: Resistencia del dispositivo con recubrimiento 
 
2
2
2
11
2
2
2
1




:
:
H
Ho
 
 
7972
6371
7382
2
2
.
.
.
F 
 
No se rechaza Ho, las varianzas son homogéneas. 
 
211
21




:
:
H
Ho
 
087
11
21
21
.



nn
S
xx
T
p
 
 
Se rechaza Ho, el promedio de rendimiento en el primer conjunto es mayor 
 
2. Las pruebas de resistencia a la tracción en 10 puntos de soldadura en un dispositivo 
semiconductor produjeron los siguientes resultados en libras requerida para romper la 
soldadura: 15.8, 12.7, 13.2, 16.9, 10.6, 18.8, 11.1, 14.3, 17.0, 12.5. Otro conjunto de 
8 puntos fueron probados después de recubrir el dispositivo para determinar si la 
resistencia a la tracción se incrementa con el recubrimiento, obteniendo los siguientes 
resultados: 24.9, 23.6, 19.8, 22.1, 20.4, 21.6, 21.8, 22.5. Con  = 0.05, ¿a qué 
conclusión llegará? Si  = 0.01, ¿llegaría usted a la misma conclusión? 
 
Sin recub. 15.8 12.7 13.2 16.9 10.6 18.8 11.1 14.3 17.0 12.5 
Con recub. 24.9 23.6 19.8 22.1 20.4 21.6 21.8 22.5 
 
X1: Resistencia del dispositivo sin recubrimiento 
 
X2: Resistencia del dispositivo con recubrimiento 
 
2
2
2
11
2
2
2
1




:
:
H
Ho
 
 
7972
6371
7382
2
2
.
.
.
F 
 
No se rechaza Ho, las varianzas son homogéneas. 
 
211
21




:
:
H
Ho
 
087
11
21
21
.



nn
S
xx
T
p
 
 
Se rechaza Ho, el promedio de rendimiento en el primer conjunto es mayor 
 
3. Un fabricante de microcircuitos esta interesado en determinar si dos diseños diferentes 
producen un flujo de electricidad equivalente. El ingeniero responsable ha obtenido la 
siguiente información: 
 
Diseño 1 20.3 22.5 23.3 29.1 26.5 22.1 20.8 28.6 23.3 21.5 
Diseño 2 23.5 26.5 28.6 21.5 26.4 27.9 26.5 25.5 26.7 28.9 
 
Con =0.01, se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de 
electricidad entre los dos diseños. Supóngase que las poblaciones son normales, pero 
no es posible suponer que las varianzas desconocidas 21 y 
2
2 son iguales. 
 
X1: Flujo de electricidad en el diseño Nº 01 
 
X2: Flujo de electricidad en el diseño Nº 02 
 
Descriptive Statistics 
Variable N Mean StDev 
Diseño 1 10 23.80 3.16 
Diseño 2 10 26.20 2.27 
 
2
2
2
11
2
2
2
1




:
:
H
Ho
 
 
9381
272
163
2
2
.
.
.
F 
 15290
54116
990050
999950
.
.
,,.
,,.


F
F
 
 
Como 1.938 > 0.1529 y 1.938 < 6.5411, no se rechaza la Ho; es decir las varianzas 
son iguales. 
 
211
21




:
:
H
Ho
 
 
010. 
 
569257
18
27291639
2
11 22
21
2
22
2
112 .
.*)(.*)(*)(*)(






nn
SnSn
Sp 
9501
10
1
10
1
7512
45268023
11
21
21 .
*.
..







nn
S
XX
T
p
 
Además como el valor del p-value es 0.067 cercano de 0.05, no se rechaza Ho es decir, 
no existe ninguna diferencia en el flujo de electricidad en ambos diseños. 
 
4. Un fabricante de microprocesadores compra los microcircuitos de sus productos a dos 
proveedores: una muestra de 300 microcircuitos del proveedor A contuvo 50 
defectuosos, mientras que una muestra de 400 piezas del proveedor B presentó 70 con 
fallas. Pruebe a un nivel de significación del 5% si hay diferencias entre la proporción de 
circuitos defectuosos de los dos proveedores. 
 
 
211
21




:
:
H
H o
 
 
1670
300
50
1 .p y 1750
400
70
2 .p 
 
 
1710
400300
17504001670300
21
2211 .
.*.*







nn
pnpn
p 
 
280
400
1
300
1
82901710
17501670
11
1
21
21 .
*.*.
..
*)(*





















nn
pp
pp
Z
 
 
9619750 .. Z 
Como 9619750 ..  ZZ , no se rechaza la hipótesis nula; es decir, no hay diferencia 
en la proporción de circuitos defectuosos de los dos proveedores. 
 
5. Una empresa de estudios de mercado quiere saber si un producto promocionado a nivel 
nacional lo adquieren los hombres en mayor proporción que las mujeres. De dos 
muestras aleatorias independientes de 900 hombres y 800 mujeres se encontró que 
270 hombres y 200 mujeres adquieren el producto. ¿Cuál es su decisión al 5% de 
significación?. 
 
 
211
21
:
:




H
H o
 
 
300
900
270
1 .p y 250
800
200
2 .p 
 
 
2760
1700
200270
21
2211 .





nn
pnpn
p 
 
302
800
1
900
1
72402760
250300
11
1
21
21 .
*.*.
..
*)(*





















nn
pp
pp
Z
 
64.195.0 Z 
 
Como 2.30 >1.64 se rechaza la hipótesis nula, es decir; la proporción de hombres que 
consumen el producto es superior a la proporción de mujeres que consumen el 
producto. 
 
6. El Ministerio de Transportes ante los constantes accidentes automovilísticos en la ruta 
Santa Anita – San Miguel, provocados por las unidades de transporte público. Decide 
tomar muestras aleatorias de ómnibus y combis que cubren este trayecto, 
encontrándose lo siguiente: 
 
Tipo de 
transporte 
Tamaño de 
muestra 
Tiempo promedio 
que utilizan para 
cubrir la ruta 
(horas) 
Desviación 
Standar 
muestral 
Numero de unidades 
de transporte que 
cumplen con el pago 
del SAT 
Ómnibus 37 2.35 0.23 26 
Combis 30 1.25 0.21 14 
 
a) Calcule e interprete un intervalo del 98% de confianza para el tiempo promedio que 
utilizan las combis para cubrir la ruta señalada. 
 
 
X: tiempo para cubrir la ruta. 
);(~ 2NX
 25.1
30


X
n
 
 
El intervalo de confianza para la media al 98% es: 
 
3444.11556.1
30
21.0
*462.225.1
462.2* )29,99.0(1,21


 


  T
n
S
TX n
 
 
b) Calcule e interprete un intervalo del 99% de confianza para la proporción de ómnibus 
que cumplen con el pago del SAT. 
37
26
p
 
37
37
11
*
37
26
)1(*
*575.2
37
26
*)2/1( 

   n
pp
Zp 
 89619.0509213.0   
 
c) Un primer resultado en este estudio señala que el tiempo promedio que utilizan los 
ómnibus para cubrir esta ruta es mayor a 2.34 horas. ¿Que podría afirmar Ud? Use 
 = 0.05 
 
34.2:
34.2 :
1 



H
H o
 
 
35.2X , 37n y 23.0S 
 
2259.0
37/23.0
34.235.2
/





nS
X
T

 
688.136,95.01,1  tt n 
 
Como 0.2259 < 1.688, se acepta Ho, entonces se concluye que el tiempo promedio 
de que utilizan los ómnibus para cubrir la ruta no es mayor a 2.34 horas.. 
 
d) ¿Se puede afirmar que la variancia del tiempo que utilizan las combis para cubrir 
esta ruta es menor a 0.06 ? Use  = 0.05 
 
06.0
06.0
2
2
0




aH
H
 
otablacalculado HAceptaXX
X
Sn
X
22
2
2
2
2
2
708.17)29,05.0(
315.21
06.0
21.0*29)1(






 
 = 0.01 
 
las evidencias muestrales señalan que la variancia del tiempo que utilizan las combis 
para cubrir esta ruta no es menor de 0.06 
 
e) De un estudio posterior se determino que la variancia del tiempo que utilizan todas 
las combis para cubrir esta ruta es menor a 0.05. ¿Se cometió algún error en la 
pregunta anterior? 
 
Si la 2 = 0.05 se cometió un error tipo II, porque seacepto una hipótesis planteada 
siendo esta falsa. 
 
f) ¿Se puede concluir para  = 0.10 , que la proporción de unidades de transporte que 
no cumplen con el pago del SAT es la misma para ómnibus y combis? 
 
37
11
1 p
 
30
16
2 p
 6119.0
3037
)
30
16
(30)
37
11
(37



p 
 
 
c
coo
H
H


01 :
 :
 
 
9715.1
)
30
1
37
1
)(3881.0(6119.0
0)
30
16
37
11
(



Z 
 
645.1
645.1
95.0
05.01


ZZ
ZZ


 
 
Rechaza Hp, la proporción de unidades de transporte que no cumplen con el pago del 
SAT no es la misma para ómnibus y combis 
 
g) ¿Se puede concluir que el tiempo promedio que utilizan estos dos tipos de 
transporte público para cubrir esta ruta no es la misma? Use  = 0.10 
 
En primer lugar, probamos: 
 
 
 
 
199.1
21.0
23.0
2
2
2
2

C
O
o
S
S
F
 
1.8229,36,95.0 F y 0.56171/1.7829,36,05.0 F 
 
 
Como 0.5617 < 1.199 < 1.82, entonces se acepta Ho, las varianzas son homogéneas. 
Luego: 
 
CO
COo
H
H




:
:
1
 
 
10.0 
 
23.20
11




CO
p
CO
nn
S
xx
T , donde 048974.0
2
)1()1(
21
2
22
2
112 



nn
snsn
sp
 
 
 
669.165,95.023037,2/1  TT  
669.165,05.023037,2/  TT 
 
Como 20.23 > 1.699 se rechaza Ho; hay diferencias significativas en el tiempo 
promedio que utilizan estos dos tipos de transporte publico al cubrir la misma ruta. 
 
 
7. La siguiente tabla muestra datos sobre aumento de peso corporal (grs) para una 
muestra de animales de control y una muestra de animales a los que se dio una dosis 
de 1 mg/pastilla de cierto esteroide diluido, (los animales de control son aquellos que 
no recibieron el esteroide). 
 
Animales Tamaño de muestra Media muestral 
Desviación 
estándar muestral 
Control 10 40.5 2.5 
Esteroide diluido 8 32.8 2.6 
 
Suponga que el aumento de peso se distribuye normalmente tanto para animales de 
control como.para los que recibieron el esteroide. 
 
a) Estime con un 98% de confianza al aumento promedio de peso corporal de los 
animales que se les dio el esteroide diluido. 
 
);(~ 2NX 
22
1
22
0
:
:
CO
CO
H
H




8.32
8


X
n
 
 
El intervalo de confianza para la media al 98% es: 
  (0.99,7)1 2, 1
* 2.998
2.6
32.8 2.998*
8
(30.04412 35.55582) 98%
n
S
X T T
n




 
  
 
  
 
 
 
b) Se puede concluir que la desviación estándar del aumento de peso corporal de los 
animales que tomaron esteroide es superior a 2 gr. Use  = 0.05 
 
 
22
22
0
22
22




aH
H
 
 
 = 0.05 
 
otablacalculado HAceptaXX
X
Sn
X
22
2
2
2
2
2
2
067.14)7,95.0(
83.11
2
6.2*7)1(






 
 
 
no hay evidencia estadística para concluir que la desviación estándar del incremento 
de peso es superior a 2 gr.. 
 
c) Si se conociera que la verdadera variancia del aumento de peso de los animales a los 
que se les dio el esteroide es de 5.5 grs ¿Se cometió algún error, con la decisión 
hallada en b? 
 
Si 2 = 5.5 si se cometió error Tipo II porque aceptamos una hipótesis planteada 
que es falsa. 
 
d) ¿Los datos sugieren que no hay diferencia en la variabilidad del aumento de peso 
para aquellos animales de control y aquellos que recibieron la dosis del esteroide? 
Use  = 0.10 
 
 
 
 
  = 0.10 
 
9245.0)1(
6.2
5.2
2
2
2
2

E
C
o
S
S
F 
 
3.687,9,95.0 F y 0.3041/3.297,9,05.0 F 
22
1
22
0
:
:
EC
EC
H
H




 
Como 0.304 < F cal < 3.68, entonces se acepta Ho, las varianzas son homogéneas. 
 
 
e) ¿Indica la información que el verdadero promedio de aumento de peso para animales 
de control difiere del promedio de animales a los que se les dio el asteroide diluido? 
Use  = 0.05 
 
EC
ECo
H
H




:
:
1
 
 
05.0 
 
38.6
11




EC
p
EC
nn
S
xx
T , donde 473.6
2
)1()1(
21
2
22
2
112 



nn
snsn
sp
 
 
120.216,975.02810,2/1  TT  
120.216,025.02810,2/  TT 
 
Como 6.38 > 2.120 se rechaza Ho; hay diferencias significativas para concluir que hay 
diferencias en el aumento de peso de los animales de control y los animales que reciben 
esteroides.