Numeros complejos

Vista previa del material en texto

Página 1 de 5 
NÚMEROS COMPLEJOS. 
 
Los números complejos son el resultado de aplicar la raíz cuadrada 
a un número real negativo, se les denomina números imaginarios, 
cuya expresión contendrá siempre la letra j, como la unidad 
imaginaria, de manera que: 
 j = 1- 
o lo que es igual: 
 1- = j
2
 
Tendríamos por ejemplo los siguientes números imaginarios, con 
su expresión con j: 
 j2 = 4j = 4- 
 18,59j =j 345,7 = 345,7- 
Todos estos números imaginarios, tienen correspondencia con los 
puntos de otra recta denominada eje imaginario. 
 
Un número complejo esta compuesto de una parte real y otra 
imaginaria, teniendo la expresión z = a + jb, donde a y b son 
números reales, j es la unidad imaginaria, con lo que la parte real 
será a, y la parte imaginaria bj. 
Un número real se correspondía con un punto del eje real, y un 
número imaginario se correspondía con un punto del eje 
imaginario, un número complejo se corresponde con un punto del 
plano formado por los dos ejes perpendiculares real e imaginario. 
Este trabajo es un resumen del documento “Electrónica General” preparado por “Jorge R. Cortés 
Tu Ing. Electrónico” 
 Página 2 de 5 
En la figura 2.5 se muestra el plano formado por los ejes, y en el se 
representan algunos puntos correspondientes a números 
complejos. 
 
Como muestra el ejemplo podemos tener un punto sobre uno de 
los ejes, lo que quiere decir que el número complejo 
correspondiente tiene su parte real o su parte imaginaria igual a 
cero. 
 
Figura 2.5. Representación de puntos de números complejos. 
 
 
Este trabajo es un resumen del documento “Electrónica General” preparado por “Jorge R. Cortés 
Tu Ing. Electrónico” 
 Página 3 de 5 
Un número complejo se puede expresar de diferentes maneras, la 
binómica (la vista hasta ahora), la polar, la exponencial y la 
trigonométrica, aunque para nuestra utilización solo emplearemos 
las dos primeras. 
 
La expresión polar tiene la forma α∠= MZ donde M se 
denomina modulo de Z y α se denomina argumento de Z. 
 
 La correspondencia entre una y otra expresión se obtiene en la 
figura 2.6, trabajando sobre las coordenadas rectangulares (lados 
de un rectángulo), calculando la diagonal de este rectángulo, que 
será el modulo, y el ángulo de esta con la horizontal, que será el 
argumento en la expresión polar. 
 
Figura 2.6. Relación entre coordenadas rectangulares y polares. 
 
El modulo M que es la distancia del punto que representa a z al 
centro del eje, se puede calcular sin más que aplicar el teorema de 
Pitagoras al triángulo formado por los vértices z, 0, y a. La 
hipotenusa M vendrá dada como la raíz cuadrada de la suma del 
cuadrado de los catetos, es decir: 
Este trabajo es un resumen del documento “Electrónica General” preparado por “Jorge R. Cortés 
Tu Ing. Electrónico” 
 Página 4 de 5 
 b + a = M 22 
 Donde a representa el valor del segmento 0a, y b el valor del 
segmento az, este ultimo igual que el segmento 0b. 
El ángulo α es el formado entre el eje horizontal positivo y el 
segmento que representa el modulo M, el valor del ángulo α , se 
puede obtener trigonométricamente, sabiendo que la tangente de 
dicho ángulo es el cociente de los catetos opuesto y continuo, es 
decir de b y de a, con lo que mediante la función inversa 
(arcotangente) obtendremos: 
 a
b arctg = α 
Según el cuadrante en el que se encuentre el punto que representa 
a z, el ángulo puede valer: 
 En el primer cuadrante α entre 0 y 90 grados. 
 En el segundo cuadrante α entre 90 y 180 grados. 
 En el tercer cuadrante α entre -180 y -90 grados. 
 En al cuarto cuadrante α entre -90 y 0 grados. 
La expresión anterior de los grados es la mínima, lo que no quiere 
decir que a veces no pueda tener valores mayores de 180 y -180, 
pero estos valores se pueden simplificar a los anteriores. Por 
ejemplo un ángulo de 225 grados seria igual que uno de -135 
grados. 
De igual manera podría tener la expresión de un número complejo 
en forma polar, y necesitar su expresión binómica. Para pasar de 
polar a binómica, se utilizan las funciones seno y coseno. Como 
Este trabajo es un resumen del documento “Electrónica General” preparado por “Jorge R. Cortés 
Tu Ing. Electrónico” 
 Página 5 de 5 
sabemos que el coseno del ángulo α es igual a la hipotenusa M 
dividido por el cateto contiguo a, bastará multiplicar este coseno 
por M para obtener el valor de a. De igual manera con la función 
seno se obtendrá el valor del cateto opuesto b: 
 
α
α
 sen M= b
 
 M= a cos
 
Con dos números complejos, podemos realizar las operaciones 
básicas (suma, resta, multiplicación y división), pero según la 
operación que queramos realizar, trabajaremos con la expresión 
binómica o con la polar. Si vamos a realizar una suma o una resta, 
se trabajará con expresiones binómicas, por ejemplo si z1 = a + bj y 
z2 = c + dj : 
 z1+ z2 = (a + bj ) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j 
 z1- z2 = (a + bj ) - (c + dj) = (a - c) + (b - d)j 
Los números a y b, c y d, pueden ser negativos, en ese caso para 
las anteriores expresiones de suma y resta, bastará respetar en 
cada caso los signos. 
Cuando necesitemos realizar el producto o la división de dos 
números complejos, trabajaremos con su expresión polar, por 
ejemplo si z1 = M1  α1 y z2 = M2  α2 : 
 z1 ⋅ z2 = M1  α1 ⋅z2 = M2  α2 = (M1 ⋅ M2)  α1 + α2 
 z1 / z2 = M1  α1 / z2 = M2  α2 = (M1 / M2)  α1 - α2 
 
 
Este trabajo es un resumen del documento “Electrónica General” preparado por “Jorge R. Cortés 
Tu Ing. Electrónico”