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Ejercicios resueltos 89
Solución.Si llamamosA a la primera suma yB a la segunda, podemos calcularACiB
haciendo uso de la fórmula de De Moivre.
Solución. Pongamosw D cosx C i senx; u D cos.x=2/ C i sen.x=2/. Tenemos que
w ¤ 1 porquex∉2�Z.
AC iB D 1Cw Cw2 Cw3 C � � � Cwn D w
nC1 � 1
w � 1 D (por (3.17))D
wnC1 � 1
2i sen.x=2/u
Teniendo en cuenta quewnC1Dcos
�
.nC1/x
�
Ci sen
�
.nC1/x
�
es un número complejo
de módulo 1 y queunC1 D cos
�
.n C 1/x=2
�
C i sen
�
.n C 1/x=2
�
, podemos usar la
igualdad (3.17) para obtener que:
wnC1 � 1D 2i sen
�
.nC 1/x=2
�
unC1
Deducimos que
ACiBDunC1
sen
�
nC 1
2
x
�
sen
�x
2
� D
�
cos
�
nC 1
2
x
�
C i sen
�
nC 1
2
x
�� sen
�
nC 1
2
x
�
sen
�x
2
�
Igualando partes real e imaginaria, se obtienen las dos igualdades del enunciado. ©
Ejercicio resuelto 43 Dados dos números complejos distintosa; b 2 C, justifica que para
z¤ b el númeroz � a
z � b es real si, y sólo si,z está en la recta que pasa pora y porb; y es
real negativo si, y sólo si,z está en el segmento que unea conb.
Solución.Seat 2 R, t ¤ 1. Tenemos que
z � a
z � b D t” z D
a � bt
1 � t D aC
t
1� t .a � b/
La recta que pasa pora y b tiene la ecuación paramétricaz D aC �.a � b/, con� 2 R,
por lo que la igualdad anterior nos dice que
z � a
z � b es real si, y sólo si,z está en dicha
recta.
Si t < 0, la igualdad anterior puede escribirse, cambiandot por�s, en la forma
z � a
z � b D�s” z D
aC bs
1C s D
s
1C s b C
1
1C s a
Lo que nos dice quez es de la forma�b C .1 � �/a con0 < �D s
1C s < 1 pero esos
son justamente los puntos del segmento que unea conb (excluidos los extremos).
Ejercicio resuelto 44 a) Seajz1j D jz2j D jz3j D 1. Prueba quez1, z2, z3 son vértices de
un triángulo equilátero si, y sólo si,z1 C z2 C z3 D 0.
b) Deduce de lo anterior que si el baricentro y el circuncentro de un triángulo coinci-
den, dicho triángulo debe ser equilátero.
Solución. a) Si z1, z2, z3 son vértices de un triángulo equilátero, entonces cada uno
debe estar girado un ángulo de�=3 radianes respecto de otro. Sabemos que multiplicar
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Ejercicios resueltos 90
por un complejo,u, de módulo 1 es un giro de amplitud igual a arg.u/. DefinamosuD
cos.�=3/C i sen.�=3/. Los tres vértices los podemos escribir comoz1, z1u, z2u2 y, por
tanto:
z1 C z2 C z3 D z.1C uC u2/D z
u3 � 1
u � 1 D 0
Supongamos ahora quejz1jDjz2jDjz3jD1, y quez1Cz2Cz3D0. Para probar que dichos
números son vértices de un triángulo equilátero, lo que vamos a hacer es comprobar que
son las raíces cúbicas de un número complejo. Es decir, se trata de probar que hay un
número˛ tal quez1, z2 y z3 son las raíces de la ecuación polinómicaz3 � ˛ D 0. Para
esto es necesario y suficiente que el producto.z � z1/.z � z2/.z � z3/ puede escribirse
en la formaz3 � ˛. Tenemos:
.z � z1/.z � z2/.z � z3/D z3 � .z1 C z2 C z3/z2 C .z1z2 C z1z3 C z2z3/z � z1z2z3D
D z3 C .z1z2 C z1z3 C z2z3/z � z1z2z3
Poniendǫ D z1z2z3, lo que hay que probar es quez1z2 C z1z3 C z2z3 D 0. Todavía
no hemos usado la hipótesis de quejz1j D jz2j D jz3j D 1. Vamos a usarla ahora para
intentar sacar factor común en la sumaz1z2Cz1z3Cz2z3D0 la expresiónz1Cz2Cz3.
Tenemos que:
z1z2 C z1z3 C z2z3 D z3z3z1z2 C z2z2z1z3 C z1z1z2z3 D .z1 C z2 C z3/z1z2z3 D 0
Puesz1 C z2 C z3 D z1 C z2 C z3 D 0:
El apartado b) se deduce fácilmente de a) siempre que sepas loque es el baricentro y el
circuncentro de un triángulo. ©
Ejercicio resuelto 45 Si 0 6 argw � argz < � , prueba que el área del triángulo de vértices
0, z y w viene dada por1
2
Im.zw/.
Solución. El área de todo triángulo es la mitad de la base por la altura. En la figura
(3.7) se ha tomado como base el vectorz con longitudjzj y la altura esh. Observa que
sen.' � #/D hjwj . Por tanto
áreaD 1
2
jzjhD 1
2
jzjjwj sen.' � #/
Esto ya deberías saberlo: el área de cualquier triángulo es igual a la mitad del producto
de las longitudes de dos lados por el seno del ángulo que forman. PongamoszD xC iy,
w D uC iv. Como# D arg.z/ y ' D arg.w/, tenemos que
áreaD 1
2
jzjjwj sen.' � #/D 1
2
jzjjwj
�
sen.'/ cos.#/� cos.'/ sen.#/
�
D
D1
2
jzjjwj
�
v
jwj
x
jzj �
u
jwj
y
jzj
�
D 1
2
.vx � uy/D 1
2
Im.zw/
©
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Funciones elementales complejas 91
z
w
#
'
h
Figura 3.7. Área de un triángulo
3.4. Funciones elementales complejas
Las funciones complejas no son más que las funciones definidas en subconjuntos deR2
con valores enR2, cuando enR2 consideramos su estructura compleja. Dado un conjunto
A � C, a toda función complejaf W A ! C se le asocian dos funciones reales: la función
uD Ref “parte real def ” y la función vD Im f “parte imaginaria def ” definidas para todo
.x;y/D x C iy2A por:
u.x;y/D Ref .x C iy/; v.x;y/D Im f .x C iy/
Naturalmente,f .x C iy/D u.x;y/C i v.x;y/.
3.4.1. La función exponencial
Definimos2 la exponencial compleja de un númeroz D x C i y como
exCi y Dexp.x C i y/D ex
�
cosy C i seny
�
(3.18)
Observa que
jez j D eRez; Im z2Arg.ez/ (3.19)
En particular, obtenemos la llamadafórmula de Euler:
ei t D cost C i sent .para todot 2 R/ (3.20)
que establece una relación entre la exponencial compleja y las funciones trigonométricas. De
la fórmula de Euler se deducen fácilmente las llamadasecuaciones de Euler:
cost D e
i t Ce�i t
2
; sent D e
i t � e�i t
2i
.t 2R/ (3.21)
2Más adelante veremos la justificación de esta definición.
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	Números complejos. Exponencial compleja
	Funciones elementales complejas
	La función exponencial