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Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor 233
Observemos que una funciónf derivable en un puntoa puede ser aproximada localmente
por una función polinómicaP .x/ de grado61, de forma que
lKım
x!a
f .x/� P .x/
x � a D 0:
Basta para ello definirP .x/D f .a/C f 0.a/.x � a/, con lo que la igualdad anterior no es otra
cosa que la definición de derivada def ena.
Es natural preguntarse si, en el caso de quef sea derivablen veces ena, existirá una
función polinómicaP de grado6n, de forma que
lKım
x!a
f .x/� P .x/
.x � a/n D 0:
Nótese que, en el casonD1, el polinomioP .x/Df .a/Cf 0.a/.x�a/ es el único polinomio de
grado61 que cumple queP .a/Df .a/ y P 0.a/Df 0.a/. En el caso general, parece razonable
hallar un polinomioP de grado6n cuyo valor y el valor de sus derivadas, hasta la del orden
n, en el puntoa coincida con el valor def y de las respectivas derivadas def ena. SeaP .x/
un polinomio genérico de grado menor o igual quen y pongamosQ.x/DP .xC a/. Notemos
que Q.k/.x/D P .k/.x C a/ parak D 0; 1; : : : ;n. SeaQ.x/D
nX
kD0
akx
k. Calcularemos los
coeficientes deQ por la condición de queQ.k/.0/D f .k/.a/. Con ello se obtiene fácilmente
queak D f .k/.a/=k!. Resulta así que el polinomioP dado por:
P .x/DQ.x � a/D
nX
kD0
f .k/.a/
k!
.x � a/k
verifica queP .k/.a/DQ.k/.0/Df .k/.a/ parakD0; 1; : : : ;n y es el único polinomio de grado
6n que cumple dichas condiciones.
6.30 Definición. Seaf una funciónn veces derivable en un puntoa. La función polinómica
Tn.f; a/ definida para todox2R por
Tn.f; a/.x/D f .a/C
nX
kD1
f .k/.a/
k!
.x � a/k
se llama elpolinomio de Taylor de ordenn def en a.
Los dos resultados siguientes son, junto con las reglas de L’Hôpital, los más útiles para
calcular límites.
6.31 Teorema(Teorema de Taylor-Young). Seaf una funciónn veces derivable en un punto
a, y seaTn.f; a/ el polinomio de Taylor de ordenn def ena. Entonces se verifica que:
lKım
x!a
f .x/� Tn.f; a/.x/
.x � a/n D 0:
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Notación de Landau 234
Demostración.Haremos la demostración por inducción. ParanD1 la afirmación del enunciado
es cierta sin más que recordar la definición de derivada de unafunción en un punto. Suponga-
mos que la afirmación del enunciado es cierta para toda función n veces derivable ena. Seaf
una funciónnC 1 veces derivable ena. Entonces la funcióng D f 0 esn veces derivable ena
y por tanto:
lKım
x!a
g.x/ � Tn.g; a/.x/
.x � a/n D 0:
Se comprueba fácilmente queTnC1 0.f; a/.x/D Tn.g; a/.x/, con lo cual resulta que
g.x/� Tn.g; a/.x/D
d
dx
�
f .x/� TnC1.f; a/.x/
�
:
Por el teorema de L’Hôpital obtenemos que:
lKım
x!a
f .x/� TnC1.f; a/.x/
.x � a/nC1 D lKımx!a
g.x/ � Tn.g; a/.x/
.nC 1/.x � a/n D 0:
Lo que concluye la demostración. 2
6.32 Corolario. Seaf una función definida en un intervaloI que esn C 1 veces derivable
en un puntoa 2 I , y seaTn.f; a/ el polinomio de Taylor de orden n def en a. Entonces se
verifica que:
lKım
x!a
f .x/� Tn.f; a/.x/
.x � a/nC1 D
1
.nC 1/!f
.nC1/.a/:
6.4.1. Notación de Landau
Te recuerdo también una notación extraordinariamente útil, me refiero a la notación de
Landau. Sif .x/ y g.x/ son funciones tales que lKım
x!a
f .x/
g.x/
D 0, se escribef .x/ D o.g.x//
cuandox ! a, y se leef .x/ es un infinitésimo de orden superior queg.x/ en el puntoa. La
idea es quef .x/ tiende a cero más rápidamente queg.x/ cuandox ! a. Si no hay lugar a
confusión, omitimos la precisión“cuando x ! a” .
Usando la notación de Landau, el teorema de Taylor–Young puede expresarse en la forma
f .x/ � Tn.f; a/.x/D o.x � a/n cuandox ! a. Lo que suele escribirse
f .x/D Tn.f; a/.x/C o.x � a/n (6.10)
Esta última igualdad suele llamarse en algunos textosTeorema de Taylor con resto infinitesimal
o forma infinitesimal del resto de Taylor. No es otra cosa que el teorema de Taylor–Young
escrito con la notación de Landau.
Lo interesante de esta notación es que si, por ejemplo,'.x/Do.x�a/p y .x/Do.x�a/q,
entonces'.x/ .x/Do.x�a/pCq y, sip > q, '.x/
 .x/
Do.x�a/p�q y .'.x/C .x//Do.x�a/q.
Además, siH.x/ esuna función acotadaen un intervalo abierto que contenga al puntoa y
sabemos que'.x/D o.x � a/p entonces tambiénH.x/'.x/D o.x � a/p.
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6.4.2. Polinomios de Taylor de las funciones elementales
Los polinomios de Taylor de la función exponencial centrados ena D 0 son inmediatos
pues las derivadas de ex enx D 0 valen todas 1. Luego
Tn.exp; 0/.x/D 1C
nX
kD1
1
k!
xk
Como sen0.x/D cos.x/D sen.�
2
C x/, se sigue que sen.n/.x/D sen.n�
2
C x/. En particular,
sen.n/.0/D sen.n�
2
/. Por tanto
Tn.sen; 0/.x/D
nX
kD1
sen.k�
2
/
k!
xk
Como parak par es sen.k�
2
/D0 y parak imparkD2q�1 es sen. .2q�1/�
2
/D.�1/qC1, resulta
que
T2n�1.sen; 0/.x/D T2n.sen; 0/.x/D
nX
kD1
.�1/kC1
.2k � 1/!x
2k�1
Análogamente para la función coseno
T2n.cos; 0/.x/D T2nC1.cos; 0/.x/D
nX
kD0
.�1/k
.2k/!
x2k
Pongamosf .x/D.1Cx/˛. Tenemos quef .n/.x/D˛.˛�1/.˛�2/ � � � .˛�nC1/.1Cx/˛�n.
Por lo que
Tn.f; 0/.x/D 1C
nX
kD1
˛.˛ � 1/.˛ � 2/ � � � .˛ � k C 1/
k!
xk
Cualquiera sea elnúmero real̨ y el número naturalk se define
�
˛
k
�
D ˛.˛ � 1/.˛ � 2/ � � � .˛ � k C 1/
k!
Por convenio
�
˛
0
�
D 1. Con ello podemos escribir
Tn.f; 0/.x/D
nX
kD0
�
˛
k
�
xk
Para obtener los polinomios de Taylor de log.1Cx/, arc tgx y arc senx es conveniente usar la
siguiente relación, de comprobación inmediata, entre los polinomios de Taylor de una función
' y de su derivada' 0 que se expresa por:
d
dx
TnC1.'; a/.x/D Tn.' 0; a/.x/ (6.11)
Es decir, la derivada del polinomio de Taylor de ordenn C 1 de' es el polinomio de Taylor
de ordenn de' 0. La igualdad (6.11) es interesanteen los dos sentidospues permite calcular
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