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GEOMETRIA ACTIVIDADES
Joseline Abarca
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:•ingenio 9 editorial
CUADERNO DE TRABAJO GEOMETRÍA 5
Corrección de Estilo:
El CUADERNO DE TRABAJO GEOMETRÍA 5, para el quinto año de educación secundaria, es
complemento del libro de GEOMETRÍA 5 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la
Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima.
Título de la obra: Cuaderno de Trabajo Geometría 5
Titulo de la colección: Logi Matic Educación Secundaria
Equipo Pedagógico: Aníbal Trucios Espinoza
Elvis Valerio Solarí
Diseño y Diagramación: Katherine Karen Rivera Escuel
Rosa Nieves Bardales luque
Paul Escobar Tantaleán
LUIS Martín Angulo Chiok
Víctor Hernandez
Fotografía:
Primera edición:
Tiraje:
Yuri Hernández Oblea
Páginas web
Noviembre 2016
6000 ejemplares
© Derechos de autor reservados
Juana Mery Oblea Acosta
© Derechos de edición reservados
Editorial Ingenio & YHO 5.A.C.
Editado por:
Editorial Ingenio & YHO 5.A.C.
Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima
Telefax: (511) 426-4853
www.editorialingenio.pe
E-mail: edrtorial.mgenfcyhoépgrnad.ccm
Impreso en Enero 2016
Copyright© 2016
Impreso en:
LETTERA GRÁFICA
Av. la Arboleda 431 - Ate - Lima - Perú Teléfono 340 - 2200
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra sin previa autorización escrita del autor y
de la editorial.
Número de Proyecto Editorial: 31501011601276
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 201615239
ISBN, 978-612-4302-21-3
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' PRESENTACION
El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica. En Matemática, no puede ser
diferente. EJ CUADERNO DE TRABAJO LOGI MATIC de Quinto Año de Secundaria de Editorial
Ingenio S.A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones favorables
concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolucón de problemas,
entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de capacidades
como la de análisis, síntesis, interpretación, comunicación de ideas, iniciativa, creatividad, au-
tovaloración, etc.
El Cuaderno de Trabajo Logi Matices un complemento de los textos de Matemática Logi Matic,
de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. La teoría, en
sí, los recursos teóricos, herramientas y cnterros que serán utilizados para resolver los proble-
mas del cuaderno, as¡ como los ejemplos y modelos desarrollados, están en los cuatro textos
mencionados.
Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de
no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder. El maestro puede diseñar
su propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Editorial Ingenio.
Sin contraponer a lo anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados
los materiales, vamos a describir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso.
El Cuaderno de Trabajo tog¡ Matic consta de dos partes: Ejerocios con espacios en blanco y
Reforzando.
EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO
Consta de 12 ejercicios, cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadril!ado para que
el estudiante desarrolle en esta parte el ejercicio correspondiente Con ello el escolar no tendrá
necesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, smo, sólo presentar el proceso de la
resolución con los detalles que crea necesario, de modo que cuando sea revisado posteriormen-
te por él mismo sea entendrbfe y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al
resultado.
En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es
inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar,
ampliar y profundizar los contenidos del capítulo
los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente De todos mo-
dos, requieren la supervisión y orientación del maestro cuando los estudiantes encuentran al-
guna dificultad.
REFORZANDO
Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascen-
dentemente por su grado de cnfrcultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones
del tema tratado. Se caracterizan por su sim,htud a las preguntas de tipo exámenes de admisión
a las umversrdades.
los ejercicios de este grupo son para ampliar, reforzar, complementar, profundizar y detallar los
contenidos del capítulo Pueden ser desarrollados en el aula mediante grupos de trabajo, en
seminarios complementarios a Jas horas de clase habituales o como tareas domiciliarias con el
desarrollo total o parcial. obligatorio o voluntario, de los ejercclos.
En todo grupo escolar hay qurenes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios
para desarrollar sus habilidades y destrezas. los ejercicios de reforzando se adecuan para fines
semejantes.
Logimatic S
• •• ••
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RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS
la concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de
aprendizaje, por repetición o por deducción Si piensa que en Matemática hay formas de hacer
ya establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará
la pregunta "¿y esto cómo se hace?" En cambio, si comprende que la Matemática es una he-
rramienta cientifica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda
ciencia tiene sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces
procederá en forma lógica, hará uso de su sentido común más que de las reglas aprendidas, y
su pregunta será "lporqué esto? o lporqué aquello?".
Por lo anterror, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, pregun-
tarle hasta dónde ha llegado y en qué se ha "atascado" y plantearle alternativas de salida, su-
gerir posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase
ejercicios resueltos similares.
En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno Todos
los caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, y particularmente en los
primeros años, pueden ser usados los métodos de medrcrón directa, como ángulos y distancias
La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy
útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos
ayudará a visualizar y comprender mejor la situación Si bien hay esquemas específicos para
determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni
reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal. es la expresión
en la forma de cómo se está comprendiendo un tema puntual.
Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y
esforzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con hu-
mildad todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta
propuesta pedagógica.
EDITORIAL INGENIO YHO S.A.C.
Logimatic 5
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11_
GEOMETRÍA 5
CAPÍTULOS TEMAS Nº PÁGINA
Capítulo 01 TRIÁNGULOS 7
- 1- �e--
Capítulo 02 LÍNEAS NOTABLES EN LOS TRIÁNGULOS 10
Capítulo 03 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 14
Capítulo 04 POLÍGONOS 17
Capítulo 05 CUADRILÁTEROS 21
Capítulo 06 CIRCUNFERENCIA 24
Capítulo 07 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 28
-
Capítulo 08 PUNTOS NOTABLES 32
Capítulo 09 PROPORCIONALIDAD 23
Capítulo 1 O SEMEJANZA 38
Capítulo 11 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 42 - - f-
Capítulo 12 RELACIONES MÉTRICAS EN El TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 46 -
Capítulo 13 RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 49
- -
Capítulo 14 POLÍGONOS REGULARES 53
Capítulo 15 ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES 56
Capítulo 16 ÁREAS DE REGIONESCUADRANGULARES 60
Capítulo 17 ÁREA DE REGIONES CIRCULARES 64
Capítulo 18 RECTAS - PLANOS- DIEDROS - TRIEDROS 68
Capítulo 19 SÓLIDOS O POLIEDROS 71
Capítulo 20 PRISMA - PIRÁMIDE 75
Capítulo 21 CILINDRO - CONO 78
Capítulo 22 ESFERA, TEOREMA DE PAPPUS Y GOULDING 82
Capítulo 23 PLANO CARTESIANO - RECTAS 86
Capítulo 24 CIRCUNFERENCIA - PARÁBOLA 89
Lagimatic 5
1-
1
_11
-1
1
• •• ••
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I I_
• •• ••
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CAPfTULO
01 �
�
a En la figura, calcula x. (UNALM 2013-11)
2a
�
� 2p n
� A)4�' B) 45" C) 85" JJj 114º E) 120"
A) 45º
B) 40"
C) 35°
D) 30"
foj 25º
D En la figura, determina el valor de p.
_11
Sw
A) 18"
''" B) 20"
C) 22"
JJj 24"
E) 26"
A
R
e
Q
!'
B
A} 15"
!li 18"
C) 10º
D) 20"
E) 16"
fl En la figura, QR / / BA y m ¿_ PQR = 6m 4. ABC. El En la figura, calcula el valor de p.
Calcula la medida del ángulo B.
(UNAC 2014-11)
EJ Las medidas de los ángulos internos de un
triángulo se encuentran en la relación de 2; 3 y 4.
Calcula la medida del mayor ángulo externo.
II En el triángulo ABC, AB = 60 y
m ¿_ BAC - rn ¿_ ACB = 32°
Entonces, CAD mide: (PUCP 2009)
A)144º ,B5t40" C)136º 0)132º E)128º A) 18"
B) 16º
C) 20°
D) 24º
E) 22"
Logimatic 5
• •• ••
� 9 .di 78% • 8:42 p. m .
Las longitudes de los lados de un triángulo
forman una progresión geométrica de razón
q > 1. Entonces q toma los valores:
Las longitudes de los lados de un triángulo
escaleno son 8; 6 y 2.:r. Calcula !<1 suma de los
valores enteros de x.
A) 9" B) 10° C) 11° D) 12° jij 13°
A) 1 + Js q>--
2
1 +..fs 9) 1 <q<--
2
E) 1 +.f6 <n « 1 +.fi 2 2
(UNI 2010 11)
B) 1-Js l+JS --<q<-- 2 2
D) 1 +Js <i= 1 +,/6
2 2
I I_
En la figura, calcula el valor de p. m En la figura, las rectas 9!1 y P2 son paralelas. Si
a+!}::: Sx, calcula el valor de x.
(UNMSM 2010 - 11)
A) SO" X !J' ' B) 60" X
C) 30" u
O) 45°
jij 40" !J', A) 18º B) 24º C) 30"
))) 36" E) 42º
D
En el lado AB de un triángulo ABC se ubica
el punto P, tal que AP =re= BC y AB = AC.
Calcula m4'.BAC.
e A
En la figura, determina el valor den+ b +e+ d,
si la suma de las medidas de los ángulos A, By
Ces 110". (CEPRE UNI 2012- 11)
A) 250° 13
B) 270°
9) 290°
D) 310°
E) 330"
C) 30" B} 24º
E) 42º
gimatic S
A) 18"
J)l 36"
D
• •• ••
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2.,
REFORZANDO
<,
NIVEL �
O Se nene un triángulo acutángulo ABC, tal que
�
AB • 3 y BC • 4 Calcula la suma de los valores �
:�•;msd��
C) 12 D) 14 E) 20
�
·�"""'·""' .r
"""")�
u" �
C) 20°
NIVEL
8) 17,5"
E) 25º
"
A) 15{1
Pl 22,5°
REFORZANDO
e Las medidas de los ángulos externos de un
triángulo se encuentran en la relación de 7; 8 y 9.
Calcula la medida del mayor ángulo interno.
O En la figura, delennina el valor de ijl.
_11
7•
O En la figura, calcula el valor de ijl.
C) 60" Jlj 36"
E) 90"
B) 5" C) 6° D)7° E) 8"
A) 30º
D) 72°
O En la figura, calcula el valor de A.
n.
C) 12 cm
C) 80º B) 85°
E) 70º
8) 11 cm
� 14cm
A) 90°
J)l 75°
A) 10cm
D) 13cm
e Se tiene un triángulo obtus.íngulo ABC,
obtuso en B, cuyo perímetro es 29 cm y su lado
BC = 13 cm. Calcula el valor entero de AC.
4n 3$
8• 6a + 74>
e En la figura,.\+ y= 40". Calcula o..
(UNALM 20161)
O En la figura, calcula el valor de 4>.
A) 18º
D) 12°
B) 16"
)') 9º
C) 15º
e Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso
en B, tal que AB = 5 y BC = 12. Calcula la suma
de los valores enteros de AC.
C) 23°
C)70
B) 24°
E) 20"
Logimatic 5
B) 58
E) 91
¡!<)45
D) 81
¡!<)25"
D) 22"
4
C) 24,8° B) 27,5°
E) 18°
A) 32°
pj 21,6°
• •• ••
� r .di 78% • 8:42 p. m .
A) 7° B) 8° C) 9° pj 10° E) 12°
e En la figura, calcula x/y. C) 22
B
C) 34"
e
B) 24"
E) zo"
B) 27
)1j 17
A
A) 30
D) 20
I I_
¡)<) 22"
D) 44°
G) En la figura AC = BC. Calcula x.
(UNMSM 2015 -1)
C, Se tiene un trténgulo ABC, tal que AB = 5 y
m ¿A= 2m 4C. Calcula la suma de los valores
enteros de BC.
(PUCP 2013)
e
100"
D A
CAPITUIO
02
' LINEAS NOTABLES
EN LOS TRIÁNGULOS
(UNI 2016 - 1)
C) 3 B) 2
E) 5
¡>) 1
D) 4
f!) Determina el número de triiingulos escalenos
de perímetro menor que 10 u, cuyos lados tienen
medidas enteras.
C) 1/3 )}f 1 /2
E) 2
A) 1
O) 1/4
En un triángulo acutángulo ABC, se traza la
altura CH, tal que rn x Hé.C = 2m,i.HCB =36ºy
2AB + AC"" 48 cm. Calcula AB.
a
A) 24 cm
D) 18 cm
B) 22 cm
J?j 16 cm
C) 22 cm
B En un triángulo ABC, se traza la mediana AM,
tal que MA = MC y 3m,{ B = 2m ,{C. Calcula la
medida del ángulo MAB
A) 16° B) 18° C) 24°
DJ 28º J1j 36"
gimatic S
• •• ••
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_11
El En la figura, AR es una bisectriz, RSes mcdiatriz
de BC y 4m 4 ARS "' 3m ,{_ C. Calcula la medida
del ángulo ARS.
B
e
A) 16" B) 18" C) 24" P) 27° E) 36°
En la figura, determina el valor de 4'.
A) 12°
B) 14"
C) 15"
pj 16"
E) 18"
A) 20" Jlj 40' C) 50' D) 60" E) 80'
IJ En un tnángulo ABC, las bisectrices exteriores
de los ángulos A y C se intersecan en N; tal que
SmL.ANC = 2m;{8. Calcula mL.ANC.
!21 Solo 111
X
B) Solo n
E) lyllI
A) Solo I
D)lyll
a En la figura, ¿cuál (es) de las siguientes
proposiciones es (son) correcta(s)?
J. x=y
JI. x+y=90º
lll.x+y=180"
11 En un triángulo ABC, las bisectrices de los
ángulos BAC y ACB se intersccan en P, tal que
7m ,{_ ABC = Sm 4-APC. Calcula m .{. APC.
e
o
A
D) 20°
Ji) 16°
EJ �la figura, 81' es bisectriz, l'H es mediatnz de
AC y 0-4'=32.Calculap.
A) 32° B
B) 28"
C) 24°
C) 135° B) 120°
E) 150º
A) 100°
pj 140"
l'
Logimatic 5
• •• ••
� 9 .di 78% • 8:42 p. m .
En los lados AB y BC de un triángulo ABC se
ubican los puntos E y F, respectivamente, tal
que FC =AC, m..CECA =32 y m4AEC = 74.
Calcula m..C:EFA.
A) 15"
O) 20"
M 16"
E) 22°
C) 18"
m En la figurn, calcula q>.
A) 30"
M 1s"
C) 25º
D) 10°
E) 20°
2
I I_
e
o
70"
40"
5.t
R
O) 20"
En la figura, calcula el valor de .r.
M 14"
B) 15°
C) 16°
O) 18°
E) 12"
A) 15"
B) 16°
9) 18"
A
e �la figura, CN es bisectriz, NR es rnedratriz de
AB y m 4-A = 3m L RNC. Calcula m z RNC.
e
A B -
E) 14° N S:::;:
O En un tnángulo ABC, las bisectrices exteriores
�
de los ángulos 13 y C se mtersecan en E, tal que �
2m.í.BEC-3m4BAC=20 Calculam4.BAC �
A) 20" B) 30° 9) 40° O) so" E) 60° �
�
C) 48 cm
140"
NIVEL
p
B) 42 cm
J?j 72 cm
gimatic S
A) 36cm
D) 64 cm
En la figura, calcula A+ p.
A) 320°
B) 300"
ci zso"
pj 260°
E) 240°
REFORI.ANDO
O En un triángulo acutángulo ABC, se traza
la altura AH, tal que AB- HC = 72 cm y
m4HBA = 2m 4HAC. Calcula HB.
e En un triángulo ABC, las bisectrices de los
ángulos BAC y ACB se intersecan en R, tal que
2m 4ARC = 3m ¿_ B. Calcula m 4ARC.
A) 95° B) 105° C) 115° O) 125° _ej 135"
• •• ••
� f. .di 78% • 8:43 p. m .
C) 40 cm B) 32 cm
p')" 50 cm
A) 25 cm
D) 44 cm
A) 120° p
B) 116°
C) 102''
pj 98°
E) 90"
A) 18°
)IJ 19" O"
C) 20°
D) 21°
E) 22°
Logimatic 5
El) En la figura, calcula el valor de 4'
A) 24°
B) 20"
CJ 18°
D) !6''
141sº"-"''---���---"'"---��
REFORZANDO
a, En la figura, calcula el valor de p.
e En la figura, calcula el valor de e .
e En la figura, calcula el valor de f.
A) 16°
Pf 18"
C) 20°
D) 22°
E) 24"
e Por el mcenrro del triángulo ABC se traza una
recta paralela al lado AC, tal ql1e Interseca en
M y Na los lados AB y BC, respectivamente. Si
AB = 18 cm y BC = 32 cm, calcula el perímetro
de la región triangular MBN.
e
3x
NI\/EL
� ":----�,�,-.�3-0"=nr
s.,
40" -.t
A E) 14"
A) 18º N
8) 16°
C) 15°
O) 12°
m 9º A
REFORZANDO
A) 30" B) 40" C) 50° D) 60° )!j 70"
O Si O es el ortocentro del triángulo acutángulo
ABC. tal que 2m.CBOC = 3m.lA. Calcula
m..CA.
A) 30° B) 45° C) 54° D) 60° J4 72°
O En la figura, N es excentro del triángulo ABC.
Determina el valor de 4'.
OEn la figura, Pes excentro del triángulo ABC.
Calcula el valor de x.
M is"
B) 16"
C) 18"
D) 20°
O En la figura, determina el valor de :r.
A) 20º
B) 24°
0 28°
D) 32°
E) 36"
O En un triángulo ABC, se trazan las cevianas
internas AL y BN, tal que BN = AB,
m4LAN = m4.LCN = 4.NBA y mLNBL = 30"
Calcula la medida del menor ángulo que
forman dichas cevianas.
<;» G) En un triángulo rectángulo ABC, recto en
� B, se traza la altura BH. Luego se trazan las
� bisectrices BM y BN de los ángulos HBA y HBC,
� ;:::e:•::_'"'' Si AB a 5 rm y BC ª 12 cm,
� ,.414cm B)Scm C)3cm
� D)6cm E) 7cm
�
• •• ••
� r .di 78% • 8:43 p. m .
En los lados AC y BC de un triángulo A BC se
ubican los puntos P y T, respectivamente, tal
que TC = AB, PC = TA y m4PCT = m4TAB. Si
2m .{ ATP + 3m .{ PCT = 120� calcula m 4ATP.
En un triángulo rectángulo ABC, recto en 8, la
bisectriz del ángulo ACB interseca en N al lado
AB, tal que NB = 6 y NC = 10. Calcula AC.
I I_
C) 18 B) 17
Jij' 20
A) 16
D) 19
a
C) 22° B) 20°
E) 26°
CAPITULO
03
A) 18°
pj 24°
El En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la
mediatriz del lado AC intcrseca en Pal lado BC,
tal que 5PB = 3PC. Calcula m 4C.
EJ En la Figura, calcula 11 + b.
A) 54 JJf SO C) 48 D) 46 E) 44
A) 37° /2
D) 25º
B) 20° C) -1-5° /2
Jij' 53° /2
En la figura, NP"' PM y MC "'NC Calcula 4,.
y
, ,
/
En la figura, ¿cual(e!>) de las siguientes
proposiciones es (son) correctafs)?
l. w=x+y+z
11. w+z=x+y
lll.2W=.\ + y+z
a
e
B A) 30°
B) 32º
C) 34º
pj 36º
E) 38°
a
gimatic S
A) Solo l
D) lyIII
60"
B) Uy W
E) So\ofil
60"
� Solo U
• •• ••
� 9 .di 78% • 8:43 p. m .
E
D
En la figura, AB + AM = 12 cm y EM = 5 cm. :::-.:::::
� M ------"':e
�
�
D) 6cm
E) 6,Scm
JJ5 Scm
C) 7cm
C)�m
3
(UNALM 2014 - l)
8) .!.! m
3
E) 6 m
A)_!.:!.m
3
D)�m
3
En el triángulo escaleno ABC se traza la mediana
CM. En el triángulo BMC se traza la mediana
BN, que mide 7 m, y en AC se ubica un punto P
de modo que MPsea paralelo a BN. Calcula MP,
si 4ABC es obtuso.
D
_11
D En la figura, los triángulos ABC y DEC son
equiláteros. Calcula el valor de 4'.
A) 10°
M 12°
C) 14º
O) 15°
E) 16º
A
ID En un triángulo escaleno ABC. se
traza la ceviana interior BN, tal que
6m ,LNCB = 4m 4NBA = 3m ¿_ BNC,
NB = 8 y BC = 12. Calcula AN.
A)16 8)18 9)20
D) 22 E) 24
8
En un triángulo equilátero A BC, en la a ltura AH
{1-1 e BC) se ubica el punto E y en la prolongación
de AC se ubica el punto D (C E AD), tal que
EC =CD y AC = ED. Calcula mli.HED
(UNI 2014 -11)
A) 40° B) 4Sg C) 48° pj 50° E) 52°
Logimatic 5
C) 9/5 JI) 8/5
E) 6/5
A) 4/5
D) 8/3
A
En la figura, OC= 8 y AM = MC. Calcula DE.
(PUCP 2009)
• •• ••
� 9 .di 78% • 8:43 p. m .
e
C) 5�'
(UNALM 2013-1)
98 D
B
B) 45"
E) 60"
A) 7
pf 8
C) 9
D) 6
E) 'IS
A) 40"
p) 55"
I I_
A) 48 B) 40 C) 36 D) 32 J'1 24
REFORZANDO
O En los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC
se ubican los puntos P, S y T, respectivamente,
tal que PA =TC, TA= SC, m4PAT = 70" y
m ,{. PBS = 40". Calcula m ,{. PST.
O En la ñgurn, calcula el perímetro aproximado de
la región ABC.
e En los lados AB y AC de un triángulo escaleno
ABCscubican los puntos H y N, respectivamente,
tal que HA= HB, m ..:CHNA + m ..CC = 180" y
3BC + 4HN = 240. Calcula HN.
e
T
NI\/EL
135º
b
Sp
(UNALM 2012 - lll
H
150"
A
A) 1
B) 2
91 3
D) 4
E) 5
C) 16º
D) 15"
l'1 12"
REFORZANDO
e En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes
proposiciones (es) son correcta(s)?
e En la figura, TH = PH y PB = TB Calcula p.
A) 2CI' B
B) 18"
/
� � O En la f,gurn, calcula b.
§§§§ A) (3-"3)/2 �
)') (3+"3)/2
� :: � e En la figura, calculan - b.
l. w=x+y+z
11. w+x=2y+z
111. w +y= 2x + z
O En la figura, PS = 2 cm y SR= 7 cm, calcula PQ.
(UNMSM 2011 • JJ
R
a
Q
2a
p s
A) 6cm
J31 Scm
C) 7cm
D) 4cm
E) 3cm
C)lylll
E) n y m
B) Solo II MSo101
O) SoloTII
e Se tiene un triángulo equilátero ABC en el cual �,....
se trazan las cevianas rntenores AP y BS que �
forman un éngulo cuya medida es 60º. S1 PB = 8 �
y SA = 15, calcula el perímetro de la región ABC. �
A)72 )')69 C)66
�
D)63 E) 60 �
�
son BPH
B
A
gimatic S
A) 14º
)') 15°
C) 16"
D) 18°
E) 20"
O En la figura, los triángulo ABC y
equiláteros. Calcula w.
• •• ••
� r .di 78% • 8:43 p. m .
0 106"
CAPITULO
04
B) 105"
E) 108º
E) 22°
A D C
toma el punto P, tal que PB = AC, m L.PBA = 1 O"
ymLPBC=30" Cakulam.CPAB
A) 104°
D) 107"
(UNI 2007 ·))
A) !a' B) 15" fZí W' D) 25" E) 3U'
e En un rrténgulo ABC, se traza la medrana BR, tal
queAB=ARy m LRBC = 14". Calcula m.oí'.BAC.
(UNI 2008 - 1)
e En la figura, BD = AC. Calcula el valor de x :::-.:::::
B
(PUCP 2009) �
1'<)18" ��
B) 36"
C) 1 O"
D) 20"
4,
91,a·
C) .Ji.
NIVEL
8) 15º
E) 30"
e
B) "3/2
E) .J2/2
E
D
A) 10"
D) 25"
A) ,J2/4
Pl J3
(UN A C 2012 • JI)
A,-----------,a;-c,B
REFORZANDO
e El ángulo A de un triángulo obtusángulo ABC,
obtuso en B, mide 30". Se traza la ceviana interior
BN, de modo que NA= BC y NB = NC. Calcula
la medida del ángulo NBC.
e En la figura, AE JI CD, BC // DE, AE = 2, a= 45º
y J3 = 75". La distancia del punto E al segmento
ABes:
_11
a El número de diagonales de cierto polígono
es 35. Calcula la suma de las medidas de los
ángulos internos.
EJ Cinco ángulos externos de un heptágono miden
50° cada uno. Calcula la medida de los ángulos
internos de los otros dos si se sabe que son
congruentes.
A) 1080°
P) 1440º
B) 1260º
E) 1170º
C) 1350°
A) 105º B) 110º
O) 120º Jt)' 125"
C) 115°
Logimatic 5
• •• ••
� 9 .di 78% • 8:43 p. m .
A) Nonágono
C) Undecágono
O) Dodecágono
B) Decágono
Jt1 Pentadecágono
A) 33
JJl 25
B) 30
E) 22
C) 27
I I_
Las medidas de los ángulos externos e internos
de un polígono equiángulo se encuentrnn
en la relación de 2 es a 13. ¿De qué polígono
equiángulo se trata?
Calcula el número de diagonales que se pueden
trazar desde cuatro vértices consecutivos en el
decágono.
a Los polígonos mostrados ABCDEF y CMND
son regulares. Calcula el valor de.,.
(UNALM 201411)
M
a
A)35
JJl 54
B) 39
E) 66
C) 45
La rnedlda de un ángulo central de un polígono
regular es 30°. Calcula e! número total de
diagonales
El Indica cuáles de las siguientes proposicrone,
son verdaderas (V) o falsas (F).
l. El nonágono tiene nueve diagonales en
total.
JI. La medida de un ángulo central del
decágono regular es 36°.
111. Una recta secante a un polígono regular
mterseca en dos puntos como máximo.
a
A) 88
D) 109
B) 96
E) 121
91 1 (){)
Calcula el número de diagonales media que
se pueden trazar desde ocho puntos medio de
lados consecutivos en el heptadecágono.
A)VFV
D) FFV
B) FVF
Ji1 FVV
gimatic S
C) vvv
• •• ••
� r .di 78% • 8:43 p. m .
Los puntos A, B yC son tres vértices consecutivos
de un polígono regular de 15 lados. Calcula los
2/3 de la medida del ángulo ABC.
(UNMSM 2009 - 11)
a
A) 106°
O) 105°
)lj 104°
E) 100º
C) 108°
m Un ángulo interno de un heptágono convexo :::-.:::::
es recto y los seis ángulos restantes son �
congruentes. Calcula la medida de uno de los �
:�g,':;: no ,�to;) 140º l2j 135º �
D) 130º E) 125° �
�
�
6
En la figura, calcula et+ f3 +y+ O. Calcula ln medida del menor ángulo formado
por la prolongaciones de los lados EF e IH del
nonágono regular ABCDEFGHL
A) 30º B) 35º C) 45°
D) 54° JlJ 60º
110''
C) 570°
y
B) 540°
JlJ 610º
a
A) 520º
D) 590º
11!1
O Calcula el número total de diagonales del
polígono regular cuyo ángulo exterior mide 45º.
REFORZANDO O Seis ángulos externos de un nonágono miden 35° cada uno. Calcula la medida de los ángulos
internos de los otros tres si se sabe gue son
congruentes.
NIVEL
D) 27 JlJ 20 B) 54 C) 43 A) 66
<;»
� � e La suma de las medidas de un ángulo central
� más un ángulo exteriorde cierto polígono
Bli1 =�n� o::•:•·:: e::-
�
O Indica cuáles de las siguientes proposiciones
son verdaderas (V) o falsas (F).
l. Los ángulos internos de un polígono
equiángulo son congruentes.
JI. El triángulo equilátero es a su vez un
polígono equiángulo.
Logimatic 5
• •• ••
� r .di 78% • 8:43 p. m .
I I_
O La medida del ángulo central de un polígono
regular es 24°. Calcula el número de diagonales
trazadas desde 9 vértices consecutivos.
(UNI 2006 • 11)
C) 210"
C) 75"
C) 700
IIIIVEL
B) 200"
E) 230''
B) 680
)i1 740
B) 66"
)i1 120"
A) 620
D) 720
A) 60"
D) 90º
A) 190º
P) 22a·
REFORZANDO
B) 90
E) !8°
G) Calcula el número total de diagonales de un
polígono equiángulo ABCD. , si las mediatrices
de AB y EF forman un ángulo cuya medida es 36°.
e Si la medida de cada ángulo interior de un
polígono regular de II lados se disminuye en
S°, el nllmero de sus diagonales disminuye en
(511- 3). Calcula la medida de su ángulo central.
e Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH,
tal que Al3"' 4, ne = Js y CD= 6. Calcula AD.
A) 5J'i. j!j 10 C) 6J'i.
D) 12 E) 4,Í3
C, Calcula la medida del fogulo formado por las
prolongaciones de los lados EF y HG de un
dodecágono regular AIKDEFGI-UJKL.
G> La suma de las medidas de cinco ángulos
internos de un polígono convexo es 760°. Calcula
la suma de las medidas de los ángulos externos
correspondientes a los vértices restantes.
E) 48
C) VVF
C) 120
C) 85
D)SO
B) 90
E) 75
B) FVF
B) 105
E) 150
Ji) vvv
B) 54 C) 52 M56
A) 95
p¡ 80
A) 90
p) 135
REFORZANDO
O Se tiene el hexágono equiángulo ABCDEF, tal
que BC = 8, CD= 12, DE= 10 y AB = 6. Calcula
el perimetro de la región ABCDEF.
O Halla el número de diagonales de un polígono
regular ABCDE..., sabiendo que las mediatrices
de los lados AB y DE forman un ángulo de 60°.
(UNI 2011-1)
/ 111. El nonágono tiene 36 diagonales media
�
A)VFV
�
D)FFV
� O La medida del ángulo rntcnor de un polígono
� :is;��:n�:' a la medida de su ángulo central
��
A)Tdángulo
� JJ1 Cuadrado
C) Pentágono
D) Nonágono
E) Decágono
O En la figura,{!); 1- 'f!I. Calcula et,.
e
A) 42"
B) 45º
C) 54º
D) 58"
Ji) 60"
CD En la figura, ABCDE es un pentágono regular y
PE= AB. Catcula é.
E) 30" D) 25" B) 15º !2) 20"
gimatic S
• •• ••
� r .di 77% • 8:43 p. m .
a
a
D
A) 140º
B) 130°
C) 120º
O) 110"
J'1100º
A) 56°
pj 66º
A) 36J3
pj 36
X
B) 60º
E) 68º
B) 32
E) 40
100"
6
C) 62°
C) 34Jj
a
D
D
B) 45º
C) 54º
pj 60°
E) 66°
� 15cm
D) 21 cm
A) 30cm
D) 28 cm
A
13) 18cm
E) 9cm
B) 18cm
Jz1 24 cm
CAPÍTULO
E
C) 12 cm
C) 26 cm
En la figura, calcula l.
En un trapezoide ABCD, m 48 = 98° y la
medida del menor ángulo formado por las
bisectrices interiores de los ángulos A y C
es 16º. Calcula m4D.
En el trapecio ABCD, la base mayor AB y
la base menor OC miden 30 cm y 16 cm,
respectivamente. Si la altura del trapecio mide
12 cm y AD mide 13 cm, calcula BC.
(PUCP2009)
En un trapecio isósceles la base menor es 6 y la
oblicua con la base mayor forman un ángulo
de 60°. Calcula el perímetro de la región del
trapecio si el lado oblicuo mide 8.
(UNALM 2013 - I)
En un trapecio isósceles, la longitud de la base
mayores igual a la suma de las longitudes de los
lados no paralelos y a su vez igual al triple de la
longitud de la bese menor. Calcula la longitud
de la mediana del trapecio cuya región tiene un
perímetro de 84 cm
Logimatic 5
• •• ••
� 9 .di 77% • 8:43 p. m .
En la figura, ABCD es un rombo. 51 AB = 10 cm
y m..CBAD = 53°. La longitud de la proyección
de PQ sobre AD, en centímetros, es:
En un trapecio rectángulo, los lados laterales y la
base menor miden 15; 17 y 18, respectivamente.
Calcula la longitud del segmento que une los
puntos medios de las diagonales.
A) 8
B) 7
9)6
0)7,5
E) 6,5
(UNAC 2011 - 1)
/lle
A a P a D
A) 12
D) 6
B) 10
Ji)' 4
C) 8
I I_
En un paralelogramo ABCD, las bisectrices de
los ángulos BAO y COA se intersecan en un
punto T del lado BC. Si 2AB + 3CD = 60 cm,
calcula el perímetro de la región ABCD.
En la Figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado
mide 9 m. Si DN = 6 m, calcula BM.
(UNMSM 2011 - 1)
M
u
A N D
e A) 1,5 m
B) 4 m
C) 2,5 cm
pj 3m
E) 2m
m
9' 72 cm B) 66 cm
E) 84 cm
A) 60cm
D) 78 cm
11
II En la figura, ABCD es un cuadrado y COE un m En un cuadrado ABCD se prolonga el lado AD
triángulo equilátero. Calculay-x. hasta el punto R. Desde un punto Q de BC se
B
(UNI 2010 11)
9) 65º B) 6Dº
E) 75°
traza QR que interseca a CD en P. Detennina
la medida del ángulo APQ si PA = CR y
mii.PAR = 20°
A) 55º
D) 70º
E
(PUCP 2012)
D
gimatic S
A) 15"'
ji) 3(1'
C) 45"
D) 5(1'
E) 55"' A
• •• ••
� 9 .di 77% • 8:44 p. m .
e Las diagonales de un trapecio trisecan a la
mediana. Si la diferencia de las longitudes de las
bases es 32, calcula la longitud de la base mayor.
O En un trapezoide ABCD, las biscctnces de los
ángulos BAO y ABC se intcrsecan en H, tal que
m 4BHA = 124° y m,{C = 118°. Calcula m 40.
A) 118° 8) 124° 9j 130° O) 136° E) 142°
e En un trapecio ASCO, m ¿C = 112º y la medida
del mayor ángulo formado por las bisectrices
interiores de los ángulos 8 y O es 168°. Calcula
m z A.
A) 64º 8) 68° C) 72° O) 80° Jt1 88°
A) 30° B) 36° C) 45° D) 54° ,E") 60°
O En un trapecio rectángulo, los lados laterales y <,
la base menor miden 9, 15 y 18, respectivamente �
Calcula la longitud de In mediana �
A) 30 B) 28 C) 26 p) 24 E) 22
-
�
O En un tnángulo ABs__D es pun."c_ medro de AB ���
y E es un punto de BC tal que� 11 AC P y O ���
son puntos medios de AE y DC, PO = 6 cm �
CalculaAC. (UNMSM2011-II) ��
A) 16cm B) 28cm C) 22cm �
P)24cm E) 18cm � e Se tiene un rombo ABCD, tal que �
2AC = (AB + AD)-Í3 Calcula la medida del
menor angulo interior.
NIVEL REFORZANDO
NIVEL
A) 55º
o
B) so·
p
C) 65°
p) 75°
E) 60º e
REFORZANDO
que une los puntos medios de AE y BD.
(UNMSM 2013 - 11)
- En la figura, ABCD es un cundrndo y APD un
triángulo equrlétero. El valor de a es:
(UNAC 2013-1)
B
e En un paralelogramo ABCD, AB = 6 m y
BC = 8 m. La bisectriz interior del ángulo A
interseca a BC en E y a la prolongación de OC en
F; desde M, punto medio de Er, se traza un rayo
paralelo a CD que mterseca al segmento AD en
N. Determina MN (en rn). (UNI 2010-11)
A)6 )') 7 C) 8 D)9 E) 10
e En la figura, ABCD es un paralelogramo cuyo
lado menor mide 16 m y DE es bisectriz del
ángulo ADC. Calcula la longitud del segmento
E) 46
A)7m B E e
B) 9m / V e C) 6m D) 10 m
D Jij B m A
Logimatic 5
NIVEL
D) 56 ,Ej 64
0)14
D) 48 B) 52 C) SO
8) 20 C) 16
B) 40 C) 48
A) 18
A) 32
,") 42
REFORZANDO
O En un paralelogramo ABCD, las bisectrices
de los ángulos ABC y BCD se mtersecan en
un punto H del lado AD. Si SHA - 3HD = 14,
calcula el perímetro de la región ABCD.
e En un trapezoide PQRS, RQ = RS; PS "" RS + PQ¡
m 45 = 60" y m ,CQ = Sljl. Calcula q>.
A) 36° B) 32º C) 30° D) 28° _m 24°
O En la figura, A BCD es un cuadrado. Calcula xen
términos de a. !} y 0. (PUCP 2013)
B
O En los lados AD y CD de un cuadrado
ABCD se ubican los puntos medros M y N,
respectivamente, tal que BN n CM= !Pl y
AP + 2CN = 24. Calcula AP.
� A1 a+ j3-0-18D°
�
B) a-¡3-0+1800
�
C)cx+�+O A p
�
O) 1}+0-a X
�
E) a+j3-8
�
• •• ••
� f .di 77% • 8:44 p. m .
I I_
{UNI 2012 - 11)
A) 8° Jl1' 10" C) 12º D) 15º E) 17'
e En un cuadrilátero convexo ABCD,
la mediatriz de AD p<lSi'I por C. Si
m 4CBO = 30", m4BDA = 40" y m 40AB = 70",
calcula m .d'.CDB.
N
D)a;p;e
E) ü.B;«
C)a.O;p
:::::-::: e En la figura, ABCD es un trapecio isósceles
�
�
A) 30 B
B) 38
SZ) 36
D) 34
E) 32
M e
El En la figura, MB = 18 cm, /\., B y C son puntos
de tangencia El perímetro del triángulo
sombreado, en cm, es igual .:1. (UNAC 2013 • 1)
CAPITULO
06
a En la figura, calcular.
A) 2
B)..ÍS
C) 3 r
pj 2..ÍS 8
E) 4 53"
En la figura, calcula 4,. E! diámetro A 8 de una circunferencia se
prolonga hasta un punto P, luego desde P
se traza la tangente PT, ta! que T es punto de
tangencia y PT = AT. Calcula m 4PAT.
u
A) 12°
B) 11º
C) 10º
P) 9º
E) 8°
//,,.,,-
/
' ' ' ' ' • •
a
A) 15º
D) 45º
JJ1 30º
E) 60º
C) 35º
gimatic S
• •• ••
� 9 .di 77% • 8:44 p. m .
El
D
�t+.fi-.fj
C) t+Fs-.fi
0)2
A) 9cm
D) 6cm
JJr 8 cm
E) Scm
B) 1
E) .fi+Fs-1
C) 7cm
D
a
Jij 31 cm
A) 48 cm
O) 84 cm
e
B) 60cm
JtJ 96 cm
C) 72 cm
A
Calcula la longitud del inradio de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 2 y 2.fi..
La circunferencia inscrita en un triángulo ABC
es tangente en T al lado BC. Si AB : 13 cm,
BC = 15 cm y AC = 12 cm, calcula TB.
Calcula el perímetro de la región de un trapecio
rectángulo circunscrito a una circunferencia, si
la longitud de la rnedlaua es 24 cm.
II Calcula la longitud de la flecha correspondiente
al menor arco determinado por la cuerda
CD = 2.fi. en una circunferencia cuyo radio
mide ,Í3.
IIJ Sobre el diámetro AD de una circunferencia se
construye el cuadrado ABCD. Desde el vértice C,
se traza una recta tangente ql1e uiterseca en Pal
lado AB. Si AD= !6 cm, calcula AP.
A) 1
D) .fj¡z
B) .fi/2
E) n.,
9)F3-I A) 8cm
pj 4cm
B) 6cm
E) 3cm
C) Scm
Logimatic 5
• •• ••
� f .di 77% • 8:44 p. m .
En la figura mostrada, se tiene que
AB + CD=30 m y BC +AD= 50 m. Calcula EF.
(UNI 2014· 11)
Calcula la longitud del exrndro relativo al cateto
menor de un triángulo rectángulo, cuyos catetos
miden 24 cm y 32 cm.
A)Bcm B) 10cm C)12cm
O) 14 cm )!) 16 cm A)8m
M !Om
C) 12 m
D) 14 m
E) 16 m A
I I_
E
e
F D
e
D
o
o
NIVEL
A E) 2,5 u
A) 2.J6
B) 3-J3
C) 4.J2
l)j 4-/3
E) 6.J2
A) 4 u
B) 3 u
C) 2 u
P, 4,5 u
A) r/3
B) r/2
C) 2,
Pl ,.
E) 3r
REFORlANDO
O En la figura mostrada, O es el centro de la
serrucrrcunferencia de radio 12 cm y O' es el
centro de la circunferencia de radio 4 cm. Si
la circunferencia es tangente en A y B a la
serrucircunferencra, calcula AB en cm.
(UN! 2013 -1) �/
�
�
�
e La figurn mucstrn una semicircunferencia con
centro en O. Si AB: 12 u y AC: 15 u, calcula la
distancia de O a la cuerda AH. (PUCP 2006 • 1)
�-.,_oB
V E
e
12
15
IIIIVEL
7
O) 13 Ji1 14
T
;
1.---'H-'-./ / ··--
•
C) 12 B) 11
gimatic S
A) 10
C) 12 cm
D) 10 cm
'A 8cm
REFORlANDO
e En la figura, O es centro de la circunferencia. Si
OC= res el radio y O= 31}, calcula CD.
<UNMSM 2014- lll
O En la figura, EH - PT =8cm. Calcula PT.
A) 16 cm
B) 14 cm
e Se tienen tres cucwúerencias tangentes
exterionnente dos a dos, de radios 1; 2 y 4.
Calcula el perímetro de la región del triángulo
que se determina al umr los centros.
(UNALM 2013 -1)
O En la figura, calcula PB.
A) 2
B) 3
C) 4
pi s
E) 6
• •• ••
� f .di 77% • 8:44 p. m .
8
6
0)6,5
E) 7,2
A) 2
B) 2,5
913
0)3,5
E) 4
C) 6
(UNI 2014 - 11)
A) 30º
B) 36º
f2j 45º
E) 60º
B
D) 54°
j3j 5
e En la figura, calcula ifl.
CD El perímetro de la región del cuadrilátero ABCD :::-.:::::
�
�
e En la figura M es punto medio de AC, y las
circunferencias están inscritas en los triángulos.
51 AB = K1 r, R = K2r, entonces se cumple la
relación:
e En la ñgurn. calcular
B H o
C) 96cm B) 80cm
Ji,1128 cm
� L A
A) 64cm
D) 112 cm
A)SJs
B) Js
C) 2Js
0)5
Ji1 5,ÍS/2 A
A) 2cm
B) 4cm
C) 3,5 cm
D) 2,Scm
Jt1 3 cm
O Se tiene un trapecio escaleno circunscrito a una
circunferencia. Si la longitud de la mediana es
32 cm, calcula el perímetro de la región de dicho
trapecio
e Las circunferencias C1 y C2 de centros O y o.
respectivamente, son tangentes exteriores, y los
segmentos de recta �1A y LA son tangentes a
estas. Si OA = 18 cm y el radio de C1 mide 9 cm,
¿cuánto mide el radio de C2?(UNMSM 2010- II)
O En la figura se muestra una semicircunferencia
de diámetro AB. Si CH= 2BH y BC = 5 u, calcula
la longitud del radio de dicha circunferencia.
(PUCP 2006)
O En la figura, calcula el valor de q.
A) 1 .s-r-r--:
Jll 2
C) 3
0)4
E) 5
C) K1+k'..i.<.!._
K, 2
e
Logimatic 5
B) K1+l c t K, A)
K1 + 1 < 2 K,
D) K
1 +K2 ---<2 K,
84"
NIVEL
O) 54º
C) 60º
A) 72º
B) 66º
Ji1 42°
� e En la figura, calcula <ii-
�
�
�
�
REFORZANDO
� r .di 77% • 8:45 p. m .
•• •• •
En una circunferencia, con centro en P, se
ubican los puntos E y F, tal que EF = EPJ3.
Calcula m ,{_ FEP.
07
11_
C) 3fi cm B) .fw cm
E) 2JJ cm
A) 2,/s cm
pj .ffs cm
Se tienen dos crrcunfcrcncras concéntricas.
El radio de la menor mide .Js cm Se traza
una cuerda en la circunferencia mayor, que es
tangente a la menor y mide 2../fo cm Calcula la
longitud del radio de !a circunferencia mayor.
a
ÁNGULOS EN LA
CIRCUNFERENCIA
C) 25º B) 20°
E) 35º
CAPITULO
A) 15°
pj 30º
A) 10°
A Jl5 20º M 70° ·�· p
C) 30º 60" B) 80° 40° + X
O) 35° o C) 60º
E) 45" D) 65º B
E) 55° e
fJ En la figura, O es centro de la circunferencia.
Calcula x.
{UNALM 2012-1)
El En la figura, A y C son puntos de tangencia.
Calcula la medida del ángulo ABC inscrito en la
circunferencia.
(UNMSM 2010 11)
II En la figura mostrada, las tres circunferencias
son tangentes exteriores. Calcula la longitud del
radio de la circunferencia menor.
A8=25
BC=37
AC=32
e
A)12
B) JI
9)10
0)9
E) 8
4"
w
gimatic 5
El En la figura, calcula ur.
A) 90º
B) 90º + 4>
C) 105º
D) 90" + 24>
f:1120°
_11
D
A) 15º
8) 18°
j2j 30º
D) 36°
E) 45º
•
1
•• ••
� f. .di 76% • 8:45 p. m .
Un trapecio isósceles se encuentra mscnto "<,
en una circunferencia 51 la diferencia de las �
medidas de los arcos que subtienden las bases ��
es 160º, calcula la medida de uno de los ángulos �
;•M•;� q:c,�s, 1
�
En la circunferencia de radio R de la figura,
determina el ángulo a de modo que f= R.
(UNI 2014 - [J) ,,.--..----
D En la figura, calcula ljl.
A) 30°
B) 90°-w
j2j 40º
O) 120º - 2w
E) 50°
m
A) 30°
D) 48°
B) 36°
¡¡j 54º
C) 42°
Los ángulos A y C de un trapezoide ABCD
son rectos. Si 3m ..CBDC = 2m4CAD,
calcula m..CCBD.
a En la figura, calcula 8.
A)45°-p
B) 30º
C) 1Sº+p
p) 36º
E) 45° 28+p
m En !a figura, AO = 10 cm, O y A 1-011 centros de
circunferencias. Calcula CD, en cm.
(UNI 2008 • II)
¡tj 2./5
B) s./5(3
C) 2./6
D) S./6/3
E) 2J7
• •• ••
� "? .di 76% • 8:45 p. m .
11_
e
NIVEL
p
B
A)S
B) 9 F
C) 10
P) 11
E) 13 A
M tso-
B) 160°
C) 120º
D) 140°
E) 150°
A) 231 o
)lj 241
C) 321 10
14
D) 181
E) 331 A 18 e
REFORZANDO
A) 6
B) 2Js
C) 5
D) 3.J5/2
¡;¡ 2
A) 54º O) 62º C) 66º D) 68º ¡;) 72º
O En un triángulo acuttingulo ABC, se trazan !as
alturas BH y CN, tal que m .{NHA = 4.m.{ NCB.
Calcula m.{NHA.
o En la figur�N // AT y CD= DA.
Calcula m NP. (UNMSM 2008 • II)
e En la figura, con centro en cada vértice se trazan
circunferencias tangentes exteriores entre sí dos
a dos. Calcula el producto de las longitudes de
los radios de dichas circunferencias.
O En la figura, EF es tangente a la circunferencia
inscrita en el triángulo ABC. Calcula el
perímetro, en metros, de la región del triángulo
EBF, si AB = 10 rn. BC = 12 m y AC = 11 m.
(UNI 2006 - 11)
e En la figura, By C son cent-ros.
Calcula HA� PH.
D
50
E
A
p
�
E B F
gimatic 5
A) 108°
M 144°
C) 72º
D) 136°
E) 120°
A) 30°
)lj 25°
C) 35°
D) 40º
E) 28°
REFORZANDO
O En la figura, ABCDE es un pentágono regular
tangente en By E a la circunferencia. La medida
del menor arco BE es: (UNAC 2013 • 11)
O En la ñgura, calcula 4'.
A) 30"
)}) 36º
C) -12º
D) 54º
E) 60º
e En la figura, calcula A.
A) 60°
B) 54º
C) 45°
pj 36º
E) 30º
/
� NIVEL
� O En la figurn, calcula O.
,,,.-�� � ;:;�:
� ::::
�
E)l6º
� O En_:: figurn, A !'...'.3 son puntos de tangencia,
m AP = 30° y m PQ = 50". Calcular.
(PUCP 2009)
• •• ••
� r .di 76% • 8:45 p. m .
(UN 1 2011 -11)
D)2 E) 3 9) 1
A) 8 m
J)17m B e
C) 6,5 m o
A r
0)9m
E) 7,5 m
A) H )lj l C) � D) t E) 2,5
extremos de dichos segmentos.
(UNI 2013 -11)
e Dos circunferencias C1 y C2, de centros O y O',
respectivamente, son t<1ngentes exteriormente
en T. Desde O se traza una tangente a C2 en P y
desde O' se traza una tangente a C1 en Q (OP no
se intcrscca con O'Q). Si PQ se intcrsccan 00'
en T, entonces la relación de los radios de dichas
circunferencias es:
e En la figura, r = 12,5 m; AC = 20 m y BC = 15 rn.
Calcula AB. (UNMSM 2015 • 11)
e
e A
CAPÍTULO
08
8) 70"
C) 90"
D) 110º
E) 125°
¡tj 62,5°
REFORZANDO
e En la figura, m .CABC = 70º.
Si O es centro, calcula x. (UNALM 2013 - 11)
B
e En la figura, calcula AC.
!),1 2,(1 + J'i) B
B) ,(1 + JJ)
C) ,(2+-/3)
D)2,(2 + JJ)
E) ,(1 + 2-/3)
e Dos segmentos paralelos en el plano tienen
longitudes de 3 cm y 1 cm. Si la distancia entre
los segmentos es de 1 cm, calcula la longitud
del radio de la circunferencia que pas11 por los
a En el lado AD de un romboide ABCD se ubica el
punto medio M, tal que BM ínterseca a CA en L.
Si AC = 48 cm, calcula LC.
EJ Hes el ortocentro de un triángulo
acutángulo ABC, tal que m .:(. HBC = 2ql
y m4.HAC=54º-<ji.Cakulam4.AHB.
A) 24 cm
O) 36 cm
8) 28 cm
E) 40 cm
$21 32cm A) 108°
pj 126°
B) 116°
E) 135º-•
C) 120° + q>
Logí matíc<s
• •• ••
� r .di 76% • 8:46 p. m .
K es el circuncentro de un triángulo
acutángulo ABC, tal que mL KBA = 4x
y m4KAB=40"-.\.Calculam.CC.
En la figura, 1 es el incentro del .6..ABC. Calcula
el valor de A.
B
A) 33° 2�
B) 32º
C) 31°
D) 30º
m 29º A e
D
A) 40°
O) 52°
8) 44°
E) 48°
!2) 58°
11_
11. Todo triángulo tiene dos baricentros.
111. El ortocentro es el punto de concurrencia de
las alturas de un tri.ingulo.
Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
l. En tocio triángulo, los puntos medios de
sus lados son los vértices de su triángulo
mediano.
H es el ortocentro de un triángulo acutángulo
ABC, tal que HB = 8 -.Js. Calcula distancia del
ctrcunccntro al lado AB.
!2)4-J'i B) 4
E) 2+J'i
A) 4-.Js
D) Js
D
C) FVF pj VFV
E) FFV
A)VVV
D)VVF
a
En la figura, calcula w- O. Las longitudes de los lados de un triángulo son
8; 15 y 17. Calcula la drstancm del incentro al
lado mayor.
D
M 10·
B) 9°
C) 8º
D) 7°
E) 6° 65"
50"
D
A) 6
pj 3
8) 5
E) 2
C) 4
gimatic 5
• •• ••
� 9 .di 76% • 8:46 p. m .
En la figura, H y K son ortocentro y
circunccntro, respectivamente. Calcula 9
a
A) 10°
B) 15°
C) 16º
D) 18º
)il 20°
B
b
e
m En la figura, H y K son el ortocentro y el
circunccntro, respectivamente. Calcula AB.
A) .J3 B
B) 2
CJ ,rz H Js
D)3 K 5
¡;.j 2.J3 A e
11. Tocio triángulo tiene tres ortocentros.
111. El baricentro es el punto de concurrencia de
las medianas.
11:J En las siguientes proposiciones poner (V) si es
verdadero y (F) si es falso:
l. El excentro es el punto de concurrencia de
tres bisectrices exteriores.
A) VFV
D) VFF
B) FVF
¡;.j FFV
C) VVF
lfJ En la figura, calcula O.
A) 5°
pj 6º
C) 7º
D) 8º
E) 9°
REFORZANDO I\IIVEL e En la figura, Kcscircuncentrodel triángulo ABC. Calcula el valor de 4>.
O En el lado AB de un rombo ABCD se ubica el
punto medio M, tal que CM interseca a BD en R.
Si 2RD- BR = 12, calcula BR.
A) 15" B
B) 16Q 42" 2ó
0 18"
K
D) 20" 138"+
E) 22" A e
Logí matíc<s
O H y K son el ortocentro y el circuncentro de
un triángulo acutángulo ABC, de modo que
m 4. KAB = 3$ y m 4.I-IBC = 40 - 2ij¡. Calcula q>.
A'J 8º B) r: C) 6" D) 9º E) l<J'
e
¡;.j 4 D)6
w
8)10 C)B A) 12 e En la figura, 1 es el incentro del t>ABC.Cakula
'V' el valor de ur.
�/ B
�� '/ ,_/".:� A) 96º ,e,,y,-:,.
� B) 9<J' 4P 33 p
� �:
�,�,
• •• ••
� r .di 76% • 8:46 p. m .
11_
e
e
NIVEL
H K
n
A
A) 19"
8) 18"
C) 16"
E) 22"
P' 15"
REFORZANDO
- Se tiene un trapezoide ABCD, tal que
m4CBD = 2m4CAD, m4BCD = 2rn4 ACD y
m ..(80C = 72º .Calcula m4 BAC.
A) 24" ll) 28" C) 32" pj 36" E) 40"
i'J 15" B) 16" C) 18" D) 2CY' E) 22"
e En la figurn, l es incentro y H es el ortocentro.
Calcula 4'.
A) 15 B
B) 16
9) 18
D) 20
E) 22 A
e En los lados BC y CD de un cuadrado ABCD se
ubican los puntos M y N, respectivamente, tal - - -
que BD interscca a MA y NA en E y F, en ese
orden, y m4MAN = 45º. Calcula la medida del
mayor ángulo formado por EN y FM
A) 90" B) 100º C) l [5º D) 125º J?1 135º
CD En el lado AB de un rombo ABCD sc�ica el
punto medio M, tal que MD mterseca a CA en P
51 PM = JO y m 4. APM = 53º, calcula AC.
A) 40 B) 48 C) 56 D) 64 ,El 72
e En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B,
se traza la mediana BM, tal que m 4 AMB = 45" y
m 4.A = 2m 4.C. Calcula m 4.C.
e En la figura, H y K son el ortocentro y
circuncentro, respecnvemente. Si 5HB = 6KB,
calcula r.
e
H
C) VFF
K
A
¡;j VVF
E) VFV
gimatic 5
A)VVV
0) FFF
E) 5.Jfs A
A)16cm
B) 15 cm
Si 3KA + 2HC =60cm, calcula HC.
B
C) 14 cm
P) 12cm
E) 10cm
REFORZANDO
A) 23º B) 25º C) 27" ¡,j 3CY' E) 37"
lll. El incentro, el ortocentro y el excentro de
un triángulo son colineales.
A)15
B)SM
C) 16
pJsm
O En las siguientes proposiciones poner (V) si es
verdadero y (F) si es falso:
l. En todo triángulo se puede determinar el
triángulo mediano correspondiente.
11. Un triángulo rectángulo no tiene trifogulo
órtico.
O Se tiene un trapezoide ABCO, tal
que m&.BAD = 2m4CAD = 74° y
m&.AOC = 2mLBOC = 46º.
Calcula la medida del ángulo CBD.
O En la figura, G y K son el baricentro y el
circuncentro, respectivamente. Calcula GA.
• •• ••
� 9 .di 76% • 8:46 p. m .
_11
a
7,x
x+ 15
A) ./Jo Jl)' 5
14 -X
x+ 10 P,
C) 2./s D) 10 E) 5./s
11
E) 15
CAPfTULO
En la figura, 2'1 11 .P2 II .P3. Calcula el valor de .t .
.2.'1
D
A) 1
54
11 + X
6) .J6 C) 2
p •
7x
30+ 2x
D) Js J?l 3
El En la figura,CE// 13F // AG, OC =4 cm, BC = 5 cm,
Al3 = 6 cm y FG - DE= 3 cm. Calcula EF.
D (PUCP 2007)
�7,Scm
B) 6cm e E
C) 8 cm 6 F
D)9crn
E) 8,5 cm A e
En la figura, 9'1 // .Pz- Cale u la el valor de x.
El
A)9
pj 12
B) 10
E) 13
C) 11
A) .ff4
0)5
B) 4
¡¡j 3ffi
Logí matíc<s
Se tiene un triángulo ABC. cuyos lados AB, BC
y AC miden 12; 16 y 21, respectivamente. Si se
traza la bisectriz interior BN, calcula NC
I es el incentro de un triángulo ABC. Se traza
la bisectriz interior CN, tal que JC = 4.Ji4;
AB = 63; BC = 28 y AC = 56. Calcula IN.
• •• ••
� 9 .di 76% • 8:46 p. m .
En un triángulo ABC, las cevianas internas AE y
BF se intersecan en P, tal que PB = 24; EC = 2EB
y 3FA = SFC. Calcula PF.
En un triángulo ABC se trazan las ccvianas
internas AD, BE y CF, concurrentes en V, tal
que BC = 20C, 3AC = SEA y ve - VF = 15.
Calcula VF.
A) 18
D) 27
B) 20
J2j 30
C) 24
A) 15
D) 10
B) 14
J2j 9
C) 12
11_
En un triángulo ABC, se trazan las ccvianas
internas AL, BM y CN, concurrentes en V,
tal que AB = 3NA; BC = 4LC y MA - MC = 6.
Calcula MC.
En la figura, AD 1/ EF y FO 11 AB. Calcula EC.
A) 5 B
B) 6
C) 7
X D)S
J2j 9 A e
m
C) 10 B) 8
E) 14
A) 6
pj 12
D
Las regiones, del triángulo equilátero ABC
y el cuadrado CDEF tienen igual perímetro.
Se prolonga BD hasta L, tal que DL = 8.
Calcula BD.
En la figura, Tes punte de tangencia. Calcula x. a
A) 4
pj 16/3
B) 14/3
E) 6
(UNALM 2015 -ll)
C) 5
A) ./fo
JlÍ 4
C) ./is
D)S
E) 2./6
T 5
Í\�2�4"--:x:-fA!o l 6_+_j x B
E 2.r+S
F
gimatic 5
• •• ••
� 9 .di 76% • 8:46 p. m .
O En la figura, 2'1 // 91211 Jl'3. Calcula el valor de h.
E) 6
I\IIVEL
D) 18 J1j 20
D)7
C) 15
B
�
A P C T
B) 5
B) 11 A) 6
A) 10
A) 11 cm B
�
B) 9cm
C) 45/4cm
P155/4 cm
E) 25/2cm e M A
B) 4cm
gj 6cm
0)7cm
E) 8cm
REFORZANDO
e En el gráfico, m 4.ABM = m 4.MBC = m 4.MCB.
Si el perímetro de la regiónABC es 45 crn,
BM = 9 cm y CA = 20 cm, calcula A B.
(UNMSM 2006 -n
O En un triángulo ABC, se trazan las cevtanas
internas AD, BE y CF, concurrentes en V, tal
que AB = 4FA, 380 = 4DC y VB - VE = 10.
Calcula VE.
O En un trtángulo ABC, se trazan las brsectrtces
interiores 130, DE y DF de los ángulos ABC,
ADB y BDC, respectivamente (0, E y F puntos
1 del triángulo). 51 FC = -BC· BF = 12· AE = 5 5 1 1 ,
calcula AB (UNI 2008 - ll)
O En la figura AN = 24 cm, NB = 8 cm, RT = 12cm
y AP = PT. Calcula RN.
A)2cm
E
E) 4
(PUCP2006)
e
B
D)O
D
X
F
A
C) 1 Jl1 ' A)3
A) 60"
Jl1 30"
C) 37"
D) 25"
E) 15"
valordex.
A) 2 .!í",
B) .J6 6 b+3 ((2
C) 4
D) Juj b+4 3b-3 9' '
M6
REFORZANDO
e En el triángulo ABC, 80 es bisectriz interior,
donde el punto O se ubica en AC. Por C se traza
CF perpendicular a AC. Luego se traza FA y
después se traza DE paralela a CF con E en FA.
Si AB = 5; BC = 4 y EF = 3, calcula el valor de AE.
(UNALM 2014 -1)
A) 3,25 B) 3,45 C) 3,55 D) 3,5 M 3,75
O Se tiene un triángulo ABC, cuyos lados AB, BC
y AC miden 8; 10 y 12, respectivamente. Se traza
la bisectriz interior AN, tal que NC = q y NB = l.
Calcula q-1.
O La figura muestra un triángulo equilátero ABC,
AF BE 1
donde DE// AC y AB = BC = 3· Calcula el
e En un triángulo cuyos lados miden 36 cm, 54 cm
y 70 cm, se traza la bisectriz del ángulo opuesto
al lado mayor. Calcula la diferencia positiva
entre las longitudes de los segmentos que esta
bisectriz determina sobre dicho lado
18cm
<z-.
� w @ pé¡14cm @ D)lOcm
�
B) 16 cm
E)
(UNMSM 2015 · 11)
C) 12cm
41) En la figura, Tes punto de tangencia. Calcula el
valor de.\.
A)4
B) 2.J6
C) 5
D)3.J5
M6
Logí matíc<s
• •• ••
� � .di 76% • 8:46 p. m .
G) En un triángulo ABC (AB = BC) se traza la
bisectriz AH (H en BC ). Si AC = 24 cm y
m..íABC = 74", calculalH (1 incentro).
11_
C) .[i;b
E) 72/11 cm
)J} 30./s/11 cm
B) 2nb ,+b
2abv'3
E)--
a + b
�
M30AH028N
A) 62/9 cm
C) 66/13 cm
O) 32/s /13 cm
p.j�
,+b
,b./3
0)- ,+b
A) 8
B) 9
C) JO
O) 11
)1j 12
e En la figura, Tes punto de tangencia.
Calcula AH.
e En un triángulo ABC se tiene AB = n, BC = b
y m ¿ ABC = 120. Calcula la longitud de la
bisecriz interna Bi-: F en AC.
CAPÍTULO
10
REFORZANDO / � NIVEL ��... ---- � W' En la figura, 2i 11 2-'2 11 9'311 .2?�
� ;;':"laelvalocdeb _3'_+_1_/+ '-f-,--!//� ::
§§§§ ¡2J .+b / rl !//
� �:; 13-;/ rl w:
V • En un triángulo ABC, isósceles,
AB = BC = 6(Js + 1) y m 4.A = 72. Calcula /\C.
A) 6(Js -1) B) 6 C) 3(Js + 1)
0)9 )ij12
En los lados AB y AC de un triángulo ABC se
ubican los puntos L y M, respectivamente, tal que
MA = 12; AB = 30; BC=25y m4MLA = m z C.
Calcula LM.
En el lado AB de un rectángulo ABCD se ubica
un punto H, tal que HC interscca a BD en T. Si
2TC = 3TH y 2HB + 8HA "'60 cm, calcula HA.
a
A) 32
0)18
B) 28
)ij 10
C) 24
D
A) 6cm
D) 12cm
J35 5 cm
E) 15 cm
C) 10 cm
gimatic 5
_11
El
A) 49/3 m
B) 46/3 m
C) 15m
D) 14m
Jt5 43/3 m
•
A Q
•• ••
D
� 9 .di 75% • 8:46 p. m .
Las longitudes de las bases de un trapecio "<,
rectángulo son 9 y 27. Calcula la distancia del �
:�::�:='�tecse::·:�5:e las d,ag;�:::: al meno, �
D) 6,25 ¡;j 6,75 �
�
�
La figura mostrada, ABCD es un rectángulo. 51
CP = 8 m¡ DP = 4 m; BQ = 15 m, calcula AD.
(UNAC2015-l)
B C
r.:
a En la figura, Ges barkcntro del óABCy
AB- PT = 8 cm. Calcula PT.
a En la figura, calcula el valor de x.
(PUCP 2012)
A) Scm B
8) 10 cm p
C) 12 cm
D) 14 cm e
)i:116 cm A
A)2-ÍS
B) 2 .J3
C) 17 /ll
µ) 5/2
C E) 10/3
El
A)4
D) 3F,
)lj ,.r,
E) 3
C) 6
IJ
A) 10 cm
O) 25 cm
M !Scm
E) Scm
C) 20cm
En un triángulo ABC, se traza la ceviana
interior BH, tal que 2HA = 7HC;
m 4.HAB = m4HBC y BC = 6. Calcula HC.
En los lados AB, BC y AC de un trifogulo ABC
se ubican los puntos D, E y F, respectivamente,
tal que FO n AE = lTI; or II BC;
3TD = 7TF y EB - EC = 20 cm. Calcula EC.
Logí matíc<s
• •• ••
� r .di 75% • 8:47 p. m .
En los lados AB y AC de un triángulo
rectángulo ABC, recto en B, se ubican los
puntos P y H, respectivamente, tal que AH = 10;
AP = 12; HC = 20 y PH _l_ AC. Calcula PB.
X
x+24
11_
E) 50 D) 45
x+ 120
B) 35 ¡2j 40 A) 30
En la figura, ABCD es un trapecio isósceles.
Calcula el valor de.\.
m
B) 12
E) 15
A) 11
D) 14
En la figurn se tiene una semicircunferencia con
diámetro BF, donde Des un punto de tangencia.
Si AD= 3 cm, EC = 2 cm, calcula AC (en cm).
(UNI 2010 11)
m
¡,t) 6,0 B
B) 6,4
E C) 6,B
D)7,2
e E) 7,6 A D e
B
En la ñgura, AB = Scm; BC = 6 cm y AC = 7 cm.
Si DE II AC y 80 = EC, calcula DE.
(UNMSM 2008- IJ)
A) 35/11 cm
B) 3,5 cm
C)3cm ºJ-����-----'�
0)41/llcm
J2j 42/11 cm A
O En la figura, LBMN es W1 rombo; AB = 18 cm y
BC = 36 cm. Calcula MN. 9)" 16cm B) 14 cm
E) 24 cm
�
A N C
A) 12cm
D) 20cm
pt)12cm
B) 10cm
C) 9cm
D) 8cm
E) 7cm
O En los lados AB y AC de W1 triángulo ABC se
ubican los puntos E y F, respectivamente, de
modo que el segmento EF es paralelo al lado
BC y contiene al bancentro G del triángulo
ABC. Si 3EF- BC = 24 cm, calcula EF.
NIVEL
B) 7
E) 10
gimatic 5
A) 6
D) 9
REFORZANDO
e En los lados AB y AC de un triángulo
ABC se ubican los P y T, respectivamente,
tal que TC = 3PB; AB = 3AT = 18 y
m 4TPA = m .{TCB. Calcula PB.
• •• ••
� 9 .di 75% • 8:47 p. m .
o
T
e
11-5
E) 7
D
C) -J375/2
11+7
NIVEL
J>l 8
B) JO
A
B) 10 C) 9 A) 12
8) 10 cm
C) 7cm
pj Scm
E) 6cm
D) 11 E) .f:fio /2
A) 12
8) 11
C) JO
0)9
¡¡j 8
A) 15
B) 20
C) 25 211
D) 30
¡¡j 35
REFORZANDO
e Se da un triángulo ABC cuyos lados AB y BC
miden 8 m y 6 m, respectivamente. En AB
e En la figurn, calcula el valor de 11.
e En la figura, Hes centro del cuadrado ABCD. Si
NC +TO= 24, calcula TD.
O En los lados BC y AC de un triéngulo
rectángulo ABC, recto en B, se ubican los
puntos E y F respectivamente, tal que EF .l AC;
EB=:t-l;EC=x+ l;FC=x y FA=2t>-l.
Calcula AC.
e En un triángulo acutángulo ABC, se traza la
altura BH, tal que HA = 4; HC = 15 y BH = 12.
Calcula la longitud del ch cunradio del
triángulo ABC.
e
b
C) 10-Js cm
E
D
� A T C
m .{A= m ZD:
AB = 4./s an y CD= sJs cm. Calcula AD.
A) 6cm
B) 9cm
9) 12cm
D) 15 cm
E) 18 cm
A) 1 /12
B) 1/22
3.r
C) 1 /32
)>11/42
E) J /52
A)5
Jlj 8
C) 6
D)9
E) 7
REFORZANDO
• En la figura, calcula .!_ + !. n b
O En la figura, la recta 9' es tangente a la
circunferencia y paralela al segmento DE.
5¡ AD= 12¡ AE = 10 y CE= 14, calcula BD.
O En el lado AD de un trapezoide ABCD
se ubica un punto N, tal que NA= NO;
mLABC = 2mÁABN; m;f_BCD = 2mL.NCD,
o En la figura, 2PH = 3HT y 3NB - 2NA = 30 cm.
Calcula AN.
<z-. 8-: *120cm B) 18cm @ D) 16cm E) 15cm
� O En la ñgura � ª f; BE a 1 m y AD a 6 m
�
Calcula CE (UNM5M2014-J)
�
_11
• •• ••
� 9 .di 75% • 8:47 p. m .
11_
se ubica el punto D. 51 m.i!'.BAC=m4BCD,
(UNI 2009 -1)
e En un rectángulo ABCD, M y N son puntos
medios de los lados BC y CD, respectivamente,
tales que AM = 2.fi cm y BN = .Jfi cm. Si Pes
el punto de intersección de los segmentos AM y
BN, entonces el valor de PM + PN, en cm, es:
B) 2fi. + 2..Ju
5
pj 2fi. +3Jfi
5
A) 2J'i. + Jfi
5
C) 3fi. + Jfi
5
E) 3fi. + 3Jfi
5
H D
C) 4,5 m
A Q
M C) 3cm
B) 2cm
D) 6cm
zj 4cm
RELACIONES MÉTRICAS EN
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
CAPÍTULO
11
C) 83 B) 92
E) 77
A) 90
pj84
En un D..ABC, recto en B, está inscrita una
circunferencia t,mgente a la hipotenusa en el
punto T. Si AT = 24 y TC=36,cakula la suma de
las longitudes de los catetos.
(UNALM 2012 - (1)
a
B
�
A H M C
En la figura, AM = MC y AB = ./6 cm.
Calcula AT.
A)1cm
B) Ji cm
C) 2cm
pj J3 cm
E) 3cm
a
D En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,
se traza la altura BH, tal que HA - 1 = 2HC y
BH + HC = 10. Calcula BH.
a Las longitudes delos catetos de un triángulo
rectángulo son Ju. y .fi4. Calcula la longitud
de la altura relativa a la hipotenusa.
A)9
pj 6
B) 8
E) 5
C) 7 A) 2
pj 2fi.
B) .J6
E) 4
C) 3
gimatic 5
• •• ••
� r .di 75% • 8:47 p. m .
_11
Los lados de un triángulo miden 7¡ 38 y 39.
Aumentados en x la longitud de cada uno de
los lados, el triángulo se transforma en uno
rectángulo. Calcula el valor de x.
r
p
B
u+S
C) 5..ÍS
H u+l
Jl1 13
E) 4,ÍS
211+4 A
En la figura, calcula el valor der.
A) 6..ÍS
O) 12
IJ
C) 3 )lj 2
E) 6
A) 1
D)4
a
(UNAC2012-IJ
II En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
cumple que (AC)2 = 4(AB)(BC). La medida del
menor ángulo es: (PUCP 2011)
A) 1 .J:r + 1
B) J, I<) 15º B) ·1s0 C) 30º
4 D) 37º E) 35º
¡2j 2
D) .fj 3
E) 3
X
II En la figura que se muestra,
calcula el valor de .l'.
En la figura, 3HA = 2HB y PB = .fio.
Calcula AB.
B) 3.J2 ¡2j 3
E) 2
----,>--
/// _
, 12
'
En la figura, cale u la el valor de 1.
A)4
D) 2'3
B
r----
A
A) 10
B) 4.fj
C) 9
P1 sJ,
E) 8
D
'--"- ..... ,=J 1 -
1
• •• ••
� 9 .di 75% • 8:47 p. m .
Por un punto P, que dista 10 cm del centro de
una orcunfercncta de radio 6 cm, se trazan
tangentes a la circunferencia, denotando por
Q y R a los puntos de tangencia. Determina la
longitud de QR.
A) 9,8 cm
D) 8,8 cm
B) 8,6cm
E) 4,Son
(UNMSM 2009 - I)
SZ, 9,6 cm
l!J En la figura mostrada, M; N y P son
puntos de tangencia. O y O' son centros de las
circunferencias. Si PM = 2PN, calcula r'/r.
(UNJ 2007 -11)
A)2 M N
B) 3
e' ' 9l4 o· p o
D)S
E) 6
11_
O En un triángulo rectángulo ABC, recto en C,
se traza la altura CH. Si AC =by BC = n,
calcula (HA)(l-18).
C) 4
C) 8
I\IIVEL
B) 6)2
E) 7
B) 3.Js
E) 6
A)S
))) 2-/io
A) 9
))) 3.Js
REFORZANDO
O En un triángulo rectángulo ABC,
la altura relativa a la hipotenusa
O En la figura, BC = n y AC = b. Calcu�la
longitud de la proyección de HC en BC, en
términos de a y b.
A) .Jriij B
B),'!b
�
C) ab/(a + b)
D)lr/, _
J2'5 a3/&2 A H C
O En un tm'ingulo ABC se traza la ceviana interior
BN, tal que NA= 8; NC = 10; BC = 15 y NB = AB.
Calcula AB.
O En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
traza la bisectriz interior BN (N en AC) tal que
NA= 3 y NC = 1. Calcula 2AB- BC.
E) 8
¡zj 132
I\IIVEL
D) 7
E) 2(a2 + b2) ,'Ir
a2 · Ir B)--
02_¡,2
C) 6
B) 126
E) 140
gimatic 5
A) 122
D) 136
D)-Íob
a2 · Ir
M a2+b2
C) _!!J!_
,+b
REFORZANDO
O Los lados de un triángulo miden 17; 40 y 42.
Disminuidos en x la longitud de cada uno de
los lados el triángulo se transforma en uno
rectángulo. CakuJa el valor de x.
e En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
encuentra una circunferencia inscrita, tangente a
la hipatenusa en el punto P. Si PA = 55 y PC = 6,
calcula el perímetro de la región ABC.
• •• ••
� 9 .di 75% • 8:47 p. m .
B
y determina dos segmentos parciales cuyas
longitudes son proporcionales a 2 y 3.
Calcula BC.
A) 18,1
B) 17,2
10 14 �
A B
�
:::·'
�
E)26,2 O e
�
G) Enlafigurn,AP•2cmyBC,8cm
��
Si AP+ AB= PC + BC, calcula PC.
���
(UNMSM 2009 - 11) �
NS cm B
(PUCP 2015)
B) 8 A) 2.Jfi.
D) 9 E) 2./w
e En la figura, AC es diámetro, BA es tangente,
80 = 2 y CD = 8. Calcula EF.
(UNALM 2014-11)
_11
A) 2,4
e
e p
B
A
A
B) 6cm
C) 7cm
D) Scm
J?1' 4 cm
¡>) 12
B) 14
C) 16
0)10
E) 9
e En la figura, si AF = l cm; EC = 8 cm, entonces el
perímetro de la región del rectángulo FBEH, en
cm, es: (UNAC 2012- Il
e La figura muestra una semicircunferencia donde
GF = 9 m y FO= 7 m. Calcula EF, en metros.
(UNI 2010 - 11)
e
e
E
D
E) 6,Scm
D) 6cm
C) 7cm
B) 2,6 F
C) 3,0
pj 3,2
E) 4,8 A E
J3j 8cm
A) 7,Scm
O En la figura, AB + AM = 12 cm y EM = 5 cm.
Calcula MB. (UNMSM 2007-1)
B
G) Les diegonales de un trapecio rectángulo ABCD,
recto en A y D, se íntersecan perpendicularmente
en E. Si AD= 3 m y AE = l m, determina (en m)
la longitud de la proyección de BC en OC.
(UNI 2010 - 11)
A) 1
B) 2
¡zj 3
0)4
E) 5 A
D
F A E) li2=2a2_¿.
e En la figura, ABCD es un cuadrado. Si BE= a;
EF = b y FO= e, delermina [a relación entre a, b
y c. (UNMSM 2015- 1)
B C
E[1]
C) 9 B) 21"2
2
D) 10 E) 11.J2
REFORZANDO
<z-.
� w IIIIVEL @a, En la figurn, ABCD es un cuadrado.
@ Cakula DE. (PUCP 20131
�
� 9 .di 75% • 8:47 p. m .
•• •• •
Los lados de un triángulo miden 13; 15 y 8.
Calcula la diferencia de las longitudes de las
proyecciones de los mayores lados sobre el
menor.
12 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
C) 6-ÍS B) 2$ /3
E) 3-Í6
� 3l35/2
D)Sffi/2
Los Indos de un triángulo miden 11; 13 y 16.
Calcula la longitud de la menor altura
a
11_
0)6 C) 5 B) 4
CAPITULO
A) 3
Los lados de un triángulo miden 6;9 y 13. Cale u la
la suma de las longitudes de las proyecciones de
los mayores lados sobre el menor.
Los lados de un triángulo miden 15; 12 y 9.
Calcula la longitud de la mayor bisectriz
interior.
D
A) 13/3
P) 4-1/3
B) 23/3
E) 14
C) 11
El
A) 10
P) 4Jjo
B) 3Ji4
E) 12
C) 11
Los lados de un triángulo miden 8; 13 y 17.
Calcula la longitud de la mayor mediana.
Los lados de un triángulo miden 7; 9 y 14.
Calcula la longitud de la bisectriz exterior
relativa al lado que no es mayor ru menor
B
A)14
D) -fiij
�j .fm
E) 13
C) 15
a
O) 6-12
O) 6f3 E) 10
C) 9
gimatic 5
• •• ••
� 9 .di 75% • 8:47 p. m .
_11
D Segun el gráfico, AB = 7 m; BC = 5 m y
AC = 6 m. Calcula la longitud de la altura
relativa al lado AC.
(UNALM 2015 • 11)
A)3 B
B) "3/3
l2l 2"6
0)4
E) 3"3 A e
A) 11
¡;,j 2./s?
B) 2./47
E) 15
C) 13
Las bases y un lado lateral de un trapecio
isósceles miden 8; 16 y 10, respectivamente.
Calcula la longitud de una de las diagonales.
a
A) 3J2
pj 5
A) 10./s
p) 25
B) 4
E) 2./s
B) 20
E) S-/fü
C) 2"3
C) 9"6
m
A) 2J2
D) 1sJ2¡4
A) 6
JJ1 12J2;5
E) 4J2
E) 8
(UNT 2007 - ll)
C) 3J2
C) 7
a Los lados AB, BC y AC de un triángulo
ABC miden S; 6 y 7- respectivamente. Si la
circunferencia inscrita en el tri.:íngulo es tangente
en Tal lado BC, calcula AT.
En un triángulo rectángulo ABC, recto en 8,
80 es bisectriz interior. Si BC = 6 y AB = 4,
entonces la longitud de BD es:
Los lados de un triángulo miden 30; 14 y 40.
Calcula la longitud del circunradio.
Los lados AB, BC y AC de LU1 triángulo
ABC miden 12; 6 y 8, respectivamente. Si la
circunferencia exinscnta relativa al lado menor
es tangente en Ta la prolongación del lado AC,
calcula BT.
• •• ••
� 9 .di 75% • 8:48 p. m .
11_
C) 13/5
C) 12
NIVEL
(UNALM 2013- ll
B) 4.J2
E) 5
J35 2ffi
E) 11
hipotenusa.
A) 13
D) 3-J'i'i
A) 6
pj3Js
REFORZANDO
A) 13 B) 16 yj'26 D)37 E) 39
A) 11 B) 15 C) 17 D) 20 Jij 23
e En la figura, PH = PB; AD= 8 y BC = 15.
Calcula CD. e
e En un triánguloABC, AB= 18; BC= 12y
rn ;{ABC = 120°. Calcula la longitud de la
bisectriz interior BN (N e AC).
A).!-'. B) 9,6 C) l2. pj 7,2 E) !l.
2 2 2
e En un paralelogramo ABCD, BC = 11; CD= 9 y
AC = 16. Calcula BD.
C, En un triángulo rectángulo 1<1 relación de los
cuadrados de las longitudes de los catetos es
5/8, y la proyección de la mediana sobre la
hipotenusa mide 3. Calcula la longitud de la
e Se tiene un trapezoide ABCD donde AB = 20;
BC "' 22; CD= 18; AD"' 12 y m;f.BCD = 90º.
Calcula la longitud de la proyección de BDen AD
C) 9
D) 2ffi E) -'-
3 2
B) 3./i3
E) B
A)2
A) 10
p¡2m
REFORZANDO
e En un triángulo ABC, AB = 5 y BC = AC = 10.
Calcula la distancia del incentro al vértice A.
e En un trapezoide ABCD se ubican los puntos
medios L, M, N y P de los lados AB, BC, CD
y AD, respectivamente. Si AC = 18 y BD = 14,
calcula (LN)2 + (MP)2.
A) 130 B) 150 C) 180 D) 220 Jij 260
O En un triángulo isósceles ABC, se traza la
cevíana interior BN, relativa a la base AC, tal
que NA= 4; NC = 6 y NB = 8. Calcula AB./
� NIVEL
� O Las longitudes de los lados de un t,iángulo son
�
:�;g::a: i�:�,��cula la medida de uno de los
�
A) 30° B) 37° C) 45° pj 53° E) 60°
� 8 EnunrriánguloABC,lamedianaAMyelladoBC
� son congruentes. Si (AB)2 + (BC)2 + {AC)2 = 350,
� calcula AM.
A) IS B) 14 C) 12 D) 11 Jij 10
r
A) 16 B
J;) 17 p
C) 18 H
D) 19
E) 20 A D e En la figura, calcula el valor der.
A) 19
B) 22
C) 25
D) 28
Jij 30
C) 9 ,Bl 2ffi
E) 10
gimatic 5
A) 8
D) 3.JlS
REFORZANDO
e Las longitudes de las bases de un trapecio son
6 y 16 y las longitudes de los lados laterales, 9 y
11. Calcula la longitud del segmento que une los
puntos medios de las bases.
O Las longitudes de las bases de un trapecio son
5 y 13 y la longitud de los lados laterales, 7 y
9. Calcula la longitud de la altura de dicho
trapecio.
• •• ••
� r .di 75% • 8:48 p. m .
_11
RELACIONES MÉTRICAS EN
LA CIRCUNFERENCIA
C, Se tiene un triángulo ABC inscrito en una
circunferencia. Si las proyecciones de los lados
AB y BC sobre el diámetro BF miden 6 m y 9 m,
respectivamente, calcula la altura, en m, relativa
CAPÍTULO
13
Desde un punto P, exterior a una circunferencia,
se trazan la recta tangente PT y la recta secante
PMN, tal que PM = 4MN = 16. Calcula JY!'.
A) 20 B) 9"3 C) 18
P) 8./s E) 16
A) B
B) 12
C) 10
D) 13
m 15
e En la figura, calcula el valor der.
D
C) 10
(UN12007-II)
(lÍ 3.J6 B) 2.J6
E) 5 .J6
B) 5.J2
¡¡¡ 15
al lado AC.
A) .J6
D) 4.J6
En una circunferencia, las cuerdas EF y MN se
intersecan en P. Si EP = 10; PF = 15 y 2PM = 3NP,
calcula PM.
A)5
D)5,Í3
a
u Desde un punto H, exterior a una circunferencia,
se trazan las rectas secantes HCD y HEF, tal que
HC = 6; HD =9 y HF = 3HE. Calcula EF.
A) 7 /JI «Ji C) 8
D) 4,/3 E) 6
a En una circunferencia, cuyo radio mide 20, se
tienen las cuerdas AB y CD que se intersecan
en P. 51 {AP){PB) = 231, calcula la distancia del
centro al punto P.
(UNALM 2012 - 11)
A)IO
D) 15
B) 12
E) 17
Logí matíc<s
• •• ••
� "? .di 75% • 8:48 p. m .
0)15 E)18
Desde un punto E exterior a una circunferencia
se trazan la recta tangente ET y lo recta secante
EAB, tal que EB = 4EA y ET= 24. Calcula EA.
11_
B) 9 A)6
D En la figura, calcula R.
A) .J2
¡,¡ .Jj
C) 2
D)Sl
E) 3
II En la figura, a2 + Ir + c2 + dl = 300.
Calcula R.
A)15
B) 2.fio
C) JO
DJsjf
E) 5
a En la figura, calcula PH.
A)J H
p
B) .J2 3.J2
C) .Jj 3.J2
0)2 A o<, B <,
ftJ -16 ·,
IJ Las bases de un trapecio isósceles miden 4 y 11,
y las diagonales miden 12. Calcula el perímetro
de la región de dicho trapecio.
ll!J En una cuerda EF ubicada en una circunferencia,
cuyo radio mide 12, se ubica un punto P, tal que
PE= 8 y PF = 10. Calcula la distancia de Pal
centro de dicha circunferencia. ;><) 35
O) 40
B) 36
E) 4.2
C) 38
A) 4.J2
0)6
11)' 8
E) 2-ÍS
C) 3-J3
gimatic 5
• •• ••
� "? .di 75% • 8:48 p. m .
En una circunferencia de 10 cm de radio, dos
cuerdas se cortan de manera que el producto de
los segmentos que cada una determina sobre sí
es 1296 crn+, Determina agué distancia (en cm)
del centro se halla el punto de intersección.
(UNI 2011 - 11)
_11
m
A)5
P) 8
B) 6
E) 9
C) 7
ABCD es un cuadrilátero que se encuentra
inscrito en una circunferencia, de modo que
AB = BD = AD; AC = 7 y BC = 3. Calcula AD.
A) 5 B) .J33 C) 6
PI ffi E) 7
8
"
6
"
15
Logí matíc<s
C) 100
D)4,f,rn
E) 3)523
A) 6 .r,_
B) 4 .J2 2 4
C) 7 -, ' ' -, R
p¡,154" ',,
E) 8
A) 24
B) 28 '
C) 30 1 ' ' ' ' <, r
D) 35 b '
Ji1 37
REFORZANDO
e En la figura, ab = 1225. Calcula,
O En la figura, calcula 2R.
O En la figura, calcular· !l.
¡){) 6)385 -----
B) 5)395
NIVEL
A
A) 2
B) 3 x+2
l2l 4 x-1 8
0)5 X
E) 6
A) 10 p .r+S T
( B) 9 x+l
C) 8 E
¡;¡) 7 x+3
E) 6 F
REFORZANDO
O En la figura, calcula el valor de x.
O En la figura, BH = 2. Calcula HT.
B C
e En la figura, Calcula el valor de X.
• •• ••
� r .di 75% • 8:48 p. m .
11_
H
35
•
p
15
A)B A B C D
B) 7
C) 6
pj 5
E) 4
C) 40
pj 42
E) 44
l'<J 13
B) 12
C) 1!
D) 10
E) 9
A)14
B) 13
C) 12 A
D) 11
Jil 10
M
(UNI 2009 • IJ)
e En !<1 figura, les incentro de 6ABC. Calcula AC.
A) 36
B) 38
e En la figura, calcula el valor de r.
a, En la figura, AB = 10 y CD = 15.
Calcula BC.
e En la figura, BD es diámetro de la circunferencia
de centro O, MN tangente, BM secante. Si AB = 5
y MN = 12, calcula BM.
NIVEL
gimatic 5
Calcula BM. (UNMSM 2008- 11)
B
A) Scm M '-' B) 7cm -, ' ',,O N
yj'4cm
l'
D) 6cm A e
E) 8cm Q
A) 36
96
B) 33
C) 30 ,' - - - JJ) 27 ,'
E) 24
REFORZANDO
A) 7
B) 6
C) 5
)'!)4
E) 3
4D En la figura, QP = 2PC, AP = -l cm,
QP + NB = 6 cm y AB = 2BN.
O En la figura, calcula el valor de x.
e En la figura, 5a = 4b. Calcula 2n- b.
:::::-::: O En la figura mostrada, calcula RA, en cm, si
� :::;:::·:·-"":
·-·- u
�
ft>b'J,-b R
� r: . ' W O Las bases de un trapeoc isósceles m,dcn 10 y
� 40, y los lados laterales miden 21. Calcula la
longitud de la diagonal de dicho trapecio.
A) 23 B) 25 C) 27 pj 29 E) 31
• •• ••
� r .di 75% • 8:48 p. m .
L1 longitud del apotema del hexágono regular
es 9 cm. Calcula ta longitud de su lado.
_11
a
A) 3.fi. cm
D) 3,Í6 cm
)n 6J3cm
E) 2-./6 cm
C) 6.fi. cm
11
CAPfTULO
14
En la figura, AB = 2.fi.. Calcula d.
A) 1 +Jz
'
B) 4-J'i. -, -. ' ' <;l'J2+J'i.
d
D) 3-J'i. A
E) J,.
45"
En el gráfico, PQ = 8. Calcula el perímetro de la
región del hexágono regular ABCDEF.
Q E
"
A
A) 10
B) 11
<;l'J 12
D) 13
E) 14
El
120"
En la figura, calcula AB.
A) 8
B) 4,/J cm
C) 12
P1 8.J3
E) 16
D
B En una circunferencia, las cuerdas AB y AC
son los lados de los polígonos regulares de 15
y 20 lados, respectivamente. Calcula la medida
del mayor ángulo CAB.
IJ En una circunferencia, EF es una cuerda de
12 cm de longitud que subtiende un arco de
120". Calcula la longitud de la cuerda MN que
subtiende un arco de 30".
B) 3Jz + .J3 cm ¡,) 159"
D) 150"
B) 156º
E) 148"
C) 152º A) 3,Í6 cm
C) 4.J3 cm
D) 3.J4-2-.J3 cm p!5 4J6-3J3 cm
• •• ••
� r .di 75% • 8:48 p. m .
11_
A
B
En la figura, ABCDEF ... es un polígono regular
cuyo lado mide 2 cm. Calcula PF (en cm).
(UNJ 2011 • JI)
A)4.J3
)lj 2.fü
C) 3-16
D) 6-J2
E) • -16
IE
B) 3J2 + .J3
La base de un triángulo isósceles mide 6 Ji. y
los ángulos internos congruentes miden 75°.
Calcula la longitud de los lados laterales.
A) 2J2 + .J3
C)4�
D) sJ3 + 2Ji
a De la figura, calcula $
A) 145º
)lj 148"
C) ISO"
D) ISO"
E) 154°
,..,
m Calcula la longitud del lado de un polígono
regular de 32 lados inscrito en una circunferencia
cuyo radio mide 2.
B) 2EJi
C) 4J,;7,_
P'J 2)2 - J2 + EJi. E) 2)2 + )2 - J2 + Ji
II En una circunferencia cuyo radio mide 4, calcula
la longitud de una cuerda que subhende un arco
de 144".
m Las medidas de los ángulos internos By C de un
triángulo ABC son 150º y 12º, respectivamente,
y AC "' ..fi + .fío. Calcula BC.
B) 4J10-2Js pi'¡2J10 + 2Js
C)2J5+ Js
D)4Js-Js E) 2"5
A) .Ji
D)2--J2
B) 2
;lj 2./i
C)l+./i
'V
�
�
gimaticS
�
• •• ••
� � .di 74% • 8:48 p. m .
I\IIVEL
Ü\
\,._
O) 5
E) J_ 10_+_2_Ts_ 5
A) 1
p'J -1- 10---,�:rs- 5
B) 3Js;Ts
C) ,J10 +2Ts
D) 4J10-2.Js
EJ 5J5 _ .Js
A) so-
B) 36"
C) 3g' '· .
O) 42"
. .
¡¡j 45" A ,R
D
REFORZANDO
e En la figura, AB = s Ji, CD= J12-6J5 y
R: J6. Calcula ,j,.
G) En un triángulo ABC, AB = BC =_i.Js + 1) u;
m 4ABC = 36". Sea Q un punto de BC de modo
que m 4'.BAQ = 18". Calcula AQ, en u.
(PUCP 2010)
C) 2
O En la figura, OH= ..fio -.fi.. Calcula AB
144°
pé¡ 4J5 + .Js
X
C) 3v'3
B) 2� C)2+./i
E) 1 +Ji
)lJ v'3 + -Í6 C) 2 + Ji
E)J+./3
A)v'3+1
D) 2./i
A) 2.Js
D) 2-Í6
pé¡ 9rt'
8) 120"
C) 45"
D) 135°
E) 100'
¡)<) ,-n+Ji
D)2-./i
REFORZANDO
8 Un cuadrado PQRS, cuyo lado mide 2Ji.,está
inscrito en una circunferencia. Calcula la distancia
del vértice Pal punto medio del arco RS.
O En un triángulo ABC, AB = 6; BC = 9 y
m� ABC"' 60". úkula la longitud del
circunradio de dicho triángulo.
O Un polígono regular de 9 lados esté inscrito en
una circunferencia. Si la suma de la longitud de
un lado y la longitud de la menor diagonal del
polígono es 20, entonces la longitud de la mayor
diagonal es: (UNI 2008 • 11)
A) 10 B) 12 C) 15 D) 17 ¡¡)' 20
O La longitud de un lado del octógono regular es
de 2,/i Calcula la longitud de su apotema
e En la figura, calcula e\ valor de r.
_11
REFORZANDO
<;» C, En un triángulo ABC, AC = 2-.Í6;
� m 4A = 15º y m 48 = 120" Calcula BC
�
A)2,h-v'3 B) 4 ¡zj2J4-2v'3
�
D)6 E) J2+v'3
� O En un pentágono regular ABCDE, las diagona-
�
e Sea el hexiigono regul�BCDEF inscrito en una
circunferencia. Sobre DE se ubica el punto T, se
trazan los segmentos AT y DF que se intersecan
en el punto M, siendo M el punto mecho de DF.
Si MT = 3 cm, determina (en cm) el valor del
apotema del hexágono. (UNI 2010-11)
A) "'9 Jlj -/21 C) .ffS D) ./24 E) ffi
e En la figura, AB es el lado de un hexágono
regular inscrito en la circunferencia de centro O.
Logí matíc<s
• •• ••
� "? .di 74% • 8:49 p. m .
11_
El diámetro CD es perpendicular a AB y D es /,,-
� punto de tangencia Si EF = 3r, determina el
� valor deCF/ICD(n = 3,14). (UNI2011- I)
�
:::
'
00
• '
� : :/2 ,_'-----"'--' /
�
E)2 C
� e En un triángulo obtusángulo ABC,obtuso �
en B, se traza la ceviana mtenor BN; tal
que m4NBA = m4NCB; m,i..BNC = 30"y
NC = AB. Calcula m4NAB
A') 12° B) 15° C) 16° D) 18° E) 20° e Calcula el perímetro de la región de
un heptágono regular ABCDEFG,
. 1 1 1 s,-+-=-. (UNl2014-I)
AE AC 5
A) 34 JI) 35 C) 36 D) 37 E) 38
Las longitudes de los lados de un triángulo
son 25; 39 y 40. Calcula el área de la región
correspondiente.
ÁREA DE REGIONES
TRIANGULARES
C) 448
CAPÍTULO
15
B) 456
E) 428
¡M 468
D) 436
a
C) 6 u JI) 5 u
E) Su
A)4 u
O) 7u
El área de la región limitada por un triángulo
isósceles es 30 u2 y la diferencia de las longitudes
de la base y la altura correspondiente es 7 u
Calcula la longitud de su altura.
a
a ABC y CDE son dos triángulos equiláteros de
lados a y 2a El área de la región sombreada, en
unidades de área, es:
(UNAC 2013 - 1)
A
A) Ji.a2 /3
B) .ff3a2 /5
C) Jsa2/4
D) .fsa2/3
¡¡j r,,, /2
gimatic 5
u En la figura, calcula el área de la región BPC.
A) 20 B e
B) 16
I'
!2l 12 8
D) 8 4
E) 18 A o D
• •• ••
� 9 .di 74% • 8:49 p. m .
Calcula el área de la región
cuyos lados miden 7; 9 y 12.
E) -138
Calcula la longitud del circunradio de un
trténgulo cuyos lados nuden 12, 9 y 11.
A) .ffj
IJ
C) 9.J6
de un triángulo
B) 28
)?j 14,/5
A)7.fi
D) 32
El
Calcula la longitud del inradio de un triángulo
cuyos lados miden 5; 7 y S.
D
A) 1
�./3
B) .J2
E) 3
C) 2
a Calcula la longitud del exradio relativo al
lado menor de un triángulo cuyos lados
miden 5; 6 y 7.
C) 3
(PUCP 2006)
C) 12cm2
Logí matíc<s
B) 36 crn2
E) 11 cm2
La longitud del lado de un cuadrado ABCD es
6 cm. Se construye exteriormente el triángulo
equilátero CEO y se traza AE. Calcula el área de
la región triangular AED.
A)6cm2
.Pj 9 cm2
m
E
e
T----'D
A
En la figura, el triangulo BCD es equilátero,
AC = 3BC; 280 = DE y CD= 2 cm. Calcula el
área de la región triangular ADE.
(UNALM 2011 • 1)
8 A)8cm2
J}'J s,/3 cm2
C) 6.ÍJ cm2
D
• •• ••
� r .di 74% • 8:49 p. m .
En la figura, el área de la región EBF es 60 u2¡
EA= 3EB y SAF = 4FC. Calcula el área de la
región EBCF.
A)90u2 B
11_
(UNI 2007 • [)
En la figura, A, By C son puntos de tangencia
Sea P un punto del segmento BC tal que P A
es tangente común a las circunferencias. Si
AP = 10 m y AB = AC + 4 m, calcula el área de
la región del triángulo ABP.
M48m2 8
B) ..J.9 m2
e C) 22./fo m2
D) 45 fi. m2
E)25Jsm2
A
B) l!O u2
C) 100 u2
.P) 360 u2
E) 130 u2
e En la figura, los triángulos ABC y OCE son
equiláteros de lado L, con B, C y E co!ineales. Si
Fes la intersección de BD con AC, el érea de la
D) 11. E) 3
3
)J) 13 C) S
3
A) 24 u2 8
B) 12Í6u2
E F
C) 30 u2
20 u
pj 20../3 u2
E) 36 u2 A e
A) 4
O Calcula la longitud de! inradio de un triángulo
cuyos lados miden 41; 15 y 52.
e En la figura, el triángulo ABC es equilátero y
EF II AC. Calcula el área de la región EAF.
C) s Ji u
NIVEL
B) 12 u
E) 12..fi. u
A) 6Ji u
,0) 24 u
REFORZANDO
e Se tiene un triángulo isósceles ABC cuya área
de su región es 576 u2. Si los ángulos en A y C
miden 15º cada uno, calcula la longitud de la
altura relativa al lado BC.
región del triángulo BCF es: e Calcula la longitud del circunradio de un
(UNAC 2011 - 1) triángulo cuyos lados miden 4, 10 y 8.
A) FJL'/6
pj FJL'/8
B) 60.J197 /197
E) 3 .fj
¡>;j 80)231 /231
C) 4J,_
O) 40.fw /97
REFORZANDO
,�
� �...,�
NIVEL �
O Calcula la longitud del exmdio relativo al
�
ma yor Iedo de un triángu , o cu yos Jedos �
E
C) sFJL'/6 B) FJL'/3
E) 2FJL'/3
gimatic 5
B
• •• ••
� r .di 74% • 8:49 p. m .
e
(UNI 2010 11)
0)4 E) 5
E
o
C) 3
A
JI) 2 A) 1
8) 18 cm
SZ, 16 cm
D) 12 cm
E) 8cm
e En el triángulo ABC de la ñguru, AB = 7; BC = 5
y AC = 6. Calcula el área de la región del
triílngulo ABE si el punto E biseca a AD.
e En la figura, las regiones DBCE y DAE son
equivalentes. 51 AD= 308 y EC = 8 cm,
calcula AE. (UNAC 2011- 11)
A) 10 cm 13
C) 36 u2
O) 60 )ij 66
8) (a+ b)/6 C) ab/6
E) lx/6
B) 28 u2
� 48 u1
B) 44 C) 55 A) 33
miden 15; 37 y 44.
A) 24 u2
D) 42 u2
A) (a+ c)/6
pj' ac/6
pi) 12.fj o e
B) 4.fj
C) 6
O) 6.f3
E) 12 A B
O Dos triángulos congruentes ABC y ABO, de
ángulos 30" y 6f?, están colocados como muestra
la figura, con las hipotenusas AB coincidentes.
SI AB = 12 cm, el área de la región común de los
dos triángulos, en cm2, es: (UNAC 2013- 11)
O Los exradios relativos a los catetos de un
triángulo rectángulo miden 6 u y 8 u. Calcula el
área de la región de dicho triángulo.
O Sean a, b y e las longitudes de los lados de un
triángulo. Suponga que.
l. a<b<c
11. a, b, e forman una progresión aritmética
Denotando por r el radio de la circunferencia
inscrita y por R el radio de la orcunfcrcncia
circunscrita al triángulo, entonces el valor de rR
es: (UNl 2008 - IJ
G> En el triángulo ABC, AD= 20 cm, OC= 6 cm y
m4 ABO = 2m4 DBC. El área de la región del
triángulo BDC es: (UNMSM 2006 - 1)
l2)B 0)9
Logí matíc<s
B) 7 A) 6
B
B) 3"6/2
l2) 5"6/2
0)3Js/2
E) 3"6 A E o e
A) 2Js
(UNALM 2014- IJ
e En el triángulo isósceles ABC
(AB = BC = 10 cm) la ceviana AN (N E BC)
corta a la altura BM (M E AC) en el punto P.
51 AC = 16 cm y BN = 2 cm, determina el área
de la región triangular APB (en cm2).
(UN! 2010-1)
e
B
o A
A)5-Jfücm2
8) 8-Jfü cm2
.9) 9.Jfo cm2
D)6.Jfocm2
E) 7.Jfo cm2
REFORZANDO
<z-.
� w NIVEL
� G) El área de la región de un trléngulo
� -•'º'�·"'"'°""°
� � .di 74% • 8:49 p. m .
•• •• •
En un triángulo acutángulo ABC, se trazan
las alturas AH y CP, tal que AH= BC y
CP = 16 u. Calcula el área de la región
cuadrangular APHC.
ÁREA DE REGIONES
CUADRANGULARES
11_
a En la figura, calcula S/52. (UNALM2012-I)
¡>.13/4
B) 1 /5
C) 1 s, s,
D) 4/3
E) 2/3 3n 2,------<
C) 196 u2 B) 224 u2
M 12s u2
CAPITULO
16
A) 256 u2
O) 164 u2
II Un rombo cuyo lado mide 10 u es equivalente
a un rectángulo cuyos lados miden 12 u y 20 u.
Calcula la longitud de la altura del rombo.
El Calcula el érea de la región hmitada por un
cuadnlátero inscrito en una circunferencia,
cuyos lados miden 2.Ji.., .ffs, 2Js y 3 J3, en
ese orden. A) 16 u
O) 22u
B) 18 u
}z1 24 u
C) 20 u
A)4 + 3,/6
C) 6+2.ÍJ
D)5+2Js
JlJ 5 .J3 + 3 ,/6
E) 3 .J3 + 2J'i.
Las bases de un trapecio isósceles miden 1 O y 26,
y los lados laterales mide 17 cada
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