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GEOMETRIA ACTIVIDADES
Joseline Abarca
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� 9 . .1141%.10:52 p.m .
� '9' . .1141%.10:52 p.m .
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,
GEOMETRIA
CAPÍTULOS
1
TUIAS
1
N.º PÁGINA
Capítulo 1 Triángulos parte I 3
Capítulo 2 Triángulos parte II 6
Capítulo 3 Polígonos 10
Capítulo 4 Cuadriláteros 13
Capítulo 5 Circunferencia parte I 17
Capítulo 6 Circunferencia parte II 21
Capítulo 7 Puntos notables en el triángulo 24
Capítulo 8 Proporcionalidad 28
Capítulo 9 Semejanza de triángulos 32
Capitulo 10 Relaciones métricas en triángulo rectángulo 35
Capítulo 11 Relaciones métncas en triángulo oblicuángulo 39
Capitulo 12 Relaciones métncas en la circunferencia 42
Capítulo 13 Área de regiones poligonales 46
Capítulo 14 Área de regiones circulares 49
Capitulo 15 Rectas y planos en el espacio 53
Capítulo 16 Ángulos tridimensionales 57
Capítulo 17 Poliedros 60
Capitulo 18 Prisma 64
Capítulo 19 Pirámide 67
Capitulo 20 Cihndro circular recto 71
Capítulo 21 Cono circular recto 74
Capítulo 22 Esfera 78
Capítulo 23 Teorema de Pappus y Gouldmg 81
Capítulo 24 Plano cartesiano 85
Lagi matic Ll
• •• ••
� r . .1141%.10:52 p.m .
En el triángulo ABC, calcula a+�+ 0 + y,
si a+ e== 100.
CAPITULO
1
A) 10"
B) 20"
C) 30"
D) 40"
E) SOº
En la figura, calcula .r. a
B y
o.
A) 180"
B) 380"
C) 280"
D) 360"
E) 260"
D
D En el siguiente triángulo se traza el segmento
BE. ¿Qué denominación tiene? 8
A) Altura
B) Mediana
C) Bisectriz
O) Bisectriz y mediana A�---�--� C
E) Mediana y altura b E b
En la figura, calcula.\.
A) 40"
B) 50"
C)W'
D) 70"
E) 80" 110°'
En el siguiente triángulo, I es el incentro,
calcula x.
El
A) 90"
B) 100"
C) 110"
D) 120"
E) 140"
X
D Si O es ortocentro, calcula x.
A) 220º 120º
B) 240º
C) 140°
D) 120°
E) 320º
• •• ••
� 'f . .1141%.10:52 p.m .
En la figura, el segmento DE es una mediatriz,
calcula 0.
A) 20"
B) 30"
C) 40"
D) 50"
E) 60"
B
D 120º
E
Si e! punto E es excentro de ABC, calcula x.
A) 50"
B) 60"
C) 70"
D) 80"
E) 90"
E
130°
A) 5°
B) 10º
C) 15º X
D) 20º
E) 25º 110°
En el siguiente triángulo, calcula x.
E A) 15°
B) 25º
C) 35°
D) 45º
E) SSº
Si el punto E es excentro de ABC, calcula x.
B
D
O En la figura
calcula a+�+ y.
O En la figura calcula a el valor de a.
O En la figura calcula
el valor de 111.
O En la figura,
calcula el valor de x.
6111
3111
• •• ••
� '9' . .1141%.10:52 p.m .
180"-3a
REFORZANDO
E) 56º
A) 31°
B) 32º
C) 33°
D) 35º
E) 36º
A) 55º
B) 65°
C) 75°
D) 85°
E) 95º
O En la figura, calcula m.
A) 15º
B) 16º
C) 17°
D) 18º
E) 19º
O En la figura, el triángulo ABC es equilátero.
Calcula .r.
B
O En la figura, calcula el valor der.
C, En la figura, calcula el valor de a.
A) 16°
B) 26º
C) 36º
D) 46º
C) 120"
C) 124"
C) 65°
I\IIVEL
B) 55"
E) 85"
B) 120"
E) 130"
B) 110"
E) 150"
A) 118"
D) 156º
A)45º
D) 75"
A)]()()"
D) 130"
REFORZANDO
O En un triángulo equilátero, calcula la medida
del ángulo formado por dos bisectrices interio-
res.
e En un triángulo ABC, las bisectrices externas
de los ángulos A y C se intersecan en E; tal que
m.4AEC = 12°. Calcula la medida del ángulo
ABC.
O En un triángulo acutángulo ABC se ubica el or-
tocentro O, donde m.!AOC = m.48 + 70º, calcu-
la m.(B.
O En la figura calcula el valor de 0.
A) 30º
B) 37°
C) 45º
O) 53°
E) 60°
O En un triángulo ABC se traza la altura BH y la
bisectriz del ángulo ABC. Calcula el ángulo
formado por la bisectriz y la altura BH,
si m .4.A - m.íC = 40º.
G) En un triángulo isósceles ABC, AB = BC. So-
bre los lados AB y BC se ubican los puntos P
y Q, respectivamente, tal que m.::(PQB = 120° y
PQ = QC = AC. Calcula m.::(QPB.
A) 20"
D) 50"
B) 30"
E) 60"
C)40"
A) 20"
D) 50"
B) 30º
E) 60"
C) 40º
• •• ••
� '9' . .1141%.10:52 p.m .
70º(
120°
41) En la figura, calcula e.
A) 15°
B) 18º
C) 20°
0) 21º
E) 22º
e Calcula 8.
A) 25º
B) 35º 9
C) 45°
O) 55º
E) 65º
C) 30"
l';IIVEL
60
A) 55° B) 20"
O) 45º E) 25º
REFORZANDO
CE> En un triángulo ABC, calcula la medida del
ángulo que forman la ceviana BM y la bisec-
triz exterior BQ si m.iBAC - m4BCA"' 110º y
m4BMC = 80º.
A)55º
0)45°
B) 20"
E) 25°
C) 30"
41) En la figura, calculax.
A) 60º
B) 90°
C) 80º
O) 70º
E) 100º
CIPhUIO
2
D Dados los triángulos ABC y MNP, calcula x + y. B En la figura, calcula MB.
A) 26 B N
� �: Li º 10 D , º n
O) 20
a a
E) 25 A y C M 15 p
A)12
B) 11
C) 10
0)9
E) 8
�--/1c
A 45"
8
M._ __ _oB!!'----"R
• •• ••
� 'f . .1141%.10:52 p.m .
D En la figura, calcula ED. IJ En el gráfico, calcula O. :-.:::
A) IOfl B E A) 18º B
�
B) 10 B) 37" /2
C) 15 C) 20"
�
D) 10'8 6(f. D) 45º/2 60" o
E) 18 A 20 e D E) 25º e
�
A D
�
�
A) 18 B
B) 20 "º
C) 22 p
D) 24 118
E) 26 A 31· e e a
L
T
B
A 3a
A) 16 m
B) 12 m
C) 14 m
D) 10 m
E) 13 m
II En la figura, Les mediatriz de AC y AB = 10 m. fJ En la figura. calcula AC, si AP = 12.
Calcula TB.
D En la figu.ra PQ = AB = 12. Calcula BQ, si BC = 8. B Del gráfico, C es circuncentrc del triángulo
A)S
p ABO. Calcula 9.
B
B) 6 A) 30"
C) 5 B 6) 25°
D)4 C) 20"
E) 3 A e D) 15º
E) 10" A H D
• •• ••
� r . .1141%.10:52 p.m .
El triángulo ABC tiene una mediana BM. En el
triángulo ABM trazamos la mediana AP que cor-
ta a BC en R (P en BM y R en BC). Si AR = 12 m,
calcula PR.
Si HC = 3 m, calcula BC.
A)l2
B) 10
C) 9
0)8
E) 6 A"°'"-------="'c
A) 6
O) 3
B) 5
E) 2
C) 4
O En un triángulo rectángulo ABC, m.íABC = 90",
siendo M punto medio de AC, sobre AB se ubi-
ca el punto R. Si AR= 12 m, RB = 2, BC = 10 rn.
Calcula m4ARM.
e Los ángulos BAC y ACB de un triángulo ABC
miden 53º y 45°, respectivamente. Si AB = 15,
calcula AC.
e En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se tra-
za 1<1 ceviana interior BN, tal que m.d:'.NBC = 12°,
m.d'.NAB = 34° y BN = 16. Calcula AC.
O En los lados AC y AB de un triángulo rectángu-
lo ABC, recto en B, se ubican los puntos P y T
respectivamente; tal que PA = PC, TA= BC = 4
y m.{PAT = 15º. Calcula la medida del ángulo
PTB.
A) 90°
B) 100º
C) 1'10º
O) 120º
E) 130º
e En la figura, AB = BR y BC = BS. Calcula x.
s
O En el gráfico mostrado MN = NP; AC = 2(CP) y
NC = 2 m. Calcula BN.
e
I\IIVEL
A 50"
0)14
E) 15
REFORZANDO
O En la figura, AR = QC y AP = 10. Calcula RQ.
A) 10 B
B) 12
C) 13
O En un triángulo rectángulo ABC, recto en Bse tra-
za la bisectriz interior AM, tal que MC = 2(BM).
Calcula la medida del ángulo interno en C.
A) 30"
0)36°
B) 1 o-
E) 6(1'
C) 20°
A) 14 m
B) 2 m
C) 6m
D) Sm
E) 8 m A
B
• •• ••
� '9' . .1141%.10:53 p.m .
e En la figura, m.(ABC = 90", AB = 5 m y AH= 3 m.
Calcula FN.
C) 90"
C) 18
B) 11 O"
E) 105°
B) 15
E) 25
A) 120"
D) 95º
A) 10
D) 20
REFORZANDO
f!) Desd� vértice B de un triángulo ABC se trazan
BP y BQ, perpendiculares a las bisectrices exte-
riores de los ángulos A y C, respectivamente. Si
PQ = 10 m, calcula el perímetro del triángulo
ABC.
'-
NIVEL �
e En un triángulo ABC se traza BM, perpendicu- ��� �
lar a la bisectriz interior del ángulo A 51 N es
�
;�l����cdw de BC, AB = 5 m y AC = 8 m, �
A)� e¡.?. ql o¡.?. E)i
�
3 3 4 2 2
�
G) Sobre los lados AB y BC de un tciángulo ABC
�
se construyen los triángulos equiláteros ABE y �
BFC. Calcula el ángulo que forman AF y CE al
cortarse.
C) 23 B) 22
E) 25
A)21
D) 24
A) 2m
B) 3 m
C) 4m
D) 1 m
E) 2,5 m e
REFORZANDO
e En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,
m..(C = 36º. Sobre AC se ubica el punto F, tal que
BF = 12 m y m4ABF = 18º. Calcula AC.
o En la figura, AM = 10 y CN = 12. Calcula MN.
A) 18 C
" i
"----�-----"¡ N
O En un triángulo isósceles ABC; AB = BC; se traza
la ceviana interior BR y BF II AC (F exterior rela-
tivo a BC); si AR= BF y FC = B. Calcula BR.
O En un triángulo rectángulo isósceles ABC,
m.í'.B = 90", por B se traza una rectaexterior al
triángulo. Luego se traza AP y CQ perpendicu-
lares a dicha recta. Si AP = 4 yCQ = 10, calcula PQ.
B
M
C) 8 B) 9
E) 5
A) 12
D) 6
4D En la figura, Les mediatriz de AC, AB = 4 m y
AC = 14 m. Calcula MS.
C, En la figura MN = 3 m. Calcula la altura BH del
triángulo ABC.
C) 10
C) 16 8)15
E) 18
B) 8
E)l4
A)14
D)l7
A) 6
D)l2
Logimatic 4
'-../ G) En un triángul�ectángulo ABC, recto en B, se
� traza la altura BH y desde P, un ptmto�icado
�� en HA se traza la perpendicular PQ a BA, Q en
� AB. Si los triángulos AQP y PHB son congruen-
� tes, determina la mLHBC.
�
�; �� :: �;:
C) 30°
�
A)3
D) 6
B) 4
E) 7
C) 5
• •• ••
� 9 . .1141%.10:53p.m .
CAPITULO
3
Indica cuáles de la siguientes proposiciones
son verdaderas (V) o falsas (F).
L El heptágono tiene nueve lados.
n. En todo polígono convexo al menos hay un
ángulo interno cuya medida es mayor que
180".
111. En todo polígono convexo, el número de
vértices es igual al número de ángulos inter-
nos.
A) VVV 6) VVF C) VFF D) FFV E) FFF
11
A) Octógono
C) Decágono
E) Dodecágono
B) Nonágono
D) Undecágono
¿Cuál es el polígono regular donde 6 veces la
medida de su ángulo interior equivale al cua-
drado de la medida de su ángulo exterior?
EJ ¿Qué polígono es aquel donde el número de sus IJ Indica el valor de verdad de las siguientes
diagonales es igual al número de sus lados? proposiciones:
A) Decágono
C) Heptágono
E) Pentágono
B) Octógono
D) Hexágono
l. En todo polígono convexo la suma de las
medidas de todos sus ángulos externos es
igual a 360°.
JI. En un decágono convexo hay por Jo menos
doce ángulos externos.
JJI. A un polígono no convexo, una recta secan-
te siempre interseca en tres puntos como
máximo.
A) VVV B) FFF C) VFV D) VFF E) FFV
El
A) Heptágono
C) Decágono
E) Pentágono
B) Nonágono
D) Dodecágono
a
A) 124
D) 100
B) 108
E) 96
C) 104
Si la medida de cada uno de los ángulos inter-
nos de un polígono regular es igual a 5 veces la
del ángulo externo adyacente, ¿de qué polígono
regular se trata?
En un polígono equilátero cuyo lado mide 4,
el número de sus diagonales resulta numérica-
mente igual al triple del número que expresa el
perímetro de la región limitada por el polígono.
Calcula el perímetro del polígono.
• •• ••
� 9 . .1141%.10:53p.m .
Calcula el número de diagonales de un polígo-
no regular sabiendo que el cuadrado de la me-
dida de su ángulo central equivale a 9 veces la
medida de su ángulo interior.
¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del
polígono cuyo número total de diagonales es
119?
fJ
A) 24
D)56
B) 35
E) 65
C)42
A) 2400º
D) 2600°
B) 2100°
E) 2700°
C) 2500°
Desde 10 vértices de un polígono se pueden tra-
zar 84 diagonales. Calcula el número total de
diagonales del polígono.
Si el número de lados de un polígono equián-
gulo él u menta en 5, el número de sus diagonales
aumenta en 50. Calcula la medida del ángulo
exterior.
D
A)50
D)90
8)70
E) 80
C) 60
A) 60"
D) 30"
B) 50º
E) 36°
C) 40"
O La suma de las medidas de los ángulos internos,
centrales y externos de un poügono regular es
igual a 2160°. Calcula la medida de su ángulo
central.
O Desde 5 vértices consecutivos de un polígono
equiángulo se trazan 54 diagonales. Calcula la
medida del ángulo exterior.
e ¿Cuántos lados tiene el polígono cuyo número
de diagonales aumenta en tres al aumentarse en
uno el número de lados?
�
� @ � e Desde (n - 4) vértíces consecutivos de cíerto po-
� lígono se trazan 32 diagonales. Calcula u.
�
• •• ••
� r . .11 40%. 10:53 p. m .
e ¿En qué polígono se cumple que la suma de
las medidas de sus ángulos internos excede en
1080° a la suma de las medidas de sus ángulos
externos?
C) 70" B) 60"
E) 90°
A) 50"
O) 80"
A) Octógono
8) Decágono
C) Hexágono
D) Nonágono
E) Undecágono
O Los éngulos mteriores 8, C y D de un pentágono
convexo A8CDE miden 80°, 150" y 50". ¿Qué án-
gulo forman las prolongaciones de 8A y DE?
O ¿Cuíll es el polígono convexo cuya suma de las
medidas de sus ángulos internos se triplica al
duplicar el número de sus lados?
A) Triángulo
B) Octógono
C) Cuadrilátero
D) Pentégono
E) Hexágono
O Si a un polígono equiángulo se le duplicara el
número de sus lados, la medida de su ángulo
inlerior aumentaría en 18". ¿Cómo se llama el
polígono?
NIVEL
B) Hexágono
D) Heptágono
A) Octógono
C) Decágono
E) Dodecágono
REFORZANDO
a
B) 125º
C) 135º
O) 140"
E) 150"
/
� �� O Dos ángulos de un pentágono convexo miden
� 12CY'cada uno Calcula la medida de los ángulos
� ex tenores de los otros tres ángulos si se sabe que
� ��'-'""�ci':: "�
� O En el siguiente gréñco calcula el valor de a
A) 120"
O ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un po-
lígono cuyos ángulos internos suman 1980'?
O Calcula el número de lados que tiene un polígo-
no regular, si la medida de cada ángulo exterior
es 7'1:'.
A) 5 B) 6 C) 7 0)8 E) 9
G) Indica el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
l. Un polígono regular es siempre convexo.
11. La medida de un ángulo exterior de un do-
decágono es igual a 36º
111. La intersección de las mediatrices de al me-
nos de dos de los lados de un polígono de-
termina el centro del polígono.
A) 154
0)94
B) 126
E)65
C) 104 A)FFF
O)VVV
B) FFV
E) VFF
C) FVV
e En un polígono regular, el ángulo central mide
la sesentava parte de la suma de los ánguJos in-
ternos. El nombre del polígono es:
C) 104
NIVEL
B) 102
E) 110
convexo
A) 100
O) 105
REFORZANDO
G Calcula el número de diagonales trazadas des-
de siete vértices consecutivos en el ícoségono
NIVEL
8) Decágono
D) Dodecágono
A) Nonágono
C) Undecágono
E) lcoságono
REFORZANDO
• •• ••
� '9' . .11 40%. 10:53 p. m .
fJ> ¿Cuál es el polígono convexo donde el número
total de sus diagonales excede en 42 al número
de sus vértices?
f!) ¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuyo
ángulo interior disminufría en 6º, si sólo tuviera
los 4/5 de los lados que tiene?
f3 Desde los puntos medios de tres lados consecu-
tivos de un polígono regular se han trazado 39
diagonales media Calcula la medida de un án-
gulo central.
C) 30" B) 32"
E) 24º
A)36º
D) 26º
G) Al disminuir en 10 cada ángulo mtenor de un '-.....�
polígono regular resulta otro polígono regular ��
cuyo número de lados es las 2/3 partes del po- � � �
lígono angina! Calcula el número de lados de �
:;:':
polígono B) 14
���
C)15 0)18
�
E) 20
B) 18
D) 12
A) Octógono
B) Nonágono
C) Decágono
O) Undecágono
E) Dodecágono
A) 15
C)20
E) 25
CAPITULO
4
a En la figura, calcula el valor de p. B Indica el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
J. Si los cuatro lados de un cuadrilátero son
congruentes, entonces el cuadrilátero es un
cuadrado.
U. Las medidas de los ángulos internos de un
rombo son iguales.
lll. Romboide es el paralelogramo propiamente
dtcho. A) 12"
D) 9"
7p
B) 11º
E) 8º
36º,
C) 10°
A)VVV
D)VFV
B) VVF
E) FFV
C) FFF
• •• ••
� r . .11 40%. 10:53 p. m .
En la figura ABCD es un paralelogramo
LM = MC, AL= 6 y BO = OO. Calcula MO.
Indica el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
J. Las diagonales de un rombo son congruen-
tes.
fl. Las diagonales de un rectángulo son per-
pendiculares entre sí.
lll. Si las diagonales de un cuadrilátero son
perpendiculares y congruentes, entonces el
cuadrilátero es un cuadrado.
C) VVF B) VFF
E) FVF
A)VVV
D) FFF
D
L
A)S
B) 7/2
C)4
D) 5/2
E) 3
11 En un trapecio ABCD (BC / / AD), M es punto
medio de AB y N punto medio de AD. Si CN
biseca a DM en P y PC = 15 m, calcula PN.
fJ Un cuadrilátero convexo ABCD, donde BC = CD,
la mediatriz de CD pasa por A. Si m.iDAC =
2(m4CAB) y m4ABD = 110°, calcula mA'.DBC.
A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
C) 4 A) 18º
D) 36º
B) 24º
E) 40º
C)30º
E)�
3
C) "J'i D) � 2 2 B)� 4
En la figura se muestra el romboideABCD y los
cuadrado, CDEF (centro O) y ABCH. Calcula
OM,siCC=nyHM=MF.
G 6
X
N
M
En la figura, Mes punto medio de AB. Calcula x.
B A) 1
B) 3/2
C) 2
D) 5/2
E) 3
l1
• •• ••
� r . .11 40%. 10:54 p. m .
En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B �
se traza la altura CH y se pide calcular la longí- �
tud del segmento que une los puntos medios de �
AH y CD sabiendo que 80 = 12 m �
A)Sm B)lOm C)6m �
D)4m E)9m �
�
�
C)SOº B) 30º
E) 40º
A) 60"
D)45º
Se une el punto medio M del lado CD del rec-
tángulo ABCD con el vértice B y el punto me-
dio N de BM con el vértice A. Si el ángulo CBM
mide 37º /2, ¿cuánto mide el ángulo NAO?
O En un triángulo equilátero ABC, de medianas
AM y BN y perímetro 24 m, calcula la distancia
entre los puntos medios de AM y BN.
O El perímetro de un trapecio isósceles es 80.
Calcula la longitud de su lado no paralelo, si
las longitudes de su base menor, base mayor y
del lado no paralelo son entre sí como 4; 6 y 3,
respectivamente.
O En un trapezoide ABCD calcula la medida del
ángulo formado por las bisectrices de los ángu-
los exteriores A y O, si las medidas de los ángu-
los internos By C suman 200".
O En un trapecio, la base media mide 16 cm y el
segmento que une los puntos medios de las dia-
gonales 4 crn. Calcula las longitudes de sus ba-
ses.
C) 18./s B) 18
E) 20.fs
A) 16.J5
D) 16
A) 15°
B) 37" /2
C) 18°
D) 45° /2
E) 24°
O Calcula la longitud de la mediana de un trape-
cio rectángulo sabiendo que la altura mide 16 m,
el lado no paralelo 20 m, y la longitud de una de
las bases es el doble de la otra.
e En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula x.
8,,,.-,,-,¡M�__,,,
ú) - 68º
w
4x
NIVEL
[' X
120°
a
a
REFORZANDO
O En la figura calcula el valor de co.
A) 102°
8) 106º
C) 108°
D) 112º
E) 116°
8:: O En la figura calcula x.
�
A)32º
�
8)36°
� �;:: �
E)44º
�
• •• ••
� r . .11 40%. 10:54 p. m .
e En un trapezoide ABCD, calcula el menor án-
gulo formado por las bisectrices de los ángulos
internos A y C, si los ángulos internos, B y O
míden 110° y 70°, respectivamente.
C) .ti
NIVEL
B) ,/3
E) 1/2
A) 2.JS,
O) J3/2
REFORZANDO
41) En un trapecio rectángulo ABCD el ángulo D
mide 60". Sobre AD se toma el punto E de modo
que BCDE resulta un paralelogramo. Calcula la
razón entre las longitudes de la altura y del seg-
mento que une los puntos medios de las diago-
nales del trapecio ABCD.
fJ, ABCD es un cuadrado donde PC = 2./3. Si M y
N son puntos medios, entonces AC resulta:
C) 22° B) 20°
E) 26°
A) 18°
0)25°
REFORZANDO
L Trapecio es un cuadrilátero convexo cuyos
lados opuestos son paralelos.
11. En todo trapecio la mediana es paralela a las
bases.
111. En un trapecio escaleno los lados laterales
tienen longitudes diferentes.
::::--:
�
�
�
�
� O Indica el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
Mr----,'Gé-----,N
O En un trapecio ABCD de 12 m de altura,
m.(BAD = 60º y m4ADC = 45°. Calcula la suma
de las longitudes de los lados no paralelos.
e ABCD y CCFE son cuadrados cuyos lados mi-
den 3 m y 5 m, respectivamente. Calcula el perí-
metro de la región AMNP.
·f-�
C) FVF B) VVV
E) FFF
B)3J3
E)2J3
A"-------""'D
C) 2./6 A)4
O) 6
A)VFV
O) VFF
4'I> Indica el valor de verdad de las stgiuenres pro-
posiciones:
l. Trapezoide es un cuadrilátero convexo que
no tiene ningún par de lados opuestos para-
lelos.
n. Dos ángulos internos de un trapecio son su-
plernentartos.
Ill. En todo trapecio sus diagonales son con-
gruentes.
F
p
C) VFF
C) 32
E D
B) 30
E)38
B)VVF
E) FVV
A
A)VVV
O)FFF
A)36
0)34
o ABCD es un trapecio y m..CBCD = 2(m..CBAD).
Si el segmento que une los puntos medios de las
diagonales es 8 cm, calcula CD.
B) 8( J3 + .fi)
O) 6(J3 + 2./2)
A) 60 cm
B) 50 cm
C) 40 cm
D) 30 cm
E) 78 cm
G, En un trapecio isósceles la base mayor mide 100
cm y los lados no paralelos 50 cm. Si sus diago-
nales son perpendiculares a los lados no parale-
los, determina la base menor.
C) 20cm B) 18 cm
E) 24 cm
A) 16cm
O) 22 cm
A) 6(./6 + J3)
C) 24
E) 3./6(1 + .fi)
• •• ••
� 9 . .11 40%. 10:54 p. m .
G, En un paralelogramo ABCD (AB < BC), se tra-
za AR (R en CD) que intersecta a BD en F. Si
AB = 12 m y BF = 3FD, calcula DR.
A) 3m
B) 4m
C) 5m
D) 6m
E) 7 m
e En la figura ABCD es un cuadrado cuyo �
lado mide 6. Si O es el centro del cuadrado y �
:�;NeND,cal:ulax C �
8)2./5/3 0
�
�;��/5 A' X p 'D
�
"' M M
�
CAPITULO
D
A) 0,5
B) 1
C) 1,5
0)2
E) 2,5
B
6
A-..__/
EJ La circunferencias de centros A, B y C son tan-
gentes entre sí. Calcula el perímetro de la región
ABC.
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
En ta figura, calcula la longitud de la flecha co-
rrespondiente aJ menor arco AB.
B En la figura, calcula PT. a
A)4
D) 4,/3
B) 2,/6
E) 6
C)5
A)3 D
B) 4 p
C) 5
D) 6 T
E) 7 A F B
�
� @
�
�
�
Desde un punto E exterior a una circunferencia
se trazan las rectas tangente ET y secante EAB,
tal que Tes punto de tangencia, AB diámetro de
dicha circunferencia y AB = 2AE = 8. Calcula ET.
• •• ••
� r . .11 39%. 10:54 p. m .
X
D Calcula x.
A) 12º
B) 15º
C) 16° /
D) 18º /'
E) 20º
A) 120º
B) 60º A B
C) 40° J4Qº- X
D) 75º D
E) 80º
/ B Enelgráfico,ABf/CDyEBI/AD.CalculamEC.
�
�
�
�
�
D En la figura O es centro y Tes punto de tangen-
cia. Calcula m.{ATP.
A) 63°
B) 48º
C) 47º o
O) 33°
E) 27º T p
m En la figura, CM= CN. Calcula x.
A) 30º
B) 36º
C) 37°
D) 45º
E) 53º
IJ En la figura P, Q y R son puntos de tangencia. Si
AP = 24, calcula el perímetro de la región ABC.
A
E) 10
m En la figura, el perímetro de la región ABC es
24 y AC = 7. Calcula el perúnetro de la región
CPF.
A)17
B) 15
C) 13
D) 12
A
A) 48
B) 36
C) 40
D) 44
E) 46
• •• ••
� 9 . .11 39%. 10:54 p. m .
e En la figurn,AB = 7; BC =8 B
yAC:9.CakulaAT. fi
A T C
M
B
T
A'----'>-cN.,¿.---'C
e En la figura, AB = CD
y BC +AD= 48.
Calcula AB.
O En la figura, AC = 6 y
el semiperímetro de la
región ABC es 9.
Calcula BM.
r
p
O En la figura, Tes punto
de tangencia, r = 3 y
ET= 4. Calcula el orden
aproximado de ro.
C) 2
C•.
···.{¡ ··-.
53º p
B H
NIVEL
B) 3/2
E) 3
A) 1
D)S/2
A) 24
B) 28
C) 32
D) 36
E) 40
A)20
B) 18
C) 16
D)l4
E) 12
A)12
B) 14 A
C) 16
·�-?_ D) 18
E) 20 p 74º
B
Logimatic 4
REFORZANDO
C) Calcula la longitud del inradio de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 9 y 12.
O Calcula BH, si A y B son puntos de tangencia y
AH =24.
O Calcula PA. A y B son puntos de tangencia.
X
NIVEL
N S -· e->:
A B
A'--''s--apcL---"C
B) 5/2
C) 3
D)7/2
E) 4
A) 11 M
B) 14
C) 12
...... ___ ª o N
b
D) 10 p e
E) 15
REFORZANDO
o En el gráfico, AB = 4¡ BC = 5 y AC = 6. Calcula x.
A)2 B
e En el gráfico, AB = 8. Calcula MN.
A)l/2 M
O En la figura, a= by MN = 10. Calcula PC.
B) 1
C) 3/2
D)2
� E) 5/2
� � O Las circunferencias de los centros A, By C son
� tangentes entre sí. Calcula el perímetro de la re-
� giónABC.
�
• •• ••
� 9 . .11 39%. 10:54 p. m .
B
41) Si BM = 4 y BN = 6 Calcula el perímetro de la
región ABC.
f!) En la figura, AD es diámetro y NC = 4. Calcula
BF.
Cli)
A C
C) 18 B) 17
E) 20
A)16
0)19
/ O En la figura By D son puntos de tangencia, cal-
�
culaCO.
� ·
�
A .J
�
A)6 8)7 C)5 w 0)4 E)3 �
Os,AB=3yBC=4,calculaPQ
B
A)7
0)4
B) 6
E) 2
C) 5
A)2
0)5
B) 3
E) 6
C)4
G) Calcula xen la figura.
A) 68º
O) 34º
B
B) 64º
E) 48º
C) 79º
fJ> En la figura calcula el perímetro del triángulo
ABP, si el perímetro del triángulo APC es 20 (P,
Q y S puntos de tangencia).
A)30
O) 22
B) 28
E) 20
C) 24
f!, En la figura calcula el valor de é.
REFORZANDO I\IIVEL G, M, N y P son puntos de tangencia. Calcula x.
B
N
M
e
B) 36º C) 37º
E) 60º
A) 30º
O) 45º
A
32"
B) 66°
O) 72º
A) 62"
C)70°E) 74º
• •• ••
� 9 . .11 39%. 10:55 p. m .
D En la figura, mAD = 70°. Calcula x.
A) 120° r
B) 115º A B
C) 110°
D) 105º
E) 100° D
11
CAPITULO
- � - � :��g�•;; calcula la mEF si mAB + mDE
"35�
A)IOº C D
�
�:; u
�
E)16º �
En la figure, calcula la mCT. A y F son puntos de
tangencia.
11 AB es diámetro y PQ ti AB, calcula mÍ'T (P pun*
to de tangencia).
A) 40º p Q A) 70° 2
B) 45º T B) 60º
C) 50° C) 50° 60º
p
A o B '°º E D) 40º x' D) 55°
E) 60º E) 30º F
EJ
A) 30º
B) 35º
C) 45° A B
D) 50º o
E) 55° e D
�
� @
�
�
�
N
En la figura, ABCD es un paralelogramo.
Calcula x.
A) 24º
B) 22º
C) 20º
D) 18º
E) 16º
En el siguiente gráfico, AB // CD y
mAB + mCD = 260°. Calcula a.
IJ
• •• ••
� r . .11 39%. 10:55 p. m .
La longitud del radio de la circunferencia ex
inscrita relativa a un cateto de un triángulo rec-
tángulo isósceles es 6. Calcula la longitud de la
hipotenusa de dicho triángulo.
A) 6J3 B) 9 C) 6J'i.
D) 12 E) 4,/6
D En el triángulo ABC el radio de la circunferencia
inscrita mide 3 y BQ = RS. Calcula BM.
A) 3 B
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
D En el gráfico, calcula x.
A) 70º
8) 80°
C) 90°
D) 100º
E) 110º
En la figura. AC - PQ = 8 y TB = TC. Calcula AB.
A) 10 D
B) 9 B�---,,i;�
C) B Q
D) 7
E) 6 A C
80º
O Calculax
en la figurn.
O En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide
10 y el radio de la circunferencia inscrita mide 2.
Calcula el producto de los catetos. O De la figura, calcula
el valor de 4>.
O A y B son puntos de
tangencia, calcula x.
• •• ••
� r . .11 39%. 10:55 p. m .
O En la figura, calcula el valor de 0.
REFORZANDO I\IIVEL
1
54º
C) 15°
D) 18º
E) 20º
REFORZANDO
O De la figura, calcula el valor de A.
A) 10º
B) 12º
-10· e
" e
B
A
� o
A) 40°
B) 50º
C) 30°
D) 60°
E) 65°
C) 12
D) 11
E) 10
A) 20º
B) 40°
C) 60º
D) 15º
E) 30º
0)5_ E)2
2
O En la figura, d = 14 + b. Calculan.
A) 14
B) 13
O En la figura, M, N y P son puntos de tangencia.
Calcula mLABM.
G) La hipotenusa y un cateto de un triángulo rec-
tángulo miden 17 y 8 respectivamente. Calcula
la longitud del radio de la circunferencia inscrita
en dicho triángulo.
A)4 B)Z: C)3 2
114º+,5
46
A) 10º
B) 12º
C) 14°
O) 15°
E) 18°
E) 45º
E) 37' /2
A) 60º
B) 50º
C) 40°
D) 45º
E) 65º
D) 30"
C) 45º/2
O En el gráfico, calculam.AB.
e En la figura calcula a, si m,CBAC = mA".BFO.
A) 53°/2
B) 36º
e De la figura, calcula el valor de 6.
A) 38º
B) 40º
C) 42°
D) 44º
• •• ••
� 'f . .11 39%. 10:55 p. m .
A) 100º 100"
B) 110º
,'
C) 120º � X
D) 130º
120°
E) 140°
R A) S(J3-1)
B) 8( J3 + 1) B,,--1-�r---t1C
C) 4(J3-1)
D) 4(J3 + 1)
E) 4J3
A)Fz B e
B) 1
qJ} T
0)2 N '
E) 3 A D
f!) En la figura ABCD es un cuadrado y Tes punto
de tangencia. Calcula la longitud del inradio del
triángulo NBC.
41) En el gráfico calcula x.
A) 55°
B) 50º
C) 45°
D) 40º
E) 35°
l';IIVEL REFORZANDO
G) En la figura se tiene al rectángulo ABCD y al
triángulo equilátero ARO; si AB = 8, calcula
BC + RC.
CAPITULO
1 PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
D La longitud de la mediana AM de un triángulo EJ En un triángulo PQR, se ubica el incentro T; tal
ABC es 18. Calcula la distancia del baricentro de que
m41PQ = m41QR = m.ilRP_ Calcula m.(JRQ.
2 3 1
dicho triángulo al vértice A
A) 6 B) 8
D) 12 E) 14
C) 10
A) 18º
D) 14º
B) 16º
E) 12º
C) 15°
El
A) 12
D) 22
•
B) 16
E)24
•• ••
C) 20
� '9' . .11 39%. 10:55 p. m .
En un triángulo isósceles ABC, m4ABC = 130°,
H: Ortocentro y O: Circuncentro. Calcula a.
H
A) 20º
B) 25º
C) 30°
D) 35º
E) 40º
En un triángulo rectángulo la distancia entre el
circuncentro y el baricentro mide 4. Calcula la
longitud de la hipotenusa.
II Si O es circunccntro del l::.ABC, calcular.
A) 80º B
B) 90º
C) 95°
D) 110º
E) 100º
X
A
B En la figura, Hes ortocentro. Si AH = 5, calcula
AN.
A)2
B) 3
C) 4
D) 5 e
E) 6
�
� @
�
�
�
A)12
D) 6
A) 12
D) 21
B) 10
E) 4
B) 15
E) 24
C)8
C) 18
fJ En un triángulo ABC, se ubica el incentro I y el
excentro E relativo al lado BC; tal que JE= 12.
Calcula la distancia del vértice B al punto medio
del segmento JE.
El En un triángulo ABC se traza la altura BM en
cuya prolongación se encuentra el ortocentro H
de modo que HB = BM. Si la distancia del cir-
cuncentro O al lado AC es 6, calcula HM.
• •• ••
� 'f . .11 39%. 10:55 p. m .
m En el triángulo ABC, BM es mediana, entonces
el valor de o. es: ::::--: m En la figura, calcular.
�
A) 40º B
B) 36º
�
C) 34º
D) 32º "o
�
E) 30º A
�
�
A) 20º
B) 18º
C) 16°
D) 15º
E) 12º
O La longitud de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es 72. Calcula la distancia del bari-
centro al vértice del ángulo recto.
e En la figura, les incentro
del triángulo ABC.
Calcula 0.
o
40
a
B
7
n H
A ,i;;."!::::::::::::.::º:__:, C
ortocentro y circuncentro,
respectivamente.
Calcula a.
O En la figura, el triángulo ABC
es isósceles, H y O son
B e En la figrna, Hes ortocentro
del triángulo ABC.
Calcula tjl.
O En un triángulo acutángulo ABC. se ubica el or-
tocentro H; tal que 2m,(HCA + 3m..!HBA = 70º.
Calcula m..(HCA.
e En un triángulo inscrito el ortocentro H coincide
con el centro de la circunferencia. Calcula la me-
dida del ángulo ABC.
REFORZANDO NIVEL
A) 45º
D) 90º
B) 37°
E) 30º
C) 60º
O En un triángulo ABC, se ubica el excentro E re-
lativo al lado AB; tal que m,{AEB = 72º. Calcula
m,(ACB.
A) 12º
D) 16º
A) 30º
D) 54°
B) 14º
E) 18º
B) 36º
E) 60º
C) 15º
C)42º
O ¿Cuál es la relación entre las longitudes del inra-
dio y el círcunradío en un triángulo equilátero?
A) !l_ B) .¡ C) !i. <;»
4 3 3 �
D) ;i_ E)]_
� 2 2
�
�
�
• •• ••
� r . .11 39%. 10:55 p. m .
B
A) 80"
B) 60"
C) 70"
D) 100º
E) 90"
REFORZANDO
G) En la siguiente figura, calcula x.
e En el gráfico, O crrcuncentro. Calcula BC.
NIVEL
A) 36º
B) 33º
C) 32°
D) 30º
E) 28º
REFORZANDO
O En la figura, Hes ortocentro. Calcula x.
B
O En la figura, 1 es incentro y a+ 0 = 50°. Calcula r.
A) 20º
B) 25º
C) 30°
D) 35º
E) 40º
C) 10 A) 8
D) 11
A) 1,5 cm
B) 3,/j} cm
C) 6Jf3 cm
D) 9,/j} cm
E) 12.fu cm
e En un tritingulo ABC se trazan las medianas BM
y CN los cuales son perpendiculares entre sí. Si
G es el baricentro, el ángulo CCA mide 60º y
GN = 3 cm, calcula AG.
C) 15 cm
60'
B)S cm
E) 30 cm
A) 10 cm
D) 20 cm
A) SOº
B) 40°
C) 35°
D) 30º
E) 45º
O En la figura, O es circuncentro. Calcula .r.
B
O En un triángulo rectángulo un cateto mide 24
cm y el otro 18 cm. Calcula la distancia del orto-
centro al baricentro.
O En la figura, ¿qué punto notable es K del t::.ABC,
si los triángulosAKD y BKE son equiláteros?
e En la figura, AB = BC. Calcula x.
B
C) 15º B) 16º
E) 10º
A) 18º
D) 12º
B) lncentro
D) Ortocentro C) Círcuncentro
E) Cevacentro
B
A) Bancentro
• •• ••
� 'f . .11 39%. 10:55 p. m .
A) 15º
B) 22,5º
C) 30"
D) 37"
E) 45º
A) 15º
B) 16º
C) 18º
D) 20º
E) 22º
B
e En el triángulo ABC, a+ J3 = 20°, Hes ortocentro
y O crrcuncentro. Calcula r.
e Si I es incentro del triángulo ABC, calcula :r.
B
CAPITUlD
.._8_..
a Si I; JI� 11 L3, calcula X.
A)7
B) 8
X
C) 9
D) JO 12
E) 6
11 De la figura, calcula x, si L¡ // L.i II y.
A) 11
L, B) 11,/2 L, 2n L, n ., L, C) 15 3,, D) 11"3 L, b 22
E) 16 L,
En un triángulo ABC, m4B = 90, AB = 12,
BC = 8, se traza la mediana AN y la bisectriz BM
que se intersecan en O. Calcula (AO)(ON).
B En la figura, L ti AC. Calcula 11.
A) 12
B) 14
C) 15
D) 10
E) 8
a
A) 30
D) 15
B) 20
E) 48
C) 24
• •• ••
� 'f . .11 39%. 10:56 p. m .
A) 7
D) 10
8)8
E) 6
C)9
D Dos circunferencias son tangentes interiormen- �
te en el punto T. En la circunferencia mayor se �
trazan las cuerdas TB y TD que intersectan a la ��
otra circunferencia en los puntos A y C, tal que �
:�3=4,TC=6y8�::5Cakul�;:�
D)4,8 E)5 �
�
�
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exte-
rior del ángulo B que interseca a la prolonga-
ción del lado AC en el punto T, tal que TC = 12,
TA= 18 y AB = 12. Calcula BC.
A)ll
D)14
8)12
E) 15
C) 13
liJ En la figura, PM II BQ, - - B
MQ/IAB,
AM = 3,fj y
MC = J3.
Calcula MF.
A e F
A)3,fj
B) ,fj C) ,fj
2 2 5
D)2J3
E) 4,fj
5 5
IJ En la bisectriz interior BN de un triángulo ABC
se ubica el incentro 1, tal que 18 = 21N y
AB + BC = 28. Calcula AC.
a En la figura, calcula AT.
A) 10
B) 12
C) 13
D)l4
E) 15
"
A).?_
2 B) 3
C)?.
2
5
D) 4 E) 2_ 2
m Si QR = 2 y RS = 6,
calcula PQ.
• •• ••
� 'f . .11 39%. 10:56 p. m .
/
� �� O De la figura calcula x, A
�
siMN//BC. .,-Z 6
�
x-8':
,�3
�� e En un rrlangulo ABC; AB = 8, BC = 6, AC = 5.
� La bisectriz exterior que parte de B Interseca a la
prolongación de AC en F. Calcula CF.
e Si iiÍ // ii, 6PQ = 11QM y RM = 4, calcula TM.
--,T!,L---"sº(-- "
O En un triángulo ABC la mediatriz de AC inter-
seca en N al lado BC y en E a la prolongación de
AB. Si AB = 20 y CN = S(BN), calcula BE.
e En la figura, L1 tt Lz // L3, calcula a.
d
L,
d
L,
d
L,
L,
A)12 B) 13 C) 14
O) 15 E) 16
L,
C)IO
24 20
.....,C{-----')sD,-.. L,
B) 8
E) 9
A) 6
0)12
O) 11
E) 12
C) 10
REFORZANDO
f) En la figura, L¡ // Li II L3 // L.¡/{ Ls.
Calculax-y-z.
A)6 � L,
X
B) 8 2d \12 L,
C) 10 \., L, 3d
0)12 \, L,
E) 14 4d ' L,
O En tul triángulo ABC, se traza la bisectriz inte-
rior AM; tal que MB = 4, MC = 10 y AC = 15.
Calcula AB.
O En la figura, I;" // L2. Calcula b.
A) 8 A B
B) 9 b 10
p
L
5
F
NIVEL
E
4
AL-----�C
C) 9
0)10
E) 6
REFORZANDO
O En la figura, L II AC. Calcula y.
A) 7 B
8)8 y 10
e Si i.; 11 li lf L3 I/ L4, calcula x + y.
L,
n
L,
18
L,
A) 10 B) 12 C) 14
O) 16 E) 15
o Los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC :::8
miden 9; 18 y 12, respectivamente. La bisectriz �
exterior del ángulo B interseca en P a la prolon- �
gación del lado CA, tal que PA =y.Calcula y. �
A)9 6)10 C) 12 �
0)14 E)lS
�
�
• •• ••
� '9' . .11 39%. 10:56 p. m .
f!) De la figura, calcula ;1. en función de R.
C)6
B) MR/3
O) MR/4
E) 7
B) .!§_
3
A) 20
3
0)8
A) 4JioR/15
C) BR/9
E) JsR/3
:-.:::
�
�
�
�
�
41) Dos círcunferencías de radios cuyas longitudes
son 3 y 8, son tangen les mteriormentc en el pun-
to A. En la circunferencia mayor se traza la cuer-
da AB que íntersecta a la otra circunferencia en
el punto P. Si AP = 4, calcula PB.
A)! B) !.
2 5
C) .4. 0)2-
7 12
E)�
13
A) 5
B) 1_I
2
C)6
O) 13
2
E) 7
O En un triángulo ABC, el segmento que une al
incentro con el baricentro es paralelo al lado AC.
Si AB = 6 y BC = 8, calcula AC.
O En un hiángulo ABC se trazan las alturas AN,
CM y BH, tal que AM = 5, MB = 4, BN = 3 y
NC = 9. Calcula AH / HC.
G) Dos circunferencias son tangentes interiores en
el punto B. En la circunferencia mayor se traza
la cuerda AC que es tangente a la otra circunfe·
renda en el punto Q. Si AB = 7, BC = 9 y AC = 8.
Calcula AQ.
e En la figura, ABCD es cuadrado, BE= 3 y EF = 1.
Calcula x.
A)4
O)�
2
B)�
2
E) 2
C)3
A) 2
C) 1
E) 5
B) 3
0)4
e En un triángulo ABC � trazan las cevíanas
concurrentes AP, BQ y CR tal que 3AR = 2RB,
3BP = 4PC y QC = 9. Calcula AQ.
C) 3
E) 1,5
A)4
O)�
2
e De la figura, determina
el valor de x. NIVEL
B) 6
O) 8
A)S
E) 9
C) 7
REFORZANDO
• •• ••
� 'f . .11 38%. 10:56 p. m .
Del gráfico, calcula x.
A) 1
B) 2
C) 3
0)4
E) 5
11
Q
CAPITULO
9
A)l
8) ./2
C) 2
O) ./3
E) 3
En la figura, AB= 6, BC=4 y BD =3, calculaQC.
Los perímetros de 2 triángulos semejantes están
en la relación de 3 a 4; si el perímetro del mayor
es 40, ¿cuál es el perímetro del menor?
B
A)60
0)35
8) 50
E) 30
C) 45
De la figura. P y Q puntos de tangencia.
Calcula x.
e A)3
8) 2./2
C) 4
0)2./3 Q
E) 2
p
A)6
8) 2,/6
C) 5
0)4./3
E) 7
En la figura BM es mediana, AP = 2 y PB = 4.
Calcula AC.
a
A) 12
8) 18
C) 3./s M
O) 6./s
E) 12./s A O
B C
En el gráfico, BC = 3 y AD = 15. Si BM = MA,
calcula AB.
El
D
D
A)8m
O) 12 m
A) 2./3
B) 3fl
C) 4./3
O) 2./13
E) 3-J5
•
8)9 m
E)7m
R
•• ••
C)10m
� '9' . .11 38%. 10:56 p. m .
D Calcula x en la figura mostrada.
A)! í B) 2 e Q 6 X
C) 3 1 X X 0)4 o " E) 5 5 R e 3
En la figura mostrada, P y Q son puntos de tan-
gencia. Calcula AB.
En un trapecio las longitudes de las bases son 6
m y 9 m. La distancia desde la intersección de
las diagonales a la base menor mide 4 m.
Calcula la longitud de la altura.
Calcula R en la figura mostrada.
O Los lados de un triángulo miden 6; 10 y 8. 51
el perímetro de un triángulo semejante es 48,
calcula la longitud de su lado mayor.
A) 22
0)34
B) 32
E)42
C)24
p
e Enlafigura,AP=Sy C
PC = 4. Calcula BC.
� � e Los perímetros de 2 triángulos semejantes están
� en la relación de 3 a 2; si el perímetro del menor
� es 12, ¿cuál es el perímetro del mayor?
�
�
O En la figura mostrada, M, N y C son puntos de
tangencia. Calcula AB.
Logimatic 4
• •• ••
� 'f . .11 38%. 10:57 p. m .
e Dado el triángulo rectángu�ABC en el cual se
inscribe el cuadrado PQRS; PS está en la hipote-
nusa AC y AP =1 y SC = 9. Calcula PS.
C) 8
C) 10
B) 7
E) 10
B) 9
E) 12
B) 5 & ""º
C) 2.fj 6 12
D) 4 x
E) 2.Js
A) 6
D) 9
A) 8
D) 11
O� un �ángulo rectángulo ABC recto en B, en
AC y BC se ubican los puntos P y R, respecti-
vamente, tal que BP = PR; AB = 12; BC = 36 y la
distancia de P a BC es 8. Calcula RC.
O De la figura, calcula el valor de .r.
A) 2./6
e En un paralelogramo ABCD, CD=� En AB se
ubica el punto R, tal que AR= 5 y CR interseca
a BD en P. Se traza PQ (Q en AD) paralelo a CD.
Calcula PQ.
C) 4 B) 3
E) Jio
a
A "--!-------"ª""e R
B) 6
C) 5
D) 4
E) 8
A) 2
D)./6
REFORZANDO
/
� NIV_E_ L�'""
�� O Los lados de un triángulo miden 4; 6 y 7. Si el
� perímetro de un triángulo semejante mide 51,
� calcula cuánto miden los lados del triángulo.
� A)14;12y8 8)21;12y18
� C)7;6y4 D)16;24y28
§§§§ E)6;21/2y9 W O En la figurn, AB = 6 y AC = 9. Cakula RC.
� A)? B
e De la figura, calcula el valor de R.
NIVEL
A) .fj
M
B) 1 A
C) J'i_
D) 3/2 e
E) 5 p
REFORZANDO
CI) En la figura, Mes punto de tangencia; AM ff CN.
, AN NR NP
Ademés. S = T = J· 51 MQ = 3, calcula
AQ.
B
'R
Qe,¡,-1-�R
A) 3,8m
8) 4,8 m
C) 5,8 m
D) 8,5 m
E) 8,4 m
A)S
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
O PQRS es un cuadrado, AC = 12 m y BH = 8 m.
calcula QR.
O En el trapecio ABCD, BC JI AD, las diagonales se
Intersecan en P. Si AD= 2BC y la distancia de P
a BC es 4; calcula la distancia de P a AD.
REFORZANDO G En un triángulo ABC se ubican P y Q en AB y BC, respectivamente, tal que BP = BQ. La media-
na BM del triángulo ABC interseca a PQen R 51 :::8
i:�óOCc,S¡:::"'º'"'�7 �
C) 12 B) 11
E) 8
A) 10
0)9
• •• ••
� r . .11 38%. 10:57 p. m .
G) De la figura, calcula el valor de x.
A)B
B) 6 �
6ó,
X 6
C) 5 2
D) 4
E) 3
CE> En un triángulo ABC, AB = 4; BC = 6 y AC = 8.
Se traza la bisectriz A F (F en BC) y por F se traza
FN lf AC (Nen AB). Calcula FN.
D) !_l_ E).!_()_
3 3
C) ;;_
3
B) .'..
3
A)�
3
RELACIOI\IES MÉTRICAS EI\I
TRIÁI\IGULO RECTÁI\IGULO
CAPITUlO
10
B La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
34. Si la altura relativa a la hipotenusa mide 15,
calcula la medida de la menor proyección de un
cateto sobre la hipotenusa.
D En la figura,calcula x.
B
X
A e 9 H 16
A) 10 B) 11 C) 12
D) 15 E) 14
A) 12
D) 9
B) 11
E) 8
C) 10
Logimatic 4
• •• ••
� 'f . .11 38%. 10:57 p. m .
::::--: El De \<1 figura, calculax. D Calcula x.
�
A) 2./Jii A) 48º
B) 3Js B) 42º "
�
C) 4J3 X C) 41°
D) SJ'i. " D) 40º X
�
E) 6 >--3 12 E) 45º >--3 12
�
�
a En el lado AC de un triángulo equilátero ABC se
ubica el punto N; tal que NA= 3NC= 12.
Calcula BN.
IJ En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide
30 y la altura, 12. Calcula la longitud del cateto
menor.
A) 4Jfs
D) 3Jil
A) 2Js
D)6
B) 3./J4
E)4,n3
B) 5
E)2,/6
C) 4,/u
C) 3.fj
ll
A) 6Js
D)3Js
A) ,J63
D) 7
B)S,/6
E)2,/6
B),Í65
E)9
C) 2.J3
C) 8
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide
15 m y su cateto menor 3Js m. Calcula la altura
relativa a la hipotenusa.
En los lados BC y AC de un triángulo rectán-
gulo ABC, recto en B, se ubican los puntos O y
N respectivamente; tal que: DN l. AC, DN = 3,
DB = 5 y AB = 7. Calcula AN.
• •• ••
� '9' . .11 38%. 10:57 p. m .
En la figura, calcular.
A) 144/25
B) 169/25
36 . C) 121/25
D)4
E) 161/25
C) 7 B) J63
E)S
A) 6
D) ./57
En la región interior de un rectángulo ABCD
se ubica un punto P, de tal manera que PA = 9,
PB = 7 y PC = 5. Calcula PO.
O Los lados de un triángulo rectángulo se encuen-
tra en progresión aritmética de razón igual a 1.
Calcula la longitud del cateto menor.
e En la figura, calcula s.
,/?
J
e Los catetos de un triángulo rectángulo miden 15
y 8. Calcula la longitud de la mediana relativa a
la hipotenusa.
O En la figura
calcula /J.
b
15
REFORZANDO
O Las proyecciones de los catetos sobre la hipo-
tenusa de un triángulo rectángulo miden 4 m y
9 m. Calcula la longitud de la altura relativa a
la hipotenusa.
e Calcula (x + y) en el cuadrante.
A)15
B) 13
C) 11
D)9
E) 8
e En un triángulo rectángulo que tiene por catetos
a 1 y 2 m, calcula la longitud de la altura relativa
a la hipotenusa.
1--y---l
E) 2.Js
5
qJ3 o¡i 2 4 B) _l 2 A) J3
C)S,5 m B)6m
E)7m
A)Sm
D)4,5 m
• •• ••
� '9' . .11 38%. 10:57 p. m .
C) 12
NIVEL
B) 20
E) 18
A) 10
0)15
REFORZANDO
G) En un triángulo rectánguJo sus lados se encuen-
tran en progresión aritmética de razón igual a 4.
Calcula la longitud de la mediana relativa a la
hipotenusa.
e Calcula (n · b).
A) 16
B) 30
C) 40
O) 32
E) 64
12
r
REFORZANDO
/ O En la figura, calcular.
�
A)13
� �¡�
�
E)lO
�%§ O En el in tenor del cuadrado ABCD � construye � la semicircunferencia de diámetro AD. Desde el
� vértice C se traza CQ tangente a la semícírcunfe-
� rencia en P y Q en AB 51 AB = 12, calcula PQ.
A)./6 8)2 C)2./s
O) 5/2 E) 3
O En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en C,
AC = 5; BC = J65 y la proyección de AC sobre
AB mide 3. Calcula AB.
O En la figura, calculax.
41) Calcula la longitud del radio de las circunferen-
cias congruentes.
A)9./u
O) 4./6
B) 3
E) 11
C) 10
A) 3./s
B) 6
C) 4J'i_
0)5
E) 3Jj
í í
I :':::::=:,,-;; 6 ===:::: I
CE, Calcula la altura de un trapecio rectángulo en
el cual sus bases miden 4 y 9 m. Además, sus
diagonales son ortogonales
A)6
B) 7
C) 8
O) 9
E) 10
2 8
12
A) 6
0)2./6
B) 4Jj
E)JO
C) 8
O En la figura, AP = Ji. Calcula AB.
A) 2J'i. A s ___
B) 2
C) 2Jj
O) 3
E) ./6
fJ Calcula r, si 11/J = 72.
A)6
B) 7
C) 5
0)4
E) 5,5
fJ En el semicírculo de centro O, AS= BC = 20 y
MN = NP. Calcula OM.
e
r A)3
B) 6
C) 9
0)8
E) 5 l-4+--x--+--9-----<
O De la figura, ca.lcula x.
A) 10
B) 6./s
C) 11
O) BJ'i.
• •• ••
� '9' . .11 38%. 10:57 p. m .
RELACIONES MÉTRICAS EN
TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
En un triángulo, cuyos lados miden 5; 6 y 7;
calcula la longitud de la menor mediana.
CAPITULO
11 :-.:::
�
Dado un tnángulo ABC, se cumple
���
a2=/J2+2+1,6bc.Calcula la medida del mayor��
ángulo interior del triángulo �
A) 120º B) 125º C) 130º �
D) 135º E) 143º �
�
a
C)4 B) 2,/s
E)2./6
A) 5
D).fi3/2
D
Los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC mi-
den 9; 6 y 5 respectivamente. Calcula la longi-
tud de la bisectriz exterior relativa al lado AC.
En un triángulo de perímetro 36 m, una bisectriz
interior determina en el lado opuesto dos seg-
mentos de 5 y 7 de longitud. Calcula la longitud
de dicha bisectriz.
D
A)7
D) 4v'6
B) 2,Í?
E) 9
C) 8
A)Jios
D) 12
B) u
E) 6,/2
En un triángulo ABC. se traza la ceviana interior
BN, de tal manera que NC = AB = BC = 2NA = 4.
Calcula BN.
En una semicircunferencia de diámetro AB de
longitud 6 se traza una cuerda BP y punto Q de
esta cuerda se une con A. 51 PQ = 3 y QB = 2,
calcula AQ.
El
A) 2
0)2,/2
B) ./6
E)3
C)S/2
D
A)4
0)3-13
B)2,/s
E)M
C) 5
• •• ••
� '9' . .11 38%. 10:57 p. m .
A) 120°
D) 105°
B) 100º
E) 130°
C) 110°
10 y
A)12
0)17
B) 14
E) 18
C) 16
En un triángulo ABC, AB = 14, BC
AC = 6. Calcula m.{C.
Un ángulo interior de un triángulo rrude 53° y
los lados que lo forman miden 10 y 21. CalcuJa
la longitud del tercer lado.
D Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz inte-
rior AD y la mediana AM, de manera que AD=
DM. Si (AB)(AC) = 4, calcula BC.
Las bases y los lados laterales de un trapecio
miden 12; 3; 7 y 6 respectivamente. Calcula la
longitud de la altura.
A)4
D)6
8)3
E)4,5
C) 5
B) ¡ ./7
E)� !fo
5
O Los lados AB, BC y AC de un triángulo miden 5,
7 y 8 respectivamente. Calcula la longitud de la
mediana relativa al lado AC.
O Los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC
miden 13; 15 y 14 respectivamente. Calcula la
longitud de la altura relativa al lado AC.
O En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior
BT, tal que TA= AB= BC=3TC=3. Calcula BT.
<;»
� O Las bases y los lados laterales de un trapecio mi- �
den 9; 5; 6 y 7, respectivamente. Calcula la suma �
de los cuadrados de las diagonales. �
�
�
• •• ••
� 'f . .11 38%. 10:57 p. m .
O En un triángulo ABC, AB = 5, la altura BH (H en
AC) determina los segmentos AH = 4 y HC = 3.
Calcula BC.
O Los lados de tITT triángulo miden 7; 8 y 9. Calcu-
la la longitud de la altura relativa al lado inter-
medio.
e En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior
BN, tal que NA= 2, NC = AB = 4 y BC = S.
Calcula BN.
C) 7 B) 8
E) 10
E)Ji?
2
A) 9
D) 6
O La suma de los cuadrados de los cuatro lados de �
un trapezmde es 160 y el segmento que une los �
puntos medios de las diagonales mide 2. Catcu- � ; r: '·:::t"'";:::"°·'· I
O En un triángulo ABC, se traza la ceviana mtenor
�
��;,�:0q��NA=8C=3AA8=2NC=2
�
A) Jf6 B) Jf9 C) Jf6 �
2
D) Jf9
2
O En� paralelogramo ABCD, Mes punto medio
de BC, tal que, AM = 10, MD = 8 y la proyección
del lado CD sobre la prolongación de AD mide
2. Calcula BC.
C) 3./6
C) 2'. 2
C)S
I\IIVEL
E) 4
B) JIT
B) 2./5
E)4
B) 2./6
E)3./7
A) 6
D)3./2
A) 3
D)JD
A)3./s
D) 2./5
REFORZANDO
O Los lados AB, BC y AC de un triángulo obtus-
ángulo ABC, obtuso en A miden 3; 6 y 4 respec-
tivamente. Calcula la longitud de la mediana
relativa al lado AC.
G) La proyección del lado AB sobre el lado AC de
un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en A,
mide 3. Si AB = 7 y BC = 9, calcula la longitud
de la proyección del lado BC sobre el lado AC.
O Las bases y un lado lateral de un trapecio isós-
celes miden 3; 7 y 5 respectivamente. Calcula la
longitud de una diagonal.
C) 83
NIVEL
B) J40
E) J44
B) 84
E) 80
A)#l
D)"43
A) 87
D) 81
REFORZANDO
e Los lados de un triángulo miden 4; 6 y 8. Calcu-
la la suma de los cuadrados de las longitudes de
las tres medianas. C) 7
C)S
B) J46
E) Jyf
A)4 B) 13
2
D)Jf,i E)3
2
A)8
D)6
41) En un paralelogramo ABCD, Mes punto medio
de BC, tal que, AM = 8, MD = 6 y la proyección
del lado CD sobre la prolongación de AD mide
2. Calcula BC.
C) 7
Logimatic 4
B) 8
E) 10
A) 9
D) 6
I\IIVEL REFORZANDO
• •• ••
� 'f . .11 38%. 10:58 p. m .
D) 4
E) 2./3
G En la figura, calcular.
12
A
A)3 6)4
D)2 E)6
C) 5
e
6
CIPhUIO
12 RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
a En la figura, calcula el valor de X.
A)./s-1
B) ./3+ 1
C)./3-1
D)./s+l
E) .Js + ./3
2
IJ En la figura, PQ = l, QR = 4 y OR = 6. Calcula r.
A)S
B) 3./3 ,/
C) 4
o/
D) 2}(,
p
E) 3 R r
• •• ••
� 'f . .11 38%. 10:58 p. m .
En la circunferencia de centro O se traza la cuer-
da AB y se uneun punto M de la cuerda con el
centro de la circunferencia. Si AM = 2, MB = 4 y
OM = 3. Calcula la longitud del radio.
D
X
N"
e
A
En la figurn, calcula x.
A)9
B) 8
C) 7
D)6
E) 5
C)4 8)3,,'3
E)M
A)5
D)2./s
El
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
traza la bisectriz interior BD; por D se traza una
perpendicular OH .l AC, H en BC.
Si AB + BH = J2, calcula 80.
a
A)2,Í2
0)2
8) 1
E)3
C) ,Í2
fJ En la figurn,calcula (n·b).
A) 12
B) 14
C) 15
0)18
E) 20
El Los lados de un cuadrilátero inscrito en una cir-
cunferencia son proporcionales a 1; 2; 3 y 4, en
forma correlativa. Si su perímetro es 20, calcula
el producto de sus diagonales.
A)52
D) 46
8)50
E)44
C)48
IJ En la figura, caícula Ix + y)
A) 36
8) 30
C) 34
D) 32
E) 28
Logimatic 4
• •• ••
� 'f . .11 38%. 10:58 p. m .
Calcula x en la figura.
A)6
B) 7
C) 8
0)9
E) 10
Calcula a, en la figura mostrada.
A) 45º
B) 53º 6 1
C) 60° 6
O} 66Q 1
E) 75º
O En la figura
calcula x.
e En la figura
calcula 11.
e En la figura
calcula x.
O En la figura, calcula
PT,si AB=2y
BC :4; By T
puntos de
tangencia.
.,·
T
A
1l
I'
9
e
A) ./6 T p
8) 3 A
C) Js B
0)2
E) J3 e
O En la figura mostrada, BC = 2 y AB = 1 (B y T
puntos de tangencia). Calcula PT.
e En la figura, calcula x.
A)4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
X
NIVEL
A)8
B) 7 B
C) 6 E 5 o r D) 9 D X e
E) 10
REFORZANDO
O En la figura, determina el valor der.
e En la figura,calculax.
A)6
• •• ••
� '9' . .11 38%. 10:58 p. m .
O De la figura, calcula x.
A) 2J'f x
O En un cuadrilátero inscrito en una circunferen-
cia, una diagonal es el doble de la otra y la suma
del producto de sus lados opuestos es 18.
Calcula la longitud de la diagonal menor.
C) 7
NIVEL
B) 8
E)S
A)9
O) 6
REFORZANDO
:-.:::
�
�
E9 !:ndo BC = 5,C0=4, EF=2y FG =4, calcula
�
A
e En una circunferencia la cuerda AB mterseca a
las cuerdas CD y EF en M y N respectivamente,
de modo que AM = NB, CM =8, MD=3 y NF=4
Calcula EN
B) 4
E) ./6
A)M
O) 3
REFORZANDO
B) 6
C) 2,ÍS
0)5
E) 2-/3
A)3
B) 2 G B
C) 1 e
O) 4 o
E) 5 F
E
y
Q
4 B) 5
C) 6
O) 7
E) 8
C!) Calcula AB, P y Q son puntos de tangencia.
A)4
X
O Calcula (x + y) en la figura.
A) 40
B) 38
C) 36
O) 34
E) 32
e En la figura, F punto de tangencia y AF = 1 O.
Calcula AB.
e
2
X
0)3
8
A
C) _5
2
Logimatic 4
B) 2
G) En una serrucircunferencía de diámetro AB y
centro O, se traza el radio ON y la cuerda BM
que se cortan en P. 51 los arcos AM y BN son
congruentes, OP = 4 y PN = 1, calcula PM.
G) En la figura, AB · BC = 64. Calcula x.
A)8
B) 9
C) JO
O) JI
E) 12
G, En la figura calcula x.
A)4
B) 5
C) 6
O) 7
E) 8
0)10
E) :;.Ji,
A) 3M
B) 12
C) 4,ÍS
O En la figura,calcula x.
A)6
B) Jfo
C) 5
0)2-/3
E) 4
� '9' . .11 38%. 10:58 p. m .
•• •• •
El exradio relativo a la hipotenusa de un trián-
gulo rectángulo mide 20 y su inradio mide 3.
Calcula el área de la región triangular corres-
pondiente.
Las longitudes de las diagonales de un trnpezoi-
de son 24 y 32, y el éngulo que determinan mide
150u. Calcula el área de la región cuadrangular
correspondiente.
ÁREA DE REGIONES
POLIGONALES
C)304 B) 366
E) 192
A) 384
O) 248
11
C)90 B) 30
E)75
CAPITULO
13
A)60
0)45
La circunferencia exinscrita a un triángulo rec-
tángulo ABC, relativo al cateto BC es tangente
en Ta la prolongación de la hipolenusa AC; tal
que TC = 2 y TA= 15. Calcula el área de la re-
gión triangular correspondiente.
Las longitudes de dos lados de un romboide son
16 y 20, y uno de los ángulos internos mide 53"
Calcula el área de la región limitada por dicho
romboide.
B
A) 30
0)60
B) 36
E) 6.JlS
C)45
A)276
O) 248
B) 264
E) 236
C)256
B
B En la figura el área de la región triangular ABC
es 36 m2. Calcula el área de la región sombrea-
da.
D ABCD es un cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia cuyo radio mide 7. 51 BC = 12 y
AD= 18, calcula el área de la región ABCD.
A) 6 m2
B) 8 m2
C) 9 m2
D) 3 m2
E) 4 m2
A) 220
O) 190
B) 210
E) 180
C) 200
fJ
A) 54 m2
D) 27.fj m2
•
B) 36.fi. m2
E) 72 m2
•• ••
C) 64 m2
� 9 . .11 37%. 10:58 p. m .
IJ En la figura, QF = QE y PQ = 3 m. Calcula el
área de QFOE.
A) 18 m2 F
13) 16m2 r Q
C) 15 m2
D) 12 m2
E) 9 m2 o E X
En un trapecio isósceles la base mayor mide 12
m y los lados no paralelos 6 m, además, sus dia-
gonales son perpendiculares a los lados no para-
lelos, calcula el área de la región trapecial.
A) 172
0)198
B) 184
[)204
C) 192
A) 110
D) 140
B) 120
E) 150
C) 130
Las longitudes de la mediana y la altura de un
trapecio son 16 y 12, respectivamente. Calcula el
área de la región trapecial.
Los lados AB y CD de un cuadrilátero ABCD,
circunscrito a una circunferencia de radio 5, mi-
den 9 y 13, respectivamente. Calcula el área de
la región ABCD.
O En un triángulo, la longitud de un lado es el du-
plo de la longitud de la altura correspondiente
y el área de la región triangular es igual a 100.
CakuJa la longitud de dicha altura.
O Calcula el área de la región limitada por un cua-
drado circunscrito a una circunferencia de 4 m
de radio.
�
� � e La hipotenusa y un cateto de un triángulo rec-
� tángulo miden 37 y 35, respectivamente. Calcu- �
la el área de la región triangular correspondíen-
� te.
�
Logimatic 4
e Determina el área de la región del cuadrilátero
que se forma al unir los puntos medios de los
lados de un rectángulo de lados 8 m y 12 m.
• •• ••
� '9' . .11 37%. 10:58 p. m .
O Los exredíos de un triángulo miden 1; 2 y 3, ade-
más el inradio mide 6/11. Calcula el área de la
región triangular correspondiente.
e Los lados de un triángulo miden 9; 10 y 11. Cal-
cula la longitud del exredío relativo al lado me-
nor.
C)l4
C) 2020
C) 16 µ2 B) 14 µ2
E) 20 µ2
B) 2180
E) 1900
6)6,/6
E) 16
A) 12
0)8,/3
A) 2240
D) 1938
A) 12 µ2
D) 18 µ2
A) 90 m2 B
B) 86 m2
C} 72 m2 F
D) 100 m2
E) 96 m2
e
A e
O Las longitudes de los lados de un cuadrilátero
inscrito en una circunferencia miden 52; 33; 56 y
39, respectivamente. Calcula el área de la región
cuadrangular correspondiente.
G) En la figura el área de la región sombreada es 3
m2• Calcula el área de la región triangular ABC.
O Las diagonales de un trapecio ABCD, BC // AD
se intersecan en T; tal que las áreas de las regio·
nes ATO y BTC son 24 µ2 y 6 µ2, respecttvamen-
te. Calcula el érea de la región BCD.
G Un cuadrado es equivalente a un rectángulo cu-
yas dimensiones son 8 y 12. Calcula la longitud
de la diagonal del cuadrado.
C) 3
B) 8
E) 3,/6
B)3JíT
A) 5./2
D)9
A) 6
D)
6JíT E) ,/6
11
REFORZANDO
/
� NIV_E_ L�'""
�� O En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y un
� cateto miden 29 y 21 respectivamente Calcula
� :)á;: de la ,egi:;l::•ngula, C) 220
� 0)210 E)l90
�� O Losladosdetmtnángulomiden11;12yl3 Cal-
�
c�la el área de la región tnanguJar correspon-
diente
A)64 8)18,ÍS C)6J105
D) 60 E) 2W
C, La circunferencia inscrita a un triángulo rectán-
gulo ABC, recto en B, es tangente al lado AC en
T; tal que AT = 10 y TC = 3. Calcula el área de la
región triangular correspondiente. REFORZANDO NIVEL
A)60
D)32
B) 50
E) 30
C) 48
- ¿Qué parte del área de la región triangular ABC
es el área de la región sombreada?
E)�
7
2k
..__ __ =c
p
q!
4
B) _8_
21
A)!
3
B
C) 196 B) 180
E) 148
A) 160
D) 172
REFORZANDO
G Las longitudes de las bases y de la altura de un
trapecio son 8; 24 y 10, respectivamente. Calcula
el área de la región limitada por dicho trapecio.
• •• ••
� r . .11 37%. 10:59 p. m .
C) 40 µ2
D) 44µ2 n
E) 50 p2 A¡,:_ ...::,,;¡
C) 15 m2
:-.:::
�
E)20ni A Q D
�
f.D En la figura, ABCD es un paralelogramo cuya
��
área de su región es 120 �t2 Calcula el área de la �
región sombreada
A) 30 p2 8 b N b C8) 36 p2
e ABCD es un paralelogramo, rvtN // BC, PQ // AB,
si SMBPF = 10 m2, calcula SFNDQ
C) 64 m2
D) J'i E) _l_ 2 2
B) 54 m2
E) 68 m2
B) .f6 C) 1
A) 60 m2
D) 72 m2
A)2
fl> Calcula el área
de la parte
sombreada de
la figura.
4!) En los lados AB y BC de un trapezoide A BCD se
ubican los puntos medio M y N, respectivamen-
te, tal que SAMD = 36 m2 y SNco = 24 m2. Calcula
SMONB·
EJ Calcula el érea del segmento circular sombrea-
do.
ÁREA DE REGIONES
CIRCULARES
a Calcula el área de la parte sombreada. (Los cír-
culos son congruentes).
CAPITUIO
14
A) rr
B) rr/2
C) 1
D) 2n
E) 1,3
A) 3(2rr - 3J3)
B) 2(2rr + ,/3)
C) 4(3rr - 6J3)
D) 2(rr + .f6)
E) S(rr - ./3)
O 60°
6
Logimatic 4
• •• ••
� r . .11 37%. 10:59 p. m .
región sombreada. e
A) 9(8-n)
B) 6(6 + n)
12
C) 3(12 + rt)
D) 12(6-n)
E) 6(3 + n) D
D Si ABCD es un cuadrado, calcula el área de la ::::--: El Si ABCD es un rectángulo, calcula el área del
�
círculo sombreado. P y Q puntos de tangencia.
A)n B e '
�
' B) 2n ' :r
C) 3n 6 6
�
D) 41t Q:
E) Sn 2
�
A D
�
Se tienen dos circunferencias concéntricas, si la
cuerda A 8 de la circunferencia mayor es triseca-
da por la menor. Calcula el área de la corona, si
AB = 12.
En la figura, calcula el área de la región sorn- a
A) 32rr
D) 28n
B) 33,
E) 24,
C) 36n
fJ
breada.
A) 64n
B) 12(4n+3J3)
C) 60n
O) 18(3n + 2J3)
E) 58n
.
\�2
B Calcula el área de la parte sombreada de la figu- D Calcula el área del círculo.
ca.
A) 4(3J3- n)
B) 2(J3+,)
C) 3(v'2 + •)
O) 3(3J3- n]
E)n+2 60º
. :2
60°
A) 41t
B) Sn
C) 6n
D)Bn
E) 9n
6 8
• •• ••
� r . .11 37%. 10:59 p. m .
En la figurn, calcula el área de la región som-
breada.
60º
.
\6 . ..
A) 3(2n + 31:J)
B) 2(n + 6h)
C) 4(3n - 21:l)
D) 6(n- h)
E) 3(n + J:j¡
A) 2n
B) 3n
C) 4n
D) 5n
E) n
Calcula el área de la parte sombreada.
O Calcula el área del A
círculo, si
O Calcula el área OA = 08 = (fl + 1).
del círculo. ' '
' '
o B
e Calcula el área O Calcula el área de 18 B la región sombreada. A
del círculo. 3 4 . . ' ' . . ' ' . '
D e
4
·., r · ..
B
3
A)12-3n
B) 10-2n
C)4+n
0)6-n
E) 3+rr AL.._�-""�""-�����"'-c
REFORZANDO
O En el interior de un cuadrado de 10 cm de lado
se inscribe un círculo. Calcula el área del círcu-
lo.
�
�
� O En la siguiente figura, calcula el área de la re-
� gión sombreada.
�
�
A) 20n
D) 35n
B)25n
E)40n
C)30n e Calcula el área de la parte sombreada.
A)2n
B) 8(4-n)
C) 4(2 + n)
D)3(5-n)
E) 3n
• •• ••
� '9' . .11 37%. 10:59 p. m .
O Calcula el área de la región sombreada.
' ' ' C) 20, 8 ' ' ' ' ' ' ' D) 36 ' ' ' ' ' '
E) 18•
,,,
A 8 D E
A) x + 6
B) 3,
C) 2n+5
O) 4n
E)3n+2 p
A) 6n cm2 B
r B) 18 cm2 C) Src cm2 6cm
D) 20 cm2 1 E) 9n cm2
el;) ABCD es un cuadrado, P, Q, R y S son puntos
medios. Calcula el área de la parte sombreada.
O En la figura, (AP)(AQ) = 60. Calcula el área de la
región sombreada.
4 E) 10(,-1)
C)3(,+1)
D)8(,-2)
A) 5(n+3)
B) 6(2• - 5)
REFORZANDO REFORZANDO NIVEL
2
e Calcula el área de la región sombreada.
A)2x-4
B) 2,-2
C)2,-1
D)2x+1
E) 2,-3
G Calcula el área de la región sombreada. ABCD
es un cuadrado.
8 e
A)4(n-2)
8) 6(•-3) S,"-
C) 2(• + 2) 1¡ ___ --
D)3(n+l) ---
E)x+2 A D
O Calcula el área de la parte sombreada.
A) 9n cm2
B) l81t cm2
C) 36n cm2 6 cm
D) 12n cm2
E) 81t cm2
G} Calcula el área de la parte sombreada.
A) 1t + 2
8) •
C)x+3
D) 21t
E)n+l
O Calcula el área de la parte sombreada.Pes pw1-
to de tangencia.
41) Calcula el área de la parte sombreada. El hexá-
gono es regular y los sectores circulares con-
A) 18(4 - rt)
B) 12(n + 1)
C) 6(, + 3)
D) 10(5- n]
E)n+2
3 ,'
__ ,, p
gruentes y tangentes.
A) 4n cm2
B) 61t cm2
C) 81t cm2
O) 10n cm2
E) 16n cm2
• •• ••
� 'f . .11 37%. 10:59 p. m .
Q> ABCD es un cuadrado, calcula el área de la par-
te sombreada:
B.---7"1C
f3 En la figura, calcula el área de la región som-
breada. 720
A) 6n A) 20n
B) 4n B) 3(2n + 3h) 54°
C) 3n C) 18n • . .
D) 2n D) 2(5n- Js) \ 10
E) rr A 6 D E) 161t
RECTAS V PLANOS EN
EL ESPACIO
CAPITULO
15
A)�
2
B) ,/34
2
C) 2 D)� 2
E)J}o
2
El
A) 10
D) 16
B) 12
E) 18
C) 15
D Desde el centro M de un cuadrado Al3CD de
lado 1 µ, se levanta la perpendicular MP al pla-
no del cuadrado. Calcula la longitud de MP
conociendo que la distancia de P a uno de los
vértices del cuadrado es 3 µ.
Se tiene dos planos paralelos P y Q distantes 20.
Calcula la proyección de AB sobre Q, si AB = 25.
A está en P y B está en Q.
EJ
A) 130
D) 170
B) 190
E) 200
C) 195
a Desde el centro P de un rectángulo ABCD, se le-
vanta la perpendicular PT al plano del rectángu-
lo; tal que PT = 21, AD= 32 y CD= 24. Calcula
TB.
¿Cuántos planos determinan como máximo 10
puntos y 6 paralelas?
A) 26
D) 29
B) 27
E) 30
C) 28
• •• ••
� 'f. . .11 37%. 10:59 p. m .
::::--: u Si un plano es paralelo a una recta· D Cuando dos planos son perpendiculares:
�
A) Toda perpendicular a la recta es paralela al A) Todo plano pei pendicular a uno de ellos lo
plano. es también al otro.
�
B) Toda recta paralela al plano es paralela a la B) Toda recta perpendicular a la intersección
recta dada. de ambos debe estar contenido en uno de
�
C) Todo plano perpendicular al plano dado es ellos.
paralela a la recta dada. C) Todas las rectas de uno de ellos son perpen-
D) Toda recta que es perpendicular al plano tte- diculares al otro.
�
ne que ser perpendicular a la recta. D) No siempre se cortan.
E) La recta es paralela a cualquier recta cante- E) Todo plano perpendicular a su intersección
�
nida en el plano. es perpendicular a ambos.
A)6
D)9
B) 7
E) 10
C) 8
m Si una recta es perpendicular a dos rectas:
A) Estas rectas son paralelas entre sí.
B) Estas rectas se cortan.
C) Todo plano paralelo a una de las dos rectas
será perpendicular a la primera recta.
D) Todo plano perpendicular a una de la dos
rectas será también perpendicular a la otra
de las dos rectas.
E) Ninguna de las afirmaciones anteriores com-
pleta correctamente a la proposición inicial.
II Con II puntos y 8 rectas dispuestos en el espacio
se han determinado como máximo 184 planos.
Calcula 11.
A) 16 m
B) 18 m
C) 17 m
D) 19 m
E) 20 m
B '---� e
A A)10,Ssm
D) 13'5 rr m
B)12Js°n:m
E) 15'5• m
C)20m
a En la figura la circunferencia está contenida en
el plano P y tiene diámetro de 9 m, la distancia
de A al plano es 8 m. Calcula AB, si AC = 10 m.
(BC: diámetro)
Por un punto O que dista 10 m de un plano se
traza a él un segmento OP de 15 m. Calcula la
longitud del lugar geométrico de los puntos P.
• •• ••
� '9' . .11 37%. 10:59 p. m .
O Desde el centro O de un cuadrado ABCD de
lado 6, se levanta la perpendicular OE al plano
del cuadrado; tal que OE = 4,/3. Calcula ED.
Calcula el área de la región HDQ.
O Se tiene un plano P y un punto A exterior. En
el plano se encuentra una circunferencia de
diámetro 10 m. Si la mínima distancia entre la
circunferencia y el punto A es 10 m, calcula la
mayor distancia entre el punto A y la circunfe-
rencia, sabiendo que A dista del plano 6 m.
e Sea M y N dos planos paralelos que distan entre
sí 40 m. La proyección de AB (con A en M y Ben
N) sobre el plano N rrude 30 m. Calcula AB.
D
A\
' ' ' H'--,\ 'f,
p
e En la figura, AH es
perpendicular al
plano P, AH= 12;
HQ=9; AD= 17.
REFORZANDO I\IIVEL O En la figura, AP es perpendicular al plano H. Si
AP = 12; AB = 5 y BC = 9, calcula PC.
O La recta L. de intersección de dos planos X e Y,
perpendiculares entre sí, es paralela a una recta
R del plano X y a una recta 5 del plano Y. Si la
distancia entre I' y Res 16 cm y entre L y Ses
12cm, calcula la distancia entre R y S.
O Señale la afirmación falsa:
l. Una recta que es paralela a dos planos que
se cortan, es paralela a su intersección.
11. Una recta y un planoperpendiculares a una
recta, son paralelos.
W. Una recta que forma ángulos iguales con
otras tres rectas que pasan por su pie en el
plano, es paralela a dicho plano.
IV. Es imposible trazar desde un punto dos per-
pendiculares distintas a un mismo plano.
V. La proyección de un segmento paralelo a un
plano es igual a la longitud del segmento.
A) 14 p
B) 6./6
C) 16
A
D) 5Jfij B e
E) 15
C) 28 fl
I\IIVEL
B) 30 µ
E) 25 µ
A) 31 µ
0)26 µ
REFORZANDO
O Se tiene un segmento AB, la diferencia de las
distancias de A y B a un plano exterior es 7 �l. Si
la proyección de AB sobre el plano es igual a
24 µ, calcula AB.
O La recta L de intersección de dos planos P y H,
perpendiculares entre sí, es paralela a una recta
L1 del plano P y a una recta L2 del plano H; tal
que la distancia entre L y L¡ es 12 y entre L y
� es 35. Calcula la distancia entre L¡ y L2•
C) 16 cm
C) 11
B) 15 cm
E) 20 cm
B) 111
E) IV
A) 1
D)V
A) 14 cm
D) 18 cm
e Decir si es verdadero (V) o falso (F):
l. Si dos planos son paralelos a la misma recta,
entonces dichos planos son paralelos entre
sí.
� � e Con n rectas paralelas y 6 puntos en el espacio
� �;�?/
1
�te,mm:::
0como máx:::� planos.
�
0)13 E)12
�
A)36
0)39
8)37
E)40
C) 38
• •• ••
� 'f . .11 37%. 11 :00 p. m .
11. Dadas dos rectas que se cruzan, entonces
siempre existe una recta perpendicular en-
tre ambas.
lll. Todos los planos paralelos a un plano son
paralelos entre sí.
IV. La intersección de 3 planos es necesariamen-
te una recta.
O Si una recta es perpendicular a tres rectas dadas:
A) Las tres rectas dadas tienen que ser parale-
las.
B) Las tres rectas dadas tienen que estar en un
mismo plano que contenga a la perpendicu-
lar.
C) Por las tres rectas pueden pasar tres planos
paralelos entre sí.
D) Por las rectas dadas no pueden pasar planos
paralelos entre sí.
E) Las tres rectas tienen que ser cruzadas o ala-
beadas.
41) Un triángulo equilátero ABC esté en un plano
perpendicular a un cuadrado ABDE. El segmen-
to que une el punto medio de AC con el punto
medio de BD, mide 2 m. Calcula ED.
C) 2,5 m
NIVEL
B) 3 m
E) 1 m
A)4m
D)2m
REFORZANDO
41) Indica la proposición verdadera·
A) Dos planos pueden tener un único punto co-
mún.
B) Si dos planos son distintos y tienen por Jo
menos un punto en común entonces son se-
cantes.
C) Dos planos secantes pueden ser paralelos.
D) Si dos planos tienen por lo menos un punto
en común, entonces son coincidentes.
E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es
correcta.
C) FVVF B) FFFV
E)FVFV
A)VVVF
D) FFVV
f!) Se tiene un segmento PQ secante a un plano tal
que las distancias de P y Q al plano miden 5 y 7.
Además la proyección de PQ sobre el plano es
igual a 5 µ. Calcula PQ.
O Un punto P se mueve permaneciendo a 7 m de
los extremos de AB cuya longitud es de 10 m.
Calcula el área de la región limitada por el lugar
geométrico de los puntos P.
G) En el plano P se tiene una circunferencia de
diámetro AB de longitud igual a 5 m, por B
se levanta una perpendicular BC a P y sobre
la circunferencia se toma un punto O tal que
CD= AB. Calcula el área de la región triangular
ACD,si BD=3m.
G) Desde el punto exterior A a un plano H, traza-
mos la perpendicular AO y dos oblicuas AM y
AN. Calcula la distancia de MN al punto O, sr
A0=4, AM = AN =5 y MN = 4
A).f5. B)./5 C)S
D)3 E)./3
C) 12 m2 B) 6 m2
E) 10 m2
A) 14 m2
0)8 m2
C) B
C) 32rr B) 36rr
E) 24n
B) 10
E)17
A)49n
D) 25n
A)IS
D) 13
e Tres planos paralelos determinan sobre una :::8
recta secante L¡, los segmentos AE y EB y sobre ��
otra recta Li secante, los segmentos CF y FD. 51 � �
AB = 8 rn, CD = 12 rn y FO- EB = 1 rn, calcula �
:;�''.:cdeCF
B)7m C)Sm
�
º"" "'" �
• •• ••
� r . .11 37%. 11 :oo p. m .
Dado un ángulo diedro, tal que las distancias de
un punto exterior, a las caras y la arista miden:
10,Í2; 12 y 20 µ,respectivamente.Calcula la me-
dida del ángulo diedro.
CAPITULO
16 :-.:::
�
Dos cacas de un triedro miden 120" y 130"
ce�
pectlvarnente, la tercera cara puede medir· - ��
A) 10" B) 20° C) 110º �
D) 120º E) 130" �
�
11
C)82º B) 72º
E) 98°
A) 68"
D) 90"
D
Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB
(AO = OB = .Ji.). Por O se levanta la perpendicu-
lar OF al plano del triángulo. Calcula OF, para
que el diedro AB mida 30".
EJ
A):!'.
2
C) 3,(3 E) ,Í3
2
11 Dado un triángulo rectángulo isósceles, siendo
AO = OB = f6 m, en el vértice O se eleva una
perpendicular al plano AOB y se toma un punto
M sobre esta perpendicular, uniendo M con los
vértices A y B. Calcula el valor de OM para que
el diedro AB mida 60".
A)3m
D) 1 m
B) 2 m
E) 5 m
C)4m
Un ángulo diedro mide 60". ¿A qué distancia de
la arista se encuentra un punto P, si se halla a
20 µ de cada cara?
IJ
A) 30 µ
D)42µ
8)36µ
E)46µ
C)40 µ
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
traza la altura BH, luego se traza AP perpendi-
cular al plano que contiene al triángulo ABC, de
modo que la m4APH = m4PCA. Calcula la me-
dida del diedro BC
A) 60"
D) 37"
B) 53"
E) 30"
C) 45"
• •• ••
� '9' . .11 36%. 11 :00 p. m .
C) 90" B) 75º
E) 30"
A) 60"
D) 45º
Sea ABC un triángulo equilátero de 18 µ de lado
cuyo ortoccntro es M. Si en M se levanta una
perpendicular MD = ffi µ al plano que contiene
al triángulo, calcula el ángulo diedro formado
por el triángulo ADC y ABC.
D
distancia entre sus centros.
A) 6./3
B) 2J2 + .J2 F B
C) 3)2_ .J2 e
D) 3./3
E) J2 +./2 A
La figura muestra dos cuadrados que forman un
diedro que mide 45º. Si el lado mide 6, calcula la
Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en
8, tal que AB = 15 y BC = 20. Por B se levan-
ta una perpendicular BR al plano de triángulo
ABC. Si BR = 12, calcula la medida del diedro
formado por el triángulo ABC y el plano deter-
minado por los ptmtos A, R y C. es: p
A) 3J1539
B) 12
M
C) 16 L
D) 13
E) 3J1339
N
En la figura, el triángulo equilátero LMN está
inscrito en la circunferencia cuyo radio mide 6
cm. Si PM = 2MN y PM es perpendicular al pla-
no que contiene a la circunferencia, el área en
cm2 de la región que encierra el triángulo PLN
C) 60" B) 45º
E) 37°
A) 30"
D)53º
D
O Se tienen un triángulo rectángulo ABC, recto en
B, AB : 6 µ y BC = 8 µ. Por B se levanta la per-
pendicular BE al plano del triángulo rectángulo
ABC, tal que el ángulo diedro que forman ABC
y AEC sea igual a 45º. Calcula BE.
e En un ángulo triedro O - ABC, los ángulos de
sus caras miden m,(AQC = m4BOC = 45° y
m,(AQB = 60"; entonces la medida del ángulo
diedro A - OC - B es:
e En un ángulo diedro, las distancias de un pun-
to interior a las caras y a la arista miden 4.fi. µ,
4 �l y 8 µrespectivamente.Calcula la medída del
ángulo diedro.
<;»
� O Se nene un cuadrado ABCD y un triangulo �
equilátero ABE, no coplanares Calcula la me- �
dída del diedro formado por dichas figuras para �� � �/
que las áreas de los tnángulos AEB y OCE estén �
enla razon de vjr t
�
• •• ••
� 9 . .11 36%. 11 :00 p. m .
O El área de la proyección de un cuadrado sobre
un plano que pasando por su diagonal forma un
ángulo de 60" con el plano del cuadrado, es
18,2 cm2. El área de la región del cuadrado es:
e La distancia EA del punto E del espacio a una
recta contenida en un plano es 17 cm y la distan-
cia del mismo punto E al plano es 15 cm. Calcu-
la la longitud de la proyección de EA sobre el
plano. C) 37"
C) 28 cm2
B) 36"
E) 53"
13) 26 cm2
E) 36 cm2
A) 24 cm2
D) 30 cm2
A) 30"
D) 45"
REFORZANDO
O Se tiene un triángulo ABC, en el cual AB = 13;
BC = 15; AC = 14. Se eleva por B, BF perpendi-
cular al plano ABC, siendo BF = 16. Calcula la
medida del ángulo diedro que determinan los
planos AFC y ABC.
e El área de la proyección de un cuadrado sobre
un plano que pasando por su diagonal forma
60" con el plano del cuadrado, es 18 cm 2. Calcula
el érea de laregión cuadrada.
C)9cm
I\IIVEL
B) 18,2.fi. cm2
D) 21,3 cm2
B)Scm
E) 11 cm
A) 36,4 cm2
C) 9,1 cm2
E) 31,6 cm2
A) 7cm
D) 10 cm
REFORZANDO
C) 45" 8) 37''
E) 60"
A) 30"
D) 53"
O En el triángulo rectángulo ABC recto en B, los
lados miden AB = 6 y BC = 8. Por el vértice B
se traza BF perpendicular al plano ABC, tal que
BF = 4,8. Calcula la medida del ángulo diedro
que forman los planos ABC y AFC.
C) 37" B) 60"
E) 45º
e Se tiene un triángulo rectángulo ABC; recto en
8, AB = 12; BC = 16. Por el vértice B se levanta la
perpendicular BF al plano de ABC. Si BF = 9,6;
calcula la medida del ángulo diedro que forman
ABCy AFC.
A) 30"
D) 53"
O En la figura, e= 14-0°;b = 120". Calcula el interva-
lo de la tercera cara a.
C) 60"
C) 30"
B) 30"
E) 45"
B) 45"
E) 53"
A) 60"
D) 37"
A) 53"
D) 37"
G) Por el vértice B de un triángulo equilátero ABC
se levanta la perpendicuJar BE al plano del
triángulo. Calcula el ángulo diedro que forman
los planos ABC y AEC, si BC = 6 y BE= 3./3.
O En el triángulo rectángulo ABC los catetos AB y
BC mid� 15 y 20 m respectivamente. Por B se
levanta BP perpendicular al plano del triángulo,
luego se une P con A y C. Calcula la medida del
diedro AC, si BP = 16 rn.
.»
C)3 B) 2
E) 5
A) 10" y 120"
B) 30" y 100"
C) 20" y 100"
D) 40" y 115º
E) 30" y 120"
A) 1
0)4
e En un triángulo AOB, recto en O, AB = 2AO = 4 µ.
Si OM es perpendicular al plano del triángulo y
la medida del ángulo diedro O - AB - Mes igual
a 6(1'. Calcula OM.
• •• ••
� 'f . .11 36%. 11 :00 p. m .
pendicular al plano AOB, sobre la que se toma
7a,/6 . OM = - 6- y se une el punto M con los vértices
A y B. Calcula el valor de la medida del diedro
A8.
C)92º
B) 2.J'i
E) 3
8) 104º
E) 66º
A) 114°
D) 74º
D)J2n2-ab+lr
E) 2./ñf,
G) Se tiene un rectángulo ABCD tal que AB = f6 m
y BC = 3 m. Se construye el triángulo equilátero
PAB que forma un ángulo diedro de 45" con el
plano del rectángulo. Calcula la distancia entre
PyC
A)2.f3
D) .Js
fJ) Dos rectas AA' y BB' se cruzan y forman entre sí
un ángulo de 60º. Si AB es la mínima distancia y
AA'= AB = n, BB' = b. Calcula la longitud A'B'.
A) Jñf,
B) Ja2 + b2
C) 2nb
a+b
e Un ángulo diedro es de 114º. Calcula la medida
del ángulo formado por las semirrectas perpen-
diculares a sus caras trazadas desde un punto
cualquiera del plano bisector del diedro.
C) 40"
l';IIVEL
B) 30"
E) 45º
A) 15°
D) 18º
REFORZANDO
/
� @CD En triedro O - A8C, las caras AO� OAC mi-
� den 45° 51 PE OA,Q e OC y Re 08 tales que
� QP .LOA, RP .LOA, QR = 2J2+.f3 y OP = 2, ��
entonces la medida del ángulo diedro OA es
� A) 6(J' 8) 75º C) 105° w D) 120" E) 150"
� e Dado un triángulo ,ectángulo isósceles AOB,
siendo AO = OB = 7n, en O se levanta una per-
CAPnulO
11
D En un pohedro convexo la suma del número de
caras y vértices es 20. Calcula el número de aris-
tas.
B ¿Cuántos vértices tiene un poliedro convexo, si
su número de aristas excede en 4 a su número
de caras?
A) 16
D)22
B) 18
E) 1
C) 20 A) 4
D)6
B) 8
E) 10
C)9
El
A) 12
D)18
•
B) 25
E) 15
•• ••
C)20
� '9' . .11 35% - 11 :00 p. m .
Se tiene el triángulo ABC en el p!ano P, se tra- �
za BB' y CC' perpendiculares al plano P; el seg- �
mento B'C' no intercepta al plano P. Si BB' = 3, �
CC' º 1, AC º Jv, BC º Ji4 y mLBAB' º 30º, �
entonces el área del triángulo AB'C' es: ��� �
A) 16 8) 14 C) 12 �
D)lO E)9 �
�
�
Un poliedro convexo está formado por 6 regio-
nes triangulares, 4 pentagonales y 2 hexagona-
les. Calcula el número de vértices.
a
D
A)45º
D) 30"
A)45º
D) 90"
8)37"
E) 60"
B) 60"
E) 120"
C) 75°
C) 75°
fJ
A) 15
D) 12
A) 30"
D) 53º
8) 16
E)lO
B) 37"
E) 60º
C) 18
C) 45º
Una región trianguJar, cuya área es 25, se pro-
yecta sobre un plano, determinándose otra re-
gión triangular cuya área es S. Calcula la me-
dida del ángulo diedro formado por la región
dada y el plano de proyección.
Se tiene un poliedro convexo de 15 aristas for-
mado por regiones pentagonales y cuadrangu-
lares. ¿Cmíntos vértices tiene?
En el tetraedro, OABC se cumple que
m¿:CQB = 60", m..{AQB = 45º y mLAOC = 45º,
entonces el valor del ángulo diedro correspon-
diente a la arista OA vale:
En el lado BC de un cuadrado ABCD se ubica
el punto P, tal que BP = 1 y PC = 3. Se traza PQ
perpendicular al plano que contiene al cuadra-
do. Calcula la medida del diedro que forman los
planos AQD y ABCD (PQ = 3).
Logimatic 4
• •• ••
� 'f . .11 35% - 11 :01 p. m .
¿Cuántos vértices tiene un poliedro convexo de
25 aristas formado por regiones pentagonales y
cuadrangulares?
C) 4 B) 6
E) 6.f3
A) 6J'i_
0)12
Se tiene el triángulo ABC (m...CB = 90) cuyo pla-
no es perpendicular al plano del círculo del cen-
tro O. Si AC es diámetro de dicha circunferencia
y OA = 6-.Í2, calcula 08. C)9 B) 8
E)15
A) 7
0)11
O Calcula el número de caras de un poliedro que
está formado por 6 cuadriláteros y 8 pentágo-
nos.
e Los cuadrados ABCD y ABEF están contenidos
en planos perpendiculares, AB = 2. Calcula la
distancia de A a ED.
O Se tiene un tetraedro regular. Calcula el número
de caras del poliedro que se obtiene al unir los
puntos medios de sus aristas.
O En cierto poliedro convexo la suma del número
de caras, vértices y aristas es 32. Calcula el nú-
mero de aristas.
e ¿Cuántas aristas tiene un octaedro convexo for-
mado por regiones triangulares?
O ¿Cuántos vértices tiene un poliedro convexo
formado por 4 regiones triangulares y 3 regio-
nes cuadrangulares?
B) Se [n, 4ri:]
O) Se [4rr, Srrj
A) 5 e [2n:, 3n:]
C) Se [2rr, 4rr]
E) S e ]2rr, 6rr[
O Un poliedro está formado por 3 regiones cua- <;»
drangulares, 5 pentagonales y x triangulares. �
Calcula .r, si la suma de las medidas de los én- �
�l;i;s de todas !:) :acas es 4320°�) 3 �
0)4 E)S �
�
�
e Si S es la suma de las medidas de los ángulos
diedros de un tetraedro entonces se puede afir-
mar que:
C) 7
C)20
NIVEL
B) 16
E) 18
8)6
E) 10
A)S
0)8
A)8
O) 12
REFORZANDO
• •• ••
� 'f . .11 35% - 11 :01 p. m .
e Un poliedro está formado por 8 triángulos y 6
cuadriláteros. ¿Cuántas aristas tiene?
C) .?_
3
B) Js
3
E) ,fj
3
REFORZANDO '- NIVEL �
e Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC, ��� �
AC = 6. Se traza BP perpendicular al plano que �
contiene al triángulo Calcula la medida del �
ángulo que forman los planos APC y ABC, si �
:::=AB=BC�)37"
C)45"
�
D) 53º E) 16" �
e Dados los planos secantes P y Q, en P está con- �
tenido el triángulo ABC y en Q su proyección,
el triángulo A181C1• Si BC = B1C1, m.:CACB = 90",
m.d'.'BAC = 30º y m.d'.'A1B1C1 = 45°, calcula el co-
seno del ángulo diedro formado por los dos pla-
nos secantes.
C) 20
C) 7
NIVEL
8)3,,'6
E) 5
B) 18
E) 26
A) 6
D) 2.j'j
A) 14
D) 24
REFORZANDO
G El triángulo equilátero ABC y el cuadrado
ABPQ están contenidos en planos perpendicu-
lares. Calcula la distancia de Q al punto medio
de BC, si AB = 4.
e Calcula la medida del diedro que forman los
planos que contienen a los rectángulos con-
gruentes ABCD y AFEO, si BC = ifi, AF = 4 y
m4CA E = 60°.
O Los cuadrados ABCD y BDEF están contenidos
en planos perpendiculares. Calcula la medida
del diedro que forman los planos AFE y el plano
del cuadrado BDEF.
f!) Se tiene un tetraedro de vértices V, A, By C don-
de m.d'.'A VB = 90º, m.d'.'A VC = 30" y m.d'.'BVC = 75°.
Si y es el ángulo diedro que forman los planos
A VC y BVC, entonces el valor de cosy es:
A) 90"
D) 150"
B) 135º
E) 120º
C) 60º
A)3- ,fj
D) ./2(./2-2)
B)3-2J3
E)2-J3
C)l-./2
C) 7200º
Logimatic 4
B)" {13 21/3
nJ1!
E)--
3
B) 6200º
E) 9200º
A) 5400º
D) 8400º
A)n.Ju
13
fD Un triángulo isósceles ABC donde AB = AC = a
está inscrito en un círculo de radio a. En A se
levanta una perpendicular AD y se une el punto
D con los vértices By C. Calcula la longitud
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