AEROELASTICIDAD-Rev-5

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APUNTES DE AEROELASTICIDAD 
Ing. Aer Carlos G.: Varrenti 
Revisión: 5 03/2018
A la memoria del Ing. Aer. Miguel Angel Bavaro,
"El mundo se tornó un poco menos sabio desde que él nos dejó"
2 
3
AEROELASTICIDAD 
1)
2)
3)
ANEXO - Repaso de temas: Sistemas de un grado de libertad.
Vibraciones libres con y sin amortiguamiento. Respuesta de sistemas
simples.Modelos discretos y continuos.Vibraciones de sistemas con
múltiples grados de libertad. Modelos matemáticos. Coordenadas
generalizadas. Principio de Hamilton. Ecuaciones de Lagrange.
4)
5)
6)
7)
Aeroelastodinámica. Flütter y Buffeting. Definición y clasificación.
Métodos de análisis: analíticos y experimentales.
10)
Flütter binario flexión-torsión. Modelos bidimensionales.
Flütter con las superficies de comando. Métodos aproximados para la 
estimación de la velocidad de Flütter.
11) Referencias
Introducción a la Aerodinámica No Estacionaria
Introducción - Definiciones
9)
Problemas aeroelastoestáticos. Divergencia Torsional. Modelo discreto. 
Torsión uniforme y No uniforme. Modelo continuo de Divergencia. 
Divergencia de alas en flecha. Inversión de comandos.
Vibraciones Torsionales, Acoplamiento y Sistemas Autoexitados
8) Balanceo de las superficies de comando y prevención del Flütter. Active 
Flütter Suppression y Body Freedom Flütter (BFF)
Stall Flutter - Rotacional y NO Rotacional - Histéresis Aerodinámica
Requisitos del FAR 23.629 - Aeroelasticity Requirements
4
Tema N°1 : Introducción a la Aeroelasticidad 
Aeroelasticidad : Disciplina que estudia los fenómenos de interacción entre 
las cargas aerodinámicas y las deformaciones inducidas por estas en la 
estructura de las aeronaves y sus mecanismos de comando. 
Una consecuencia directa de esta deformación es que la propiedad más 
importante para prevenir los fenómenos aeroelásticos es la rigidez 
estructural. 
Otra característica distintiva de los fenómenos aeroelásticos es que dado 
que las cargas son aerodinámicas (o sea dependen de la velocidad del aire) 
no pueden ser eliminados, pues siempre habrá una velocidad a la cual se 
producirán dichos efectos; lo que se busca es que esta velocidad sea mayor 
que la velocidad máxima de la aeronave. Las normas aeronáuticas 
prescriben la relación mínima que debe existir entre la velocidad de aparición 
de los distintos fenómenos y la velocidad del avión. 
Se puede definir a la Aeroelasticidad como una conjunción de tres 
disciplinas: 
 DINAMICA 
 (FUERZAS DE INERCIA) 
MECANICA DE LOS FLUIDOS MECANICA DEL SOLIDO 
(FUERZAS AERODINAMICAS) (FUERZAS ELASTICAS) 
La Aeroelasticidad concierne a aquellos fenómenos físicos que involucran 
una significativa INTERACCION entre las fuerzas de INERCIA, ELASTICAS 
y AERODINAMICAS. Como tal los problemas aeroelásticos pertenecen a la 
categoría de los denominados PROBLEMAS de INTERACCION, los cuales 
por su naturaleza NO ADMITEN un tratamiento SECUENCIAL para su 
resolución, a diferencia de otros problemas, por ejemplo los 
TERMOMECANICOS. 
Adicionalmente se pueden definir otras disciplinas tomando las antes 
mencionadas de a pares: 
MECANICA DEL VUELO = DINAMICA + AERODINAMICA 
DINAMICA ESTRUCTURAL = DINAMICA + MECANICA DEL SOLIDO 
AEROELASTOESTATICA = MECANICA FLUIDOS + MECANICA SOLIDOS 
Conceptualmente, cada una de estas disciplinas puede pensarse como un 
aspecto especial de la AEROELASTICIDAD. 
5
Clasificación de los fenómenos aeroelásticos . 
Divergencia 
1) Fenómenos aeroelastoestáticos :
Inversión de comandos 
 Flütter 
2) Fenómenos aeroelastodinámicos :
Buffeting 
Por razones históricas, en general sólo se consideran los fenómenos 
aeroelastoestáticos (Divergencia e Inversión de Comandos). Sin embargo, el 
impacto de la Aeroelasticidad sobre la Mecánica del Vuelo se ha 
incrementado sustancialmente en los últimos años, por ejemplo: 
a) Las tensiones inducidas por las altas temperaturas originadas en los
vuelos supersónicos e hipersónicos pueden ser importantes en los
problemas aeroelásticos, en estos casos se aplica el término
AEROTERMOELASTICIDAD.
b) En otras aplicaciones, la Dinámica de los Sistemas de Control y
Guiado puede afectar significativamente a los problemas aeroelásticos
y viceversa, originando el término AEROSERVOELASTICIDAD.
Mientras que la Aeroelasticidad es un disciplina de origen netamente 
aeronáutico, cada vez son más las aplicaciones de esta disciplina en otras 
áreas de la ingeniería, como por ejemplo: Flujo de aire en puentes, 
chimeneas y edificios muy altos, Flujo en turbomáquinas y cañerías, Flujo en 
intercambiadores de calor y elementos combustibles de centrales nucleares, 
etc. Se puede pensar que en la medida que se utilicen estructuras cada vez 
más livianas y condiciones de flujo más severas, mayor será el riesgo de 
encontrarse con un problema aeroelástico. 
6
Definiciones : 
Vibración : Se dice que un cuerpo vibra cuando ejecuta un movimiento 
periódico alrededor de una posición de equilibrio. 
Movimiento periódico : Es un movimiento que se repite cada cierto intervalo 
de tiempo llamado: Período 
x 
t 
 T = período 
Movimi ento armónico simple : Es un movimiento que sigue una función 
senoidal o cosenoidal. 
x 
C 
t 
 x = A sen ωt + B cos ωt = C sen (ωt + ϕ)
Donde: ω = Frecuencia angular. 
 C = Amplitud del movimiento. 
ϕ = Desfasaje inicial.
Vibración libre : Es el movimiento periódico que describe un sistema elástico 
cuando es apartado de su posición de equilibrio y liberado. 
Vibración forzada : Es la vibración que resulta de la aplicación de una fuerza 
externa periódica. 
Régimen transitorio : Es el movimiento que describe un sistema durante el 
tiempo requerido para adaptarse de un sistema de fuerzas a otro. 
Régimen estacionario : Es el movimiento que describe un sistema una vez 
finalizado el régimen transitorio. 
Frecuencia natural : Es la frecuencia de la vibración libre de un sistema 
elástico. 
7
Resonancia : Cuando sobre un sistema actúa una fuerza exterior periódica 
cuya frecuencia coincide o es cercana a una frecuencia natural del sistema, la 
amplitud del movimiento se incrementa; en este caso se dice que existe un 
estado de resonancia. 
Divergencia : Inestabilidad torsional estática del ala de un avión debida a las 
fuerzas aerodinámicas. 
Inversión de comandos : Inestabilidad torsional estática de un componente 
con superficie de comando, que anula o invierte el efecto de dicha superficie de 
comando. 
Flütter: El Flütter es un movimiento o vibración inestable y divergente causado 
por las fuerzas aerodinámicas. 
Buffeting : Vibración forzada de una parte del avión causada por la estela 
generada en otro componente de la aeronave. 
Flütter binario: Flütter que involucra dos modos simples de vibración en forma 
simultánea. 
Flütter ternario: Flütter que involucra simultáneamente tres modos simples de 
vibración. 
Eje elástico del ala: Eje transversal del ala por la que se concentra toda la
capacidad elástica del material. 
8
Tema N°2 : Fenómenos Aeroelastoestáticos. 
Los fenómenos aeroelastoestáticos se caracterizan por admitir ciertas hipótesis 
simplificativas: 
a) El tiempo no es una variable del problema, por lo tanto las fuerzas de
inercia pueden eliminarse de las ecuaciones de equilibrio.
b) Las fuerzas aerodinámicas se pueden calcular a partir de las ecuaciones
para el flujo estacionario.
Existen dos tipos de problemas aeroelastoestáticos: 
1) Divergencia
2) Inversión de comandos
Divergencia : 
a) Modelo Discreto : Para estudiar este fenómeno plantearemos un modelo
bidimensional constituido por un perfil alar rígido (que simula el
comportamiento de un ala recta de alargamiento infinito) y un resorte de
torsión que representa la rigidez torsional del ala.
El interés principal en este modelo es la rotación del perfil (y consecuentemente 
la torsión del resorte) α en función de la velocidad V. Si el resorte fuera muy 
rígido o la velocidad del aire muy baja, el ángulo α debería ser muy pequeño. 
Sin embargo, para resortes muyflexibles o altas velocidades del flujo, el giro 
del perfil podría torsionar el resorte más allá del límite elástico y conducir a la 
falla estructural. Un gráfico típico del ángulo de torsión θ en función de la 
velocidad se muestra en la figura siguiente: 
V 
α 
θ 
α0
L 
MCA 
CA 
e 
c 
o 
Kcθ
Kc
9
La velocidad para la cual el ángulo de torsión se incrementa rápidamente al 
punto de alcanzar la condición de falla, se denomina Velocidad de 
Divergencia VD. El objetivo principal de cualquier modelo teórico es predecir 
con exactitud VD. Debe enfatizarse que la curva de arriba no sólo representa el 
comportamiento de una sección alar típica, sino también el del ala de un avión 
real. De hecho la diferencia principal no es el fenómeno básico de la 
divergencia, sino la complejidad del análisis teórico necesario para predecir el 
valor de VD para un ala real respecto de la sencillez con que se puede calcular 
para la sección típica. 
El ángulo de ataque total α es la suma de un ángulo de ataque inicial α0 (sin 
torsión del resorte) más un ángulo adicional θ debido a la torsión elástica del 
ala. 
Aplicando el concepto de Centro Aerodinámico (CA), definido como el punto 
del perfil respecto del cual el momento aerodinámico es independiente del 
ángulo de ataque, el equilibrio de momentos respecto del punto O (eje elástico 
del perfil) resulta: 
0c CAK L e Mθ − − = (17) 
Donde: 
Kc: Constante equivalente a la rigidez torsional del ala 
L: Fuerza de Sustentación 
e: Distancia entre el CA y el eje elástico (positiva para el sentido 
indicado en la figura) 
MCA: Momento aerodinámico respecto del CA 
De la teoría aerodinámica estacionaria obtenemos: 
( )
0 0 0
L L
L L L
CA MCA
C C
L C q S C q S C q S
M C q Sc
α α θ
α α
∂ ∂   = = + = + +   ∂ ∂   
=
θ 
V VD 
Falla estructural 
10
Donde: 
q: Presión dinámica = 2
1
2
Vρ
S: Superficie alar 
Si consideramos por razones de simplicidad 
0
0LC = y reemplazamos en la 
ecuación de equilibrio (17) tendremos: 
( )0 0Lc MCA
C
K e q S C q Scθ α θ
α
∂− + − =
∂ (18) 
De la ecuación (18) podemos despejar el ángulo de torsión θ (suponemos por 
simplicidad CMCA = 0): 
0 0
1
L L
L Lc
c
c
C C
eqS e
qS
C CeSK
K eqS q
K
α α
α αθ
α α
∂ ∂
∂ ∂= =∂ ∂− −
∂ ∂
(19) 
La solución (19) tiene algunas propiedades interesantes. Tal vez la más 
relevante sea que para una presión dinámica definida el ángulo de torsión 
tiende a infinito. O sea, el denominador del miembro derecho de la expresión 
(19) vale 0:
1 0L
c
CeS
q
K α
∂− =
∂ (20) 
La ecuación (20) representa lo que se denomina “Condición de Divergencia” 
mientras que la presión dinámica que resulta de resolver dicha ecuación se 
define como “Presión Dinámica de Divergencia” qD: 
c
D
L
K
q
C
e S
α
= ∂
∂
(21) 
Dado que sólo tienen sentido físico los valores positivos de qD, solamente 
puede haber divergencia cuando e > 0. 
Reemplazando la ecuación (21) en la (19) obtenemos: 
0 0
11
L
c D
L
Dc
CeS q
q
K q
C qeS
q
qK
α α
αθ
α
∂
∂= =∂ −−
∂
(22)
11
Graficando la ecuación (22) para un valor arbitrario de α0 tendremos: 
Vemos que la curva tiene mucha similitud con la correspondiente al pandeo de 
una columna imperfecta. Para confirmar esta analogía, veamos que ocurre 
cuando en la ecuación (19) consideramos α0 = 0: 
0Lc
C
K q e Sθ
α
∂ − = ∂ 
Excluyendo la solución trivial θ = 0 se concluye que: 
0Lc
C
K q e S
α
∂− =
∂ (23) 
Como ya vimos la expresión (23) es la condición de divergencia. Podemos 
concluir entonces que la divergencia es un problema de autovalores, donde 
debemos encontrar una solución distinta de la trivial. 
En los problemas aeroelastoestáticos la presión dinámica q juega el papel del 
autovalor del problema, equivalente a la carga crítica en los casos de pandeo 
de columnas. 
Por supuesto que el ángulo de torsión no se vuelve infinitamente grande para 
ningún ala real, más aún la relación entre el ángulo de ataque y las cargas 
aerodinámicas deja de ser lineal mucho antes. Sin embargo, el ángulo de 
torsión elástico puede ser lo suficientemente grande como para causar la falla 
estructural. Por esta razón todos los aviones se diseñan para volar por debajo 
de los límites de divergencia para todas las superficies sustentadoras, por 
ejemplo: alas, empenajes, superficies de control, etc. 
D
q
q
θ 
1 
Torsión Uniforme y No Uniforme: 
Ecuación diferencial : Por simplicidad planteamos el caso de una viga de 
sección circular de material homogéneo, isótropo, elástico y lineal.
a)
12
La inercia rotatoria Ir(y,t) vale: 
z 
y 
x 
θ
Mt(y,t) 
Ir(y,t) 
T 
T
T dy
y
+ ∂
∂
dy 
2
2
(y, t) (y)r mI I
t
=
∂
∂ θ
 
El momento de inercia polar másico por unidad de longitud se puede expresar 
como: Im(y) = ρ Ip(y), donde Ip(y) es el momento de inercia polar de la sección. 
13
Planteando el equilibrio de momentos respecto del eje y obtenemos: 
0yM T= ⇒ −∑ T+
T
dy
y
∂+
∂
2
2
( )pI y dy
t
θρ ∂−
∂
( , )tM y t dy+ 0=
2
2
( ) ( , )p t
T
I y M y t
y t
θρ∂ ∂= −
∂ ∂ (13) 
Para conocer la relación que vincula el esfuerzo de torsión T con el ángulo θ, 
planteamos las hipótesis de Navier: 
2 ( )p
S dy r d r
y
G G r
y
T r dA G r dA G I y
y y
θγ θ γ
θτ γ
θ θτ
Ω Ω
∂= = ⇒ =
∂
∂= =
∂
∂ ∂= = =
∂ ∂∫ ∫
Reemplazando en la expresión (13) obtenemos: 
2
2
( ) ( ) ( , )p p t
T
GI y I y M y t
y y y t
θ θρ ∂ ∂ ∂ ∂= = − ∂ ∂ ∂ ∂ 
2
2
( ) ( ) ( , )p p tGI y I y M y t
y y t
θ θρ ∂ ∂ ∂− = − ∂ ∂ ∂ 
(14) 
La expresión (14) es la ecuación de movimiento de torsión para una viga de 
sección circular. Para el caso más general en que la sección de la viga no es 
circular o tubular, la hipótesis de Navier de secciones planas luego de la 
z 
y 
x 
dy 
γ 
S 
r 
dθ 
14
ti 
bi 
ti 
bi 
 Am 
deformación no se cumple, ya que éstas se alabean. La solución del problema 
de torsión para secciones no circulares se debe a Saint-Venant y conduce a 
una ecuación análoga, con la salvedad que en la energía de deformación debe 
cambiarse el momento de inercia polar (Ip) por el parámetro J, que depende de 
la forma de la sección, y que para secciones circulares coincide con Ip. 
Veamos algunos ejemplos de este parámetro J: 
Secciones rectangulares esbeltas: 
31
3
J bt=
Secciones abiertas de paredes delgadas: 
3
1
1
3
n
i i
i
J b t
=
= ∑
Secciones cerradas de paredes delgadas: 
2
1
4 m
n
i
i i
A
J
b
t=
=
∑
La ecuación (14) solamente tiene en cuenta la torsión uniforme, o sea, el 
momento torsor exterior es constante y el alabeo de las distintas secciones no 
se encuentra impedido. En el caso que alguna de estas hipótesis no se cumpla, 
se debe considerar el aporte de la flexión de las alas de los perfiles cuando se 
torsionan. Este efecto se denomina “Torsión No Uniforme ”. 
b 
t 
15
Por flexión del ala del perfil tenemos: 
2 2
2 2
( ) ( )
f
f f f f f
M w w
Q M EI y Q EI y
y y y y
∂  ∂ ∂ ∂= − ⇒ = ⇒ = −  ∂ ∂ ∂ ∂ 
Donde el subíndice f indica que se trata de cantidades asociadas al ala 
(“flange”) del perfil. 
Expresamos w en función de θ y obtenemos: 
2
2
2 2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
( )
( ) ( ) ( )
2
f f
NU f f
h y h y
w y y Q EI y
y y
h y
T Q h y EI y E y
y y y y
θθ
θ θΓ
 ∂ ∂≅ ⇒ = −  ∂ ∂ 
   ∂ ∂ ∂ ∂= = − = −   ∂ ∂ ∂ ∂   
Donde Γ(y) es un parámetro que depende de la forma de la sección. 
Finalmente la ecuación de movimiento en torsión para una viga de sección 
arbitraria resulta: 
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( , )p tGJ y E y I y M y t
y y y y t
θ θ θΓ ρ  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − = −  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
(15) 
z 
y w(y) 
TNU 
x 
z 
w(y) 
h 
Qf 
θ 
16
b) Modelo Continuo : En este caso plantearemos un modelo más realista, el
cual contiene básicamente los mismos ingredientes que el modelo discreto.
Modelamos un ala recta de gran alargamiento como una “Viga Grilla” (flexión
+ torsión) de sección constante:
Si de la ecuación de movimiento en torsión (15) eliminamos los términos 
inerciales y los correspondientesa la torsión no uniforme, obtenemos la 
ecuación de equilibrio estático siguiente: 
( ) ( ) 0t
d d
GJ y M y
dy dy
θ  + = 
 
(24) 
Con las siguientes condiciones de contorno: 
(0) 0
0
y L
d
dy
θ
θ
=
=

 =

De acuerdo con la teoría del ala con alargamiento infinito, la sustentación y el 
momento aerodinámico en una sección de coordenada genérica “y” depende 
únicamente del ángulo de ataque local de dicha sección, o sea, es 
independiente del ángulo de ataque de las secciones vecinas. En consecuencia 
podemos expresar el momento torsor por unidad de envergadura Mt de la 
siguiente manera: 
( )t CAM y M L e= +
Donde: 
MCA: Momento aerodinámico por unidad de envergadura 
L : Fuerza de sustentación por unidad de envergadura 
e : Distancia del eje elástico al Centro Aerodinámico 
z 
y 
x 
L 
dy 
y 
CA 
e 
Mt θ 
c 
17
Aplicando las expresiones de la Aerodinámica Estacionaria y reemplazando: 
[ ]
[ ]
2
0
2
0
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0
CA MCA
L
L
L
L
MCA
M C q c
L C y c q
C
C y y y
Cd d
GJ C q c y y e c q
dy dy
α θ
α
θ α θ
α
=
=
∂= +
∂
  ∂+ + + =  ∂ 
Si adimensionalizamos el problema y consideramos que las propiedades 
geométricas y físicas son constantes, obtenemos: 
2 2 2
2
2
02 2
2 2 2
02
2
( 0)
2
1
0
0
L L
MCA
L L
MCA
y
y
y
y y L y dy L dy dy L dy
L
C CGJ d
e c q C q c e c q
L dy
C Cd ec q L q c L
e C c
dy GJ GJ
R
R d
dy
θ θ α
α α
θ θ α
α α
λ
θ
θ λ θ θ
=
=
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
∂ ∂+ = − −
∂ ∂
∂ ∂ + = − + ∂ ∂ 
=
′′ + =  =

����� �������������
Para calcular la presión dinámica de divergencia debemos hallar la solución de 
la ecuación homogénea, o sea, consideramos: α0 = CMCA = 0: 
2
1 2
1 2
2
1 1
0
( ) sen( ) cos( )
( ) cos( ) sen( )
(0) 0 0
0 0
(1) 0 cos( ) 0 0
cos( ) 0 (2 1)
2
y C y C y
y C y C y
C
e q
C C solucióntrivial
n
θ λ θ
θ λ λ
θ λ λ λ λ
θ
λ
θ λ λ
πλ λ
′′ + =
= +
 ′ = −
 = ⇒ =

 
  = ⇒ = =  ′ = ⇒ = = ⇒ 
 
  = ⇒ = − 

La condición crítica ocurre para n = 1, reemplazando hallamos qD: 
18
2
22
2
2
4
2 4
L D
D
L
GJ
C ec q L
q
CGJ
ec L
π
π πλ λ
α
α
∂= ⇒ = = ⇒ = ∂∂
∂
(25) 
Comparando la expresión de la presión dinámica de divergencia (25) con la 
obtenida para el modelo discreto (21), resulta: 
	
2
2
2
2
2
c
D c
L
K
GJ
GJLq K
C L
e Lc
S
π
π
α
= ⇒ =∂
∂
��
Resolviendo la ecuación no homogénea obtendremos la variación del ángulo 
de torsión en función de la presión dinámica: 
( 0)
2
1
1 2
2
3 3 3 2
1 2 2
1 2
2 22 2
1 12 2
0
0
( ) sen( ) cos( )
( )
( ) sen( ) cos( )
( ) cos( ) sen( )
(0) 0 0
(1) 0 cos( ) sen( ) 0 tan
y
y
h
p
R d
dy
y C y C y
R
y C C R C
R
y C y C y
y C y C y
R R
C C
R R
C C
θ
θ λ θ θ
θ λ λ
θ λ
λ
θ λ λ
λ
θ λ λ λ λ
θ
λ λ
θ λ λ
λ λ
=
=
=
′′ + =  =

= +
= ⇒ = ⇒ =
 = + +

 ′ = −
= ⇒ + = ⇒ = −
′ = ⇒ + = ⇒ = −
[ ]2
( )
( ) 1 tan( )sen( ) cos( )
R
y y y
λ
θ λ λ λ
λ
= − −
La condición de divergencia se sigue cumpliendo: 
tan( ) cos( ) 0λ λ→ ∞ ⇒ =
Si consideramos 2 00MCAC R λ α= ⇒ = − , la solución resulta:
[ ]0( ) 1 tan( )sen( ) cos( )y y yθ α λ λ λ= − + + (26)
19
Podemos utilizar el ángulo de torsión en la puntera para caracterizar la 
variación de θ en función de la presión dinámica: 
[ ]
2
0 0
2 2
0 0
sen ( )
(1) 1 tan( )sen( ) cos( ) 1 cos( )
cos( )
sen ( ) cos ( ) 1
(1) 1 1
cos( ) cos( )
λθ α λ λ λ α λ
λ
λ λθ α α
λ λ
 
= − + + = − + + 
 
   += − + = −   
  
En consecuencia el ángulo total en la puntera resulta: 
0
0 0 sec( )
cos( )
αα α θ α α λ
λ
= + ⇒ = =
Si expresamos λ en función de la presión dinámica, obtenemos: 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4 2
L
D
L
L
D
D D
C
ec q L q
q q
GJGJ q
GJ
C
ec L
C
ec L
q
q q
q q
π
παλ
π
α
α
π πλ λ
∂
∂= = = =
∂
∂∂
∂
= ⇒ =
�����
Reemplazamos y graficamos el ángulo en la puntera: 
0 sec
2 D
q
q
πα α
 
=   
 
D
q
q
α 
1 
α0
20
c) Divergencia de Alas en Flecha : Para analizar la influencia del ángulo de
flecha en la condición de divergencia, proponemos un modelo continuo con
flecha positiva:
En la figura el eje y se es el eje aerodinámico y el eje y corresponde al eje 
elástico del ala. 
Planteando las ecuaciones de equilibrio estático para flexión y torsión, referidas 
al eje elástico ( y ), tendremos: 
2 2
2 2
( )
( )t
d d w
EI L y
dy dy
d d
GJ M y
dy dy
θ
  
=  
  

  = −   
(27) 
Λ 
y 
y
y
L
e
V 
V cos(Λ) 
V sen(Λ) 
x 
z 
y
y
( )w y V sen(Λ) 
sen( )
dw
V
dy
Λdw
dy
c
21
Aplicando las ecuaciones aerodinámicas: 
[ ]
2
2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
cos( ) cos ( )
2
( ) ( )
( ) ( )
L
t L MCA
L
L
L y C y c q
M y C y c q e C y c q
q V q
C
C y y
V
y y
ρ
α
α
α θ
=
= +
= Λ = Λ
∂=
∂
= −
sen( )
dw
dy
V
Λ
( ) tan( )
cos( )
dw
y
dy
θ= − Λ
Λ
Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio (27) obtenemos: 
2 2
2
2 2
2 2 2
( ) tan( ) cos ( )
( ) tan( ) cos ( ) ( ) cos ( )
L
L
MCA
Cd d w dw
EI y c q
dy dy dy
Cd d dw
GJ y c e q C y c q
dy dy dy
θ
α
θ θ
α
    ∂= − Λ Λ    ∂   

   ∂ = − − Λ Λ − Λ    ∂   
(28) 
Analizaremos los 2 casos extremos: 
1) Rigidez a flexión infinita ( EI → ∞ lo cual implica 0w → ): El caso es 
similar al de un ala recta pero con los coeficientes ligeramente modificados.
2) Rigidez a torsión infinita (GJ → ∞ lo cual implica 0θ → ): En este caso la
segunda ecuación se satisface idénticamente y solamente nos queda la
ecuación de equilibrio en flexión:
2 2
2
2 2
2 2
2 2
tan( ) cos ( )
sen( ) cos( ) 0
L
L
Cd d w dw
EI c q
dy dy dy
Cd d w dw
EI c q
dy dy dy
α
α
  ∂= − Λ Λ  ∂ 
  ∂+ Λ Λ =  ∂ 
Esta última ecuación homogénea, claramente conduce a un problema de 
autovalores, por lo cual se infiere que existe la posibilidad de tener una 
condición de divergencia en flexión , aún para el caso de un ala infinitamente 
rígida en torsión. Esta condición es imposible para el caso del ala recta. 
Introduciendo variables adimensionales y considerando que las propiedades 
físicas y geométricas son constantes con la envergadura, obtenemos 
4
4
0
d w dw
dy dy
λ+ =
ɶ ɶ
(29) 
22
Donde: 
3
sen( )cos( )
L
y
y
L
C
q c L
EI
αλ
=
∂
∂= Λ Λ
ɶ
Las condiciones de contorno corresponden a una viga en voladizo: 
0
2 3
2 3
1 1
(0) 0
0
y
y y
dw
w
dy
d w d w
dy dy
=
= =

= =


 = =

ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
La solución de esta ecuación tiene la particularidad que todos los autovalores 
son negativos. El menor en valor absoluto de estos autovalores provee la 
condición de divergencia: 
3sen( )cos( )6,33 LD
C
q c L
EI
λ
α
∂ Λ Λ= − =
∂ (30) 
Si analizamos la expresión (30), veremos que la única manera que el término 
derecho sea negativo es que sen(Λ) < 0, o sea: 
0Λ <
Concluimos entonces que solamente las alas con flecha negativa pueden 
alcanzar la condición de divergencia en flexión sin deformación torsional. Esto 
sugiere que dichas alas con flecha negativa serán más susceptibles a la 
divergencia que las de flecha positiva. Esta característica se preserva aún en el 
caso de divergencia combinada en torsión y flexión. 
23
Inversión de comandos : 
Este fenómeno se produce en alas y empenajes con superficies de comando. 
Plantearemos un modelo bidimensional de ala e impondremos una deflexión 
del comando “δ”. 
La deflexión δ indicada produce un aumento de sustentación ∆L y un 
incremento en el momento de cabeceo ∆MCA. Cuando la velocidad V aumenta, 
el momento aerodinámico aumenta con el cuadrado de la velocidad mientras 
que el momento elástico resistente (KC θ), permanece constante. En 
consecuencia la efectividad del comando decrecerá con la velocidad del aire 
hasta que esta velocidad alcance un valor en el cual el comando sea 
completamente inefectivo. Esta velocidad se conoce como Velocidad de 
Inversión de Comandos (VI). 
Aplicando las ecuaciones aerodinámicas tendremos: 
L
L L
L L
L
MCA
CA MCA
L C S q
C C
L S qC C
C
CM C c S q c S q
δ θ
δ αδ θ
δ α
δ
δ
∆ = ∆  ∂ ∂  ∆ = +∂ ∂  ∂ ∂∆ = +  ∂ ∂ 
∂∆ = ∆ =
∂
Si planteamos el equilibrio de momentos respecto del eje elástico (punto “o”) 
obtenemos: 
0
0
0
c CA
MCAL L
c
MCAL L
c
K L e M
CC C
K e S q c S q
CC C
K e S q e S q c S q
θ
θ δ θ δ
δ α δ
θ δ δ
α δ δ
− ∆ + ∆ =
∂∂ ∂ − + + = ∂ ∂ ∂ 
∂∂ ∂ − − + = ∂ ∂ ∂ 
∆L ∆MCA 
Kc θ 
Kc
e 
o 
o
θ
o
δ
o
V
o
CA 
24
Despejando el ángulo de torsión θ: 
MCA L
L
c
C C
c e S q
C
K e S q
δ
δ δθ
α
∂ ∂ − + ∂ ∂ = ∂−
∂
(31) 
Podemos ver que nuevamente aparece la condición de divergencia en el 
denominador de la ecuación del ángulo θ. 
Reemplazando la expresión (31) en la ecuación del ∆CL resulta: 
MCA L
L L
L
L
c
L L L
c
L
C C
c e S q
C C
C
C
K e S q
C C C
K e S q
C
δ
δ δδ
δ α
α
δ δ α
 ∂ ∂ − +  ∂ ∂ ∂ ∂  ∆ = + ∂∂ ∂  −
 ∂ 
∂ ∂ ∂−
∂ ∂ ∂
∆ =
MCAL L L
CC C C
c S q e S q
α δ δ α
∂∂ ∂ ∂− +
∂ ∂ ∂ ∂
L
c
C
K e S q
δ
α
 
 
 
∂−
∂
Finalmente ∆CL vale: 
MCAL L
c
L
L
c
CC C
K c S q
C
C
K e S q
δ
δ α δ
α
∂∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∆ = ∂−
∂
El comando es completamente inefectivo cuando ∆CL = 0, lo cual nos conduce 
a un problema de autovalores, cuya solución trivial es δ = 0.
La solución no trivial permite obtener la presión dinámica de inversión qI, que 
es justamente la condición límite a partir de la cual el comando comienza a 
funcionar en el sentido inverso. 
0
L
c
MCAL L
c I I
MCAL
C
K
CC C
K c S q q
CC
c S
δ
δ α δ
α δ
∂
∂∂ ∂ ∂− = ⇒ = ∂∂∂ ∂ ∂
∂ ∂
Podemos observar que la presión dinámica de inversión de comandos no 
depende de la distancia e, pues el momento aerodinámico que produce la 
inversión es directamente una cupla y por lo tanto no depende de ningún brazo 
de palanca. 
La expresión hallada permite obtener la presión dinámica inversión de 
comandos, pero debido a la flexibilidad del ala se producirá una disminución de 
25
la rigidez torsional a medida que aumenta q, para cuantificar este efecto 
introducimos el concepto de “Efectividad del comando ” ηc que se define como 
la relación entre el ∆CL calculado y el correspondiente a un ala rígida perfecta 
en la cual su cumple que θ = 0, o sea: 
L
Lr
MCAL L
c
L
c
Lr
C
C
CC C
K c S q
C
C
δ
δ
δ
δ α δη
∂∆ =
∂
∂∂ ∂ − ∆ ∂ ∂ ∂ = =
∆ LC δ
δ
∂
∂
1
1
1
1
1
1
L
c
I
MCAL
L
c
I
c
L
D
c
D
C
K e S q
q
CC
c S
q qC
K
q
C q
e S
qq
K
q
α
α δ
δη
α
∂ − ∂ 
∂∂
∂ ∂− ∂ −
∂= =∂ −
∂−
������
�����
Reemplazando por la expresión de la presión dinámica en función de la 
velocidad y operando obtenemos: 
2
2 2
2 2
2
2
2 2
1
1
1
1
1
I D I D I
c
I D I D
D
I
D
D
c
I
D D
q
q q q q V V V
q q q q V V V
q
VV
VV
V V
V V
η
η
−
     − −= = =     − −     −
    −         = −
    
−    
     
De esta última expresión podemos sacar una conclusión interesante, si la 
velocidad de divergencia coincide con la velocidad de inversión de comandos 
(VD = VI) la efectividad del comando será 1 para cualquier velocidad. Esto se 
debe a que el momento debido a la deflexión del comando es igual y de signo 
contrario al momento debido al aumento de sustentación. 
26
Si graficamos la efectividad del comando en función 
D
V
V
 para distintos valores 
de la relación I
D
V
V
γ = , resulta: 
En la figura podemos ver como se reduce rápidamente la efectividad del 
comando para bajas relaciones I
D
V
V
. 
ηc 
D
V
V
1 
0 
-1 
-2 
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 
γ=0,3 γ=0,5 γ=0,7 γ=0,9 
γ=1 
27
Planteando la misma metodología que en el caso de las vibraciones en flexión, 
tendremos: 
( , ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0p
y t y Y t
GJ Y t y I y Y t
θ φ
φ ρ φ
=
′′ − =ɺɺ
Dividiendo ambos miembros por GJ θ(y,t) tendremos: 
2
2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
p p
n
p p
I Iy Y t y Y t
cte a
y GJ Y t y GJ Y t
y a y
GJ GJ
Y t a Y t a
I I
ρ ρφ φ
φ φ
φ φ
ω
ρ ρ
′′ ′′
− = ⇒ = = = −
′′ + =

 + = ⇒ =

ɺɺ ɺɺ
ɺɺ
Las soluciones de estas ecuaciones son: 
1 2
3 4
( ) sen( ) cos( )
( ) sen( ) cos( )n n
y C ay C ay
Y t C t C t
φ
ω ω
= +
 = +
Como ejemplo calcularemos las frecuencias y modos de un ala en voladizo de 
semienvergadura L, las condiciones de contorno serán: 
Extremo fijo (raíz del ala): (0, ) 0 (0) 0tθ φ= ⇒ = 
Extremo libre (puntera): ( , ) 0 ( ) 0L t Lθ φ′ ′= ⇒ = 
1 2
1 2
( ) sen( ) cos( )
( ) cos( ) sen( )
y C ay C ay
y a C ay aC ay
φ
φ
= +
′ = −
2
1 1
(0) 0 0
( ) 0 cos( ) 0 0
(2 1)
cos( ) 0 (2 1)
2 2
C
L C aL C
n
aL a L n a
L
φ
φ
π π
= ⇒ =
′ = ⇒ = ⇒ ≠
−= ⇒ = − ⇒ =
Finalmente los modos y frecuencias resultan: 
(2 1) (2 1)
( ) sen
2 2
n n
p
n y n GJ
y
L L I
π πφ ω
ρ
− − = =  
Si trabajamos con la Ecuación (15) y suponiendo que se trata de una viga de 
sección constante y despreciando el efecto de la torsión no uniforme, la 
ecuación para el caso de vibraciones libres resulta: 
0pGJθ ′′ − ρI ɺθɺ= (16) 
Tema N°3 : Vibraciones Torsionales, Acoplamiento y Sistemas Autoexitados.
Vibraciones Torsionales
Consideremos el siguiente sistema con 2 grados de libertad y sin 
amortiguamiento: 
Planteamos el Principio de Hamilton, considerando como grados de libertad a 
u1 y u2: 
2 21 2
1 2
2 2
M M
Energía cinética: T = uɺ + uɺ
Energía Potencial Total: ( )221 21 2 1
2
K K
u − uπ * = u +
2
Las ecuaciones de Lagrange resultan: 
u2 
u1 
K1 
K2 
M1 
M2 
( π * ) 

∂ (T −π * ) ( )
( π * )

( π * ) ( )
1 1 1 1 2 1 2
1 1
2 2 2 2 1
2 2
0 0
0 0
d
M ɺuɺ K u K u u
dt u
d
M ɺuɺ K u u
dt u
 ∂ T −
−  + = ⇒ − − − − =

∂ ∂


∂ T −  ∂ T −
−  + = ⇒ − − − =

∂ ∂
uɺ
uɺ
Agrupando y expresando en forma matricial obtenemos: 
1 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2
0 0
0 0
M K K K u
M K K u
   + −    
  =     + 
   −    
ɺuɺ
ɺuɺ
Si planteamos como solución: 
( )1 1
2 2
)
sen
)
u (t
u (t
ωt +ϕ  
A 
  =  
  A 
y reemplazamos tendremos: 
( )1 1 2 2 12
2 2 2 2
0
sen
0 0
M K K K A
M K K
ωt +ϕ
   + −     0
   −ω   +
  −     A 
=  
Acoplamiento
28
Para que exista una solución distinta de la trivial debe cumplirse: 
( ( )
( )
2
2 2 21 2 1 2
4 2
1 2 2 1 2 1 2 1 2 0
K K M K
M M K M M K K K K
ω ω ω
ω
+ ) − − = ⇒  K + K −  K −  − K =
+ +  + =−ω 
Resulta: 
( ) 11 24 2 2 1 2
22 1 1 2
0
K KK K K
M M M M
ω
ω −ω
ω
+  
 +  + = ⇒ 
 
Comparando estas frecuencias con las frecuencias naturales correspondientes 
1 2
1 2
1 2
n n
K K
M M
ω = ω = , a cada conjunto masa-resorte por separado: 
verificaríamos que: 
1
2
ni
ni
i
i
ω ω
ω ω
< ∀
> ∀
¡El acoplamiento provoca una disminución de la primer frecuencia natural del sistema!
29
30
Modelo traslación-rotación : 
Considerando los grados de libertad u y θ tendremos: 
Energía cinética: 2 2
2 2
pIM
T u θ= + ɺɺ
Energía Potencial Total: ( ) ( )2 2* 1 21 2
2 2
K K
u L u Lπ θ θ= + + −
Ecuaciones de Lagrange: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
* *
1 1 2 2
* *
2 2
1 1 1 2 2 2
0 0
0 0p
T Td
Mu K u L K u L
dt u u
T Td
I K L u L K L L u
dt
π π
θ θ
π π
θ θ θ
θ θ
  ∂ − ∂ −
  − + = ⇒ − − + − − =
∂ ∂    

 ∂ − ∂ −
 − + = ⇒ − − + − − = ∂ ∂   
ɺɺ
ɺ
ɺɺ
ɺ
En forma matricial: 
1 2 1 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
0 0
0 0p
M K K L K L Ku u
I L K L K L K L Kθ θ
+ −        
+ =        − +       
ɺɺ
ɺɺ
Si definimos: 
K = K1 + K2 ⇒ constante lineal equivalente 
2 2
1 1 2 2CK L K L K= + ⇒ constante de torsión equivalente 
KA = L2 K2 – L1 K1 ⇒ constante de acoplamiento 
K1 K2 
L1 L2 
u 
θ 
CG 
M, Ip
31
Obtenemos la expresión: 
0 0
0 0
A
p A C
M K Ku u
I K Kθ θ
−        
+ =        −       
ɺɺ
ɺɺ
Cuando L2 K2 = L1 K1 la constante de acoplamiento es 0 y el sistema vibra en un 
modo traslacional y otro rotacional en forma desacoplada , resultando:C
nu n
p
KK
M I
θω ω= =
Vemos que en este caso, a diferencia del anterior, podemos desacoplar 
ambos modos de vibración, con las ventajas que esto implica si recordamos 
que el acoplamiento provoca una disminución de la primer frecuencia natural 
del sistema. 
Sistemas autoexcitados 
El estudio del Flütter se puede comprender más fácilmente si tenemos 
en cuenta que este fenómeno pertenece a la clase de oscilaciones 
cuya característica es que son autoexcitadas. 
Si consideramos un sistema mecánico de un grado de libertad, con una carga 
forzante: 
Mɺuɺ+ Cuɺ + Ku = F
Resulta evidente que la naturaleza de la función forzante F juega un rol clave 
en la determinación del tipo de movimiento del sistema. Anteriormente vimos el 
caso en que F era una función armónica simple. El movimiento del sistema bajo 
este tipo de fuerza es independiente del desplazamiento u y sus derivadas. 
Si ahora consideramos el caso: 
F = F0 u 
Con lo cual la ecuación diferencial resulta: )
( )
( )
0
2
0
2
0
1,2
0 )
0
4
2 2
λt
λt
M K F u u(t A e
M C K F A e
C M K FC
M M
λ + λ
λ
+ Cuɺ + ( − = ⇒ =
= + − 
− −
= − ±
ɺuɺ
Se obtendrá un movimiento oscilatorio amortiguado si se cumple: 
( )
2
2
0 04 0
4
C
C M K F K F
M
− − < ⇒ − >
El amortiguamiento crítico se obtendrá para: 
2
0
4
C
F
M
K − =
32
Sin embargo si: 
2
0
4
C
K F
M
− <
Se obtiene un movimiento no oscilatorio pero divergente , de hecho si sólo se 
cumple K <<<< F0, la solución es divergente pues e se eleva a una potencia 
positiva. 
Estudiaremos el caso en que F = F0 ü 
( )
( )
( )
( )
( )
0
2
0
2
0
1,2
0 0
0 ( )
0
4
2 2
t
t
M F u Cu Ku u t A e
M F C K A e
C M F KC
M F M F
λ
λλ λ
λ
− + + = ⇒ =
 − + + = 
− −
= − ±
− −
ɺɺ ɺ
Soluciones amortiguadas y estables son posibles para M > F0 y éstas serán 
oscilatorias en el caso que: 
( )
2
2
0 04 0
4
C
C M F K M F
K
− − < ⇒ − >
Si M ≤ F0 obtendremos nuevamente soluciones divergentes pero no armónicas. 
Hemos visto que es posible obtener movimientos inestables o divergentes 
(aunque no oscilatorios) en sistemas de un grado de libertad en función del 
valor de F0 cuando la fuerza F es proporcional al desplazamiento o la 
aceleración. 
Consideremos ahora el caso más interesante que es cuando F es proporcional 
a la velocidad: 
( )
( )
( ) ( )
0
0
2
0
2
00
1,2
0 ( )
0
4
2 2
t
t
F F u
Mu C F u Ku u t A e
M C F K A e
C F MKC F
M M
λ
λλ λ
λ
=
+ − + = ⇒ =
 + − + = 
− −−
= − ±
ɺ
ɺɺ ɺ
Aquí para (C−F0) > 0 se obtendrán las soluciones vistas. Pero bajo la condición 
(C−F0) < 0 existirá el efecto de un término de amortiguamiento negativo , el 
cual puede interpretarse físicamente como una entrada de energía al sistema. 
Todos estos casos se denominan autoexcitados. Una característica de estos 
sistemas, que en general los hace de muy difícil manejo matemático, es que la 
naturaleza de la función forzante es poco clara y compleja. Muchas veces las 
funciones de fuerzas presentes se obtienen a partir de complejas interacciones 
entre cantidades sujetas simultáneamente a diversas leyes físicas. 
33
Tema N° 4 : Introducción a la Aerodinámica No estacionaria 
Parte 1 – introducción 
El fenómeno No estacionario puede surgir debido a los cambios naturales del 
propio flujo en el tiempo (como la turbulencia creada en una capa límite) o 
puede surgir por los cambios de la posición u orientación de un cuerpo, a veces 
causados, por la interacción entre un flujo y una estructura elástica. 
El Experimento de Fung (1955) 
Objetivo del experimento: Determinar si un objeto inmerso en un flujo no 
estacionario posee el mismo comportamiento que en un flujo estacionario. 
El Experimento: Fung Colocó una vara en un flujo de agua continuo y tomando 
la vara desde una punta la movió rápidamente hacia arriba. Como resultado en 
la estela de la vara observó vórtices que se desprenden alternadamente de 
ambas caras de esta: 
Figura 1 
El flujo aguas abajo crea una vorticidad de baja presión alterna. El objeto y los 
vórtices tenderán a moverse hacia la zona de más baja presión. Por lo tanto 
podemos decir que el movimiento vertical de la vara induce una fuerza 
periódica perpendicular al movimiento de la misma. 
Teoría de la Aerodinámica No Estacionaria de Theodorsen (1934) 
Theodorsen estaba particularmente interesado en este problema debido a su 
importancia para el fenómeno de Flütter del ala, ya que un acoplamiento de 
la aerodinámica y la dinámica estructural puede conducir a la inestabilidad del 
ala y la rotura de la misma. Según Theodorsen la obtención de los parámetros 
aerodinámicos de Sustentación y Momento de cabeceo en un flujo no 
estacionario consisten en dos fenómenos físicamente distintos: 
Fenómenos Circulatorios: Son los estudiados en cursos de aerodinámica 
clásica. El flujo alrededor de un objeto no cambia respecto del tiempo, las 
fuerzas y momentos aerodinámicos actuantes en el cuerpo permanecen 
constantes en todo momento. 
34
Fenómenos NO circulatorios : También llamados fenómenos de efectos de 
“masa aparente” e “inercia” son generados cuando el movimiento del ala tiene 
una aceleración no nula. Debe el ala llevar con ella una parte del aire que la 
rodea. Este aire posee una masa finita que genera que existan fuerzas de 
inercia que se oponen a su aceleración. Si el término de masa aparente es 
despreciable, este tipo de análisis se denomina cuasi-estacionario 
Los análisis teóricos efectuados sobre el tema toman las siguientes hipótesis 
de trabajo: 
• Flujo Incompresible M < 0,3
• Flujo No Viscoso
• Perfiles delgados t/c < 2%
• Procesos termodinámicos isoentrópicos
• Las velocidades de perturbación son muy pequeñas en comparación
con la velocidad de flujo libre
• Las oscilaciones armónicas son de pequeña amplitud, oscilando en el
entorno de una posición de equilibrio de modo que se pueda aplicar el
principio de superposición de efectos.
Parte 2 – Análisis Teórico 
Sustentación 
Si recordamos de cursos anteriores, la sustentación se la puede obtener 
mediante el uso del teorema de Kutta–Joukowski. En una placa plana tomando 
la cuerda como c=2b y trabajando con una transformación conforme, 
obtendremos la expresión de la sustentación: 
L Uρ= Γ
Donde: 
2 bUπ αΓ =
Reemplazando: 
22L bUρ π α=
Y en forma de coeficiente: 
2
2L
l
C
U b
π α
ρ
= = 
Figura 2 
35
Si consideramos que el perfil se encuentra sometido a un flujo con un viento 
relativo a 0º en un análisis de aerodinámica estacionaria se observa que NO se 
generará sustentación ya que el AOA es nulo. 
Downwash para un flujo estacionario. 
La sustentación es producida por el cambio de dirección del flujo alrededor de 
un perfil. El cambio de dirección da como resultado un cambio de velocidad 
produciendo una aceleración (variación de la cantidad de movimiento). Para 
cambiar la dirección del flujo por lo tanto se requiere que exista una fuerza 
aplicada al fluido; La sustentación es simplemente la fuerza de reacción del 
fluido que actúa sobre el ala. Recordemos la segunda ley de Newton, en 
términos de la cantidad de movimiento, vemos que establece que la fuerza 
sobre un objeto es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento. 
La circulación constituye una medida de la capacidad de modificación de la 
cantidad de movimiento de un perfil y por lo tanto de la capacidad de creación 
de sustentación. 
Figura 3 
El Downwash en la estela es el indicativo de la fuerza de sustentación en un 
cuerpo. La dirección de la fuerza y el downwash son los mismos pero sus 
sentidos son opuestos. Por consiguiente, para la corriente descendente la 
fuerza de sustentación es entonces ascendente (ver Figura 3). Se trabaja con 
el downwash en un flujo No estacionario para poder analizar la incidencia de la 
interacción vorticosa en el flujo ya perturbado. 
Para llegar a la expresión del Downwash en un flujo estacionario partiremos del 
teorema de Kelvin para encontrar la variación total de la circulación enel 
tiempo. Este teorema establece que la circulación total permanece constante 
durante todo el movimiento. Dado que el mismo se inicia desde el reposo, el 
total de la circulación en el estado inicial es nulo: 
0dsγΓ = =∫�
36
La integral cerrada aquí se evalúa en torno a la superficie de sustentación en 
un lazo cerrado arbitrario. Donde claramente el lazo cerrado se elige como la 
superficie de sustentación de la siguiente forma: 
Poco tiempo después del inicio, en la superficie superior los vórtices se mueven 
hacia el borde de fuga empujando los vórtices de más abajo hasta llegar al 
punto de estancamiento trasero. Después de este tiempo, el flujo se estabiliza 
en la superficie de sustentación con una circulación constante. ( t > 0). Hay dos 
circulaciones distintas en el campo de flujo: La primera se debe a la circulación 
sobre la superficie de sustentación y la segunda se debe a la circulación de 
“paso” por el flujo del perfil. Calculamos ambas circulaciones en sentidos 
horarios como se muestra con líneas discontinuas. Nótese que por el teorema 
de Kelvin la circulación total debe ser cero por lo que los vórtices aguas abajo y 
los provenientes del perfil forman una circulación -Γa que permanecen en la 
estela. A pesar de que conserva la misma fuerza durante mucho tiempo, su 
efecto sobre la superficie de sustentación es insignificante (ley de Biot-Savart), 
ya que está muy lejos de dicha superficie de sustentación. 
Una vez que la condición de Kutta se cumple, el panorama del campo de flujo 
sigue siendo el mismo en todo momento, lo que significa que el flujo es 
constante. Como se mencionó antes el único vórtice que afecta al sistema 
es el conformado por los vórtices del extradós y el intradós . Si el perfil es 
lo suficientemente delgado ( < 12% ) se supone que los vórtices de la superficie 
superior e inferior están suficientemente cerca y se suman a una fila de vórtices 
única (que es fácil de modelar) como un conjunto de vórtices de intensidad: 
( )a xγ , que subdividimos en la intensidad del intradós y extradós:
( ) ( ) ( )a up lowx x xγ γ γ= +
De acuerdo con la ley de Biot-Savart , el vórtice de intensidad ( )a xγ y su
longitud dξ inducen una velocidad diferencial dV en un punto en el campo (x, z): 
( )
2
a x ddV
r
γ ξ
π
=
Integramos en toda la cuerda del perfil y utilizando una forma conveniente para 
expresar las componentes de “V” (“u’” y “w”): 
37
2 2 2 2
( ) ( ) ( )1 1
( , ) ( , )
2 ( ) 2 ( )
b b
a a
b b
z d x d
u x z w x z
x z x z
γ ξ ξ ξ γ ξ ξ
π ξ π ξ− −
−′ = = −
− + − +∫ ∫
Para un flujo estacionario con z = 0 se obtiene finalmente: w(x,0): 
( )1
( ,0)
2
b
a
b
d
w x
x
γ ξ ξ
π ξ−
= −
−∫ Downwash para flujo estacionario 
Esta ecuación integral se puede trabajar considerando que la intensidad 
vorticosa es la incógnita y el downwash es el valor conocido mediante el uso de 
las Inversiones de Fredholm1. La única consideración para la correcta 
aplicación de esta inversión es trabajar con coordenadas adimensionales: 
* * xx
b b
ξξ = =
Por lo que haciendo uso de la inversión nos queda: 
( )
1* *
*
* * * *
1
2 1 1 ( )
1 1
a
x w
x d
x x
ξ ξγ ξ
π ξ ξ−
− +=
+ − −∫
Recordamos que el Coeficiente de presión se lo puede obtener mediante las 
siguientes expresiones: 
21
2
2 ( )
( )l u apa pa
p p x
c c x
p U U
γ
∞
−= =
Aplica ción del método de las pequeñas perturbaciones – Linealización. 
Tomamos una u’ como la componente de velocidad de perturbación en la 
dirección x que hace que la componente de la velocidad total en esa dirección 
sea: u = U + u´. 
Además, si definimos a la función φ’ como al potencial de perturbación que nos 
brinda la relación entre los dos potenciales como φ = φ’ + Ux 
Como resultado, se puede escribir la relación entre el potencial de 
perturbación y las componentes de la velocidad de la siguiente forma: 
, ,u v w
x y z
φ φ φ′ ′ ′∂ ∂ ∂′= = =
∂ ∂ ∂
El méto do de las pequeñas perturbaciones se basa en la suposición de 
que las velocidades de perturbación son muy pequeñas en comparación 
con la velocidad de flujo libre: 
u U v U w U′≪ ≪ ≪
1
 Inversion of Fredholm integral equations: Gulçat - Fundamentals of Modern Unsteady Aerodynamics-
Appendix 2 
38
Además, debido a la teoría del perfil delgado (t/c < 2%) el espesor del cuerpo 
aerodinámico es pequeño. Por lo tanto, podemos escribir las componentes en 
la forma siguiente: 
1 y 1
pero
a a
a a a a a a a a a
z z
x y
z z z z z z z z z
w U u v u v U w U
t x x y x y x t x
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂′ ′= + + + + ⇒ = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
≪ ≪
≪
Esta ecuación es válida para AOA < 12º y para perfiles delgados cuyo espesor 
relativo es menor a un 12%. 
Downwash para un flujo No estacionario. 
Para conocer el valor del downwash en un flujo no estacionario y luego obtener 
el coeficiente de presión y por consiguiente el de sustentación y momento, 
debemos analizar al flujo de forma similar ha como lo hemos analizado en 
forma estacionaria pero asumiendo las siguientes hipótesis: 
• La intensidad vorticosa es función de las variables “x” y “t”: γa = γa (x,t)
• Existen continuos vórtices desprendiéndose en la estela del borde de fuga
debido a que existe una intensidad desigual entre los vértices de extradós e
intradós.
• Al existir una vorticidad en la estela (aguas abajo del perfil) aparecerá un
campo de velocidades inducido.
Figura 4 
El Downwash será ahora una variable del tiempo y tendrá dos términos en “x”. 
Los límites de la integral abarcarán la cuerda y desde el BF hasta el infinito 
(Ver figura 4): 
( , ) ( , )1 1
( ,0, )
2 2
b
a w
b b
t d t d
w x t
x x
γ ξ ξ γ ξ ξ
π ξ π ξ
∞
−
= − −
− −∫ ∫
Donde el primer término de la ecuación se conforma por una integral singular y 
el segundo término no. Por lo tanto, podremos reescribir al segundo término 
con ayuda de la condición de Kutta para flujo No estacionario para analizar 
el comportamiento del flujo en el borde de fuga. 
39
Condición de Kutta para flujo no estacionario. 
En caso de un flujo estacionario, hemos expresado la condición de Kutta como 
la condición en la que la circulación (o la diferencia de velocidades) en el borde 
de fuga es nula. En el caso del flujo no estacionario, sin embargo, hay un 
valor distinto de cero de la circulación (o la diferencia de velocidades) en 
el borde de fuga . Por lo tanto, la condición de Kutta para flujo no 
estacionario se expresa como la diferencia de presión “cero” en la estela. 
Esta relaciona la circulación del perfil y la vorticidad de la estela de la 
siguiente forma: 
( , ) ( , ) 0
x
a
w w
b
d
t d U x t
dt t
γ ξ ξ γΓ ∂+ + =
∂ ∫
Condi ción de Kutta para flujo no estacionario – Ecuación integro-
diferencial 
La resolución de la ecuación integro-diferencial asociada a la condición de 
Kutta para un análisis no estacionario en el tiempo es muy compleja por lo que 
se trabaja por conveniencia con la transformada de Laplace para la solución de 
la misma: 
( , ) ( , ) 0
x
a w w
b
s s s d U x sγ ξ ξ γΓ + + =∫
En esta situación para t = 0, la circulación es “0” así como γw (x) = 0 
Tomando la derivada respecto a “x”: 
( , ) ( , ) 0w ws x s U x s
x
γ γ∂+ =
∂
La solución para esta ecuación es: 
( , ) ( )
sx
U
w x s B s eγ
−
=
Para determinar el valor de B(s) aplicamos la condición de Kutta para x = b 
(borde de fuga), obteniendo: 
( )
sb
a U
s
B s e
U
Γ= −
Por conveniencia trabajamos con “x” como adimensional x* = x/b 
Y reemplazando B(s) obtenemos: 
( )* 1*( , )
sb
x
a U
w
s
x s e
U
γ
− −Γ= −
40
Ahora podemos expresar la ecuación del downwash para flujo no estacionario 
en el domino de “s” como: 
( ) ( )
*
* *1*
*
* * * *
1 1
,1
,
2 2
sb
sb U
aa U
s ds e d
w x s e
U x x
ξ γ ξ ξξ
π ξ π ξ
−∞
−
Γ− = −
− −∫ ∫
Si recordamos la ecuación del downwash para pequeñas perturbaciones: 
a az zw U
t x
∂ ∂= +
∂ ∂
Relacionando ambas ecuaciones en el dominio de “s” obtendremos: 
( ) ( ) ( )* * **, , ,a aUw x s s z x s z x sb x
∂  = +  ∂
Como antes, teniendo la expresióndel downwash podemos utilizar las 
Inversiones de Fredholm y luego obtener el Coeficiente de Presión en el 
dominio de “s”: 
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
* * *1 1* *
* * * *
* * * *
1 1
* *1(2) * *
1
(2) (2) * *
1 0 1
, ,4 1 1 4
, ,
1 1
21
,4 1 1
1
1 1
3
pa
w s d w sx sb
c x s x d
x U Ux U
w s dH x
H i H x U
ξ ξ ξξ ξ ξ
π ξ πξ
ξ ξξ
π ξ
− −
−
− += − Λ +
+ − −
  − ++ − + + − 
∫ ∫
∫
����������������������������
���������������������
Donde 1 es el término circulatorio, 2 es el término de masa aparente y 3 es el 
término circulatorio debido a la vorticidad en la estela. 
Donde: 
( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
2 2
* * * *
*
* * * *
1 1 11
, ln
2 1 1 1
x x
x s
x x
ξ ξ
ξ ξ
 − + − − Λ =  
− − − − 
 
Y el término: 
(2)
1
(2) (2)
1 0
H
H i H+
41
Será una nueva función llamada Función de Theodorsen la cual se puede 
expresar a través de las Funciones de Bessel2: 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
(2)
1
(2) (2)
1 0
sb
U sb sb
U Usb sb
U U
H isb
C i F i i G i
U H i i H i
−  = = − + −  − + − 
Estas funciones F y G son reales, aunque sus argumentos son imaginarios y en 
el Report NACA 496, la figura 5 nos permite obtener las mismas mediante la 
inversa de la frecuencia reducida. 
Figura 5: Gráfico de F y G en función de 1/k 
Matemáticamente hablando se puede ver que la función de Theodorsen tiene la 
propiedad de tomar el valor unitario cuando s�0. Estonces, trabajando con el cp 
y con s� 0 se simplifica de la forma: 
( ) ( )
*1* *
* *
* * * *0
1
4 1 1 1
lim ,
1 1
p
s
wx
c x s d
x x U
ξξ ξ
π ξ ξ→ −
− +  =  + − −∫
Este término se denomina presión cuasi-estacionaria y es equivalente al 
término de presión estacionario. 
Generación de sustentación con AOA nulo respecto al viento relativo. 
Como es bien conocido en el flujo estacionario un ángulo de ataque nulo 
respecto al viento relativo significa sustentación nula. En el flujo no 
estacionario, sin embargo, durante la traslación vertical de la superficie 
de sustentación, tenemos una generación de sustentación incluso a bajo 
ó nulo AOA de corriente libre . Ahora estamos en condiciones de demostrar 
esto con el análisis de un límite de la ecuación del coeficiente de presión. 
Multiplicando todo por U2: 
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 * * * * * *
0 0
1
4
lim , , , y además lim ,p a
U U
U c x s sb x w s d w x s s zξ ξ ξ
π→ →−
  = − Λ =  ∫
2
 Bessel: En matemática, las funciones de Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial 
de Bessel. Ver Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) 
Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3. 
42
De la última línea, vemos que la fuerza vertical es proporcional con s z a 
Nos muestra que incluso a velocidad de flujo de la corriente libre nula existe 
una sustentación que es proporcional a la aceleración de traslación vertical. Esta 
fuerza es una fuerza de inercia generada por el movimiento del perfil y se llama 
masa aparente. 
En la sección anterior se ha obtenido el coeficiente de sustentación en el 
dominio de la transformada de Laplace. Con el fin de expresar el coeficiente 
de presión en el dominio del tiempo tenemos que invertir la ecuación del 
coeficiente de presión ya sea con la integral de Bromwich o utilizar alguna 
otra técnica de algún tipo de tiempo movimiento dependiente. Uno de los tipos 
especiales de movimiento es un movimiento armónico simple de la 
superficie de sustentación 
Análisis en el dominio del Tiempo con el modelo del movimiento 
armónico simple de la superficie de sustentación: 
Si tomamos a za como la amplitud del movimiento y al parámetro ω como la 
frecuencia, podemos trabajar con la expresión exponencial del movimiento 
oscilatorio armónico: 
( , ) ( ) i ta az x t z x e
ω=
El Downwash nos queda expresado entonces de la siguiente manera: 
( , ) ( )i t i ta a aa
z z z
w x t U i z U e w x e
t x x
ω ωω∂ ∂ ∂ = + = + = ∂ ∂ ∂ 
Notar que la función downwash se transforma en una expresión compleja. Esto 
nos muestra que cuando el flujo es No Estacionario existe una diferencia de 
fase entre el movimiento y su respuesta al downwash. En otras palabras 
podemos decir que la vorticidad en la estela genera una diferencia de 
fase entre el movimiento y la respuesta aerodinámica. 
Esta diferencia de fase es, en cierta forma, una medida de la inestabilidad y 
puede ser representada en el plano complejo: 
Si comparamos las expresiones del downwash en el dominio de “s” y la 
propuesta para el movimiento oscilatorio armónico notaremos: 
43
• Gran similitud entre ambas expresiones donde el parámetro “s” será muy
similar en esencia al parámetro “iw”.
• El parámetro adimensional del coeficiente de presión ( sb / U ) puede ser
identificado como otro parámetro de la forma: i( bw / U) = i k
Aquí podemos hacer mención de este parámetro importante “k = b w / U” al cual 
definimos como frecuencia reducida . Ahora podemos dar un sentido físico a 
la frecuencia reducida como " el número de oscilaciones (en radianes) por 
“medio recorrido” de la cuerda del perfil”. 
Por lo tanto, la frecuencia reducida se considera como una medida 
adimensional de la inestabilidad. 
El valor de k indica el grado de no-estacionalidad del flujo. Valores de k 
menores a 0,2 indican que los efectos no-estacionarios son poco importantes. 
Coeficientes aerodinámicos no estacionarios 
Vamos a encontrar ahora los coeficientes de sustentación y momento de un 
perfil aerodinámico que se somete a un movimiento armónico simple utilizando 
el cpa obtenido: 
Recordando que x* = x/b 
1
*
1
1
donde
2
i t
L L L paC C e C c dx
ω
−
= = ∫
( ) ( )* *1 1*
* *2 *
*
1 1
1
( ) 2 ( ) 2 1
1
L
w w
C k C k d ik d
U U
ξ ξξ ξ ξ ξ
ξ− −
+= − − −
−∫ ∫
Para el momento de cabeceo: 
1
* *
2 2 2 2
1
1
2
b
l u
m pa
b
p pm
C x dx c x dx
U b U bρ ρ∞ ∞− −
−= = − = −∫ ∫
[ ] ( ) ( ) ( )
* * *1 1 1* *
* * * *2 * *
* *
1 1 1
1 1
( ) 1 ( ) 2 1
1 1
m
w w w
C k C k d d ik d
U U U
ξ ξ ξξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ− − −
+ += − + + + −
− −∫ ∫ ∫
Dond e los términos imaginarios ( ik) de ambas expresiones son los 
térm inos de masa aparente o No circulatorios. 
Analogía de Ecuaciones – Función de Theodorsen 
Es interesante también obtener las expresiones de los coeficientes 
aerodinámicos en su forma cuasi-estacionaria si tomamos el límite donde la 
frecuencia reducida de hace nula. 
Función	
  de	
  Theodorsen:	
  
	
  
	
  
Nótese	
  que	
  para	
  valores	
  de	
  	
  
	
  
C(k)=0,5	
  à	
  k	
  =∞	
  
C(k)=1	
  	
  	
  	
  	
  à	
  k	
  =0	
  
	
  
Aproximación	
  Analítica	
  con	
  la	
  formula	
  de	
  Jones:	
  
	
  
C(k) = 1! 0,165
1! 0,0455
k
i
! 0,335
1! 0,3
k
i
	
  	
  	
  	
  	
  Para	
  valores	
  de	
  k!0,5	
  
C(k) = 1! 0,165
1! 0,041
k
i
! 0,335
1! 0,32
k
i
	
  	
  	
  	
  	
  Para	
  valores	
  de	
  k	
  !0,5	
  
	
  
	
  
	
  
45
( )
( ) ( )
*1 *
*
*0
1
* *1 1* *
* * *
* *0
1 1
1
lim ( ) 2
1
1 1
lim ( ) 2 2
1 1
qs
L L
k
qs
m m
k
w
C C k d
U
w w
C C k d d
U U
ξξ ξ
ξ
ξ ξξ ξξ ξ ξ
ξ ξ
→
−
→
− −
+
 = = −  −
+ +
 = = − +  − −
∫
∫ ∫
Matemáticamente podemos expresar las formas de los coeficientes cuasi-no 
estacionarios en términos de los estacionarios: 
( )
( )
2
2
*1
* *
1
*1
* * *
1
( ) 2 1
( ) 1
1
2
qs
L L
qs qs
m m L
w
C C C k ik d
U
wC k
C C C ik d
U
ξ
ξ ξ
ξ
ξ ξ ξ
−
−
= − −
−= + + −
∫
∫
Los coeficientes aerodinámicos obtenidos, nos dan la relación entre los 
coeficientes cuasi estacionarios y los coeficientes cuasi no estacionarios en 
términos de la función de Theodorsen y de las contribuciones de los términos 
de la masa aparente. Si consideramos sólo los términos circulatorios , la 
variación entre la sustentación cuasi-estacionaria y la cuasi-no 
estacionaria se da por la función de Theodorsen que mide también la 
diferencia de fase entre los dos coeficientes. Otro significado importante 
da la función de Theodorsen es que si conocemos los coeficientes cuasi-
estacionariosa partir de experimentos o por algún otro medio se pueden 
obtener los correspondientes coeficientes cuasi-no estacionarios 
multiplicandos por el valor de la función de Theodorsen en la frecuencia 
reducida deseada. 
Esta solución ha sido obtenida mediante el criterio de proponer un 
movimiento armónico simple. El movimiento arbitrario (caso más general) 
puede obtenerse mediante la superposición de Fourier de movimientos 
armónicos simples si sólo si se considera que las oscilaciones armónicas 
son de pequeña amplitud de modo que se pueda aplicar el principio de 
superposición de efectos. 
La comparación entre los cálculos teóricos y los estudios experimentales fueron 
efectuados por Leishman para el perfil NACA 0012 a bajos números de Mach y 
altos números de Reynolds en el rango de frecuencia reducida de 0,07<k<0,4. 
Dando buenos resultados entre lo teórico y lo experimental. 
Conclusiones: 
Las fuerzas aerodinámicas en un perfil oscilando en un flujo han sido 
determinadas. El problema radica en la obtención de la solución de ciertas 
integrales definidas las cuales han sido identificadas como funciones de Bessel 
del primer y segundo tipo así como de orden 1 y 0. 
La teoría está basada en la del flujo potencial, basándose en la suposición de 
que las velocidades de perturbación son muy pequeñas en comparación con la 
velocidad de flujo y también se encuentra basada en la condición de Kutta 
(adaptada) en el Borde de fuga. La oscilación del perfil se la considera como 
armónica simple y de pequeña amplitud oscilando entorno a una posición de 
equilibrio, para poder aplicar el principio de superposición de efectos y obtener 
una solución generalizada (arbitraria) mediante la serie de Fourier. 
La solución de las cargas aerodinámicas no estacionarias, en su forma simple, 
se expresa en función del parámetro adimensional “k” llamado frecuencia 
reducida que nos brinda una idea de la no estacionalidad del sistema. 
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
* * *1 1* *
* * * *
* * * *
1 1
* *1(2) * *
1
(2) (2) * *
1 0 1
, ,4 1 1 4
, ,
1 1
21
,4 1 1
1
1 1
3
pa
w s d w sx sb
c x s x d
x U Ux U
w s dH x
H i H x U
ξ ξ ξξ ξ ξ
π ξ πξ
ξ ξξ
π ξ
− −
−
− += − Λ +
+ − −
  − ++ − + + − 
∫ ∫
∫
����������������������������
���������������������
Para los flujos no estacionarios no se necesita tener en consideración los tres 
términos de la ecuación completa. Dependiendo de la inestabilidad que tenga 
se pueden despreciar algunos de los términos de nuestro análisis en función de 
la precisión que deseamos. Podemos tomar como un criterio válido de descarte 
la siguiente clasificación clásica: 
• Aerodinámica No Estacionaria: Todos los términos incluidos, válida
por lo general para movimientos de 40 Hz o más. En estos casos el
término de masa aparente es significativo para valores de frecuencia
reducida más grandes que la unidad.
• Aerodinámica Cuasi-No estacionaria: No se considera la masa
aparente en este análisis (se elimina el término 2), válida por lo
general para movimientos entre 5 a 15 Hz.
• Aerodi námica cuasi-estacionaria: Para movimientos con menos de
1 Hz de frecuencia, utilizando solamente el término circulatorio
(término 1).
Parte 3 – Ejemplo de Aplicación 
Placa plana c=2b con un viento relativo “U” oscilando de forma armónica, 
Obtener CL y Cm teniendo en cuenta los efectos No estacionarios: 
w (frecuencia de oscilación) = dato 
U (Velocidad ) = dato 
b (cuerda / 2) =dato 
46
47
Tenemos un movimiento armónico en “z” Entonces definimos: 
( , ) i ta az x t z e
ω=
El Downwash correspondiente será: 
( , ) parai t i ta aw x t i z e we w i z
ω ωω ω= = =
Podemos observar que la amplitud del downwash difiere del movimiento con un 
coeficiente “iω” esto muestra que la diferencia de fase entre ellos es 90º 
Escribimos entonces los coeficientes cuasti-Estacionarios: 
*
*
2 2qs aL a
qs a
m a
i z
C ikz
U
i z
C ikz
U
ωπ π
ωπ π
= − = −
= − = −
Debemos obtener la función de Theodorsen C(k): 
C(k) = F(k) + G(k) 
Sabemos que k = w.b/U y luego entrando con 1/k en la figura 4 del Report 
NACA TR-496 obtenemos F(k) y G(k)
Sencillamente los coeficientes aerodinámicos no estacionarios nos quedan: 
48
* 2 *
*
2 ( )
( )
L a a
m a
C ikz C k k z
C ikz C k
π π
π
= − +
= −
Donde se observa que la masa aparente contribuye al coeficiente de 
sustentación del perfil, pero no el coeficiente de momento. 
49
Tema N°5 : Fenómenos Aeroelastodinámicos. 
Introducción . 
Un ala o un empenaje vibrará con aire calmo cuando es desplazado de su 
posición de equilibrio y liberado. Esta vibración se amortiguará dependiendo de 
la resistencia del aire y de la fricción interna de la estructura. 
Bajo condiciones normales de vuelo, un ala u otro componente estructural del 
avión tendrá un comportamiento similar si una estela o ráfaga causa una 
deflexión del componente. 
En ciertas condiciones de vuelo las fuerzas aerodinámicas son tales que 
provocan un aumento de la amplitud de la vibración. 
En un ala, que puede vibrar en flexión y en torsión como una viga, se pueden 
dar ciertas condiciones entre los dos modos de vibración de tal manera que el 
incremento del ángulo de ataque debido a la oscilación torsional cambia la 
fuerza de sustentación exactamente en fase con la vibración de flexión. En 
este caso el movimiento de, por ejemplo, la puntera del ala tendrá una forma 
oscilatoria divergente . 
Este movimiento inestable divergente causado por las fuerzas aerodinámicas 
se denomina Flütter. El Flütter es un tipo de vibración autoinducida o 
autoexcitada. 
También pueden aparecer vibraciones de las superficies de cola como 
consecuencia de los vórtices producidos por el ala u otra superficie generadora 
de estela. Esta vibración se denomina Buffeting y sólo es seria cuando la 
frecuencia de la fuerza forzante, producida por el vórtice, es cercana a la 
frecuencia natural de vibración de la superficie sobre la cual actúa. 
w(t) 
t 
50
Clasificación del Flütter: 
Una aeronave es una estructura lo suficientemente complicada como para que 
sea bastante difícil visualizar todos lo s modos posibles de vibración y además 
determinar cuales de ellos podrían ser peligrosos. 
La experiencia ha demostrado que existen unos pocos casos de Flütter, 
que pueden clasificarse de la siguiente manera: 
 Binarios : Involucran dos modos de vibración o componentes. 
Flütter 
 Ternarios : Involucran tres modos de vibración o componentes. 
En este curso sólo trataremos los denominados Flütter binarios. Los 
cuales podemos clasificar de la siguiente manera: 
I) Flütter binario flexión-torsión
II) Flütter binario eje perpendicular + superficie de control.
a) Flexión del ala + alerón.
b) Torsión del fuselaje + timón de dirección.
c) Flexión del empenaje vertical + timón de dirección.
d) Flexión del empenaje horizontal + elevador.
e) Torsión del fuselaje + movimiento antisimétrico del elevador.
III) Flütter binario eje paralelo + superficie de control.
a) Torsión del ala + alerón.
b) Flexión lateral del fuselaje + timón de dirección.
c) Flexión vertical del fuselaje + elevador.
d) Torsión del empenaje vertical + timón de dirección.
e) Torsión del empenaje horizontal + elevador.
I) Flütter binario Flexión-torsión: Resulta de la combinación de estos modos
de vibración en el ala u otra superficie sustentadora. En este tipo de
vibración se considera al ala u otra superficie fija como una unidad, esto
implica suponer que las superficies de control están rígidamente adheridas
a la superficie fija y no existe movimiento relativo entre ambas.
II) Flütter binario eje perpendicular + superficie de control: Este tipo de
vibración implica la rotación de una superficie de control alrededor de su eje
o su centro de torsión y el movimiento vertical o perpendicular de la
superficie fija asociada.
III) Flütter binario eje paralelo + superficie de control: Este tipo de vibración
implica el movimiento alrededor de dos ejes paralelos.
51
Mecanismos de Flütter 
I) Flütter binarioFlexión-torsión
Si graficamos θ(t) y w(t) vemos que el defasaje entre los dos desplazamientos 
es igual a π/2: 
Dirección de Vuelo 
θ(t) 
w(t) 
La Torsión causa α(+) La Torsión causa α(-) La Torsión causa α(+) 
θ(t), w(t) 
t 
52
II) Flütter binario eje perpendicular + superficie de control
Análogamente al caso anterior el defasaje entre δ(t) y w(t) es π/2 
III) Flütter binario eje paralelo + superficie de control
δ(t), w(t) 
t 
Dirección de Vuelo 
θ(+) δ(+) δ(-) θ(-) θ(+)
θ(t) 
δ(t) 
Dirección de Vuelo 
δ(t) 
w(t) 
δ(+) δ(-) δ(+) 
53
Nuevamente podemos verificar el mismo defasaje entre θ(t) y δ(t).
Buffet ing: 
Las alas y las superficies de la cola de las aeronaves desarrollan, a ciertas 
velocidades, vibraciones que son dependientes de las características elásticas 
y aerodinámicas del sistema. Si estas vibraciones son tales que las 
propiedades aerodinámicas del sistema provocan un incremento en la amplitud 
de la vibración, resultando una inestabilidad dinámica, habíamos visto que se 
denomina Flütter. 
Otro tipo de vibración debida a las fuerzas aerodinámicas es el buffeting. 
El buffeting se distingue del Flütter en que el buffeting es realmente 
una vibración forzada causada por fuerzas aerodinámicas pulsantes. 
Buffeting es el término utilizado generalmente para definir la vibración de las 
superficies de cola bajo la acción de los vórtices de la estela generada por el 
ala o la hélice. 
En un sentido más general también se aplica a la vibración forzada de 
cualquier parte del avión bajo acción de vórtices en el flujo de aire. 
Cuando el ángulo de ataque es excesivo, los vórtices generados en el ala 
tienen una frecuencia definida. Si estos vórtices impactan en otra superficie, 
como por ejemplo el empenaje horizontal, le impartirán a esa superficie una 
fuerza pulsante con la frecuencia a la cual se generan. Si la frecuencia de los 
vórtices coincide con la frecuencia natural del componente sobre el que 
impactan, resulta una condición de resonancia . 
La frecuencia a la cual se forman los vórtices puede estimarse con la relación: 
t
K
V
ν=
θ(t), δ(t) 
t 
54
Donde: K es una constante que depende del tipo de superficie impactada 
ν es la frecuencia de los vórtices
V es la velocidad del flujo de aire sobre la superficie y
t es la longitud característica de la superficie.
La constante K vale ∼∼∼∼ 0,15 para placas y perfiles aerodinámicos y alrededor de 
0,18 para cilindros. 
La frecuencia puede obtenerse entonces, conociendo V y t: 
K V
t
ν =
Para controlar el problema del buffeting se puede actuar sobre tres puntos: 
a) Eliminar la perturbación.
b) Colocar la superficie en un lugar donde no sea impactada por la estela.
c) Cambiar la frecuencia natural de la superficie vibrante.
Eliminar la perturbación es prácticamente imposible, por lo que en general se 
utiliza la solución b), por ejemplo moviendo la posición del empenaje horizontal 
lo suficiente para alejarlo del vórtice alar. 
55
Tema N°6 : Flütter binario flexión-torsión. 
Encontramos este caso de Flütter cuando consideramos que la superficie 
de control esta rígidamente unida a la superficie fija (no hay movimiento 
relativo). El estudio de este problema requiere la evaluación tanto de las 
fuerzas aerodinámicas no estacionarias como de las fuerzas dinámicas. 
Tal como indicamos anteriormente, el estudio de las fuerzas aerodinámicas que 
actúan sobre una superficie oscilante es un tema suficientemente complejo y 
por lo tanto esta más allá del alcance de este curso. 
Debido a esto se han desarrollado diversas técnicas aproximadas y modelos 
simplificados: 
Ecuaciones diferenciales 
Métodos analíticos Métodos energéticos 
Métodos numéricos 
Ensayos en tierra 
Métodos experimentales 
Ensayos en vuelo 
a) Ecuaciones diferenciales : Para lograr expresiones “manejables” deben
plantearse modelos simplificados. En muchos casos se utilizan curvas
semiempíricas desarrolladas sobre la base de los resultados obtenidos
en dichos modelos simples.
b) Métodos energéticos : Se plantean las ecuaciones de balance
energético (Hamilton) y se estudia bajo que condiciones el sistema
oscilante extrae energía del medio (amortiguamiento negativo).
c) Métodos numéricos : Es el campo donde se ha hecho el mayor avance.
Es punto critico es la simulación de las cargas aerodinámicas y la
interacción fluido-estructura.
d) Ensayos en tierra: Son métodos experimentales, pues lo que se
determina son básicamente las frecuencias y modos naturales y luego se
utilizan curvas para estimar las velocidades de Flütter.
e) Ensayos en vuelo: Se miden las oscilaciones flexo-torsionales para
distintas velocidades de vuelo y se calcula el amortiguamiento para cada
velocidad. De esta forma se puede extrapolar la velocidad de Flütter.
Estudio de un modelo bidimensional simplificado : 
Planteamos un modelo bidimensional de un perfil rígido que se mueve con 
velocidad V: 
56
Donde: 
CA: Centro Aerodinámico (punto de aplicación de las Fuerzas Aerodinámicas) 
O: Eje Elástico (punto de aplicación de las Fuerzas Elásticas) 
CG: Centro de gravedad (punto de aplicación de las Fuerzas de Inercia) 
Kh: Constante del resorte equivalente a la rigidez flexional del ala 
Kθ: Constante del resorte equivalente a la rigidez torsional del ala 
L: Fuerza de Sustentación 
Mt: Momento Aerodinámico 
e: Distancia entre el CA y el punto O 
xcg: Distancia entre el CA y el CG
c: Cuerda del perfil 
V: Velocidad de vuelo 
El eje x se define a lo largo de la cuerda del perfil con origen en el Centro 
Aerodinámico. La razón de emplear este punto como origen, tiene que ver con 
la dificultad para expresar las fuerzas aerodinámicas no estacionarias con 
respecto a un punto genérico de la cuerda. 
Debe notarse que x NO es un grado de libertad del problema, dado que la 
coordenada x de cada punto del perfil permanece constante durante un 
desplazamiento virtual. 
Los grados de libertad que emplearemos son: 
q1 = h 
q2 = θ 
El desplazamiento de un punto genérico sobre la cuerda del perfil resulta: 
V 
θ 
L 
Mt 
CA 
e 
o Kθ
xcg
h 
CG 
Kh
x 
X 
Z 
u 
w 
c
57
r u w= +i k�
Donde u es la componente horizontal del desplazamiento y w la componente 
vertical, mientras que i y k son los versores correspondientes. 
Podemos ver que: 
(cos 1) 0
1
sen
u x
w h x h x
θ
θ
θ θ
= − ≅ 
= − − ≅ − − 
≪para
Aplicando el Principio de Hamilton tendremos: 
( ) ( )
	
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
1 1
2 2
1 1
2
2 2
1 1
2 2
c c
c c
c c c
w u w
T dx dx
t t t
T h x dx h h x x dx
T h dx h x dx x dx
m S Iθ θ
ρ ρ
θ ρ θ θ ρ
ρ θ ρ θ ρ
 ∂ ∂ ∂     = + ≅      ∂ ∂ ∂       
= − − = + +
= + +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ
����� �����
Consecuentemente la energía cinética resulta: 
2 21 1
2 2
T m h S h Iθ θθ θ= + +ɺ ɺ ɺ ɺ
Donde: 
2
c
c
c
m dx
S x dx
I x dx
θ
θ
ρ
ρ
ρ
= ⇒
= ⇒
= ⇒
∫
∫
∫
masapor unidaddeenvergadura y espesor
momento estáticopor unidaddeenvergadura y espesor
momento de inerciapor unidaddeenvergadura y espesor
La energía potencial se obtiene de: 
( )2* 2 2 2
* 2 2 2 2
1 1 1 1
( )
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
h o h
h h h
U V K w K K h e K
K h K e h K e K
θ θ
θ
π θ θ θ
π θ θ θ
= + = + = − − +
= + + +
Resultando: 
( )* 2 2 21 1
2 2
h h hK h K e h K e Kθπ θ θ= + + +
Para este sistema las ecuaciones de Lagrange resultan: 
58
( ) ( )
( ) ( )
* *
* *
0
0
h
T Td
Q
dt hh
T Td
Q
dt
θ
π π
π π
θ θ
  ∂ − ∂ −
  − + + =
∂∂    

 ∂ − ∂ −
 − + + = ∂ ∂   
ɺ
ɺ
Donde las cargas generalizadas Qh y Qθ se obtienen de la expresión del trabajo 
virtual de las fuerzas no conservativas 
NC hW Q h Qθδ δ δθ= +
Para este caso en particular, el trabajo virtual de las fuerzas no conservativas 
por unidad de envergadura resulta: 
( )
( )
NC
c c c c
h
NC t
t
W p w dx p h x dx h p dx p x dx
Q L
W h L M
Q Mθ
δ δ δ δθ δ δθ
δ δ δθ
   
= = − − = − + −   
   
= −
= − + ⇒  =
∫ ∫ ∫ ∫
Donde por convención de signos,la presión (p) y la Sustentación (L) son 
positivas hacia arriba y el Momento Aerodinámico (Mt) es positivo nariz arriba. 
Reemplazando todos los términos en las ecuaciones de Lagrange obtenemos: 
( )
( ) ( )2
0
0
h h
h h t
d
m h S K h K e L
dt
d
S h I K e h K e K M
dt
θ
θ θ θ
θ θ
θ θ
 − + − − − =

− + − − + + =

ɺ ɺ
ɺ ɺ
Finalmente, en forma matricial, tendremos: 
[ ] [ ]
2
h h
h h t
m S K K e Lhh
S I K e K e K M
M K
θ
θ θ θ θθ
−       + =        +        
ɺɺ
ɺɺ
����� ���������
En el caso más general, las cargas aerodinámicas no estacionarias se pueden 
expresar de la siguiente manera: 
[ ] [ ] [ ]A A A
t
L hh h
M C K
M θθ θ
−       
= + +       
      
ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ
59
Donde: 
[ ] [ ] [ ], ,A A AM C K son, respectivamente, las matrices aerodinámicas de 
masa, amortiguamiento y rigidez. 
Si en el modelo simplificado consideramos el amortiguamiento estructural, 
obtendríamos la expresión siguiente: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) 0
0
A A A
A A A
h hh h h h
M C K M C K
hh h
M M C C K K
θ θθ θ θ θ
θθ θ
          + + = + +           
          
       
− + − + − =       
      
ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ
Esto representa un problema de autovalores, cuya expresión genérica sería: 
* * *
0
0
hh h
M C K
θθ θ
       
     + + =            
      
ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ (32) 
Planteamos una solución armónica: 
0
0
( )
( )
i t
hh t
e
t
ω
θθ
  
=   
   
Donde h0 y θθθθ0 son las amplitudes del movimiento traslacional y angular 
respectivamente. Sustituyendo en la ecuación (32) obtenemos: 
( ) 02 * * *
0
0
0
i t
h
M i C K e ωω ω
θ
   
     − + + =        
  
Donde para obtener una solución distinta de la trivial, debemos plantear la 
nulidad del determinante de la matriz de coeficientes: 
2 * * * 0 ( , ) 0M i C K P Vω ω ω     − + + = ⇒ =     
P(ω,V) = 0 es la ecuación característica del problema de autovalores, que en 
este caso particular tiene coeficientes complejos. Para obtener las raíces 
podemos expresar esta ecuación de la siguiente forma: 
( , ) ( , ) ( , ) 0P V A V i B Vω ω ω= + =
Donde A(ω,V) y B(ω,V) son polinomios reales. La solución se obtendrá 
resolviendo el sistema de ecuaciones: 
60
( , ) 0
( , ) 0
A V
B V
ω
ω
=
 =
El menor valor de la velocidad de vuelo es la velocidad de Flütter (VF) del 
sistema, siendo ωωωωF la frecuencia de oscilación asociada. 
V 
ω ωF 
VF B(ω,V) = 0 
A(ω,V) = 0 
A fines prácticos las expresiones típicas de Velocidad de Flütter así como 
de Frecuencia de Flütter son:
Donde: 
a: Distancia entre el C.A y C.M 
b: Distancia entre el E.A y C.M
c: cuerda
Kh: Cte de Rigidez en Flexión 
Kα: Cte de Rigidez en torsión 
Iα: Momento de Inercia.
Para resumir, las formas de prevenir el Flütter radican claramente en aumentar la VF 
y esto se puede lograr:
1) Incrementando los coeficientes del Rigidez Kh & Kα
2) Incrementando el parámetro gemétrico "b" Esto puede realizarse mediente acortar la
distancia entre el eje elástico al centro aerodinámico y elongando la distancia entre el
centro de masa al centro aerodinámico.
3) Modificando la longitud de la cuerda
4) Disminuyendo la densidad del aire, variando la altitud de vuelo.
Curvas superpuestas de Efectos Aeroelásticos 
Variación en función de la Flecha del ala de las velocidades críticas 
correspondientes a las tres inestabilidades Aeroelásticas principales: 
 Divergencia
 inversión de comando
 Flütter.
61
62
Tema N°7 : Flütter con las superficies de comando 
Los problemas de Flütter más generales, involucran tanto las superficies de 
comando como las superficies principales. Por ejemplo, existe la posibilidad 
que el ala oscile en flexo-torsión y además lo haga el alerón. 
Usualmente no es necesario considerar los tres modos de oscilación 
simultáneamente. La introducción de un tercer modo complica enormemente el 
tratamiento del problema. En general la frecuencia de uno de los tres modos es 
mucho más alta que las demás y entonces el sistema puede considerarse 
binario. En consecuencia tendremos dos casos posibles de Flütter binario con 
superficie de comando: 
• En el primero el ala podría oscilar en flexión y al mismo tiempo el alerón
oscilar alrededor de su eje.
• En el otro caso tanto el ala como el alerón podrían tener un movimiento
torsional alrededor de sus respectivos ejes.
En el tema anterior, cuando tratamos el Flütter binario flexión-torsión, 
despreciamos el amortiguamiento interno, dado que la presencia de una 
pequeña cantidad de fricción no tiene mayor efecto sobre la velocidad crítica de 
Flütter. Sin embargo, cuando se tiene en cuenta una superficie de control, el 
efecto del amortiguamiento o fricción interna del sistema es muy 
importante. 
Flütter binario eje perpendicular + superficie de control 
Este tipo de Flütter puede tratarse empíricamente a través de la expresión: 
 Vf = kf ff c 
Donde: 
Vf : Velocidad de Flütter 
kf : Factor de velocidad de 
Flütter ff : Frecuencia estructural 
básica c : Cuerda 
El factor kf se puede obtener de distintos gráficos y resulta una función de: 
3 1
1, , , , , ,
c
f c
f
f e r
k f g
f c c
µ λ µ
 
=   
 
e3 
c1 
c 
CG 
63
Donde: 
fc : Frecuencia natural del sistema de control 
µ : Relación masa estructural - masa aerodinámica de la superficie fija 
λ : Relación de cuerdas (c1/c) 
µ1 : Relación masa estructural - masa aerodinámica del comando 
e3 : Distancia del CG de la superficie de comando al eje de charnela 
r1 : Radio de giro de la superficie de comando respecto de su CG 
gc : Constante de amortiguamiento del sistema de control 
Flütter binario eje paralelo + superficie de control 
Este tipo de Flütter es muy sensible al amortiguamiento del sistema de control y 
los efectos de balanceo de la Superficie de Comando (SC). Se verifica que el 
amortiguamiento necesario para eliminar la posibilidad de Flütter decrece 
rápidamente conforme disminuye el desbalanceo de la SC. 
Además de reducir la velocidad de Flütter, el desbalanceo de la SC afecta 
la estabilidad del avión. Cuando el desbalanceo es pequeño el Flütter 
se desarrolla gradualmente, dando cierto aviso. Cuando el desbalanceo es 
grande la condición de Flütter se genera repentinamente. 
En la mayoría de los problemas que involucran Flütter con las superficies 
de control se utiliza el contrabalanceo o balanceo para incrementar la velocidad 
de Flütter. 
Habíamos visto que el Flütter de las superficies de la cola tiene mayores 
variantes que los otros tipos de Flütter, en particular los casos que involucran la 
flexión del fuselaje requieren el conocimiento de la línea nodal del mismo. 
Tema N°8 : Balanceo de las superficies de comando y prevención del Flütter 
El diseñador de un avión esta interesado en conocer alguno de los detalles que 
lo ayudarán a prevenir el Flütter en el rango de velocidades de 
diseño. Afortunadamente, se pueden hacer estimaciones aceptables sin 
necesitar cálculos detallados del Flütter. 
En los temas anteriores vimos que la distribución de las masas y rigidez de los 
elementos del avión son muy importantes para determinar las características 
del Flütter. 
El balanceo de las superficies de control se utiliza para elevar las velocidades 
críticas para varios tipos de Flütter. La rigidez estructural se 
mantiene generalmente por encima de determinados límites. Aunque pueden 
realizarse cambios en algunos detalles estructurales para aumentar o mantener 
una cierta velocidad de Flütter. 
Balance o de las superficie s de control. 
En el punto anterior se mostró como los efectos de inercia de las superficies 
de control intervienen en la generación de ciertos tipos de Flütter. 
Los efectos de inercia pueden prevenirse en un amplio rango mediante el 
balanceo de las Superficies de Control (SC); esto involucra el balanceo