Resolução de Equações Diferenciais

Vista previa del material en texto

WRONSKIANO Y MÉTODO Y COEFICIENTES 
CONSTANTES 
Instrucciones: Responde a lo que se pide en cada apartado. 
I. Determina si las siguientes funciones son linealmente dependientes 
o independientes. Justifica tu respuesta y simplifica en caso de ser 
necesario). 
1) 𝑓1(𝑥) = 0, 𝑓2(𝑥) = 𝑥, 𝑓3(𝑥) = 𝑒
𝑥 
[
0 𝑥 𝑒𝑥
0 1 𝑒𝑥
0 0 𝑒𝑥
] → 0 [
1 𝑒𝑥
0 𝑒𝑥
] − 𝑥 [
0 𝑒𝑥
0 𝑒𝑥
] + 𝑒𝑥 [
0 1
0 0
] 
→ 0 − 0 + 0 = 𝟎 → 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑫𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 
 
2) 𝑓1(𝑥) = 𝑥, 𝑓2(𝑥) = sin(𝑥) , 𝑓3(𝑥) = cos (𝑥 −
𝑥
2
) 
cos (𝑥 −
𝑥
2
) → cos
𝑥
2
 
𝑓3
′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
cos(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
cos
𝑥
2
 → −
1
2
sin
𝑥
2
 
 
[
 
 
 
 𝑥 sin 𝑥 cos (𝑥 −
𝑥
2
)
1 cos 𝑥 −
1
2
sin
𝑥
2
0 − sin 𝑥 −
1
4
cos
𝑥
2 ]
 
 
 
 
→ 
[
 
 
 
 𝑥 sin 𝑥 cos
𝑥
2
1 cos 𝑥 −
1
2
sin
𝑥
2
0 − sin 𝑥 −
1
4
cos
𝑥
2]
 
 
 
 
 
 
→ 𝑥 [
cos 𝑥 −
1
2
sin
𝑥
2
−sin 𝑥 −
1
4
cos
𝑥
2
] − sin 𝑥 [
1 −
1
2
sin
𝑥
2
0 −
1
4
cos
𝑥
2
] + cos
𝑥
2
[
1 cos 𝑥
0 − sin 𝑥
] 
→ 𝑥 [(−
1
4
cos 𝑥 cos
𝑥
2
) − (
1
2
sin𝑥 sin
𝑥
2
)] − sin 𝑥 (−
1
4
cos
𝑥
2
) + cos
𝑥
2
(− sin 𝑥) 
→ −
𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒙 𝐜𝐨𝐬
𝒙
𝟐
𝟒
−
𝒙𝐬𝐢𝐧
𝒙
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝒙
𝟐
−
𝟑
𝟒
𝐜𝐨𝐬
𝒙
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙 → 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 
 
3) 𝑓1(𝑥) = 𝑥, 𝑓2(𝑥) = 𝑥
−2, 𝑓3(𝑥) = 𝑥
−2 ln 𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥−2 ln 𝑥) = −2𝑥−3 ln 𝑥 + 𝑥−2
1
𝑥
 → −
2 ln𝑥+1
𝑥3
 
𝑑
𝑑𝑥
(−
2 ln𝑥+1
𝑥3
) =
(−
𝑥
2
)𝑥3−3𝑥2(2 ln𝑥+1)
(𝑥3)2
 → −
6 ln𝑥−1
𝑥4
 
 
[
 
 
 
 
𝑥 𝑥−2 𝑥−2 ln 𝑥
1 −2𝑥−3
−2 ln 𝑥 + 1
𝑥3
0 6𝑥−4
−6 ln 𝑥 − 1
𝑥4 ]
 
 
 
 
 
 
→ 𝑥 [
−2𝑥−3
−2 ln𝑥+1
𝑥3
6𝑥−4
−6 ln𝑥−1
𝑥4
] − 𝑥−2 [
1
−2ln𝑥+1
𝑥3
0
−6ln𝑥−1
𝑥4
] + 𝑥−2 ln 𝑥 [1 −2𝑥
−3
0 6𝑥−4
] 
→ 𝑥 (
24 ln𝑥+4
𝑥7
) − 𝑥−2 (
−6 ln𝑥−1
𝑥4
) + 𝑥−2 ln 𝑥 (
6
𝑥4
) 
→
24 ln𝑥−16
𝑥6
+
6 ln𝑥−1
𝑥6
+
6 ln𝑥
𝑥6
 
→
𝟑𝟔 𝐥𝐧𝒙+𝟑
𝒙𝟔
→ 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 
 
 
II. Determina la solución general de las siguientes ecuaciones 
diferenciales. 
1) 3𝑦´´ + 5𝑦´ − 2𝑦 = 0, 𝑦(0) =
2
3
, 𝑦´(0) = 0 
Ecuación Auxiliar: 
3𝑚2 + 5𝑚 − 2 = 0 
 
→ 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 → 
−5±√52−4(3)(−2)
2(3)
 →
−5±√25+24
6
 
→
−5±√79
6
 →
−5±7
6
 𝑚1 =
−5+7
6
=
𝟏
𝟑
 , 𝑚2 =
−5−7
6
= −
−12
6
= −𝟐 
→ 𝑪. 𝑭. 𝑺.= {𝒆
𝟏
𝟑
𝒙, 𝒆−𝟐𝒙} 
→ 𝒚 = 𝑪𝟏𝒆
𝟏
𝟑
𝒙 + 𝑪𝟐𝒆
−𝟐𝒙 
 Problema de Valor Inicial: 
𝑦(0) =
2
3
 → 𝑦 =
2
3
, 𝑥 = 0 
𝑦´(0) = 0 → 𝑦′ = 0, 𝑥 = 0 
→ 𝑦 = 𝐶1𝑒
1
3
𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 → 𝑦′ =
1
3
𝐶1𝑒
1
3
𝑥 − 2𝐶2𝑒
−2𝑥 
Sustitución de valores: 
→ 𝑦 = 𝐶1𝑒
1
3
𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 →
2
3
= 𝐶1𝑒
1
3
(0) + 𝐶2𝑒
−2(0) →
2
3
= 𝐶1𝑒
0 + 𝐶2𝑒
0 
→
2
3
= 𝐶1 + 𝐶2 
→ 𝑦′ =
1
3
𝐶1𝑒
1
3
𝑥 − 2𝐶2𝑒
−2𝑥 → 0 =
1
3
𝐶1𝑒
1
3
(0) − 2𝐶2𝑒
−2(0) → 0 =
1
3
𝐶1𝑒
0 − 2𝐶2𝑒
0 
→ 0 =
1
3
𝐶1 − 2𝐶2 
→
2
3
= 𝐶1 + 𝐶2
0 =
1
3
𝐶1 − 2𝐶2
 → 
(
2
3
= 𝐶1 + 𝐶2) (2)
0 =
1
3
𝐶1 − 2𝐶2
 → 
4
3
= 2𝐶1 + 2𝐶2
0 =
1
3
𝐶1 − 2𝐶2
 →
4
3
= 2𝐶1
0 =
1
3
𝐶1
 
 →
4
3
=
7
3
𝐶1 →
4
3
÷
7
3
= 𝐶1 → 𝑪𝟏 =
𝟏𝟐
𝟐𝟏
=
𝟒
𝟕
 
→ 0 =
1
3
𝐶1 − 2𝐶2 → 0 =
1
3
(
4
7
) − 2𝐶2 → 0 =
4
21
− 2𝐶2 → −
4
21
= −2𝐶2 
 → −
4
21
÷ −2 = 𝐶2 → 𝑪𝟐 =
𝟒
𝟒𝟐
=
𝟐
𝟐𝟏
 
→ 𝒚 =
𝟒
𝟕
𝒆
𝟏
𝟑
𝒙 +
𝟐
𝟐𝟏
𝒆−𝟐𝒙 
 
2) 𝑦(4) + 5𝑦´´ + 4𝑦 = 0 
Ecuación Auxiliar: 
𝑚4 + 5𝑚2 + 4 = 0 
𝑢 = 𝑚2 → 𝑢2 + 5𝑢 + 4 = 0 
→ 𝑢2 + 5𝑢 + 4 → (𝑢 + 1)(𝑢 + 4) → (𝑚2 + 1)(𝑚2 + 4) 
→ 𝑚2 + 1 = 0 → 𝑚2 = −1 → 𝑚 = ±√−1 
 → 𝑚1 = √−1 = 𝑖, 𝑚2 = −√−1 = −𝑖 
→ 𝑚2 + 4 = 0 → 𝑚2 = −4 → 𝑚 = ±√−4 
 → 𝑚31 = √−4 = 2𝑖, 𝑚4 = −√−4 = −2𝑖 
→ 𝑦 = 𝑒0𝑥(𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥 + 𝐶3 cos 2𝑥 + 𝐶4 sin 2𝑥) 
→ 𝒚 = 𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬𝒙 + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑪𝟑 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙 + 𝑪𝟒 𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙 
→ 𝑪. 𝑭. 𝑺. = {𝒆𝟎𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒆𝟎𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙, 𝒆𝟎𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙, 𝒆𝟎𝒙𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙} 
 
 
3) 𝑦´´´ − 2𝑦´´ − 4𝑦´ + 8𝑦 = 0 
Ecuación Auxiliar: 
𝑚3 − 2𝑚2 − 4𝑚 + 8 = 0 
 
→ (𝑚3 − 2𝑚2) + (−4𝑚 + 8) = 0 
→ (𝑚3 − 2𝑚2) → 𝑚2(𝑚 − 2) 
→ (−4𝑚 + 8) → −4(𝑚 − 2) 
→ (𝑚 − 2)(𝑚2 − 4) 
→ (𝑚2 − 4) → (𝑚 + 2)(𝑚 − 2) 
→ (𝑚 + 2)(𝑚 − 2)(𝑚 − 2) 
→ 𝑚1 = −2, 𝑚2 = 2, 𝑚3 = 2 
→ 𝒚 = 𝑪𝟏𝒆
−𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒆
𝟐𝒙 + 𝑪𝟑𝒙𝒆
𝟐𝒙 
→ 𝑪. 𝑭. 𝑺. = { 𝒆−𝟐𝒙, 𝒆𝟐𝒙, 𝒙𝒆𝟐𝒙}