valor inicial

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Clasificación De Ecuaciones 
Y Problemas De Valor Inicial 
1. Clásica las siguientes ecuaciones según su tipo, orden y linealidad. 
1) 
𝑑2𝑤
𝑑𝑧2
+ 6 (
𝑑𝑤
𝑑𝑧
)
4
− 5𝑤 = 0 
Tipo: Ordinaria. 
Orden: 2. 
Lineal: No. 
 
2) 
𝜕2𝑡
𝜕𝑠2
+ (
𝜕2𝑡
𝜕𝑦2
)
2
= 3 𝑠𝑖𝑛 2𝑦 
Tipo: Parcial. 
Orden: 2 
Lineal: No. 
 
3) 𝑒𝑥𝑦´ + 4𝑥2𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 
Tipo: Ordinaria. 
Orden: 1. 
Lineal: Si. 
 
4) 
𝜕2𝑡
𝜕𝑠2
+
𝜕2𝑡
𝜕𝑦2
= 6 𝑐𝑜𝑠 3𝑦 
Tipo: Parcial. 
Orden: 2. 
Lineal: Si. 
 
5) 𝑥´ − 𝑥 = 2𝑥2𝑦 
Tipo: Ordinaria. 
Orden: 1. 
Lineal: No. 
 
2. Compruebe que la función indicada es una solución explicita de la ecuación 
diferencial. 
1) 2𝑦´ + 𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑒−
𝑥
2 
Cálculo de derivada: 
𝑦´ = (
−1
2
) (1) (𝑒−
𝑥
2) = −
𝟏
𝟐
𝒆−
𝒙
𝟐 
Sustitución: 
2𝑦´ + 𝑦 = 0 
2 (−
1
2
𝑒−
𝑥
2) + 𝑒−
𝑥
2 = 0 
−𝑒−
𝑥
2 + 𝑒−
𝑥
2 = 0 
𝟎 = 𝟎 
 
 
2) 𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 0; 𝑦 = 8𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥 
Cálculo de derivadas: 
𝑦´ = (8)(1)(𝑒𝑥) + 𝑥(𝑒𝑥) + 𝑒𝑥 = 8𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥 = 𝟗𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 
𝑦´´ = 9𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥 = 𝟏𝟎𝒆𝒙 + 𝒙𝒆𝒙 
Sustitución: 
𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 0 
(10𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥) − 2(9𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥) + 8𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥 = 0 
10𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥 − 18𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 + 8𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥 = 0 
18𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 − 18𝑒𝑥 − 2𝑒𝑥 = 0 
𝟎 = 𝟎 
 
3) 𝑦´´ − 6𝑦´ + 13𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑒3𝑥 cos 2𝑥 
Cálculo de derivadas: 
𝑦´ = 𝑒3𝑥(−2 sin 2𝑥) + cos 2𝑥 (3𝑒𝑥) = −𝟐𝒆𝟑𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 + 𝟑𝒆𝟑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 
𝑦´´ = −2𝑒3𝑥(2 cos 2𝑥) ± sin 2𝑥 (6𝑒3𝑥) + 3𝑒3𝑥(−2 sin 2𝑥) + cos 2𝑥 (9𝑒3𝑥) 
= −4𝑒3𝑥 cos 2𝑥 − 6𝑒3𝑥 sin 2𝑥 − 6𝑒3𝑥 sin 2𝑥 + 9𝑒3𝑥 cos 2𝑥 
= 𝟓𝒆𝟑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒆𝟑𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 
 
Sustitución: 
𝑦´´ − 6𝑦´ + 13𝑦 = 0 
(5𝑒3𝑥 cos 2𝑥 − 12𝑒3𝑥 sin 2𝑥) − 6(−2𝑒3𝑥 sin 2𝑥 + 3𝑒3𝑥 cos 2𝑥) + 13(𝑒3𝑥 cos 2𝑥) = 0 
5𝑒3𝑥 cos 2𝑥 − 12𝑒3𝑥 sin 2𝑥 + 12𝑒3𝑥 sin 2𝑥 − 18𝑒3𝑥 cos 2𝑥 + 13𝑒3𝑥 cos 2𝑥 = 0 
18𝑒3𝑥 cos 2𝑥 − 12𝑒3𝑥 sin 2𝑥 + 12𝑒3𝑥 sin 2𝑥 − 18𝑒3𝑥 cos 2𝑥 = 0 
𝟎 = 𝟎 
 
3. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial. 
1) Dados que la solución general de la ecuación 𝑦𝑦′ − sin 𝑥 = 0 es: 
 𝑦2 = 𝑐 − 2 cos 𝑥, resuelve el problema de valor inicial con 𝑦(𝜋) = 1. 
𝒚 = 1 𝒙 = 𝜋 
 
𝑦2 = 𝑐 − 2 cos 𝑥 
(1)2 = 𝑐 − 2 cos 𝜋 
1 = 𝑐 − 2(−1) 
1 = 𝑐 + 2 
𝑐 = 1 − 2 = −𝟏 
Respuesta: C = -1 
 
2) Dado que la solución general de la ecuación 𝑦𝑦´ + 𝑥 = 0 es: 𝑐 = 𝑥2 + 𝑦2, 
resuelve el problema de valor inicial 𝑦(√2) = √2. 
𝒚 = √2 𝒙 = √2 
 
𝑐 = 𝑥2 + 𝑦2 
𝑐 = (√2)
2
+ (√2)
2
 
𝑐 = 2 + 2 = 𝟒 
 
Respuesta: C = 4