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ecuaciones separable y homogeneas
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ECUACIONES SEPARABLES Y HOMOGÉNEAS Instrucción: Resuelve lo que te pide en cada apartado. I. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de variables separables. 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ( 2𝑦+3 4𝑥+5 ) 2 → 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (2𝑦+3)2 (4𝑥+5)2 → 𝑑𝑦 (2𝑦+3)2 = 𝑑𝑥 (4𝑥+5)2 → 𝟏 (𝟐𝒚+𝟑)𝟐 𝒅𝒚 = 𝟏 (𝟒𝒙+𝟓)𝟐 𝒅𝒙 Integración por sustitución: 𝒖 = 𝟐𝒚 + 𝟑 𝑑𝑢 = 2 𝒅𝒖 𝟐 = 𝟏 𝒗 = 𝟒𝒚 + 𝟓 𝑑𝑣 = 4 𝒅𝒗 𝟒 = 𝟏 → ∫ 𝑑𝑢 2(𝑢)2 = ∫ 𝑑𝑣 4(𝑣)2 → 1 2 ∫ 𝑑𝑢 (𝑢)2 = 1 4 ∫ 𝑑𝑣 (𝑣)2 → 1 2 ∫ − 1 𝑢 = 1 4 ∫ − 1 𝑣 → − 𝟏 𝟐(𝟐𝒚+𝟑) = − 𝟏 𝟒(𝟒𝒙+𝟓) + 𝑪 2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1+2𝑦2 𝑦 sin 𝑥 → 𝑑𝑦 1+2𝑦2 = 𝑑𝑥 𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑥 → 𝒚 𝟏+𝟐𝒚𝟐 𝒅𝒚 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Integración por sustitución: 𝒖 = 𝟏 + 𝟐𝒚𝟐 𝑑𝑢 = 4𝑦 𝒅𝒖 𝟒 = 𝒚 → ∫ 𝑑𝑢 4𝑢 → 1 4 ∫ 𝑑𝑢 𝑢 → 1 4 𝐿𝑛|𝑢| → 1 4 𝐿𝑛|1 + 2𝑦2| → ∫ 1 sin 𝑥 → ∫ 𝑑𝑣 𝑣 → 𝐿𝑛|sin 𝑥| + 𝐶 → 𝟏 𝟒 𝑳𝒏|𝟏 + 𝟐𝒚𝟐| = 𝑳𝒏|𝐬𝐢𝐧 𝒙| + 𝑪 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦(2 + sin 𝑥) → 𝒅𝒚 𝒚 = (𝟐 + 𝐬𝐢𝐧 𝒙)𝒅𝒙 → ∫ 1 𝑦 → ∫ 𝑑𝑣 𝑣 → 𝐿𝑛|𝑦| → ∫ 2𝑑𝑥 + ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 → 2𝑥 − cos 𝑥 → 𝑳𝒏|𝒚| = 𝟐𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪 II. Resuelve cada una de las ecuaciones homogéneas. 1) (𝑦2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 = 0 𝑀 = (𝑦2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑥 𝑁 = 𝑥2𝑑𝑦 → ((𝑢𝑥)2 − 𝑢𝑥2)𝑑𝑥 + 𝑥2(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 → (𝑢2𝑥2 − 𝑢𝑥2)𝑑𝑥 + 𝑥2𝑢𝑑𝑥 + 𝑥3𝑑𝑢) = 0 → 𝑢2𝑥2𝑑𝑥 − 𝑢𝑥2𝑑𝑥 + 𝑢𝑥2𝑑𝑥 + 𝑥3𝑑𝑢 = 0 → 𝑢2𝑥2𝑑𝑥 + 𝑥3𝑑𝑢 = 0 → 𝑢2𝑥2𝑑𝑥 = −𝑥3𝑑𝑢 → 𝑥2 −𝑥3 𝑑𝑥 = 1 𝑢2 𝑑𝑢 → − ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑢2 𝑑𝑢 → − ln|𝑥| = − 1 𝑢 + 𝐶 → − ln|𝑥| = − 1 𝑦 𝑥 + 𝐶 → − 𝐥𝐧|𝒙| = − 𝒙 𝒚 + 𝑪 2) 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 = √𝑥2 + 𝑦2 → (√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒚) 𝒅𝒙 − 𝒙 𝒅𝒚 = 𝟎 𝑀 = (√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑦)𝑑𝑥 𝑁 = 𝑥 𝑑𝑦 → (√𝑥2 + (𝑢𝑥)2 + 𝑢𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑥 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 → (𝑥√1 + 𝑢2 + 𝑢𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 → 𝑥√1 + 𝑢2𝑑𝑥 + 𝑢𝑥𝑑𝑥 − 𝑢𝑥𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑢 = 0 → 𝑥√1 + 𝑢2𝑑𝑥 + 𝑢𝑥𝑑𝑥 − 𝑢𝑥𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑢 = 0 → 𝑥√1 + 𝑢2𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑢 = 0 → 𝑥√1 + 𝑢2𝑑𝑥 = 𝑥2𝑑𝑢 → 𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 = 1 √1+𝑢2 𝑑𝑢 → 1 𝑥 𝑑𝑥 = 1 √1+𝑢2 𝑑𝑢 → ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 → ∫ 𝑑𝑣 𝑣 → 𝐿𝑛|𝑥| → ∫ 1 √1+𝑢2 𝑑𝑢 → ln|𝑢 + √𝑢2 + 1| ln|𝑢 + √𝑢2 + 1| = 𝐿𝑛|𝑥| + 𝐶 → 𝑒ln|𝑢+ √𝑢 2+1| = 𝑒𝐿𝑛|𝑥|𝑒𝐶 → 𝑢 + √𝑢2 + 1 = 𝐶𝑥 → 𝑦 𝑥 + √ 𝑦2 𝑥2 + 1 = 𝐶𝑥 → 𝑦 𝑥 + √ 𝑦2+𝑥2 𝑥2 = 𝐶𝑥2 → 𝑦 𝑥 + √ 𝑦2+𝑥2 𝑥 = 𝐶𝑥2 → 𝒚 + √𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝑪𝒙𝟐 3) (𝑥2 + 2𝑦2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦, 𝑦(−1) = 1 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐)𝒅𝒚 = (𝒙𝒚)𝒅𝒙 𝑀 = (𝑥𝑦)𝑑𝑥 𝑁 = (𝑥2 + 2𝑦2)𝑑𝑦 → ((𝑢𝑦)2 + 2𝑦2)𝑑𝑦 = ((𝑢𝑦)𝑦)(𝑢𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑢) → (𝑢2𝑦2 + 2𝑦2)𝑑𝑦 = (𝑢𝑦2)(𝑢𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑢) → (𝑢2𝑦2 + 2𝑦2)𝑑𝑦 = (𝑢𝑦2)(𝑢𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑢) → 𝑢2𝑦2𝑑𝑦 + 2𝑦2𝑑𝑦 = 𝑢2𝑦2𝑑𝑦 + 𝑢𝑦3𝑑𝑢 → 𝑢2𝑦2𝑑𝑦 + 2𝑦2𝑑𝑦 − 𝑢2𝑦2𝑑𝑦 = 𝑢𝑦3𝑑𝑢 → 2𝑦2𝑑𝑦 = 𝑢𝑦3𝑑𝑢 → 2𝑦2 𝑦3 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑢 → 2 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑢 → 2 ∫ 1 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑢𝑑𝑢 → 2 𝐿𝑛|𝑦| = 𝑢2 2 + 𝐶 → 𝟐 𝐿𝑛|𝑦| = 𝑦2 𝑥2 2 + 𝐶 → 𝟐 𝑳𝒏|𝒚| = 𝒙𝟐 𝟐𝒚𝟐 + 𝑪 Solución General 𝑦 = 1 𝑥 = −1 → 2 𝐿𝑛|𝑦| = 𝑥2 2𝑦2 + 𝐶 → 2 𝐿𝑛|1| = −12 2(1)2 + 𝐶 → 2 (0) = 1 2 + 𝐶 → 0 = 1 2 + 𝐶 → − 𝟏 𝟐 = 𝑪 Solución Particular
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