EDO's_Actividad_4_Variables Separables

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Las operaciones en color rojo significan que se cancelan o simplifican (en caso de exponentes) 
entre ellas. 
 
Tarea 4 
Soluciones 
 
 
 
Integrantes: 
• Arellano Cortina Luis 
• Flores Sánchez David 
• García López Hugo de Jesús 
• Hernández Leyva Luis Alfredo 
• Reyes Núñez César Eduardo 
• Zaragoza Ramírez Jesús Alejandro 
Ecuaciones diferenciales Grupo: 3MM6 
 
 
RESUELVE LAS SIGUIENTES EDO´s POR VARIABLES SEPARABLES 
1.- 𝒙√𝟏 + 𝒚𝟐 + 𝒚𝒚′ √𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟎 𝒚𝒚′ √𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝒙√𝟏 + 𝒚𝟐 
Dividimos toda la función entre: √𝟏 + 𝒙𝟐 
𝒚𝒚′ √𝟏 + 𝒙𝟐
√𝟏 + 𝒙𝟐
= −
𝒙√𝟏 + 𝒚𝟐
√𝟏 + 𝒙𝟐
 
Lo cual nos queda ya sustituyendo y’ como (dy/dx): 
𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
𝒙√𝟏 + 𝒚𝟐
√𝟏 + 𝒙𝟐
 
Multiplicamos por dx toda la ecuación y posteriormente dividimos entre: 
√𝟏 + 𝒚𝟐 
𝒚𝒅𝒚
𝒅𝒙
√𝟏 + 𝒚𝟐
= −
𝒙√𝟏 + 𝒚𝟐
√𝟏 + 𝒙𝟐
√𝟏 + 𝒚𝟐
𝒅𝒙 
Lo que nos queda ya para hacer la integración: 
∫
𝒚
√𝟏 + 𝒚𝟐
𝒅𝒚 = ∫ −
𝒙
√𝟏 + 𝒙𝟐
𝒅𝒙 
Integramos por separado 
Resultado de la primera integral: 
Las operaciones en color rojo significan que se cancelan o simplifican (en caso de exponentes) 
entre ellas. 
 
Utilizamos el método de sustitución 
∫
𝑦
√𝟏+𝒚𝟐
𝑑𝑦 ∫
1
2√𝒙
𝑑𝑦 ∫
1
2
𝑥−
1
2𝑑𝑦 
1
2
2√𝑥 
𝑥 = 𝑦2 + 1 
1
2
𝑑𝑥 = 𝑦𝑑𝑦 √𝒚𝟐 + 𝟏 
Resultado de la segunda integral: 
Utilizamos el método de sustitución 
∫ −
𝑥
√𝟏+𝒙𝟐
𝑑𝑦 ∫ −
1
2√𝒖
𝑑𝑢 ∫ −
1
2
𝑢−
1
2𝑑𝑢 −
1
2
2√𝑢 
𝑢 = 𝑥2 + 1 
1
2
𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥 −√𝒙𝟐 + 𝟏 
 
Ya una vez obteniendo el resultado de ambas integrales, procedemos a 
colocarlos e igualar a “C” 
 
∫
𝑦
√𝟏 + 𝒚𝟐
𝑑𝑦 = ∫ −
𝑥
√𝟏 + 𝒙𝟐
𝑑𝑥 
√𝑦2 + 1 = −√𝑥2 + 1 + 𝐶 
Resultado: √𝒚𝟐 + 𝟏 + √𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝑪 
 
2.- (𝒚𝟐 + 𝒙𝒚𝟐)𝒚′ + 𝒙𝟐 − 𝒚𝒙𝟐 = 𝟎 
Factorizamos la función y a su vez multiplicamos por “ 
1
(1+𝑥)(1−𝑦)
" 
𝑦2(1 + 𝑥)𝑦′
(1 + 𝑥)(1 − 𝑦)
+
𝑥2(1 − 𝑦)
(1 + 𝑥)(1 − 𝑦)
= 0 
Lo cual nos queda ya sustituyendo y’ como (dy/dx) y multiplicando por 
“dx”: 
𝑦2
1 − 𝑦
(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) (𝑑𝑥) + (
𝑥2
1 + 𝑥
) (𝑑𝑥) = 0 
Hacemos división de polinomios y posteriormente integramos: 
𝑦2
1−𝑦
= −𝑦 − 1 +
1
1−𝑦
 
𝑥2
1+𝑥
= 𝑥 − 1 +
1
1+𝑥
 
Sustituyendo “𝑥 = 𝑦2 + 1" nos queda: 
Sustituyendo “𝑢 = 𝑥2 + 1" nos queda: 
Las operaciones en color rojo significan que se cancelan o simplifican (en caso de exponentes) 
entre ellas. 
 
∫(−𝒚 − 𝟏 +
𝟏
𝟏 − 𝒚
)𝒅𝒚 + ∫ (𝒙 − 𝟏 +
𝟏
𝟏 + 𝒙
) 𝒅𝒙 = 𝟎 
 
∫ −𝑦𝑑𝑦 − 1 ∫ 𝑑𝑦 + ∫
1
1 − 𝑦
𝑑𝑦 + ∫ 𝑥𝑑𝑥 − 1 ∫ 𝑑𝑥 + ∫
1
1 + 𝑥
𝑑𝑥 == 
 
−
𝑦2
2
− 𝑦 − ln(1 − 𝑦) +
𝑥2
2
− 𝑥 + ln(1 + 𝑥) = 𝐶 
 
1
2
(𝑥2 − 𝑦2) − 𝑥 − 𝑦 + ln (
1 + 𝑥
1 − 𝑦
) = 𝐶 
 
1
2
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑦) + ln (
1 + 𝑥
1 − 𝑦
) = 𝐶 
 
 Ordenamos la función y multiplicamos por “2” 
 
(𝑥 + 𝑦) (
1
2
(𝑥 − 𝑦) − 1) + ln (
1 + 𝑥
1 − 𝑦
) = 𝐶 
 
𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 = (𝒙 + 𝒚)(𝒙 − 𝒚 − 𝟐) + 𝟐 𝐥𝐧 (
𝟏 + 𝒙
𝟏 − 𝒚
) = 𝑪 
 
En los siguientes encuentre la solución general y la particular para las 
condiciones iniciales dadas: 
3.- 𝟐(𝒚 − 𝟏)𝒚´ = 𝒆𝒙 
Sustituyendo y´ como (dy/dx) y multiplicando todo por “dx”: 
(2(𝑦 − 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥)(𝑑𝑥) 
Integramos la función: 
2 ∫(𝑦 − 1) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
𝑦2 − 2𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝐶 
𝑦2 − 2𝑦 − (𝑒𝑥 + 𝐶) = 0 
Una vez integrada la función se procede a despejar "𝑦2" 
𝑦 =
2 ± 2√1 + 𝑒𝑥 + 𝐶
2
 
Las operaciones en color rojo significan que se cancelan o simplifican (en caso de exponentes) 
entre ellas. 
 
𝑦 = 1 ± √1 + 𝑒𝑥 + 𝐶 
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍: 𝒚 = 𝟏 ± √𝒆𝒙 + 𝑪 
Una vez obtenida la solución general, buscaremos la solución particular 
sustituyendo las siguientes condiciones iniciales “𝑦(0) = −2” en la solución 
general. 
𝑦 = 1 + √𝑒𝑥 + 𝐶 
𝑦 = 1 + √𝑒𝑥 + 𝐶 
−2 = 1 + √𝑒0 + 𝐶 
−2 = 1 + √1 + 𝐶 
−2 − 1 = √1 + 𝐶 
(−3)2 = 1 + 𝐶 
9 − 1 = 𝐶 
8 = 𝐶 
Sustituimos el valor de la constante "𝐶 = 8" en la solución general 
𝑦 = 1 ± √𝑒𝑥 + 𝐶 
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓: 𝒚 = 𝟏 ± √𝒆𝒙 + 𝟖 
 
4.- 𝒚𝒚′ = 𝟒𝒙 
Sustituyendo y´ como (dy/dx) y multiplicando todo por “dx”: 
(𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥)(𝑑𝑥) 
Integramos la función y después se multiplica por “2”: 
∫ 𝑦 𝑑𝑦 = 4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 
(
𝑦2
2
= 4
𝑥2
2
+ 𝐶)(2) 
𝑦2 = 4𝑥2 + 𝐶 
Una vez integrada la función se procede a despejar "𝑦2" 
𝑦 = √4𝑥2 + 𝐶 
Las operaciones en color rojo significan que se cancelan o simplifican (en caso de exponentes) 
entre ellas. 
 
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍: 𝒚 = ±√𝟒𝒙𝟐 + 𝑪 
Una vez obtenida la solución general, buscaremos la solución particular 
sustituyendo las siguientes condiciones iniciales “𝑦(1) = −3” en la solución 
general. 
𝑦 = −√4𝑥2 + 𝐶 
𝑦 = −√4𝑥2 + 𝐶 
−3 = −√4(1)2 + 𝐶 
(−3 = −√4 + 𝐶)(−1) 
(3)2 = 4 + 𝐶 
9 − 4 = 𝐶 
5 = 𝐶 
Sustituimos el valor de la constante "𝐶 = 5" en la solución general 
𝑦 = ±√4𝑥2 + 𝐶 
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑷𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓: 𝒚 = ±√𝟒𝒙𝟐 + 𝟓