S10 s1 - Repaso para el examen parcial

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REPASO PARA EL EXAMEN 
PARCIAL
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante resuelve ejercicios y problemas que le 
ayudaran a revisar los temas planteados para el examen parcial.”
REPASO PARA EL EXAMEN PARCIAL
EDO
EDO exactas y no 
exactas 
EDO lineal 
homogénea y no 
homogénea.
Aplicaciones de EDO 
de segundo orden 
• Soluciones y tipos.
• Método de separación de 
variables.
• Criterio de exactitud.
• Factor integrante.
• Primer Orden.
• Orden superior: Método de 
coeficientes indeterminados 
y Variación de parámetros.
• Movimiento vibratorio.
• Circuitos eléctricos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑦 − cos2 𝑦
SOLUCIÓN:
𝑑𝑦
𝑐𝑜𝑠 2𝑦 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑦
= 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
න
𝑑𝑦
𝑐𝑜𝑠2 𝑦 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑦 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑦
= න𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
න−𝑐𝑠𝑐2 𝑦 𝑑𝑦 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶
𝑐𝑜𝑡 𝑦 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶
𝑐𝑜𝑡 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝐶
Ejercicio 1. Resolver la siguiente EDO
Datos/Observaciones
Ejercicio 2. Resolver la EDO
sec 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)
Datos/Observaciones
Ejercicio 3. Resolver la EDO
𝑥 + 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 + 𝑦
Ejercicio 4. Hallar la solución de la ecuación diferencial 𝑥𝑦2 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑦 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0 sujeta a las condición inicial 
𝑦 0 = 1
SOLUCIÓN:
𝑥 𝑦2 + 1 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑥2 − 1 𝑑𝑦 = 0
𝑥
𝑥2 − 1
𝑑𝑥 =
−𝑦
𝑦2 + 1
𝑑𝑦
න
𝑥
𝑥2 − 1
𝑑𝑥 = −න
𝑦
𝑦2 + 1
𝑑𝑦
න
𝑥
𝑥 − 1 𝑥 + 1
𝑑𝑥 = −
1
2
න
ⅆ𝑢
𝑢
𝐴 𝑥 + 1 + 𝐵 𝑥 − 1 = 𝑥 𝑢 = 𝑦2 + 1
𝑥 = −1, 𝐵 −2 = −1 entonces 𝐵 = 1/2
1
2
𝑑𝑢 = 𝑦 𝑑𝑦
𝑥 = 1, 𝐴 2 = 1 entonces 𝐴 = 1/2
1
2
න
1
𝑥 − 1
+
1
𝑥 + 1
ⅆ𝑥 = −
1
2
ln 𝑦2 + 1
1
2
ln 𝑥 − 1 + ln 𝑥 + 1 + 𝐶 = −
1
2
ln 𝑦2 + 1
ln 𝑥2 − 1 + 𝐶 = −
1
2
ln 𝑦2 + 1
𝐶 |𝑥2 − 1| =
1
|𝑦2 + 1|
Donde 𝐶 =
1
2
, así 𝒚𝟐 + 𝟏 =
𝟐
𝒙𝟐−𝟏
Datos/Observaciones
Ejercicio 5. Resuelva el problema de valor inicial:
𝑦𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 2𝑥 ; 𝑦 0 = 3
Datos/Observaciones
Ejercicio 6. Verifique que la ecuación es exacta y luego encuentre su solución general:
2𝑦 −
1
𝑥
− cos 3𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑦
𝑥2
− 4𝑥3 + 3𝑦 sin 3𝑥 = 0
SOLUCIÓN:
𝑦
𝑥2
− 4𝑥3 + 3𝑦 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 −
1
𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
1
𝑥2
+ 3 sin 3𝑥 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
Entonces la EDO es exacta, por tanto
𝐶 = න
𝑦
𝑥2
− 4𝑥3 + 3𝑦 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 + න 2𝑦 −
1
𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − න
1
𝑥2
+ 3𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐶 = −
𝑦
𝑥
− 𝑥4 − 𝑦𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + න2𝑦 𝑑𝑦
Así
𝑪 = −
𝒚
𝒙
− 𝒙𝟒 − 𝒚𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝒚𝟐
Ejercicio 7. Hallar la solución de la ecuación diferencial 𝑦′′′ −
2𝑦′′ − 𝑦′ + 2𝑦 = 0 sujeta a las condiciones iniciales 𝑦 0 = 0; 
𝑦′ 0 = 4, 𝑦′′ 0 = −6
Datos/Observaciones
Ejercicio 8. Resuelva la EDO
𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 =
𝑒3𝑥
1 + 𝑒𝑥
SOLUCIÓN:
Primero resolveremos la parte homogénea que está asociada a la EDO:
𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0
Su ecuación auxiliar asociada es:
𝑚2 − 3𝑚 + 2 = 0
𝑚1 = 1,𝑚2 = 2
Así 𝑦𝐶 = 𝐶1𝑒
𝑥 + 𝐶2𝑒
2𝑥.
Luego 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2
Hallaremos el Wronskiano y 𝑊1,𝑊2 para encontrar 𝑢1 𝑦 𝑢2.
W = 𝑒
𝑥 𝑒2𝑥
𝑒𝑥 2𝑒2𝑥
= 𝑒3𝑥
𝑊1 =
0 𝑒2𝑥
𝑒3𝑥
1+𝑒𝑥
2𝑒2𝑥
= −
𝑒3𝑥𝑒2𝑥
1+𝑒𝑥
y 𝑊2 =
𝑒𝑥 0
𝑒𝑥
𝑒3𝑥
1+𝑒𝑥
=
𝑒3𝑥𝑒𝑥
1+𝑒𝑥
Datos/Observaciones
De modo que
𝑢1
′ =
0 𝑒2𝑥
𝑒3𝑥
1+𝑒𝑥
2𝑒2𝑥
𝑊
= −
𝑒2𝑥
1+𝑒𝑥
y 𝑢2
′ =
𝑒𝑥 0
𝑒𝑥
𝑒3𝑥
1+𝑒𝑥
𝑊
=
𝑒𝑥
1+𝑒𝑥
Luego 𝑢1 = −׬
𝑒2𝑥
1+𝑒𝑥
𝑑𝑥 = ln(1 + 𝑒𝑥) − 1 + 𝑒𝑥
Y 𝑢2 = ׬
𝑒𝑥
1+𝑒𝑥
𝑑𝑥 = ln(1 + 𝑒𝑥)
Así 𝑦𝑝 = 𝑒
𝑥 1 + 𝑒𝑥 [ln(1 + 𝑒𝑥) − 1].
Por tanto:
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑥 + 𝑐2𝑒
2𝑥 + 𝑒𝑥 1 + 𝑒𝑥 [ln(1 + 𝑒𝑥) − 1]
Ejercicio 9.
Solución:
REPASO PARA EL EXAMEN PARCIAL
Un resorte de 4 pies mide 8 pies de largo después de colgarle una masa que
pesa 8 libras. El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de
amortiguamiento igual a 2 veces la velocidad instantánea. Encuentre la
ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de
equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s.
𝑊 = 𝑚𝑔
8 = 𝑚𝑔
1
4
= 𝑚
𝑊 = 𝑘𝑠
8 = 4𝑘
2 = 𝑘
𝑊 = 8𝑙𝑏
𝑠 = 4 𝑝𝑖𝑒𝑠
𝛽 = 2
𝑥 0 = 0
𝑥′(0) = 5 𝑝𝑖𝑒/𝑠
Reemplazando el la ecuación
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
𝛽
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑥 = 0 → 𝑥′′ 𝑡 +
2
1/4
𝑥′ 𝑡 +
2
1/4
= 0
𝑥′′ 𝑡 + 8𝑥′ 𝑡 + 8 = 0
Su ecuación auxiliar es:
𝑚2 + 8𝑚 + 8 = 0 → 𝑚1 = −4 + 8, 𝑚2 = −4 − 8
𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑒
−4+ 8 𝑥 + 𝑐2𝑒
−4− 8 𝑥
Luego utilizando las condiciones iniciales.
𝑐1 =
5
2 8
y 𝑐2 = −
5
2 8
Así
𝑥 𝑡 =
5
2 8
𝑒 −4+ 8 𝑥 −
5
2 8
𝑒 −4+ 8 𝑥
Datos/Observaciones
Ejercicio 10. 
Una masa de 0,4 kg se une a un resorte de constante 3,6 N/m. Determine la
ecuación de movimiento, si la masa se libera inicialmente desde un punto
15 cm debajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 0,45 m/s
hacia abajo.
Datos/Observaciones
Ejercicio 11.
Se conecta en serie una fuente de voltaje 𝑉 = 1,5 𝑉, una resistencia 𝑅 = 20 Ω , un capacitor 
de 10−3 𝐹 y un inductor 𝐿 = 0,1 𝐻. Determinar la carga en el capacitor y la corriente que circula 
por el circuito en todo tiempo, si inicialmente el capacitor está totalmente descargado y no fluye 
corriente sobre el circuito.
Solución:
𝑉 = 1,5 𝑉
𝑅 = 20 Ω
𝐶 = 10−3𝐹
𝐿 = 0,1 𝐻
𝑞 0 = 0
𝑖(0) = 0
La ecuación diferencial asociada es: 0, 1𝑞′′ 𝑡 + 20 𝑞′( 𝑡) +
𝑞
10−3
= 1,5
𝑞′′ + 200𝑞′ + 10000𝑞 = 15
La ecuación auxiliar es 𝑚2 + 200𝑚 + 10000 = 0, donde 𝑚1 = −100 de multiplicidad algebraica 2.
Así 𝑞𝑐 = 𝑐1𝑒
−100𝑡 + 𝑐2𝑡𝑒
−100𝑡
Luego utilizaremos los coeficientes indeterminados para resolver la parte no homogénea.
Sea 𝑞𝑝 = 𝐴, 𝑞𝑝
′ = 𝑞𝑝
′′ = 0, se obtiene:
𝑞𝑝
′′ + 200𝑞𝑝
′ + 10000𝑞𝑝 = 15
10000𝐴 = 15
𝐴 = 0,0015
Con esto 𝑞 𝑡 = 𝑐1𝑒
−100𝑡 + 𝑐2𝑡𝑒
−100𝑡 + 0,0015, 𝑞′ 𝑡 = −100𝑐1𝑒
−100𝑡 − 100𝑐2𝑡𝑒
−100𝑡 + 𝑐2𝑒
−100𝑡
Donde 𝑞 0 = 0 → 0 = 𝑐1 + 0,0015, 𝑐1 = −0,0015
𝑞′ 0 = 0 → 0 = −100𝑐1 + 𝑐2, 𝑐2 = −0,15
Por tanto 𝑖 𝑡 = −0,0015𝑒−100𝑡 − 0,15𝑡𝑒−100𝑡 𝐴
Datos/Observaciones
Ejercicio 12. 
Un circuito RLC está formado por un resistor 𝑅 = 3,2 Ω un inductor 𝐿 =
0,4 𝐻 y un capacitor 𝐶 = 0,1 𝐹. Si colocamos una fuente de voltaje directa 
de 50 𝑉 en 𝑡 = 0 𝑠, y la suspendemos en 𝑡 =
𝜋
3
𝑠, determinar la carga en el 
capacitor y la corriente sobre el circuito antes y después de 𝑡 =
𝜋
3
𝑠, 
suponiendo que inicialmente el capacitor tiene una carga de 5 𝐶 y circula 
una corriente de 12 𝐴.
REPASO PARA EL EXAMEN PARCIAL
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
Una masa que pesa 10 libras alarga un resorte 
1
4
de pie. Esta masa se retira 
y se coloca una de 1.6 slugs, que se libera desde un punto situado a 
1
3
de 
pie arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 
5
4
pie/s. Exprese la ecuación de movimiento.
REPASO PARA EL EXAMEN PARCIAL
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Repasa todos los 
conceptos que se 
vieron en los 
distintos métodos 
que vimos.
2. Recuerda las 
aplicaciones que 
hicimos en clase.
Gracias por tu 
participación
Un reto hará más salir 
lo mejor de nosotros.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza el ejercicio 
Reto de ésta 
sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
Datos/Observaciones