ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

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Ecuaciones diferenciales homogéneas
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.
Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.
 
	 
	 Definición [Funciones homogéneas]
	 
	Una función  se dice homogénea de grado  si
para todo  y todo .
 Ejemplo
1. La función  es homogéénea de grado .
2. Las funciones , ,  son homogéneas de grado 0.
3. Las funciones , , son homogéneas de grado 2.
Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.
 
	 
	 Definición [Ecuación diferencial homogénea]
	 
	 Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es homogénea si la función  es homogénea de orden cero.
 Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma
sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes  y  son funciones homogéneas del mismo grado.
 
	 
	 Teorema
	 
	Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
es homogénea, entonces el cambio de variable  la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.
 
 Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos
Pero como  es una función homogénea de grado cero tenemos que
de donde
la cual es separable, como se quería.
 Ejemplo
 
Resuelva la ecuación diferencial
La ecuación diferencial es homogénea pues  y son homogéneas de grado dos
Haciendo la sustitución
de donde
Integrando y volviendo a las variables  y  obtenemos
Note que  es una solución singular de la ecuación diferencial dada.
Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma
conviene más rescribirla en la forma
y aplicar quí el cambio de variable .