Teorema variacional

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Teorema variacional
Sólo para algunos sistemas sencillos la ecuación de Schrödinger tiene una solución exacta
Partícula en una caja de potencial con paredes infinitas
Átomo de hidrógeno
Oscilador armónico 
Métodos aproximados
Es posible obtener soluciones aproximadas para una gran variedad de sistemas que no admiten una solución analítica.
Permiten la construcción de modelos de interpretación
Teoría de orbitales moleculares
Solución al problema de valores propios del hamiltoniano
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Métodos aproximados: método perturbativo
Método perturbativo: dado con funciones y valores propios conocidos, obtener soluciones aproximadas para donde es una perturbación. 
Método sistemático en el cual hay que dar una serie de pasos bien determinados para obtener las distintas correcciones.
Métodos aproximados: método perturbativo
Funciona bien cuando el efecto de es pequeño comparado con el de . 
Ejemplo: interacciones de van der Waals
Funciona bien a distancias intermoleculares grandes
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Métodos aproximados: teorema variacional
Para muchos sistemas físicos, las ecuaciones que describen su comportamiento pueden obtenerse a partir de un principio variacional. 
El comportamiento seguido por tales sistemas es tal que cierta función definida en una clase apropiada de posibles comportamientos toma un valor extremo (local) o, en forma más general, un valor estacionario. 
Método para obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema.
https://rmf.smf.mx/pdf/rmf/33/4/33_4_653.pdf
El comportamiento seguido por tales sistemas es tal que cierta función definida en una clase apropiada, D, de posibles comportamientos, toma un valor extremo (local) o, en forma más general, un valor estacionario. 
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Métodos aproximados: teorema variacional
Método variacional: Dado con funciones y valores propios desconocidos, proponer una función aproximada en términos de un número dado de parámetros y obtener la mejor solución aproximada. 
Hay que conocer de forma aproximada cómo será la solución del problema
Métodos aproximados: teorema variacional
Método variacional: Dado con funciones y valores propios desconocidos, proponer una función aproximada en términos de un número dado de parámetros y obtener la mejor solución aproximada. 
Hay que conocer de forma aproximada cómo será la solución del problema
Ejemplo: usar orbitales atómicos para describir la estructura electrónica molecular 
Métodos aproximados: teorema variacional
Sea una función normalizada (función de prueba) que depende de las variables en las que opera y satisface las mismas condiciones de frontera que la función propia, el principio variacional establece que:
http://depa.fquim.unam.mx/jesusht/variacional_presenta.pdf
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Métodos aproximados: teorema variacional
http://depa.fquim.unam.mx/jesusht/variacional_presenta.pdf
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Métodos aproximados: teorema variacional
http://depa.fquim.unam.mx/jesusht/variacional_presenta.pdf
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Métodos aproximados: teorema variacional
http://depa.fquim.unam.mx/jesusht/variacional_presenta.pdf
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Principio variacional en mecánica cuántica: caso independiente del tiempo
En la mecánica cuántica, para el caso independiente del tiempo, los estados estacionarios están descritos por funciones de onda, tales que suponiéndose normalizadas, (, ) tiene un valor estacionario, donde H es el hamiltoniano del sistema.
https://rmf.smf.mx/pdf/rmf/33/4/33_4_653.pdf
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Principio variacional en mecánica cuántica: caso dependiente del tiempo
Para el caso dependiente del tiempo, la evolución del sistema está dada por una función de onda tal que, suponiendo que en los instantes t1 y t2 el sistema se encuentra en los estados 1 y 2 respectivamente,
tiene un valor estacionario. 
https://rmf.smf.mx/pdf/rmf/33/4/33_4_653.pdf
En este caso el conjunto D está formado por las funciones de onda dependientes del tiempo, \psi(t) tales que \psi(t_1)=\psi_1, \psi(t_2)=\psi_2 *seccion3*
Las aproximaciones están determinadas por sistemas de ecuaciones diferenciales similares a las ecuaciones de Hamilton de mecánica clásica.
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Ventajas del teorema variacional	
Si se conoce de forma aproximada la forma de la función propia del estado fundamental, la estimación que se haga de la energía del estado fundamental será buena 
Si se utilizan varias familias de funciones, se tiene la certeza de que la que arroje el mínimo valor medio para la energía será la que más se aproxime a la realidad, ya que el método impone una cota inferior al valor medio de la energía