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MATEMÁTICA 
 
SEMANA 8 
 FUNCIONES PARTE III 
 
 
 
 2 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
 
 
 3 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
ÍNDICE 
 
FUNCIONES (PARTE III) ........................................................................................................................ 4 
APRENDIZAJES ESPERADOS ................................................................................................................. 4 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4 
FUNCIÓN INYECTIVA ........................................................................................................................... 5 
FUNCIÓN SOBREYECTIVA .................................................................................................................... 9 
FUNCIÓN BIYECTIVA Y FUNCIÓN INVERSA ........................................................................................ 11 
ÁLGEBRA DE FUNCIONES .................................................................................................................. 15 
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES ......................................................................................................... 17 
COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 21 
REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
 
FUNCIONES (PARTE III) 
 
APRENDIZAJES ESPERADOS 
 Reconocer funciones considerando su clasificación y la inversa de esta. 
 Realizar cálculo de álgebra de funciones en ejercicios matemáticos. 
 
INTRODUCCIÓN 
Las funciones son expresiones tales que al evaluar un número del dominio se obtiene un número 
real, luego algunas de las operaciones estudiadas en el conjunto de los números reales se pueden 
definir también en las funciones es así que se definirán: la suma, el producto y la división de 
funciones. Por otro lado, se estudiará la composición de funciones, la cual de algún modo significa 
operar sobre un resultado ya existente. 
Se observará en la presente semana que bajo ciertas condiciones se puede invertir el proceso de la 
función definida, con esto se obtendrá la función inversa. 
 
 
 5 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
FUNCIÓN INYECTIVA 
Una función YXf : es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones 
equivalentes: 
    212121 :, xxxfxfXxx  o lo que es lo mismo,    21 xxf  siempre que 
21 xx  (Stewart, 1999, p. 65). 
En matemáticas, una función YXf : es inyectiva o uno es a uno si cada valor en la imagen de 
f le corresponde un único elemento en el dominio. Es decir una imagen no debe estar relacionada 
con más de un elemento del dominio. 
Por ejemplo, la función de números reales RRf : , dada por 2)( xxf  no es inyectiva, ya 
que, por ejemplo, la imagen 9 está relacionada con el 3 y el -3, es decir 
    9)3(3933 22  fyf . 
Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función 
  RRg : se tiene una función inyectiva. 
Ejemplo de función inyectiva: 
1) 
 
2) 32)(  xxf 
 
 
 
 
 6 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
Ejemplo de función no inyectiva: 
1) 
 
2) 4)( 2  xxf 
 
Para observar gráficamente si una función es inyectiva se debe graficar la función, luego se grafica 
una recta horizontal sobre la gráfica de la función y si esta corta en más de un punto, entonces, no 
es inyectiva. 
 
Ejercicios: 
1) Determine si la siguiente función es inyectiva: 
 
Solución: 
Se grafica una recta horizontal sobre el gráfico de la función: 
 
 
 7 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
 
Luego, según la definición, se observa que la función no es inyectiva, ya que esta recta horizontal 
corta en más de un punto a la gráfica de la función. 
2) Determine las condiciones para que 242)( 2  xxxf sea inyectiva. 
Solución: 
Primero se busca el vértice, esto es: 
42422)1(4)1(2)1(
1
22
4
2 



fy
x
 
El valor de a (coeficiente del 2x ) es 2, luego la gráfica es: 
 
 
Luego no es inyectiva, por lo tanto para restringirla se debe cortar el dominio, luego se pueden 
considerar dos funciones inyectivas, estas son: 
 
 
 8 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
1) Determine si la siguiente función es inyectiva: 
 
 
 
 
2) Determine las condiciones para que 44)(
2  xxxf sea inyectiva. 
 
 
 
  242)(;,1:
242)(;1,:
2
22
2
11


xxxfRf
xxxfRf
 
 
Ejercicios propuestos 
A continuación, se sugiere revisar los videos n° 1 y n° 2 de la semana, que aparece en el apartado 
de “Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle los siguientes ejercicios: 
 
 
 
 9 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
 
FUNCIÓN SOBREYECTIVA 
 
Una función BAf : se dice epiyectiva o sobreyectiva si y solo si todo elemento de B es 
imagen de algún elemento de A (Carreño, 2008, p. 175) 
Formalmente,   yxfAxBy  ,: 
Ejemplos: 
 1) 
 
2) 2)( 2  xxf 
 
 
Para que una función se convierta en sobreyectiva se debe calcular el recorrido y definirla sobre su 
recorrido. 
Ejemplo 
Dada la función 242)(;: 2  xxxfRRf , determine condiciones para que sea 
sobreyectiva. 
Solución: 
Primero se busca el vértice, esto es: 
42422)1(4)1(2)1(
1
22
4
2 



fy
x
 
El valor de a es 2, luego la gráfica es: 
 
 
 10 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
1) Determine la condición para que 44)( 2  xxxf sea sobreyectiva. 
 
 
 
 
Por lo tanto, el recorrido es   ,4 , ya que en el eje “y” esos son los valores que tienen asociados 
una preimagen. Luego, la función   242)(;,4: 2  xxxfRf es sobreyectiva. Si la 
función se considera 242)(;: 2  xxxfRRf no es sobreyectiva. 
Ejercicio propuesto 
A continuación, se sugiere revisar el video n° 2 de la semana que aparece en el apartado de 
“Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle el siguiente ejercicio: 
 
 
 
 
 
 11 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
FUNCIÓN BIYECTIVA Y FUNCIÓN INVERSA 
Una función BAf : se dice biyectiva si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva (Carreño, 2008, 
p. 175). 
1) 
 
2) 1)( 3  xxf 
 
En los ejemplos siguientes las funciones no son sobreyectivas y no son inyectivas, por lo tanto no 
son biyectivas. 
1) 
 
 2) 24)( xxf  
 
Dada la función BAf : , se define la función inversa ABf  :1 , donde xxff  ))(( 1 y 
xxff  ))((1 . 
No siempre existe la función inversa, el siguiente teorema entrega la condición que se requiere 
para que exista la inversa. 
Teorema: Si es una función f es biyectiva, entonces su función inversa 1f existe y también es 
biyectiva. 
Ejercicios: 
 
 
 12 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
1) Demuestre que existe la función inversa de 96)(  xxf y encuéntrela. 
Solución: 
La función es lineal, luego su gráfica es: 
 
Luego, la función es lineal en todo su dominio, es decir R , además el recorrido es R . Por lo tanto, 
RRf : es biyectiva, luego tiene inversa. Para determinar la inversa se efectúa el siguiente 
proceso: 
6
9
96
96




y
x
yx
yx
 
Entonces, 
6
9
)(;: 11

 
y
yfRRf 
2) Determine las condiciones para que la función 23
7
)(



x
x
xf
tenga inversa. 
Solución: 
Primer paso: determinar el dominio. 







3
2
)( RfDom , pues sedebe exigir que 023 x , lo que implica: 
3
2
23
023



x
x
x
 
 
 
 13 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
Segundo paso: determinar el recorrido. 







3
1
)(Re Rfc , esto se obtiene del siguiente proceso: 
 
 
 Se pasa multiplicando el denominador a la derecha. 
 
Se multiplica y por cada término del paréntesis. 
 
Se trasladan los términos que poseen x y se despejan. 
 
Se factoriza por x . 
 
Se despeja x . 
Tercer paso: se determina si la función es inyectiva. 
 
 
 
 
 
Se multiplica cruzado. 
 
Se multiplica término a término y se reduce. 
 
 
 
Luego, la función es inyectiva. 














3
1
3
2
: RRf es inyectiva y biyectiva, luego por teorema es biyectiva, lo que 
implica que posee inversa. 














3
2
3
1
:1 RRf (esto se obtiene al invertir la información de la función f ). 
 
 
 14 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
1) Determine la condición para que 44)( 2  xxxf tenga inversa y determine la 
inversa. 
 
y
y
yf
31
72
)(


 (Esto se obtiene del cálculo de recorrido) 
Ejercicio propuesto 
 
A continuación, se sugiere revisar el video n° 2 de la semana que aparece en el apartado de 
“Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle el siguiente ejercicio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
ÁLGEBRA DE FUNCIONES 
Las funciones algebraicas son aquellas que pueden expresarse en términos de un número finito de 
sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces. 
Ejemplo: 
32)(  xxf 
523)( 2  xxxf
 
1
23
)(



x
x
xf
 
2)(  xxf
 
Muchas funciones variadas y complejas se pueden formar a partir de funciones más sencillas: 
Supóngase que f y g son funciones y C un número real cualquiera, estas funciones se pueden 
combinar de varios modos para crear nuevas funciones como: 
 )())(( xCfxCf Función escalar 
 )()())(( xgxfxgf Función suma 
 )()())(( xgxfxgf Función diferencia 
 )()())(( xgxfxgf Función producto 






0)(,
)(
)(
)( xgcon
xg
xf
x
g
f
 Función cociente 
Ejemplos: 
1) Sean 2)(
2  xxf y 3)(  xxg , entonces: 
 a) 63)2(3)(3))(3(
22  xxxfxf 
 b) 1)3()2()()())((
22  xxxxxgxfxgf 
 c) 5)3()2()()())((
22  xxxxxgxfxgf 
 d) 623)3)(2()()())((
232  xxxxxxgxfxgf 
 
 
 
 16 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
 e) 3,
3
2
)(
)(
)(
2









x
x
x
xg
xf
x
g
f
 
2) Sean 1
3
)(



x
x
xf
, 
7)(  xxg
 calcular: 
a) )3)(( gf  
Solución: 
   
13
103
10
2
6
73
13
33
33)3)((







 gfgf
 
b) )1)((  gf 
Solución: 
   
6
61
6
2
2
71
11
31
11)1)((









 gfgf
 
 
 
 
 
 
 17 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
c)  0





g
f
 
Solución: 
 
 
  7
3
7
3
7
1
3
70
10
30
0
0
0













g
f
g
f
 
Otra manera de combinar funciones es mediante la composición de funciones: 
 
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 
Dadas dos funciones, f y g , la función dada por ))(())(( xgfxgf  , se llama función 
compuesta de f con g . 
Ejemplo: 
Sean 32)(  xxf y 1)(
2  xxg , entonces: 
123)1(2)1())(())(( 222  xxxfxgfxgf  
101241)32()32())(())(( 22  xxxxgxfgxfg  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
Observación: 
 
El dominio de ))(( xgf  es el conjunto formado por todos los elementos del 
dominio de g , tales que )(xg está en el dominio de f . 
))(())(( xgfxgf  existe si y solo si fcgDom Re 
a) La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir: 
))(())(( xfgxgf   
b) La composición de funciones es asociativa, es decir: 
 
c) La inversa de la composición de dos funciones es: 
 
d) La composición de una función y su inversa es la identidad: 
Ixffxff   ))(())(( 11  
 
 
Ejercicio 
Sean RRf : ; RRAg : definidas por: 









301
01
342
)( 2
xsix
xsix
xsix
xf ; 
xx
x
xg
4
45
)(
3
2


 
Determine: 
a) Dom )(g 
b) La gráfica de f 
c) )1)(()0)((  gffg o 
 
 
 
 19 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
Solución: 
a) Puesto que 045 2 x , solo se debe exigir que: 
 
2,00)4(04 23  xxxxxx 
d) Luego el Dom )(g = R-{0,-2,2} 
b) La gráfica de









301
01
342
)( 2
xsix
xsix
xsix
xf es: 
 
 
 
c) 0
3
3
0
3
3
)1()1()1()1()1())0(()1)(()0)(( 

 gfggffggffg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
1) Si :determine23x-)(,
1
1
)(quetal: 2 

 xxg
x
xfRRDf 
a) ))(( xgf  
b) ))(( xgf  
c) ))(/( xgf 
d) ))(( xfof 
 
2) Dadas las funciones: 






35
312
)(
2
xx
xxx
xf  











1
3
2
11
;
x
x
xx
xg 
Calcular: 
a)   2 gf 
b)   17gof 
Ejercicios propuestos: 
A continuación, se sugiere revisar el video n° 3 de la semana que aparece en el apartado de 
“Videos de la semana”. Posteriormente, desarrolle los siguientes ejercicios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
COMENTARIO FINAL 
En esta semana se entendió que una función tiene inversa si y sólo si es biyectiva, por lo tanto es 
necesario aprender los conceptos de inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. Por otro lado, se 
observó que las funciones se pueden operar y que en esencia dichas operaciones se realizan con 
las imágenes. 
 
 
 
 
 
 
 22 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8 
REFERENCIAS 
Carreño, X. y Cruz, X. (2008). Álgebra. Chile: McGraw-Hill. 
Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8