07_matematica

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1 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
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MATEMÁTICA 
 
SEMANA 7 
 FUNCIONES 
PARTE II 
 
 
 
 2 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
 
 
 3 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
ÍNDICE 
 
FUNCIONES (PARTE II) ......................................................................................................................... 4 
APRENDIZAJES ESPERADOS ................................................................................................................. 4 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4 
TIPOS DE FUNCIONES .......................................................................................................................... 4 
FUNCIONES POR TRAMOS ................................................................................................................... 9 
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES ....................................................................................... 11 
MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN ............................................................................................ 13 
APLICACIÓN ....................................................................................................................................... 15 
COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 17 
REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
FUNCIONES (PARTE II) 
 
APRENDIZAJES ESPERADOS 
 Realizar análisis de funciones, distinguiendo tipos, representación gráfica y funciones 
por tramos. 
 
INTRODUCCIÓN 
Las funciones se usan con frecuencia para modelar situaciones reales en las cuales se relacionan 
dos variables. Esta semana se aprenderá que existen gráficas asociadas a estos modelos. Las 
gráficas se construyen en un plano cartesiano y es de interés conocerlas, pues a través de ellas se 
puede observar el dominio, recorrido y el comportamiento de la función, en cuanto a su 
crecimiento, decrecimiento, máximo o mínimo. 
 
TIPOS DE FUNCIONES 
A continuación se presentan algunos modelos particulares de funciones importantes con su 
respectiva representación gráfica, identificando su dominio y recorrido: 
1) Función constante:   Rxaxf  , donde a es una constante: 
 
 
 
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Observación: 
Esta función corresponde a la gráfica de una recta horizontal. 
Observación: 
Esta función a cada real le asigna el mismo valor 
 
 
   afc
RfDom


Re
 
 
 
2) Función identidad:   xxf  
 
 
  Rfc
RfDom


Re
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observación: 
La función identidad es solo un caso particular de la función lineal 
1a y 1b 
 
3) Función lineal:   baxxf  donde 0a 
 
 
  Rfc
RfDom


Re
 
 
4) Función cuadrática:   0,2  acbxaxxf 
 
  RfDom  
 
 
 7 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
Observación: 
 kh, será el vértice de la parábola que corresponde a la gráfica de la 
función cuadrática. Donde
a
b
h
2

 y 




 

a
b
fk
2
 
 
 
El recorrido de esta función depende de los coeficientes a, b y c. En efecto, completando 
cuadrados se obtiene: 
 
aa
b
xa
a
c
x
a
b
xacbxaxxf
42
2
22















 
Donde ,42 acb  es decir el discriminante del trinomio de segundo grado. Luego, si ,0a 
entonces 
aaa
b
xay
442
2









 , por lo tanto, en este caso: 
   







 ,
4
Re
a
fc 
Si ,0a entonces 
aaa
b
xay
442
2









 , por lo tanto, en este caso: 
  




 

a
fc
4
,Re 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
5) Función cúbica:   dcxbxaxxf  23 donde 0a 
 
 
  Rfc
RfDom


Re
 
6) Función raíz:   xxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   0Re
0




Rfc
RfDom
 
 
 
 9 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
Observación: 
La función valor absoluto es una función por partes. 
 
 
7) Función valor absoluto:    xxf donde 






0
0
0
xsix
xsix
a 
 
 
   0Re 

Rfc
RfDom
 
Ejemplos: 
1) 55  
2) 22  
3) 00  
 
 
 
FUNCIONES POR TRAMOS 
Una función por tramos es aquella que en sectores diferentes del dominio, tiene un 
comportamiento diferente, tal como se muestra en el siguiente ejemplo: 
 








77
7124
112
xx
xx
xx
xf 
 
 
 
 10 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
Las expresiones 1 1 7 7; ;x x x    , son los diferentes sectores del dominio, se observa 
que: 
1) Para 71  x el comportamiento de la gráfica de la función es de acuerdo a la expresión 
  12  xxf , esto es: 
 
2) Para 71  x el comportamiento de la gráfica de la función es de acuerdo a la expresión 
  24  xxf , esto es: 
 
3) Para 7x el comportamiento de la gráfica de la función es de acuerdo a la expresión 
  7 xxf , esto es: 
 
Luego, el gráfico de la función es: 
 
 
 11 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
Ejercicios propuestos: 
a)  





55
501
xx
xx
xf 
b)  






11
1122
xx
xxx
xf 
 
 
Si se analiza con respecto a x se tiene que para toda variable x existe una variable y tal que 
  yxf  , por lo tanto el dominio de Resf , mientras que para y negativo no existe x , tal que 
  yxf  , por lo tanto el recorrido es R . 
Ejercicios: 
A continuación se sugiere revisar el video n° 1 de la semana que aparece en el apartado de 
“Videos de la semana” y luego desarrolle los ejercicios propuestos, además graficar e indicar 
   fcfDom Re; . 
 
 
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES 
Es muy útil saber dónde “sube” una gráfica de una función o dónde “baja”. La gráfica mostrada en 
la siguiente figura sube del punto a al punto b y luego baja de b a c . Entonces, se dirá que la 
función f es creciente cuando su gráfica sube y decreciente cuando la gráfica baja. 
 
 
 12 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
 
Definición de función creciente: La función se dice creciente en el intervalo , si 
 siempre que en 
 
Definición de función decreciente: La función se dice decreciente en el intervalo si 
 siempre que en 
 
 
 
 13 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
Observación: 
Si c es el máximo, entonces  cf es valor máximo, mientras que si c es mínimo 
entonces  cf es valor mínimo. 
 
MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN 
Máximo de una función: 
Una función f tiene un máximo absoluto en c si    xfcf  para todo x en D , donde D es el 
dominio de f (Stewart, 1999, p. 277). 
 
Mínimo de una función: 
Una función f tiene un mínimo absoluto en c si    xfcf  para todo x en D , donde D es el 
dominio de f (Stewart, 2002, p. 277). 
 
 
Ejercicios desarrollados 
Determine el intervalo donde la función es creciente o decreciente e identifique máximo o mínimo 
a)   14  xcf 
 
 
 14 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
Solución: 
Primero se grafica la función, para esto se efectuará el siguiente proceso: 
14
14


yx
yx
 
Se exige: 
14
01;04


yx
yx
 
 
f es creciente  ,4 
f es decreciente  4, 
4x es el mínimo 
  14 f es el valor mínimo 
 
b)   122  xxxf 
Solución: 
 
     
0
121
112111
12
2
2
2






fy
a
b
x
 
01a se abre hacia abajo la función cuadrática. 
 
 
 15 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
 
 
f es creciente  1, 
f es decreciente  ,,1 
Máximo: 1 
Valor máximo:   01 f 
 
APLICACIÓN 
Las funciones modelan situaciones reales, luego se puede graficar y analizar datos importantes de 
la situación, tal como se muestra en el siguiente ejemplo. 
Ejemplo desarrollado 
La distancia entre dos torres es 100 metros. Un cable une los extremos superiores de las torres. 
Cada cable cuelga de tal forma que su figura se modela a través de la función 
3501,0)( 2  xxxf donde x e y se miden en metros. Encuentre la distancia entre el punto 
más bajo del cable y el piso del puente y ¿qué tan altas son las torres? 
Solución: 
 
 
 16 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
1) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 147 m/s desde el 
punto A situado a 10 m del suelo. Su altura en cada instante está dada por la función 
1014749)( 2  tttf y su velocidad en el instante t , por 14798  t . 
a) En qué instante la altura es máxima. 
b) Cuál será la velocidad del objeto en ese momento. 
c) En qué instante caerá al suelo. 
 
 
2) Un cañón lanza un proyectil con una velocidad inicial de 100 m/s. La ecuación que 
relaciona la altura h , con la distancia x (horizontal) recorrida es   xxxh  2
1000
1
. 
Encuentre la máxima altura alcanzada y distancia recorrida. 
 
 
Para la parábola 3501,0 2  xxy , la coordenada y del vértice entrega la distancia entre el 
punto más bajo del cable y el piso y se obtiene calculando 50
02,0
1
x reemplazando esta valor 
se tiene   1035505001,0 2 y así la distancia es de 10 metros. 
Como el vértice de la parábola ocurre en la mitad del puente, las dos torres se localizan en los 
puntos donde 100,0  xyx sustituyendo 0x se tiene 35y pies. Por lo tanto las torres 
tienen una altura de 35 metros. 
 
Ejercicios propuestos 
A continuación se sugiere revisar el video n° 2 de la semana que aparece en el apartado de 
“Videos de la semana” y luego desarrolle los siguientes ejercicios: 
 
 
 
 17 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
COMENTARIO FINAL 
El comportamiento de una función en cuanto a su crecimiento o decrecimiento es importante, ya 
que puede implicar por ejemplo el aumento en las utilidades o disminuciones en las ventas, etc., 
muchas veces esto se observa conociendo la gráfica de la función que modela la situación, esta 
función puede corresponder a una lineal, cuadrática, radical, valor absoluto o una función por 
tramos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 
REFERENCIAS 
Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson. 
Zill, D. y Dewar, J. (1999). Ecuaciones e inecuaciones. Álgebra y Trigonometría. Colombia: McGraw- 
Hill. 
 
 
 
 
 19 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7