Claves Matematica Final 05-07-2018 Tema 1

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Material e laborado por la cátedra de Matemática - UBAXXI 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
FINAL DE MATEMÁTICA 
 05/07/2018 – TEMA 1 
TEMA 1 
 
Ejercicio 1 
Hallar el valor de 𝑘 ∈ ℝ, 𝑘 > 1 para que se cumpla la siguiente igualdad 
∫(20𝑥4 + 4𝒌𝑥3 + 1)
𝒌
1
𝑑𝑥 = 155 
Respuesta 
Primero calculamos la integral definida: 
∫(20𝑥4 + 4𝒌𝑥3 + 1)
𝒌
1
𝑑𝑥 = (
20𝑥5
5
+
4𝑘𝑥4
4
+ 𝑥)|
1
𝑘
= (4𝑥5 + 𝑘𝑥4 + 𝑥)|
1
𝑘
= 
= (4𝑘5 + 𝑘 ∙ 𝑘4 + 𝑘) − (4 ∙ 15 + 𝑘 ∙ 14 + 1) = 
= (4𝑘5 + 𝑘5 + 𝑘) − (5 + 𝑘) = 
= 5𝑘5 + 𝑘 − 5 − 𝑘 = 5𝑘5 − 5 
Ahora buscamos 𝑘 para que se cumpla 
5𝑘5 − 5 = 155 
5𝑘5 = 160 
𝑘5 = 32 ⟺ 𝑘 = 2 
 
Ejercicio 2 
Hallar analíticamente el o los valores de 𝑥 ∈ ℝ para que se cumpla la siguiente igualdad 
log
5
(5𝑥4 + 15) − 2 ∙ log
5
(𝑥2 + 1) = 1 
 
Respuesta 
Los argumentos de los logaritmos involucrados en la ecuación son números estrictamente positivos cualquiera sea el 
valor de 𝑥. 
Debemos resolver la igualdad 
log
5
(5𝑥4 + 15) − 2 ∙ log
5
(𝑥2 + 1) = 1 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
FINAL DE MATEMÁTICA 
 05/07/2018 – TEMA 1 
Aplicando la propiedad del logaritmo "𝑎 log5 𝑡 = log5 𝑡
𝑎 " , la igualdad anterior queda como 
log
5
(5𝑥4 + 15) − log
5
(𝑥2 + 1)2 = 1 
Aplicando la propiedad del logaritmo " log5 𝑡 − log5 𝑝 = log5
𝑡
𝑝
 tenemos que 
log5
(5𝑥4 + 15)
(𝑥2 + 1)2
= 1 
Recordamos que 
log
5
𝑡 = 1 ⇔ 51 = 𝑡 ∴ 5 = 𝑡 
Entonces. 
5 =
(5𝑥4 + 15)
(𝑥2 + 1)2
 
5 ∙ (𝑥2 + 1)2 = (5𝑥4 + 15) 
5 ∙ (𝑥4 + 2𝑥2 + 1) = 5𝑥4 + 15 
5𝑥4 + 10𝑥2 + 5 = 5𝑥4 + 15 
10𝑥2 + 5 = 15 
10𝑥2 = 10 
𝑥2 = 1 ⇔ 𝑥 = −1 ó 𝑥 = 1 
Existen dos soluciones para nuestro problema: 𝑥 = −1 ó 𝑥 = 1 
 
 
 
Ejercicio 3 
El gráfico de la función 
𝑓(𝑥) =
1 + 4𝑥
2𝑥 − 1
 
corta a los ejes coordenados en los puntos P y Q. Hallar la distancia entre los puntos P y Q. 
 
 
Respuesta 
EL dominio de la función es el conjunto 𝑅 − {
1
2
} 
Sea P el punto donde el gráfico de la función corta el eje 𝑥. La ordenada de este punto vale cero. 
Las coordenadas del punto 𝑃 son: 
𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 
1 + 4𝑥
2𝑥 − 1
= 0 ⟺ 1 + 4𝑥 = 0 𝑥 = −
1
4
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
FINAL DE MATEMÁTICA 
 05/07/2018 – TEMA 1 
𝑃 = (−
1
4
; 0) 
Sea Q el punto donde el gráfico de la función corta el eje 𝑦. La abscisa de este punto vale cero. 
Las coordenadas del punto 𝑄 son: 
𝑓(0) =
1 + 4(0)
2(0) − 1
 
𝑓(0) = −1 
𝑄 = (0; −1) 
La distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄 es: 
𝑑(𝑃; 𝑄) = √(−
1
4
− 0)
2
+ (0 − (−1))
2
= √
1
16
+ 1 = √
17
16
 
 
 
 
Ejercicio 4 
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función "𝑓(𝑥)" en el punto (2; 5) si se sabe que su 
pendiente es la misma que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑔(𝑥) = 𝑒2𝑥−2 + 7𝑥 en el 
punto de abscisa 𝑥 = 1 
 
Respuesta 
Como el punto de tangencia es el (2; 5) la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función "𝑓(𝑥)" en el punto 
(2; 5) es de la forma 
𝑦 = 𝑚(𝑥 − 2) + 5 
 
Nos falta calcular la pendiente, pero como sabemos que es la misma que tiene la recta tangente a la gráfica de 𝑔 en el 
punto de abscisa 𝑥 = 1 
𝑚 = 𝑔′(1) 
𝑔′(𝑥) = (𝑒2𝑥−2 + 7𝑥)′ = 2𝑒2𝑥−2 + 7 
𝑔′(1) = 2𝑒2(1)−2 + 7 = 2𝑒0 + 7 = 2 + 7 = 9 
Luego 𝑚 = 9 
La ecuación de la recta pedida es 
𝑦 = 9(𝑥 − 2) + 5