Rectas_y_planos_en_el_espacio - Diego Chavez

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Rectas y Planos en el espacio
Mat. Kevin Chamorro
Universidad Yachay Tech
Julio 09, 2022
Urcuqúı - Ecuador
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 1 / 25
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1 Rectas en el espacio
2 Planos en el Espacio
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1 Rectas en el espacio
2 Planos en el Espacio
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Introducción: Rectas en el espacio
En el plano R2 se puede encontrar la ecuación de una recta si se conocen dos puntos sobre la recta,
o bien un punto y la pendiente de la misma.
En R3 la intuición dice que las ideas básicas son las mismas. Como dos puntos determinan una recta,
debe poderse calcular la ecuación de una recta en el espacio si se conocen dos puntos sobre ella.
De manera alternativa, si se conoce un punto y la dirección de una recta, también debe ser posible
encontrar su ecuación.
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Rectas en el espacio
Sean dos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) sobre una recta L. Un vector paralelo a L es
aquel con representación
−→
PQ. Entonces,
v =
−→
PQ = (x2 − x1) i+ (y2 − y1) j+ (z2 − z1) k (1)
es un vector paralelo a L.
Ahora sea R = (x , y , z) otro punto sobre la recta L, entonces el vector
−→
PR es paralelo al vector
−→
PQ, que a su vez es paralelo a v , es decir:
−→
PR = tv (2)
para algún número real t.
En la figura, y de acuerdo a la suma de vectores, tenemos:
−→
0R =
−→
0P +
−→
PR (3)
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Al combinar (2) y (3), tenemos:
−→
0R =
−→
0P + tv (4)
Pero como: −→
0R = (x , y , z) y
−→
0P = (x1, y1, z1)
entonces, sustituyendo estas igualdades en la ecuación (4) y usando (1), obtenemos:
(x , y , z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)
=⇒ (x , y , z) = (x1 + ta, y1 + tb, z1 + tc)
al igualar ambos vectores, tenemos:
x = x1 + ta =⇒ t =
x − x1
a
y = y1 + tb =⇒ t =
y − y1
b
z = z1 + tc =⇒ t =
z − z1
c
(5)
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Las ecuaciones en (5) se conocen como las ecuaciones paramétricas de la recta en R3, es decir:
x = x1 + ta
y = y1 + tb
z = z1 + tc
(6)
Al igualar estas tres expresiones obtenemos, lo que se define, como las ecuaciones simétricas de
una recta en R3 :
x − x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
(7)
donde v = (a, b, c), obtenido de la ecuación (1), es un vector director de la recta L.
Las ecuaciones en (7), son válidas siempre que a ̸= 0, b ̸= 0 y c ̸= 0
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Ejemplo: Determinación de la ecuación de una recta
Encuentre las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por los
puntos P = (2,−1, 6) y Q = (3, 1,−2).
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Ejemplo: Determinación de la ecuación de una recta
Queremos encontrar las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por
los puntos P = (2,−1, 6)y Q = (3, 1,−2). Para esto calculamos el vector director v de la recta L :
v =
−→
PQ = (3− 2)i+ (1− (−1))j+ (−2− 6)k = i+ 2j− 8k
Si R = (x , y , z) es un punto sobre la recta L, entonces de la ecuación (3), nos permite encontrar la
ecuación vectorial de la recta:
−→
0R = x i+ y j+ zk =
−→
0P + tv = 2i− j+ 6k+ t(i+ 2j− 8k)
=⇒ x i+ y j+ zk = 2i− j+ 6k+ t(i+ 2j− 8k)
Al igualar ambos vectores en la ecuación vectorial, obtenemos las ecuaciones param étricas de la
recta L :
x = 2 + t, y = −1 + 2t, z = 6− 8t
Al despejar el parámetro t en las ecuaciones paramétricas anteriores, se obtiene las ecuaciones
simétricas de la recta L :
x − 2
1
=
y + 1
2
=
z − 6
−8
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Ejemplo: Determinación de las ecuaciones simétricas de una recta
Queremos hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto (1,−2, 4) y es paralela
al vector v = i+ j− k. En este caso el punto P = (1,−2, 4) = (x1, y1, z1) , y el vector v = i+ j− k
al ser paralelo a la recta entonces se usa de vector director, por lo tanto a = 1, b = 1 y c = −1.
Luego, las ecuaciones simétricas de la recta L serán:
x−x1
a =
y−y1
b =
z−z1
c
=⇒ x−11 =
y+2
1 =
z−4
−1
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Ejemplo: Determinación de las ecuaciones simétricas de una recta
cuando dos números directores son cero
Sea L la recta que pasa por los puntos P = (2, 3,−2)y Q = (2,−1,−2), queremos hallar las
ecuaciones simétricas de la recta L. Primero calculamos el vector director como el vector
−→
PQ :
v =
−→
PQ = (2− 2)i+ (−1− 3)j+ (−2 + 2)k = −4j
Por lo tanto, las componentes del vector director son a = 0, b = −4y c = 0 En este caso al ser las
componentes a = 0 y c = 0, no podemos usar directamente las ecuaciones simétricas porque
tenemos dos denominadores iguales a cero. Entonces usamos las ecuaciones paramétricas con
P = (2, 3,−2) = (x1, y1, z1) :
x = x1 + ta =⇒ x = 2
y = y1 + tb =⇒ y = 3− 4t
z = z1 + tc =⇒ z = −2
Entonces la ecuación de la recta es:
x = 2
y = 3− 4t
z = −2
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1 Rectas en el espacio
2 Planos en el Espacio
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Introducción: Planos en el Espacio
Aśı como la ecuación de una recta en el espacio se obtiene especificando un punto sobre la recta
y un vector paralelo a esta recta, también podemos obtener la ecuación de un plano en el espacio
especificando un punto en el plano y un vector ortogonal a todos los vectores en el plano.
Este vector ortogonal o perpendicular al plano, se llama vector normal al plano y los denotaremos
como n, como podemos apreciarlo en la Figura :
Figura: El vector n es ortogonal a todos los vectores en el plano
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Planos en el espacio
Sea P un punto en el espacio R3 y sea n un vector no nulo, entonces el conjunto de todos los
puntos Q tales que el vector
−→
PQ es ortogonal al vector n, se define como un plano en el espacio; es
decir: −→
PQ · n = 0
y este plano lo denotaremos por π.
Consideremos un plano π con vector normal n = ai+ bj+ ck, y sea P = (x0, y0, z0) un punto fijo
del plano, si Q = (x , y , z) es otro punto cual quiera del plano, entonces el vector
−→
PQ = (x − x0) i+ (y − y0) j+ (z − z0) k
es un vector que pertenece al plano π.
En consecuencia:
−→
PQ · n = 0
⇒ [(x − x0) i+ (y − y0) j+ (z − z0) k] · [ai+ bj+ ck] = 0
⇒a (x − x0) + b (y − y0) + c (z − z0) = 0
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Por lo tanto, si tenemos un vector normal plano n = ai+ bj+ ck, y un punto P = (x0, y0, z0) que
pertenece al plano, enton ces la ecuación de plano viene dada por:
a (x − x0) + b (y − y0) + c (z − z0) = 0 (8)
Si desarrollamos la ecuación (8), obtenemos:
ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
Si llamamos d = ax0 + by0 + cz0, entonces la ecuación:
ax + by + cz = d (9)
se denomina ecuación cartesiana del plano, donde
d = ax0 + by0 + cz0 =
−→
0P · n
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En R3 tenemos tres planos coordenados que se representan de la siguiente manera:
1 EI plano xy pasa por el origen P = (0, 0, 0) y cualquier vector a lo largo del eje z es normal a este
plano. Un vector normal al plano xy es el vector k, luego la ecuación de este plano según (8) es:
0(x − 0) + 0(y − 0) + 1(z − 0) = 0
=⇒ z = 0
luego, la ecuación del plano xy es:
z = 0 (10)
2 El plano xz pasa por el origen P = (0, 0, 0) y cualquier vector a lo largo del eje y es normal a este
plano. Un vector normal al plano xz es el vector j, luego la ecuación de este plano según (8) es:
0(x − 0) + 1(y − 0) + 0(z − 0) = 0
=⇒ y = 0
luego, la ecuación del plano xy es:
y = 0 (11)
3 El plano yz pasa por el origen P = (0, 0, 0) y cualquier vector a lo largo del eje x es normal a este
plano. Un vector normal al plano yz es el vector i, luego la ecuación de esteplano según (8) es:
1(x − 0) + 0(y − 0) + 0(z − 0) = 0
=⇒ x = 0
luego, la ecuación del plano yz es:
x = 0 (12)
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Ejemplo: Determinación de la ecuación de un plano que pasa por
un punto dado y tiene un vector normal dado
Encuentre un plano π que pasa por el punto (2, 5, 1) y que tiene un vector normal n = i− 2j +3k
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Encuentre un plano π que pasa por el punto (2, 5, 1) y que tiene un vector normal n = i− 2j +3k
▶ Sea π un plano que pasa por el punto P = (2, 5, 1) y sea n = i− 2j+ 3k un vector normal al plano.
▶ Entonces, de acuerdo a la ecuación (8), la ecuación del plano π viene dada por:
(x − 2)− 2(y − 5) + 3(z − 1) = 0
que al desarrollar, obtenemos la ecuación cartesiana del plano π :
x − 2y + 3z = 2− 10 + 3 =⇒ x − 2y + 3z = −5
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Ejemplo: Determinación de la ecuación de un plano que pasa por
tres puntos dados
Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos P = (1, 2, 1),Q = (−2, 3,−1) y R =
(1, 0, 4).
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Entonces los vectores −→
PQ = −3i+ j− 2k
−→
QR = 3i− 3j+ 5k
son vectores que pertenecen al plano π.
Luego, de la definición del producto vectorial, sabemos que el vector n =
−→
PQ ×
−→
QR es ortogonal a
los vectores
−→
PQ y
−→
QR, y por lo tanto es ortogonal al plano π :
n =
−→
PQ ×
−→
QR =
∣∣∣∣∣∣
i j k
−3 1 −2
3 −3 5
∣∣∣∣∣∣ = −i+ 9j+ 6k
Entonces, dado el vector normal n = −i+ 9j+ 6k y cualquiera de los tres puntos P,Q o R,
podemos encontrar la ecuación del plano π, en particular si usamos el punto P en la ecuación (8),
obtenemos:
− (x − 1) + 9(y − 2) + 6(z − 1) = 0
=⇒− x + 9y + 6z = −1 + 18 + 6
=⇒− x + 9y + 6z = 23
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Sin embargo, si repetimos esta mismo cálculo pero usamos, por ejemplo el punto Q, obtenemos la
misma ecuación cartesiana del plano π :
− (x + 2) + 9(y − 3) + 6(z + 1) = 0
=⇒− x + 9y + 6z = 2 + 27− 6
=⇒− x + 9y + 6z = 23
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Planos paralelos
Planos paralelos
Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, es decir, si el producto cruz de sus
vectores normales es cero.
Example
Los planos π1 : 2x + 3y − z = 3 y π2 : −4x − 6y + 2z = 8 son paralelos ya que n1 = 2i+ 3j− k y
n2 = −4i− 6j+ 2k. Ya que n2 = −2n1 y n1 × n2 = 0 Si dos planos no son paralelos, entonces se
intersecan en una linea recta.
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Ejemplo: Puntos de intersección de planos
Example
Encuentre todos los puntos de intersección de los planos 2x − y − z = 3 y x + 2y + 3z = 7.
Las coordenadas de cualquier punto (x , y , z) sobre la recta de intersección de estos dos planos,
deben satisfacer las ecuaciones de a mbos pla nos; es decir:{
2x − y − z = 3
x + 2y + 3z = 7
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas con operaciones elementales por
filas,se obtiene: (
1 0 1/5
0 1 7/5
) xy
z
 = ( 13/5
11/5
)
de donde obtenemos:
x +
1
5
z =
13
5
=⇒ x = 13
5
− 1
5
z
y +
7
5
z =
11
5
=⇒ y = 11
5
− 7
5
z
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Luego, si colocamos z = t entonces obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta intersección
de ambos planos:
x =
13
5
− 1
5
t
y =
11
5
− 7
5
t
z = t
Supongamos que w es un vector que está en el plano determinado por los vectores u y v, entonces
w es perpendicular al vector u× v, lo que significa que:
(u× v) ·w = 0
Inversamente, si (u× v) ·w = 0, entonces w es un vector perpendicular al vector u× v, de manera
que que w se encuentra en el plano determinado por u y v.
De lo anterior, se concluye que tres vectores u, v y w son coplanares si y sólo si su producto triple
escalar es cero:
(u× v) ·w = 0
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Gracias
kchamorro@yachaytech.edu.ec
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