Sistemas_homog_neos_de_ecuaciones - Diego Chavez

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Sistemas homogéneos de ecuaciones
Mat. Kevin Chamorro
Universidad Yachay Tech
Mayo 17, 2022
Urcuqúı - Ecuador
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 1 / 12
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1 Sistemas lineales homogéneos
2 Ejercicios
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1 Sistemas lineales homogéneos
2 Ejercicios
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Sistemas lineales homogéneos y no homogéneos
Un sistema general de m×n ecuaciones lineales se llama homogéneo si todas las constantes b1, b2, . . . bm,
son cero; si alguna o algunas de las constantes b1, . . . , bm es o son diferentes de cero, decimos que el
sistema lineal es no homogéneo. Es decir, el sistema general homogéneo está dado por:
Solución trivial y no trivial
Para sistemas homogéneos, x1 = x2 = · · · = xn = 0 es siempre una solución (llamada solución
trivial o solución cero), por lo que sólo se tienen dos posibilidades: la solución trivial es la única
solución o existe un número infinito de soluciones además de ésta.
Las soluciones distintas a la solución cero se llaman soluciones no triviales.
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Sistema homogéneo que tiene solución trivial
Resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones:

2x1 + 4x2 + 6x3 = 0
4x1 + 5x2 + 6x3 = 0
3x1 + x2 − 2x3 = 0
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Sistema homogéneo con un número infinito de soluciones
Resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones:

x1 + 2x2 − x3 = 0
3x1 − 3x2 + 2x3 = 0
−x1 − 11x2 + 6x3 = 0
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Sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones
Resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones:
{
x1 + x2 − x3 = 0
4x1 − 2x2 + 7x3 = 0
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Resumen
Un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas es un sistema lineal de la forma
Un sistema lineal homogéneo siempre tiene la solución trivial (o solución cero)
x1 = x2 = · · · = xh = 0
Las soluciones para un sistema lineal homogéneo diferentes de la trivial se denominan soluciones no
triviales.
El sistema lineal homogéneo anterior tiene un número infinito de soluciones si tiene más incógnitas
que ecuaciones (n > m)
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1 Sistemas lineales homogéneos
2 Ejercicios
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Ejercicios
Encuentre las soluciones a los sistemas homogéneos:
1

x1 + x2 − x3 = 0
2x1 − 4x2 + 3x3 = 0
−5x1 + 13x2 − 10x3 = 0
2
{
x1 − x2 + 7x3 − x4 = 0
2x1 + 3x2 − 8x3 + x4 = 0
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Ejercicios
Considere el sistema
1

2x1 − 3x2 + 5x3 = 0
−x1 + 7x2 − x3 = 0
4x1 − 11x2 + kx3 = 0
Para que valor de k tendrá soluciones no triviales?
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Gracias
kchamorro@yachaytech.edu.ec
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