Dos_ecuaciones_lineales_con_dos_inc_gnitas___m_ecuaciones_con_n_inc_gnitas - Diego Chavez

Vista previa del material en texto

Dos Ecuaciones lineales con dos incógnitas, Sistemas de m
ecuaciones con n incógnitas.
Mat. Kevin Chamorro
Universidad Yachay Tech
Mayo 16, 2022
Urcuqúı - Ecuador
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 1 / 27
Outline
1 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
2 Tipos de soluciones
3 Ejercicios
4 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
5 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 2 / 27
Outline
1 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
2 Tipos de soluciones
3 Ejercicios
4 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
5 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 3 / 27
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y :
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
a11, a12, a21, a22, b1 y b2 son números dados.
Cada una de estas ecuaciones corresponde a una ĺınea recta.
Cualquier par de números reales (x , y) que satisface el sistema se denomina solución
Propiedades de álgebra elemental
1 Si a = b y c = d , entonces a+ c = b + d
2 Si a = b y c es cualquier número real, entonces ca = cb.
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 4 / 27
Outline
1 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
2 Tipos de soluciones
3 Ejercicios
4 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
5 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 5 / 27
Sistema con una solución única
Considere el sistema
{
3x − 2y = 4
5x + 2y = 12
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 6 / 27
Sistema con una solución única
Considere el sistema
{
3x − 2y = 4
5x + 2y = 12
Solución: (x , y) = (2, 1)
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 7 / 27
Sistema con un número infinito de soluciones
Considere el sistema
{
x − y = 7
2x − 2y = 14
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 8 / 27
Sistema con un número infinito de soluciones
Considere el sistema
{
x − y = 7
2x − 2y = 14
Solución: (x , y) = (x , x − 7) o también (x , y) = (7 + y , y)
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 9 / 27
Sistema sin solución
Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente.
Considere el sistema
{
x − y = 7
2x − 2y = 13
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 10 / 27
Sistema sin solución
Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente.
Considere el sistema
{
x − y = 7
2x − 2y = 13
Solución: El sistema no tiene solución.
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 11 / 27
Soluciones Geométricas
Considerando el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y :
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 12 / 27
Teorema de resumen
El sistema {
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
(1)
de dos ecuaciones con dos incógnitas x y y no tiene solución, tiene una solución única o tiene un
número infinito de soluciones. Esto es:
Tiene una solución única si y sólo si
a11a22 − a12a21 ̸= 0
.
No tiene solución o tiene un número infinito de soluciones, si y sólo si
a11a22 − a12a21 = 0
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 13 / 27
Outline
1 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
2 Tipos de soluciones
3 Ejercicios
4 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
5 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 14 / 27
Solución de sistemas
Encontrar las soluciones de los siguientes sistemas.
En cada sistema encontrar el valor de ∆ = a11a22 − a12a21.
Encontrar las condiciones sobre a y b tales que el sistema en el problema 3 tenga una solución
única.
Encontrar las condiciones sobre a, b y c tales que el sistema del problema 4 tenga un número
infinito de soluciones.
1 {
x + y = 3
x + 2y = −8
2 {
2x + 3y = 3
−2x − 3y = −3
3 {
ax + by = c
ax − by = c
4 {
ax + by = c
bx + ay = c
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 15 / 27
Outline
1 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
2 Tipos de soluciones
3 Ejercicios
4 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
5 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 16 / 27
Matriz
Matriz
Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenados por filas y columnas. Las matrices tienen
por nombre una letra mayúscula y sus elementos se encierran entre dos paréntesis (o dos corchetes).
Matriz de coeficientes
Los coeficientes de las variables de un sistema de ecuaciones se pueden escribir como los elementos de
una matriz, llamada matriz de coeficientes del sistema:
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
3x1 + x2 − 2x3 = 4
A =
2 4 64 5 6
3 1 −2

Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 17 / 27
Matriz
Matriz m x n
Una matriz con m filas y n columnas se llama una matriz de mxn.
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn

Matriz aumentada
El sistema lineal anterior se puede escribir utilizando la matriz aumentada: 2 4 6 184 5 6 24
3 1 −2 4

Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 18 / 27
Operaciones elementales por filas (renglones)
Operaciones elementales por filas (renglones)
Las tres operaciones elementales por filas aplicadas a la matriz aumentada que representa un sistema de
ecuaciones son:
1 Multiplicar ( o dividir) una fila por un número diferente de cero.
2 Sumar un múltiplo de una fila a otra fila.
3 Intercambiar dos filas
Reducción por filas (renglones)
1 Fi → cFi quiere decir reemplaza la i -ésima fila por ese mismo renglón multiplicado por c . [Para
multiplicar la i-ésima fila por c se multiplica cada número en la i-ésima fila por c .]
2 Fj → Fj + cFi significa sustituye la j -ésima fila por la suma de la fila j más la fila i multiplicado
por c .
3 Fi ⇄ Fj quiere decir intercambiar las filas i y j .
4 A → B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas que
representan tienen la misma solución.
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 19 / 27
Forma escalonada reducida por filas y pivote
Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por filas si se cumplen las siguientes condi-
ciones:
1 Todas las filas (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz.
2 El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier fila cuyos elementos
no todos son cero es 1.
3 Si dos filas sucesivas tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en la fila de abajo está
más hacia la derecha que el primer 1 en la fila de arriba 1.
4 Cualquier columna que contiene el primer 1 en una fila tiene ceros en el resto de sus elementos. El
primer número diferente de cero en una fila (si lo hay) se llama pivote para esa fila.
1La condición 3 se puede reescribir como el pivote en cualquier fila está a la derecha del pivote de la fila anterior.
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 20 / 27
Ejemplos - Forma reducida por filas
1 0 00 1 0
0 0 1
 1 0 0 00 1 0 0
0 0 0 1

(
1 0 0 5
0 0 1 2
) 1 0 2 50 1 3 6
0 0 0 0

Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 21 / 27
Forma escalonada por filas
Forma escalonada por filas
Una matriz está en la forma escalonada por filas si se cumplen las siguientes condiciones:
1 Todas las filas (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz.
2 El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier fila cuyos elementos
no todos son cero es 1.
3 Si dos filas sucesivas tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en la fila de abajo
está máshacia la derecha que el primer 1 en la fila de arriba.
EJEMPLOS:
1
 1 2 30 1 5
0 0 1
 2 ( 1 0 2 50 0 1 2
)
3
 1 −1 6 40 1 2 −8
0 0 0 1

Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 22 / 27
Eliminación de Gauss-Jordan
Es el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante la reducción por filas de la matriz
aumentada a la forma escalonada reducida por filas.
Ejemplo:
 2 2 4 181 3 2 13
3 1 3 14

Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 23 / 27
Eliminación Gaussiana
Es el proceso de resolver un sistema de ecuaciones al reducir por filas la matriz aumentada a la forma
escalonada por filas y utilizando la sustitución hacia atrás.
Ejemplo:
 2 2 4 184 5 6 24
3 1 −2 4

Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 24 / 27
Outline
1 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
2 Tipos de soluciones
3 Ejercicios
4 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
5 Ejercicios
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 25 / 27
Solución de sistema de ecuaciones por método de eliminación de
Gauss - Jordan
1
{
x1 + 2x2 − x3 = 4
3x1 + 4x2 − 2x3 = 7 2

x1 − 2x2 + 3x3 = 11
4x1 + x2 − x3 = 4
2x1 − x2 + 3x3 = 10
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 26 / 27
Gracias
kchamorro@yachaytech.edu.ec
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 27 / 27
	Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
	Tipos de soluciones 
	Ejercicios
	m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
	Ejercicios