Combinación_Lineal_y_Espacios_Generados - Diego Chavez

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Combinación Lineal y Espacio Generado
Mat. Kevin Chamorro
Universidad Yachay Tech
Agosto 01, 2022
Urcuqúı - Ecuador
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 1 / 17
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1 Combinación Lineal
2 Espacio Generado
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Outline
1 Combinación Lineal
2 Espacio Generado
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Combinación Lineal
Se ha visto que todo vector v = (a, b, c) en R3 se puede escribir en la forma
v = ai + bj + ck
en cuyo caso se dice que v es una combinación lineal de los tres vectores i, j y k. De manera más
general, se tiene la siguiente definición.
Definición
Sean v1, v2, . . . , vn vectores en un espacio vectorial V . Entonces cualquier vector de la forma:
a1v1 + a2v2 + . . .+ anvn
dónde a1, a2, . . . , an son escalares se denominan una combinación lineal de v1, v2, . . . , vn
Definición
Sea V un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn, un conjunto de vectores de V . Se dice que el vector v es una
combinación lineal de v1, v2, . . . , vn si y solo si existen los escalares α1, α2, . . . , αn, tales que:
v = (α1 ⊙ v1)⊕ (α2 ⊙ v2)⊕ · · · ⊕ (αn ⊙ vn)
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Ejemplos
Example (Una combinación Lineal en R3)
EnR3,
 −77
7
 es una combinación lineal de
 −12
4
 y
 5−3
1
 ya que : −77
7
 = 2
 −12
4
−
 5−3
1

Example (Una combinación lineal en R3)
La matriz M23,
(
−3 2 8
−1 9 3
)
es una combinación lineal de
(
−1 0 4
1 1 5
)
y
(
0 1 −2
−2 3 −6
)
ya
que : (
−3 2 8
−1 9 3
)
= 3
(
−1 0 4
1 1 5
)
+ 2
(
0 1 −2
−2 3 −6
)
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Ejemplos
Example (Combinación Linea Pn)
En Pn(x) todo polinomio se puede escribir como una combinación lineal de los monomios
1, x , x2, . . . , xn : Pn(x) = α0 + α1x + α2x
2 + . . .+ αnx
n
Example (Combinación Lineal en R3)
El vector v = (4, 8,−8) es una combinación lineal de los vectores v1 = (3, 1,−1) y v2(4,−2, 2), ya que
v se lo puede escribir como:
v = 4v1 − 2v2
v = 4(3, 1,−1)− 2(4,−2, 2)
Al realizar la operación se tiene como resultado el vector: v = (4, 8,−8)
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Ejemplo
Example
Determine si v =
(
2
1
)
es combinación lineal de v1 =
(
−1
2
)
y v2 =
(
4
−3
)
Solución: Planteamos la combinación lineal:
v = α1v1 + α2v2
Para determinar si v es combinación lineal de v1 y v2, se debe encontrar los valores α1 y α2, que
cumplan con la expresión anterior. Reemplazando los valores de v , v1 y v2, tenemos:(
2
1
)
= α1
(
−1
2
)
+ α2
(
4
−3
)
(
2
1
)
=
(
−α1
2α1
)
+
(
4α2
−3α2
)
(
2
1
)
=
(
−α1 + 4α2
2α1 − 3α2
)
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Continuación Ejemplo
Example
Igualando componentes, tenemos el siguiente sistema lineal:{
−α1 + 4α2 = 2
2α1 − 3α2 = 1
Observación: Dependiendo del tipo de solución que tenga el sistema lineal podemos concluir:
Si el sistema es consistente, si es combinación lineal.
Si el sistema es inconsistente, no es combinación lineal.
Se resuelve el sistema de ecuaciones, con el objetivo de hallar los valores α1 y α2:(
1 0 2
0 1 1
)
→ α1 = 2 α2 = 1
Podemos concluir que v es combinación lineal de v1 y v2, ya que cumple:
v =
(
2
1
)
= 2v1 + 1v2 = 2
(
−1
2
)
+ 1
(
4
−3
)
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Ejemplo
Example
Determine si v = (2, 1, 5), es combinación lineal de los vectores v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 0, 2) y
v3 = (1, 1, 0)
Solución: v es una combinación lineal de v1, v2 y v3 śı podemos determinar los números reales
α1, α2 y α3 tal que:
v = α1v1 + α2v 2 + α3v 3
Al sustituir los valores de v , v1, v2 y v3, tenemos:
(2, 1, 5) = α1(1, 2, 1) + α2(1, 0, 2) + α3(1, 1, 0)
Al realizar las operaciones y posteriormente igualar componentes, tenemos el siguiente sistema
lineal:  α1 + α2 + α3 = 22α1 + α3 = 1
α1 + 2α2 = 5
Al resolver el sistema tenemos que la solución es α1 = 1, α2 = 2 y α3 = −1, por lo que podemos
concluir que v es combinación lineal si: v = 1v1 + 2v2 − 1v3
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Example
Determine si p(x) = 3x2 − 5x + 2 es combinación lineal de q(x) = 2x + 1 y r(x) = −x2 + 3
Solución: Planteamos la combinación lineal:
p(x) = α1q(x) + α2r(x)
Para determinar si p(x) es combinación lineal de q(x) y r(x), se debe encontrar los valores α1 y
α2, que cumplan con la expresión anterior. Reemplazando los polinomios, tenemos:
3x2 − 5x + 2 = α1(2x + 1) + α2
(
−x2 + 3
)
Realizando agrupación de términos:
3
(
x2
)
− 5(x) + (2) = −α2
(
x2
)
+ 2α1(x) + (α1 + 3α2)
Realizando igualación de los coeficientes de los términos semejantes, tenemos el siguiente sistema: −α2 = 32α1 = −5
α1 + 3α2 = 2
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Example
Planteando el sistema, tenemos valores directos para α1 y α2 :
α2 = −3 ;α1 = −
5
2
Para que el sistema sea consistente valores de α1 y α2, tienen que satisfacer la tercera ecuación del
sistema. Reemplazando los valores, tenemos:
α1 + 3α2 = 2
−5
2
+ 3(−3) = 2
−5
2
− 9 = 2
−23
2
̸= 2
∴ Sistema inconsistente, no tiene solución.
∴ p(x) no es combinación lineal de q(x) y r(x)
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1 Combinación Lineal
2 Espacio Generado
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Espacio Generado
Conjunto generador
Si todo vector en un espacio vectorial puede expresarse como una combinación lineal de vectores en un
conjunto S , entonces se dice que S es un conjunto generador del espacio vectorial.
El conjunto S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} genera a R3, ya que cualquier vector v = (v1, v2, v3)
en R3 puede escribirse como:
v = v1(1, 0, 0) + v2(0, 1, 0) + v3(0, 0, 1) = (v1, v2, v3)
El conjunto S =
{
1, x , x2
}
genera a P2, ya que cualquier polinomio p(x) = a+ bx + cx
2 en P2
puede expresarse como:
p(x) = a(1) + b(x) + c
(
x2
)
= a+ bx + cx2
El conjunto S =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
genera a M2×2, ya que
cualquier matriz A =
(
a b
c d
)
en M2×2 puede expresarse como:
A = a
(
1 0
0 0
)
+ b
(
0 1
0 0
)
+ c
(
0 0
1 0
)
+ d
(
0 0
0 1
)
=
(
a b
c d
)
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Los conjuntos generadores dados en el ejemplo anterior se denominan conjuntos generadores estándar de
R3,P2 y M2×2 respectivamente.
Conjunto Generador de un Espacio Vectorial
Sea S = {v1, v2, . . . , vk} un subconjunto del espacio vectorial V . El conjunto S se denomina conjunto
generador de V si todo vector en V puede expresarse como una combinación lineal de vectores en S . Por
lo cual, se puede decir que S genera a V .
Espacio generado por un conjunto de vectores
Sea S = {v1, v2, . . . , vk} , k vectores de un espacio vectorial V . El espacio generado por {v1, v2, . . . , vk}
es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, . . . , vk . Es decir
gen {v1, v2, . . . , vk} = gen(S) = {v : v = (α1 ⊙ v1)⊕ (α2 ⊙ v2)⊕ · · · ⊕ (αn ⊙ vn)}
Teorema: El espacio generado por vectores es un subespacio vectorial
Si v1, v2, . . . , vk son vectores en un espacio vectorial V , entonces gen {v1, v2, . . . , vk} es un subespacio
de V .
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Conjunto Generador
Example
Sea v1 = (2,−1, 4), v2 = (4, 1, 6). Entonces:
H = gen {v1, v2} = {v : v = a1v1 + a2v2 = a1(2,−1, 4) + a2(4, 1, 6)}
Si v = (x , y , z) ∈ H, entonces se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
x = 2a1 + 4a2
y = −a1 + a2
z = 4a1 + 6a2
Si se piensa que (x , y , z) está fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres
ecuaciones con dos incógnitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:
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Example
Solución. Vamos a resolver el sistema de ecuaciones:
 2 4 x−11 y
4 6 z
 Después de las diferentes
operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente matriz: 1 0 x6 − 2y30 1 x6 + 13y
0 0 −5x3 +
2y
3 + z

El sistema tiene una solución únicamente si:
−5x
3
+
2y
3
+ z = 0 ⇒ 5x − 2y − 3z = 0
La última ecuación representa un la ecuación de un plano en R3 que pasa por el origen.
Este último resultado se puede generalizar, estableciendo que el espacio generado por dos vectores
diferentes de cero en R3 que no son paralelos es un plano que pasa por el origen.
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Gracias
kchamorro@yachaytech.edu.ec
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