problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (537)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
(i) pF es lineal.
(ii) pF es idempotente, es decir pF ◦ pF = pF .
5. Sea E espacio vectorial eucĺıdeo de dimensión finita, y {e1, . . . , er} una ba-
se ortonormal de F. Demostrar que para todo x ∈ E la proyección ortogonal
de x a F es
pF (x) = 〈x, e1〉 e1 + · · ·+ 〈x, er〉 er.
Solución. 1. Hallemos F⊥. Para que un vector (x1, x2, x3) sea ortogonal a
todos los de F, basta que sea ortogonal a los de una base de F. Una base de
F es BF = {(1,−1, 0), (−2, 0, 1)}, por tanto
F⊥ ≡
{
〈(x1, x2, x3), (1,−1, 0)〉 = 0
〈(x1, x2, x3), (−2, 0, 1)〉 = 0
≡
{
x1 − 2x2 = 0
−2x1 + 3x3 = 0,
y una base de F⊥ es BF⊥ = {(6, 3, 4)}. Como R3 = F ⊕ F⊥, una base de
R3 es B = BF ∪BF⊥ . Expresemos x = (1, 1, 1) como combinación lineal de
los vectores de B :
(1, 1, 1) = [α1(1,−1, 0) + α2(−2, 0, 1)] + α3(6, 3, 4). (1)
Resolviendo obtenemos α1 = −5/17, α2 = 1/17 y α3 = 4/17. La proyección
ortogonal de x sobre F es por tanto el sumando de (1) que pertenece a F,
es decir
pF (x) = −
5
17
(1,−1, 0) + 1
17
(−2, 0, 1) = 1
17
(−7, 5, 1).
2. Hallemos F⊥. Una base de F es BF = {1, x}. Un vector a+ bx+ cx2 de
R2[x] pertenece a F⊥ śı, y sólo si,{ 〈
a+ bx+ cx2, 1
〉
=
∫ 1
0 (a+ bx+ cx
2) dx = 0〈
a+ bx+ cx2, x
〉
=
∫ 1
0 (ax+ bx
2 + cx3) dx = 0.
Integrando obtenemos
F⊥ ≡
{
a+ b2 +
c
3 = 0
a
2 +
b
3 +
c
4 = 0
Y una base de F⊥ (en coordenadas en la base canónica de R2[x]) es {(1,−6, 6)}
por tanto F⊥ = L[1− 6x+ 6x2]. Como R3 = F ⊕ F⊥, una base de R2[x] es
B = BF ∪BF⊥ . Expresemos x2 como combinación lineal de los vectores de
B :
x2 = [α1 · 1 + α2x] + α3(1− 6x+ 6x2). (1)