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Clase 11
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo III
Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 11 Combinación Lineal
Clase 11:
Combinación Lineal
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 11 Combinación Lineal
Combinación Lineal
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 11 Combinación Lineal
Consideremos una matriz real cuadrada de orden 2 a b
c d

No es dif́ıcil comprobar que a b
c d
 = a
 1 0
0 0
 + b
 0 1
0 0
 + c
 0 0
1 0
 + d
 0 0
0 1

Esta expresión es llamada combinación lineal, definamos formalmente este concepto.
Definición 4 (Combinación lineal)
Sean V un espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn, v ∈ V. Diremos que el vector v es combinación lineal
de los vectores v1, v2, . . . , vn si existen escalares α1, α2, . . . , αn ∈ R tales que
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.
Observación 6
En la definición 4 se aborda el concepto de combinación lineal de una cantidad finita de vectores en
V, sin embargo, se puede definir una combinación lineal de una cantidad infinita de vectores en V
(ver los apéndices en la gúıa de clases), pero nuestro interés no va más allá del concepto dado en
esta definición.
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Clase 11 Combinación Lineal
Ejemplo 4 (Combinación lineal (vectores canónicos))
1 El ejemplo hecho al comienzo de la sección nos dice que cualquier matriz real cuadrada de
orden 2 es combinación lineal de las matrices 1 0
0 0
 ,
 0 1
0 0
 ,
 0 0
1 0
 ,
 0 0
0 1

En general, si para cada i ∈ {1, . . . ,m} y cada j ∈ {1, . . . , n} definimos Eij ∈ Mm×n(R)
como aquella matriz cuya ij-ésima componente es igual a 1 y el resto es 0, entonces toda
matriz A ∈ Mm×n(R) es combinación lineal de las matrices (¡verif́ıquelo!)
E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n . . . , Em1, Em2, . . . , Emn
�
2 Cualquier vector p(x) ∈ Pn[x] es combinación lineal de 1, x, . . . , xn (¿por qué?). �
3 Cualquier vector (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn es combinación lineal de los vectores de Rn
e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)
(¡verif́ıquelo!). �
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Clase 11 Combinación Lineal
Ejemplo 5 (Combinación lineal en R3)
Determine si el vector v = (9, 5, 6) es combinación lineal o no de los vectores v1 = (3,−2, 6) y
v2 = (−1,−3, 2).
Solución. Abordaremos el problema suponiendo que el vector v es combinación lineal de los
vectores v1 y v2. Entonces deben existir α1, α2 ∈ R tales que v = α1v1 + α2v2, es decir,
(9, 5, 6) = α1(3,−2, 6) + α2(−1,−3, 2) = (3α1 − α2,−2α1 − 3α2, 6α1 + 2α2)
de donde 
3α1 −α2 = 9
−2α1 −3α2 = 5
6α1 +2α2 = 6
Resolvamos este sistema de ecuaciones. La matriz ampliada del sistema es
3 −1 9
−2 −3 5
6 2 6

Calculemos la FERF de esta matriz
3 −1 9
−2 −3 5
6 2 6
F1 → F1 + F2→

1 −4 14
−2 −3 5
6 2 6

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Clase 11 Combinación Lineal
F2 → F2 + 2F1→
F3 → F3 − 6F1

1 −4 14
0 −11 33
0 26 −78
F2 → − 111F2→

1 −4 14
0 1 −3
0 26 −78

F1 → F1 + 4F2→
F3 → F3 − 26F2

1 0 2
0 1 −3
0 0 0

Obteniedo α1 = 2 y α2 = −3, por lo tanto v = 2v1 − 3v2, es decir, v es combinación lineal
de v1 y v2. �
Ejemplo 6 (Combinación lineal en P2[x])
Consideremos los polinomios p(x) = −5− 4x+ 9x2, p1(x) = 2− x+ 2x2,
p2(x) = 2− 2x+ 6x2 y p3(x) = x− 4x2 ¿Es p combinación lineal de p1, p2 y p3?
Solución. Al igual que en ejemplo 5, vamos a suponer que la respuesta a la pregunta es śı, entonces
han de existir α1, α2, α3 ∈ R tales que p(x) = α1p1(x)+α2p2(x)+α3p3(x), para cada x ∈ R,
esto es, para cada x ∈ R se tiene que
−5− 4x+ 9x2 = α1(2− x+ 2x2) + α2(2− 2x+ 6x2) + α3(x− 4x2)
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Clase 11 Combinación Lineal
Obteniendo el sistema de ecuaciones
2α1 +2α2 = −5
−α1 −2α2 +α3 = −4
2α1 +6α2 −4α3 = 9
La matriz ampliada de este sistema es equivalente por filas a la matriz
1 0 1 −9
0 1 −1 12
0 0 0 −12
 (¡verif́ıquelo!)
por lo tanto, el sistema original no tiene solución (¿por qué?), en consecuencia, p no es combinación
lineal de p1, p2 y p3.
Si consideramos el polinomio p4(x) = 1 − 2x + 3x2 ¿es p combinación lineal de p1, p2, p3 y
p4? �
Observación 7
En términos generales, el problema de decidir si un vector v, perteneciente a un espacio vectorial V,
es combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . , vn ∈ V, está relacionado con la resolución de un
sistema de ecuaciones adecuado, como vimos en los dos ejemplos previos.
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