Determinantes_Propiedades - Diego Chavez

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Determinantes: Propiedades
Mat. Kevin Chamorro
Universidad Yachay Tech
Junio 08, 2021
Urcuqúı - Ecuador
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 1 / 21
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1 Propiedades de los Determinantes
2 Ejemplos
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1 Propiedades de los Determinantes
2 Ejemplos
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Determinante de un producto es igual al producto de los
determinantes
Teorema
Sean A y B dos matrices de n × n. Entonces
detAB = detA detB
Es decir, el determinante del producto es el producto de los determinantes.
Nota: El producto de la izquierda es un producto de matrices mientras que el de la derecha es de
escalares
Advertencia: El determinante de la suma no siempre es igual a la suma de los determinantes. Es
decir, para la mayoŕıa de los pares de matrices, A y B,
det(A+ B) ̸= detA+ detB
Por ejemplo, sean A =
(
1 2
3 4
)
y B =
(
3 0
−2 2
)
. Entonces A+ B =
(
4 2
1 6
)
:
detA = −2 detB = 6 y det(A+ B) = 22 ̸= detA+ detB = −2 + 6 = 4
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Determinante de un producto es igual al producto de los
determinantes
Verifique el teorema considerando
▶ A =
 1 −1 23 1 4
0 −2 5
 ▶ B =
 1 −2 30 −1 4
2 0 −2

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Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante
Sea A =
 1 −1 23 1 4
0 −2 5

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Determinante de una matriz expandiendo por cofactores cualquier
fila o columna de la matriz
Sea A una matriz de n × n. Entonces
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin =
n∑
k=1
aikAik
para i = 1, 2, . . . , n. Es decir, se puede calcular det A expandiendo por cofactores en cualquier fila
de A. Más aún,
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj =
n∑
k=1
akjAkj
como la columna j de A es

a1j
a2j
...
anj
, la última ecuación indica que se puede calcular det A
expandiendo por cofactores en cualquier columna de A.
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Obtención del determinante expandiendo la tercera columna
A =
 4 7 −23 −5 1
−8 6 9

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Propiedades
Para las siguientes propiedades se va a considerar una matriz A de n × n
Propiedad 1
Si cualquier renglón o columna de A es un vector cero, entonces det A = 0.
Demostración: Suponga que el renglón i de A contiene sólo ceros. Esto es aij = 0 para
j = 1, 2, . . . , n. Entonces, detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin = 0 + 0 + · · ·+ 0 = 0. La misma
prueba funciona si la columna j es el vector cero.
Ejemplo: Si A tiene un renglón o columna de ceros, entonces det A = 0
Es fácil verificar que
∣∣∣∣∣∣
2 3 5
0 0 0
1 −2 4
∣∣∣∣∣∣ = 0
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Propiedades
Propiedad 2
Si la fila i o columna j de A se multiplica por un escalar c , entonces det A se multiplica por c . Es decir,
si se denota por B esta nueva matriz, entonces
|B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
cai1 cai2 · · · cain
...
...
...
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= c
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
ai1 ai2 · · · ain
...
...
...
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= c |A|
Demostración: Para probar se expande la fila i de A para obtener
detB = cai1Ai1 + cai2Ai2 + · · ·+ cainAin = c (ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin) = c detA
En el caso de las columnas se puede hacer una prueba similar.
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Ilustración propiedad 2
Sea A =
 1 −1 23 1 4
0 −2 5
 . Entonces det A = 16. Si se multiplica el segundo renglón por 4 se tiene
B =
 1 −1 212 4 16
0 −2 5
 y det B = 64 = 4 det A. Si se multiplica la tercera columna por −3 se obtiene
C =
 1 −1 −63 1 −12
0 −2 −15
 y det C = −48 = −3 det A.
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Propiedades
Propiedad 3
Sean A,B y C matrices idénticas excepto por la columna j y que la columna j de C sea la suma de las j
-ésimas columnas de A y B. Entonces,
detC = detA+ detB
Demostración: Se expande det C respecto a la columna j para obtener
detC =(a1j + α1j)A1j + (a2j + α2j)A2j + · · ·+ (anj + αnj)Anj
=(a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj)
+ (α1jA1j + α2jA2j + · · ·+ αnjAnj) = detA+ detB
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Ilustración propiedad 3
Sea A =
 1 −1 23 1 4
0 −2 5
 ,B =
 1 −6 23 2 4
0 4 5
 y C =
 1 −1− 6 23 1 + 2 4
0 −2 + 4 5
 =
 1 −7 23 3 4
0 2 5
.
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Propiedades
Propiedad 4
El intercambio de cualesquiera dos filas (o columnas) distintos de A tiene el efecto de multiplicar det A
por −1.
Ilustración propiedad 4
Sea A =
 1 −1 23 1 4
0 −2 5
 Al intercambiar los renglones 1 y 3 se obtiene B =
 0 −2 53 1 4
1 −1 2

Al intercambiar las columnas 1 y 2 de A se obtiene C =
 −1 1 21 3 4
−2 0 5

Por lo tanto, haciendo los cálculos de los determinantes, se encuentra que
detA = 16 y detB = detC = −16
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Propiedades
Propiedad 5
Si A tiene dos filas o columnas iguales, entonces det A = 0.
Ilustración propiedad 5
Mediante el cálculo directo se puede verificar que para A =
 1 −1 25 7 3
1 −1 2
 y para
B =
 5 2 23 −1 −1
−2 4 4

detA = detB = 0
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Propiedades
Propiedad 6
Si una fila (columna) de A es un múltiplo escalar de otra fila (columna), entonces det A = 0.
Ilustración propiedad 6∣∣∣∣∣∣
2 −3 5
1 7 2
−4 6 −10
∣∣∣∣∣∣ = 0 ya que la tercera fila es igual a − 2 veces el primero.∣∣∣∣∣∣∣∣
2 4 1 12
−1 1 0 3
0 −1 9 −3
7 3 6 9
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 porque la cuarta columna es igual a tres veces la segunda.
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Propiedades
Propiedad 7
Si se suma un múltiplo escalar de una fila (columna) de A a otra fila (columna) de A, entonces el
determinante no cambia.
Ilustración propiedad 7
Sea A =
 1 −1 23 1 4
0 −2 5
 Entonces det A = 16. Si se multiplica la tercer fila por 4 y se suma a la
segunda fila, se obtiene una nueva matriz B dada por
B =
 1 −1 23 + 4(0) 1 + 4(−2) 4 + 5(4)
0 −2 5
 =
 1 −1 23 −7 24
0 −2 5

y detB = 16 = detA
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1 Propiedades de los Determinantes
2 Ejemplos
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Uso de las propiedades de los determinantes para calcular un
determinante de 4× 4
Las propiedades que se acaban de presentar simplifican la evaluación de determinantes de alto orden.
Se reduce por filas el determinante, usando la propiedad 7, hasta que tenga una forma en la que se
pueda evaluar con facilidad. La propiedad mas usada será la 7 de manera repetida hasta que 1 ) el nuevo
determinante tenga una fila (columna) de ceros o una fila (columna) que sea múltiplo de otro - en ese
caso el determinante es cero —,o 2) que la nueva matriz sea triangular, con lo que su determinante será
el producto de sus elementos en la diagonal.
Calcule |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 5 2
0 −1 3 4
2 1 9 6
3 2 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣
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Uso de las propiedades de los determinantes para calcular un
determinante de 5× 5
Calcule |A|, si A =

1 −2 3 −5 7
2 0 −1 −5 6
4 7 3 −9 4
3 1 −2 −2 3
−5 −1 3 7 −9

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Gracias
kchamorro@yachaytech.edu.ec
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