Producto_Vectorial_y_Matricial - Diego Chavez

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Producto Vectorial y Matricial
Mat. Kevin Chamorro
Universidad Yachay Tech
Mayo 25, 2022
Urcuqúı - Ecuador
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 1 / 20
Outline
1 Producto vectorial
2 Producto Matricial
3 Ejercicios
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Outline
1 Producto vectorial
2 Producto Matricial
3 Ejercicios
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Definiciones
Producto escalar
Sean a =

a1
a2
...
an
 y b =

b1
b2
...
bn
 dos vectores. Entonces el producto escalar de a y b denotado por
a · b, está dado por
a · b = a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn
El producto escalar es llamado también producto punto o producto interno de los vectores.
El producto escalar de dos vectores de dimensión n es un escalar (es decir, un número)
Al tomar el producto escalar de a y b es necesario que a y b tengan el mismo número de
componentes.
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Ejemplos
1 Sea a =
 −4−2
3
 y b =
 3−2
−5
 . Calcule a · b.
2 Sea a = (2,−5, 4,−6) y b =

1
0
−7
3
 . Calcule a · b.
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Conceptos
Teorema
Sean a, b y c tres vectores de dimensión n y sea α un escalar. Entonces
1 a · 0 = 0
2 a · b = b · a (ley conmutativa del producto escalar)
3 a · (b+ c) = a · b+ a · c (ley distributiva del producto escalar)
4 (αa) · b = α(a · b)
No existe una ley asociativa para el producto escalar. La expresión (a · b) · c = a · (b · c) no tiene
sentido porque ninguno de los dos lados de la ecuación está definido.
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Outline
1 Producto vectorial
2 Producto Matricial
3 Ejercicios
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Producto de dos matrices
Definición
Sea A = (aij) una matriz m × n, y sea B = (bij) una matriz n × p. Entonces el producto de A y B es
una matriz m × p,C = (cij), en donde
cij = (fila i de A) · (columna j de B)
Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto de la fila i de A y la columna j de B. Si esto se
extiende, se obtiene
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj
Si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B, entonces se dice que A y B son
compatibles bajo la multiplicación.
Dos matrices se pueden multiplicar únicamente si el número de columnas de la primera matriz es
igual al número de filas de la segunda.
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Ejemplos
1 Si A =
(
1 3
−2 4
)
y B =
(
3 −2
5 6
)
. Calcule AB y BA.
2 Sea A =
(
2 0 −3
4 1 5
)
y B =
 7 −1 4 72 5 0 −4
−3 1 2 3
. Calcule AB
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Teoremas
Ley asociativa de la multiplicación de matrices
Sea A = (aij) una matriz de n ×m,B = (bij) una matriz de m × p y C = (cij) una matriz de p × q.
Entonces la ley asociativa
A(BC ) = (AB)C
se cumple y ABC , definida por cualesquiera de los lados de la ecuación, es una matriz de n × q
Leyes distributivas de la multiplicación de matrices
Si todas las sumas y todos los productos siguientes están definidos, entonces
A(B + C ) = AB + AC
y
(A+ B)C = AC + BC
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Multiplicación de matrices como una combinación lineal de las
columnas de A
Sea A una matriz de m × n y x un vector de n × 1. Considere el producto
Ax =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
am1 am2 · · · amn


x1
x2
...
xn
 =

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn
...
...
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn

Ax = x1

a11
a21
...
am1
+ x2

a12
a22
...
am2
+ · · ·+ xn

a1n
a2n
...
amn

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Multiplicación de matrices como una combinación lineal de las
columnas de A
Observe que c1 =

a11
a21
...
am1
 es la primera columna de A, c2 =

a12
a22
...
am2
 es la segunda columna de A y
aśı sucesivamente. Entonces Ax se puede escribir como
Ax = x1c1 + x2c2 + · · ·+ xncn
El lado derecho de la expresión se llama combinación lineal de los vectores c1, c2, ..., cn.
El producto de la matriz A de m × n y el vector columna x es una combinación lineal de las
columnas de A.
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Multiplicación de matrices como una combinación lineal de las
columnas de A
Suponga ahora que B es una matriz de n × p. Sean C = AB y c1 la primera columna de C . Entonces
c1 =

c11
c21
...
cm1
 =

a11b11 + a12b21 + · · · + a1nbn1
a21b11 + a22b21 + · · · + a2nbn1
...
...
...
am1b11 + am2b21 + · · · + amnbn1

= b11

a11
a21
...
am1
+ b21

a12
a22
...
am2
+ · · ·+ bn1

a1n
a2n
...
amn

es igual a la combinación lineal de las columnas de A. Lo mismo se cumple para todas las columnas de
C = AB, donde se ve que: cada columna del producto AB es una combinación lineal de las columnas
de A.
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Ejemplo: Columnas de AB como combinación lineal de las
columnas de A
Sean A =
 1 −22 4
3 5
 y B = ( 1 −1
2 7
)
. Entonces AB =
 −3 −1510 26
13 32
. Ahora bien,
 −310
13
 = 1
 12
3
+ 2
 −24
5
 = una combinación lineal de las columnas de A
y −1526
32
 = −1
 12
3
+ 7
 −24
5
 = una combinación lineal de las columnas de A.
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La notación con Σ
Una suma se puede escribir de la siguiente manera, si N ≥ M.
aM + aM+1 + aM+2 + · · ·+ an =
N∑
k=M
ak
que se lee ”suma de los términos ak cuando el valor de k va de M a N ”. En este contexto,
∑
se llama
signo de sumatoria y k se conoce como ı́ndice de la suma.
Desarrolle la suma
∑5
k=1 bk
Desarrolle la suma
∑6
k=3 ck
Desarrolle la suma
∑3
k=−2 k
2
Escriba la suma S8 = 1− 2 + 3− 4 + 5− 6 + 7− 8 usando el signo de sumatoria.
Producto escalar haciendo uso de la notación de sumatoria.
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La notación con Σ
Propiedades de la notación de sumatoria
Sean {an} y {bn} dos sucesiones reales y c un número real. Entonces
N∑
k=M
cak = c
N∑
k=M
ak
N∑
k=M
(ak + bk) =
N∑
k=M
ak +
N∑
k=M
bk
N∑
k=M
(ak − bk) =
N∑
k=M
ak −
N∑
k=M
bk
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Autoevaluación
1 De las siguientes afirmaciones, ¿cuál es cierta para la multiplicación de las matrices A y B?
1 Se puede realizar sólo si A y B son matrices
cuadradas.
2 Cada elemento cij es el producto de aij y bij
3 AB = BA
4 Se puede realizar sólo si el número de columnas
de A es igual al número de renglones de B.
2 ¿Cuál de los siguientes seŕıa el tamaño de la matriz producto AB si se multiplica la matriz A de
2× 4 por la matriz B de 4× 3?
1 2× 3
2 3× 2
3 4× 4
4 Este producto no se puede calcular.
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Autoevalaución
1 Indique cuál de los siguientes enunciados es correcto para las matrices A y B si AB es un vector
columna.
1 B es un vector columna.
2 A es un vector renglón.
3 A y B son matrices cuadradas.
4 El número de renglones de A debe ser igual al
número de columnas de B.
2 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el producto AB es cierta si A es una matriz de 4× 5?
1 B debe tener cuatro renglones y el resultado
tendrá cinco columnas.
2 B debe tener cinco columnas y el resultado
será una matriz cuadrada.
3 B debe tener cuatro columnas y el resultado
tendrá cinco renglones.
4 B debe tener cinco renglones y el resultado
tendrá cuatro renglones.
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Outline
1 Producto vectorial
2 Producto Matricial
3 Ejercicios
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