El_producto_escalar_y_las_proyecciones_en_R2 - Diego Chavez

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El producto escalar y las proyecciones en R2
Mat. Kevin Chamorro
Universidad Yachay Tech
Junio 19, 2021
Urcuqúı - Ecuador
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 1 / 15
Outline
1 Producto escalar
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Ángulo entre vectores
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces el ángulo φ entre u y v está definido como el
ángulo no negativo más pequeño (entre 0 y π) entre las representaciones de u y v que tienen el origen
como punto inicial. Si u = αv para algún escalar α, entonces φ = 0 si α > 0 y φ = π si α < 0.
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La magnitud de un vector en términos del producto escalar
Teorema
Sea v un vector. Entonces
|v|2 = v · v
Demostración.
Sea v = (a, b). Entonces
|v|2 = a2 + b2
y
v · v = (a, b) · (a, b) = a · a+ b · b = a2 + b2 = |v|2
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Ángulo entre vectores
Teorema
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Siφ es el ángulo entre ellos, entonces
cosφ =
u · v
|u||v|
Demostración.
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Cálculo del ángulo entre dos vectores
Example
Encuentre el ángulo entre los vectores u = 2i+ 3j y v = −7i+ j.
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Vectores Paralelos
Definición
Dos vectores diferentes de cero u y v son paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π. Además, son
paralelos si uno es un múltiplo escalar del otro (v = αu) Observe que los vectores paralelos tienen la
misma dirección o direcciones opuestas
Example
Demuestre que los vectores u = (2,−3) y v = (−4, 6)
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Vectores Ortogonales
Definición
Los vectores u y v diferentes de cero son ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo entre ellos es
π
2
.
Example (Dos vectores ortogonales)
Demuestre que los vectores u = 3i+ 4j y v = −4i+ 3j son ortogonales.
Definición
Los vectores u y v diferentes de cero son ortogonales si y sólo si
u · v = 0
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Proyección y componente de un vector
Definición
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de u sobre v es un vector denotado
por proyvu, que se define por
proyv u =
u · v
|v|2
v
La componente de u en la dirección de v es
u · v
|v|
y es un escalar.
Nota:
v
|v|
es un vector unitario en la dirección de v.
Demostración
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Proyección
Teorema
Sea v un vector diferente de cero. Entonces para cualquier otro vector u el vector
w = u− (u · v)
|v|2
v
es ortogonal a v .
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Proyección
Teorema
Sea v un vector diferente de cero. Entonces para cualquier otro vector u el vector
w = u− (u · v)
|v|2
v
es ortogonal a v .
Demostración.
w · v =
[
u− (u · v)v
|v|2
]
· v = u · v − (u · v)(v · v)
|v|2
= u · v − (u · v)|v|
2
|v|2
= u · v − u · v = 0
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Proyecciones - Observaciones
Del hecho que cosφ = u·v|u||v| se deduce que v y proyvu tienen:
▶ la misma dirección si u · v > 0
▶ direcciones opuestas si u · v < 0
Si u y v son ortogonales, entonces u · v = 0, de manera que proyvu = 0.
Una definición alternativa de la proyección es: si u y v son vectores diferentes de cero, entonces
proyuv es el único vector con las siguientes propiedades:
▶ proyvu es paralelo a v .
▶ u − proyvu es ortogonal a v .
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Cálculo de una proyección
Example
Sean u = 2i + 3j y v = i + j . Calcule proyvu
Example
Seanu = 2i− 3j y v = i+ j. Calcule proyv u
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Cálculo de una proyección
Example
Sean u = 2i + 3j y v = i + j . Calcule proyvu
Solución:
Proyv u =
(u · v)v
|v|2
=
[
5
(
√
2)2
]
v =
(
5
2
)
i+
(
5
2
)
j
Example
Seanu = 2i− 3j y v = i+ j. Calcule proyv u
Solución:
En este caso
u · v
|v|2
= −1
2
; aśı, proyv u = −
1
2
i− 1
2
j
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Gracias
kchamorro@yachaytech.edu.ec
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	Producto escalar