EJERCICIOS 3 3 -GRUPO7 - Davinson Diaz

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INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS 
 
INGENIERÍA EN SISTEMAS DE LA 
INFORMACIÓN 
 
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA 
 
EJERCICIOS 1.12 IMPARES 
Lugmaña Gustavo 
Tapia Christian 
Colcha Cristina 
Anchali Kevin 
Zurita Kevin 
Cabrera Nayeli 
 
 
 
2021-2022 
 
 
 
 
1.- indique si las siguientes variables aleatorias son discretas o continuas y su rango de 
definición: 
a) El número de bytes defectuosos en el disco duro de una computadora de 100 Gb; 
R=DISCRETA RANGO: {0,1,2,3,………,100,109} 
b) La distancia de lanzamiento de Ia jabalina por un atleta; 
R=CONTINUA RANGO: [0,∞[ 
c) EI número de goles que anota un equipo de futbol en un partido; 
R=DISCRETA RANGO: {0,1,2,3,…HASTA EL NUMERO MAXIMO DE GOLES} 
d) La cantidad de dinero, en dólares, ganada (o perdida) por un apostador; 
R=DISCRETA RANGO: {0,1,2,…} 
e) El tiempo de uso diario de una computadora; 
R=CONTINUA RANGO: {0,1,2,3,…,24} 
f) El tiempo de espera del autobús en una parada; 
R=CONTINUA RANGO: [0,∞[ 
g) El número de años que sobrevive una persona a la muerte de su cónyuge; 
R=DISCRETA RANGO: {0,1,2,…….,100} 
h) La variación en el tiempo de sueño de una persona sometida a un tratamiento. 
R=CONTINUA RANGO: ]−∞;+∞[ 
3.- Se arroja un dado y se designan por A={el número de los puntos aparecidos es par} y 
por B= {el número de los puntos aparecidos se divide por 3}. Para los dos eventos, halle 
Ia Ley de distribución y grafíquelas. 
E={Lanzamiento del Dado} 
Ω={1,2,3,4,5,6} 
A={ el número de los puntos aparecidos es par}={2,4,6} 
B= {el número de los puntos aparecidos se divide por 3}={3,6} 
Pr(A)=
3
6
=
1
2
 
Pr(X∈ 𝐴)= 
1
2
 Pr(𝑋 ∉ 𝐴) =
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 1/2 
 
 
 
 1 2 3 4 5 6 
Pr(A)=
1
3
 
Pr(X∈ 𝐵)= 
1
3
 Pr(𝑋 ∉ 𝐵) =
2
3
 
 
 1 
 2/3 
 1/3 
 
 
 1 2 3 4 5 6 
5. Un escritor ha lanzado al mercado una nueva novela. La probabilidad de que la novela 
sea muy exitosa es 0.6 de que sea medianamente exitosa es 0.3 y de que sea un fracaso 
es 0.1 Los beneficios esperados son: si la novela es muy exitosa, 100 mil dólares; si la 
novela es moderadamente exitosa, 50 mil dólares; y, si es un fracaso, 10 mil dólares. 
Forme la ley de distribución de los beneficios esperados por el escritor. 
Ley de probabilidades 
X 10 mil 50 mil 100 mil 
Pr(X==x) 0.1 0.3 0.6 
Ley de distribución 
𝐹(10 𝑚𝑖𝑙) = 𝑃(10 𝑚𝑖𝑙) = 0.1 
𝐹(50 𝑚𝑖𝑙) = 𝑃(10 𝑚𝑖𝑙) + 𝑃(50 𝑚𝑖𝑙) = 0.1 + 0.3 = 0.4 
𝐹(100 𝑚𝑖𝑙) = 𝑃(10 𝑚𝑖𝑙) + 𝑃(50 𝑚𝑖𝑙) + 𝑃(100 𝑚𝑖𝑙) = 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1 
𝐹(𝑥)
{
 
 
 
 
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 10000
1
10
, 𝑠𝑖 10000 ≤ 𝑥 < 50000
2
5
, 𝑠𝑖 50000 ≤ 𝑥 < 100000
1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 100000
 
 
7. Un apuesto príncipe visita a un rey que tiene cuatro hijas casaderas, con la intención 
de integrarse en la familia. Las probabilidades que tiene el príncipe de ser aceptado por 
cada una de las princesas son 0.6, 0.8, 0.2 y 0.4. El príncipe pide la mano de cada uno de 
ellas de forma consecutiva y se casa con la primera que acepte. Sea X la variable 
aleatoria definida como 𝑥 = 𝑖 si se cada con la 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 hija (𝑖 = 1,… . ,4)𝑦 𝑥 = 0 si 
todas le rechazan. Calcule la ley de probabilidad de X y su función de distribución. 
Ley de probabilidad 
X 0 1 2 3 4 
P 0.384 0.6 0.32 0.016 0.0256 
 
Función de distribución 
 
𝐹(𝑥) =
{
 
 
 
 
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
0.6, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1
0.92, 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2
0.936, 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 3
0.9616, 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 < 4
1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4 
 
 
 
 
9. Sea X variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es 𝑝(𝑥) =
𝑘
𝑥2
, 
𝑥 = 1,2,3,4,5. 
a) Encuentre el valor de k para que la función p(x) sea la función de probabilidad de 𝑥1; 
∑
𝑘
𝑥2
= 1
5
𝑘=1
 
1
1
+
1
4
+
1
9
+
1
16
+
1
25
(𝑘) = 1 
5269
3600
𝑘 = 1 
𝑘 =
3600
5269
 
b) Calcule Pr(1 < 𝑥 ≤ 4). 
Pr(1 < 𝑥 ≤ 4) = 𝐹(4) − 𝐹(1) =
5125
5269
−
3600
5269
=
1525
5269
 
11.-Una variable aleatoria 𝑿 se dice que sigue la ley de Benford si se cumple que 
𝑷𝒓(𝑿 = 𝒌) = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 (𝟏 +
𝟏
𝒌
) ; 𝒌 = 𝟏,𝟐, ……… , 𝟗 
 
• Verifique que es una función de probabilidad 
 
𝑷𝒓(𝑿 = 𝒌) = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 (𝟏 +
𝟏
𝒌
) ; 𝒌 = 𝟏,𝟐, ……… , 𝟗 
Entonces, 
𝑷𝒓(𝒌) = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 (𝟏 +
𝟏
𝒌
) ; 𝒌 = 𝟏,𝟐, ……… , 𝟗 
 
∑log10 (1 +
1
𝑘
)
9
𝑘=1
= 1 
 
• Calcule la probabilidad de obtener números impares 
Ahora la distribución teórica que caracteriza la ley de Benford para obtener números 
impares se tiene la siguiente notación: 
𝑃𝑟(𝑘𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟) = ∑ log10 (1 +
1
2𝑘 − 1
)
5
𝑘=1
 
Entonces luego tenemos, 
 
𝑃𝑟(𝑘𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟) = ∑ log10 (1 +
1
2𝑘 − 1
)
5
𝑘=1
 
𝑃𝑟(𝑘𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟) = 0,6088994 
 
• Grafique la función de Probabilidad 
 
 
 
 
 
 
 
13.-Una variable aleatoria discreta 𝑿 está definida según la ley 
 
𝑷𝒓(𝑿 = 𝒌) = 𝒑(𝟏 − 𝒌)𝒌 ; 𝒌 = 𝟏, 𝟐,………𝒚 𝒑 ∈ (𝟎, 𝟏) 
 
 
• Verifique que es una función de probabilidad 
Dado que 𝑝 ∈ (0,1) podemos usar la fórmula para el cálculo de progresiones 
geométricas, así entonces tenemos que 
 
∑log10 𝑝(1 − 𝑘)
𝑘
𝑛
𝑘=0
 
∑log10 𝑝(1 − 𝑘)
𝑘
𝑛
𝑘=0
=
𝑝
1 − (1 − 𝑝)
 
 
∑log10 𝑝(1 − 𝑘)
𝑘
𝑛
𝑘=0
=
𝑝
𝑝
 
∑log10 𝑝(1 − 𝑘)
𝑘
𝑛
𝑘=0
= 1 
• Determine la función de distribución 
 
𝑓(𝑘) {
∑𝑝(1 − 𝑘)𝑘 ; 𝑥 ≥ 0
𝑛
𝑘=0
0 ; 𝑥 < 0
 
 
 
 
 
• Calcular la probabilidad de 
𝑃𝑟(𝑋 > 2) ; 𝑃𝑟(𝑋 ≥ 4) ; 𝑃𝑟(𝑋 < 3). 
 
𝑃𝑟(𝑋 > 2) 
𝑃𝑟(𝑋 > 2) = 1 − 𝐹(2) 
𝑃𝑟(𝑋 > 2) = (1 + 𝑝)3 
 
𝑃𝑟(𝑋 ≥ 4) 
𝑃𝑟(𝑋 ≥ 4) = 𝐹(4) 
𝑃𝑟(𝑋 ≥ 4) = (4 − 6𝑝 + 4𝑝2 − 𝑝3 + (1 − 𝑝)4) 
 
𝑃𝑟(𝑋 ≥ 4) 
𝑃𝑟(𝑋 ≥ 4) = 𝐹(3) − 𝑃𝑟(𝑋 = 3) 
𝑃𝑟(𝑋 ≥ 4) = 𝑝(3 − 3𝑝 + 𝑝2) 
15.- Dada la función de distribución de una variable aleatoria 𝑿 
 
𝑓(𝑘)
{
 
 
 
 
0 ; 𝑠𝑖 𝑥 < 0
1 4 ; 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1⁄
1 3⁄ ; 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2
𝑥 6⁄ ; 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 4
(𝑥 − 2) 3 ; 𝑠𝑖 4 ≤ 𝑥 < 5⁄
1 ; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5
 
 
Calcule las probabilidades 
• 𝑃𝑟(1 ≤ 𝑋 ≤ 5) 
𝑃𝑟(1 ≤ 𝑋 ≤ 5) 
𝑃𝑟(1 ≤ 𝑋 ≤ 5) = 𝐹(5) − 𝐹(1) 
𝑃𝑟(1 ≤ 𝑋 ≤ 5) = 𝐹(5) − 𝐹(1) + 𝑃𝑟(𝑋 = 1) 
𝑃𝑟(1 ≤ 𝑋 ≤ 5) = 
3
4
 
 
 
 
 
• 𝑃𝑟(2 < 𝑋 ≤ 4) 
 
 
𝑃𝑟(2 < 𝑋 ≤ 4) 
𝑃𝑟(2 < 𝑋 ≤ 4) = 𝐹(4) − 𝐹(2) 
𝑃𝑟(2 < 𝑋 ≤ 4) =
1
3
 
 
 
 
 
• 𝑃𝑟(0 < 𝑋 < 3) 
 
𝑃𝑟(0 < 𝑋 < 3) 
𝑃𝑟(0 < 𝑋 < 3) = 𝐹(3) − 𝐹(0) 
𝑃𝑟(0 < 𝑋 < 3) = 𝐹(3) − 𝐹(0) − 𝑃𝑟(𝑋 = 3) 
𝑃𝑟(0 < 𝑋 < 3) =
1
4
 
 
 
• 𝑃𝑟(4 ≤ 𝑋 < 6) 
 
𝑃𝑟(4 ≤ 𝑋 < 6) 
𝑃𝑟(4 ≤ 𝑋 < 6) = 𝐹(6) − 𝐹(4) 
𝑃𝑟(4 ≤ 𝑋 < 6) =
1
3
 
 
17) La función de la densidad de una variable aleatoria X está definida mediante: 
 
 𝑓(𝑥)
{
 
 
 
 0, 𝑠𝑖 𝑥 ≤
𝜋
6
3𝑠𝑒𝑛3𝑥, 𝑠𝑖 
𝜋
6
< 𝑥 ≤ 
𝜋
3
0, 𝑠𝑖 𝑥 >
𝜋
3
 
 
a) Halle la función de distribución F. 
 
𝐹(𝑥) = 𝑥 < 0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑥
−∝
 
 
 
𝐹(𝑥) = 𝑥 <
𝜋
6
 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
−∝
 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∝
+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
 = 0 
 
𝐹(𝑥) = 𝑥 ≤
𝜋
3
 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
−∞
 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
6⁄
0
 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
𝜋
6⁄
= ∫ 3𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑑𝑥
𝑥
𝜋
6⁄
= −𝑐𝑜𝑠3𝑥 
 
𝐹(𝑥) = 𝑥 >
𝜋
3
 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
−∞
 
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
6⁄
0
 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
3⁄
𝜋
6⁄
+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
𝜋
3⁄
= 1 
 
𝑓(𝑥)
{
 
 
 
 0, 𝑠𝑖 𝑥 ≤
𝜋
6
−𝑐𝑜𝑠3𝑥, 𝑠𝑖 
𝜋
6
< 𝑥 ≤ 
𝜋
3
1, 𝑠𝑖 𝑥 >
𝜋
3
 
 
 
b) Determine: 𝑃𝑟 (𝑋 = 0.2), 𝑃𝑟 (𝑋 ≤ 𝜋 4⁄ ), 𝑃𝑟 (𝑋 >
𝜋
3⁄ ), 𝑃𝑟 (
𝜋
12⁄ ≤ 𝑋 ≤ 𝜋) 
 
𝑃𝑟 (𝑥 = 0.2) = 𝑃𝑟 (0.2) = 0 
𝑃𝑟 (𝑥 ≤
𝜋
4
) = 𝐹(𝑥 ≤
𝜋
4
) = −𝑐𝑜𝑠3
𝜋
4
=
√2
2
 
𝑃𝑟 (𝑥 >
𝜋
3
 ) = 1 − 𝑃𝑟 (𝑥 >
𝜋
3
 ) =1 − 1 = 0 
𝑃𝑟 (
𝜋
12
≤ 𝑥 ≤ 𝜋) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 1 − 0 = 1 
19) Considere una variable aleatoria continua Z con densidad de probabilidad 
𝑓(𝑧) = {
(1 + 𝑏)𝑧𝑏, 𝑠𝑖 𝑍 ∈ [0, 𝑎]
0, 𝑠𝑖 𝑍 ∉ [0, 𝑎]
 
 
Calcule los valores de los parámetros a y b sabiendo que 𝑃𝑟(𝑧 ≤ 1 2⁄ ) =
1
8⁄ 
𝑃𝑟(𝑧 ≤ 1 2⁄ ) =
1
8⁄ 
𝑃𝑟(𝑧 ≤ 1 2⁄ ) = 𝑓 (𝑎) + 𝑓 (𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
 + ∫
1
4
(4)
1
2⁄
0
= 𝑎 + 2𝑏 
 
 
 
b) Encuentre la función de distribución de Z 
 
𝑆𝑖 𝑧 𝜖[0, 𝑎], 𝑓(2) = (1 + 𝑏)𝑧𝑏 
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
(1+𝑏)𝑧𝑏
−∞
 
− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
 = − ∫ (1 + 𝑏)𝑧𝑏
𝑎
−∞
− ∫ (1 + 𝑏)𝑧𝑏
0
−∞
= 0 
𝑆𝑖 0 < 𝑧 ≥ 1, 𝑓(𝑧) = (𝑎 + 𝑏) ≥ 𝑏 
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
−∞
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
−∞
= 𝑧3 
𝑆𝑖 𝑧 ≥ 1, 𝑓(𝑧) = (𝑎 + 𝑏)𝑧𝑏 
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (1 + 𝑏)𝑧𝑏
0
−∞
1
−∞
= 1 
 
𝑓(𝑥) {
0, 𝑠𝑖 𝑡 ≤ 0
𝑡3, 𝑠𝑖 0 < 𝑡 ≤ 1
1, 𝑠𝑖 𝑡 > 1
 
21)El tiempo en minutos que una persona espera un autobús es una variable aleatoria 
cuya función de densidad viene dada por las fórmulas: 𝑓 (𝑡) = 
1
2
 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 <
1, 𝑓(𝑡) =
1
6
 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑡 < 4, 𝑓(𝑡) = 0 para los demás valores de t. calcule la 
probabilidad de que el tiempo de que el tiempo de espera sea: 
 
𝑓(𝑥)
{
 
 
 
 
1
2
, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 1
1
6
, 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑡 < 4
0, 𝑠𝑖 𝑡 = 0 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
 
 
a) Mayor que un minuto. 
 
𝑃𝑟 (𝑇 > 1) = 1 − 𝑃𝑟(𝑇 ≤ 1) = 1 − 𝐹(1) = 1 −
1
2
=
1
2
 
 
b) Menor que dos minutos. 
 
𝑃𝑟 (𝑇 ≤ 2) = 𝐹(2) =
2
6
 +
1
3
= 
2
3
 
 
c) Mayor que tres minutos. 
 
𝑃𝑟 (𝑇 > 3) = 1 − 𝑃𝑟(𝑇 ≤ 3) = 1 − 𝑓(3) = 1 − (
3
6
 +
1
3
) =
1
6
 
23.- Un blanco circular de radio 1 se divide en 5 anillos circular por medio de 5 discos 
concéntricos de radios: 
1
5
,
2
5
,
3
5
,
4
5
 y 1. Un jugador lanza un dardo al blanco, si el dardo 
alcanza el anillo circular comprendido entre los círculos de radios 
𝑘
5
 𝑦 
𝑘+1
5
, (𝑘 =
0,1,2,3,4), tiene k puntos y gana 5-k. Determine las distribuciones de probabilidad: 
a) del puntaje del jugador; 
Usamos la fórmula para el puntaje de cada jugador: 
F (0) = 
0
5
+
0+1
5
= 
1
5
 
F (1) = 
1
5
+
1+1
5
= 
3
5
 
F (2) =
2
5
+
2+1
5
= 
5
5
= 1 
F (3) = 
3
5
+
3+1
5
= 
7
5
 
F (4) = 
4
5
+
4+1
5
= 
9
5
 
b) de la ganancia del jugador. 
Usamos la fórmula de la ganancia para cada jugador: 
G (0) = 5-0 = 5 
G (1) = 5-1 = 4 
G (2) = 5-2 = 3 
G (3) = 5-3 = 2 
G (4) = 5-4 = 1 
24.- Una empresa alquila el tiempo de cómputo de un tipo especial de computadora a 
una universidad. La empresa debe planear su presupuesto, por lo que ha estudiado el 
tiempo de empleo de Ia computadora. El tiempo semanal de alquiler (en horas) sigue 
la función de densidad dada por: 
 
a) Determine la función de distribución del tiempo de empleo de la computadora; 
 
F(x)=∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
−∞
=∫
3
4
(4𝑡2 − 𝑡3)𝑑𝑡
𝑥
0
=(
1
16
𝑡3 −
3
256
𝑡4)|0
1=
1
16
𝑥3 −
3
256
𝑥4 
𝐹(𝑥) = {
𝑜 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
1
16
𝑥3 −
3
256
𝑥4 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 4
 
 
b) Calcule la probabilidad de que el tiempo de uso de la computadora, en una 
semana, sea mayor que 2 horas; 
 
Pr(𝑥 < 2) = 1 − Pr(𝑥 ≤ 2) = 1 − 𝐹(2) = 1 − (
1
16
∗ 8 −
3
256
∗ 16) 
=
16 − 6
32
=
5
16
 
c) EI presupuesto de la empresa solo cubre 3 horas de tiempo semanal de uso de 
la computadora. ¿Con qué frecuencia se rebasará ese límite de presupuesto?; 
100 ∗ Pr (𝑥 ≥ 3 = 100 ∗ 1 − Pr(𝑥 < 3) = 100(1 − 𝐹(3)) 
100(1 − (
1
16
(27) −
3
256
(81)) = 16.17% 
d) ¿Cuánto tiempo de alquiler se debe presuponer por semana si esta cifra solo se 
puede rebasar con una probabilidad de 0.1? 
Pr(𝑥 > 𝑘) = 0.1 
1 − Pr(𝑥 ≤ 𝑘) = 1 − (
1
16
𝑘3 −
3
256
𝑘4) = 0.1 
3
256
𝑘4 −
1
16
𝑘3 +
9
10
= 0 
𝑘 = 3.43 
 
EJERCICIO 25 
25.- La cantidad de pan (en cientos de kilogramos) que vende una panadería en un día 
es una variable aleatoria con función de densidad. 
𝑓(𝑥) = {
𝑐𝑥, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 3
𝑐(6 − 𝑥), 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 < 6
 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
 
a) Encuentre el valor c; 
Verificamos: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
∞
−∞
 , entonces 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
∞
−∞
 
∫ 0𝑑(𝑥) + 
∞
−∞
∫ 𝑐𝑥𝑑(𝑥) +
3
0
∫ 𝑐(6 − 𝑥)𝑑(𝑥)
6
3
= 1 
[𝑐 (
𝑥2
2
)]
0
3
− [𝑐 (
𝑥2
2
)]
3
6
= 1 
9𝑐
2
−
36𝑐
2
+
9𝑐
2
= 1 
9𝑐 = 3 
𝑐 =
3
9
=
1
3
 
Respuesta. – El valor de c es 0.333 
b) ¿Cuál es la probabilidad que el número de kilos de pan que se vende en un día 
sea: (i) más de 300 kg?, (ii) entre 150 y 400 kg?; 
Si 0 ≤ x < 3; f(x) = cxd(t), entonces: 
𝑓(𝑥) = ∫ 0𝑑𝑡
0
−∞
+∫ 𝑐𝑡𝑑𝑡
3
0
+∫ 0𝑑𝑡
∞
3
 
= [(
𝑐𝑡2
2
)]
0
3
=
33
6
= 
9
2
 
Si 0 ≤ t ≤ 4, f(x) = cxd(t), entonces: 
 
𝑓(𝑥) = ∫ 0𝑑𝑡
0
−∞
+∫ 𝑐(6 − 𝑥)𝑑𝑡
4
0
 
= − [
𝑐𝑥2
2
]
0
4
= −
42
6
= −
8
3
 
Si x < 4, f(x) = 0, entonces: 
𝑓(𝑥) = ∫ 0𝑑(𝑡) = 0
∞
4
 
Pr (x=300) = F (300) – F (300) 
=
9
2
− 0 
=
9
2
 
 
Pr (150 ≤ x ≤ 450) = F (450) – F (150) + Pr (X=150) 
9
2
+
8
3
−
9
2
 
=
8
3
 
 
c) Denote por A y B los eventos definidos en (i) e (ii), respectivamente. ¿Son 
independientes A y B? 
A y B son independientes pues en i) tenemos un valor exacto mientras ii) 
tenemos un rango de valores. 
EJERCICIO 27 
27.- Se extrae un bolita al azar de un bolillero que contiene 3 bolitas numeradas de 1 a 
3. Llamamos X al número de la bolita extraída. Una vez conocido el valor de X, 
extraemos una nueva bolita al azar de otro bolillero que contiene 4 – X bolitas 
numeradas de X a 3 (por ejemplos: si X=2, la segunda bolita se extrae de un bolillero 
que contiene dos bolitas con los números 2 y 3). Llamamos Y al número de la bolita 
extraída en el segundo bolillero. 
 
 
a) Calcule Pr (Y= 3| X = 1) 
Pr (
𝑌 = 3
𝑋 = 1
) =
∫ 4 − 𝑡𝑑𝑡
3
2
∫ 𝑑𝑡
1
0
 
=
[
𝑡2
2 ]
2
3
[
𝑡2
2 ]
0
1 = 
9
2 −
4
2
1
2
 
=
5
2
1
2
= 5 
b) Calcule Pr(Y=3) 
Pr(𝑦) =
𝐶3
1 ∗ 𝐶6
1
1
3
 
=
11
18
 
c) ¿Son X y Y independientes? Justifique; 
Sí son independientes porque no dependen de si mismo, cada variable puede tener 
diferentes valores. 
d) Halle la distribución de probabilidad de Y. 
Aplicamos: 
∑𝑃(𝑥) = 1 
Y Pr 
1 1/9 
2 5/18 
3 11/18 
1
9
+
5
18
+
11
18
= 1 
 
 
23.- Un blanco circular de radio 1 se divide en 5 anillos circular por medio de 5 discos 
concéntricos de radios: 
1
5
,
2
5
,
3
5
,
4
5
 y 1. Un jugador lanza un dardo al blanco, si el dardo 
alcanza el anillo circular comprendido entre los círculos de radios 
𝑘
5
 𝑦 
𝑘+1
5
, (𝑘 =
0,1,2,3,4), tiene k puntos y gana 5-k. Determine las distribuciones de probabilidad: 
a) del puntaje del jugador; 
Usamos la fórmula para el puntaje de cada jugador: 
F (0) = 
0
5
+
0+1
5
= 
1
5
 
F (1) = 
1
5
+
1+1
5
= 
3
5
 
F (2) =
2
5
+
2+1
5
= 
5
5
= 1 
F (3) = 
3
5
+
3+1
5
= 
7
5
 
F (4) = 
4
5
+
4+1
5
= 
9
5
 
b) de la ganancia del jugador. 
Usamos la fórmula de la ganancia para cada jugador: 
G (0) = 5-0 = 5 
G (1) = 5-1 = 4 
G (2) = 5-2 = 3 
G (3) = 5-3 = 2 
G (4) = 5-4 = 1 
EJERCICIO 25 
25.- La cantidad de pan (en cientos de kilogramos) que vende una panadería en un día 
es una variable aleatoria con función de densidad. 
𝑓(𝑥) = {
𝑐𝑥, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 3
𝑐(6 − 𝑥), 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 < 6
 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
 
a) Encuentre el valor c; 
Verificamos: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
∞
−∞
 , entonces 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
∞
−∞
 
∫ 0𝑑(𝑥) + 
∞
−∞
∫ 𝑐𝑥𝑑(𝑥) +
3
0
∫ 𝑐(6 − 𝑥)𝑑(𝑥)
6
3
= 1 
[𝑐 (
𝑥2
2
)]
0
3
− [𝑐 (
𝑥2
2
)]
3
6
= 1 
9𝑐
2
−
36𝑐
2
+
9𝑐
2
= 1 
9𝑐 = 3 
𝑐 =
3
9
=
1
3
 
Respuesta. – El valor de c es 0.333 
b) ¿Cuál es la probabilidad que el número de kilos de pan que se vende en un día 
sea: (i) más de 300 kg?, (ii) entre150 y 400 kg?; 
Si 0 ≤ x < 3; f(x) = cxd(t), entonces: 
𝑓(𝑥) = ∫ 0𝑑𝑡
0
−∞
+∫ 𝑐𝑡𝑑𝑡
3
0
+∫ 0𝑑𝑡
∞
3
 
= [(
𝑐𝑡2
2
)]
0
3
=
33
6
= 
9
2
 
Si 0 ≤ t ≤ 4, f(x) = cxd(t), entonces: 
 
𝑓(𝑥) = ∫ 0𝑑𝑡
0
−∞
+∫ 𝑐(6 − 𝑥)𝑑𝑡
4
0
 
= − [
𝑐𝑥2
2
]
0
4
= −
42
6
= −
8
3
 
Si x < 4, f(x) = 0, entonces: 
𝑓(𝑥) = ∫ 0𝑑(𝑡) = 0
∞
4
 
Pr (x=300) = F (300) – F (300) 
=
9
2
− 0 
=
9
2
 
 
Pr (150 ≤ x ≤ 450) = F (450) – F (150) + Pr (X=150) 
9
2
+
8
3
−
9
2
 
=
8
3
 
 
c) Denote por A y B los eventos definidos en (i) e (ii), respectivamente. ¿Son 
independientes A y B? 
A y B son independientes pues en i) tenemos un valor exacto mientras ii) 
tenemos un rango de valores. 
EJERCICIO 27 
27.- Se extrae un bolita al azar de un bolillero que contiene 3 bolitas numeradas de 1 a 
3. Llamamos X al número de la bolita extraída. Una vez conocido el valor de X, 
extraemos una nueva bolita al azar de otro bolillero que contiene 4 – X bolitas 
numeradas de X a 3 (por ejemplos: si X=2, la segunda bolita se extrae de un bolillero 
que contiene dos bolitas con los números 2 y 3). Llamamos Y al número de la bolita 
extraída en el segundo bolillero. 
 
 
a) Calcule Pr (Y= 3| X = 1) 
Pr (
𝑌 = 3
𝑋 = 1
) =
∫ 4 − 𝑡𝑑𝑡
3
2
∫ 𝑑𝑡
1
0
 
=
[
𝑡2
2 ]
2
3
[
𝑡2
2 ]
0
1 = 
9
2
−
4
2
1
2
 
=
5
2
1
2
= 5 
b) Calcule Pr(Y=3) 
Pr(𝑦) =
𝐶3
1 ∗ 𝐶6
1
1
3
 
=
11
18
 
c) ¿Son X y Y independientes? Justifique; 
Sí son independientes porque no dependen de si mismo, cada variable puede tener 
diferentes valores. 
d) Halle la distribución de probabilidad de Y. 
Aplicamos: 
∑𝑃(𝑥) = 1 
Y Pr 
1 1/9 
2 5/18 
3 11/18 
1
9
+
5
18
+
11
18
= 1 
 
	11.-Una variable aleatoria 𝑿 se dice que sigue la ley de Benford si se cumple que
	𝑷𝒓,𝑿=𝒌.=,,𝐥𝐨𝐠-𝟏𝟎.-,𝟏+,𝟏-𝒌...;𝒌=𝟏,𝟐, ………,𝟗
	𝑷𝒓,𝑿=𝒌.=,,𝐥𝐨𝐠-𝟏𝟎.-,𝟏+,𝟏-𝒌...;𝒌=𝟏,𝟐, ………,𝟗
	𝑷𝒓,𝒌.=,,𝐥𝐨𝐠-𝟏𝟎.-,𝟏+,𝟏-𝒌...;𝒌=𝟏,𝟐, ………,𝟗
	13.-Una variable aleatoria discreta 𝑿 está definida según la ley
	𝑷𝒓,𝑿=𝒌.=𝒑,,𝟏−𝒌.-𝒌. ; 𝒌=𝟏,𝟐, ………𝒚 𝒑∈,𝟎,𝟏.
	15.- Dada la función de distribución de una variable aleatoria 𝑿
	Calcule las probabilidades