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UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES EDUCACIÓN COMERCIAL Y DERECHO CARRERA DE ECONOMIA METODOS DE INTEGRACIÓN: Sustitución, Por parte, Trigonométricas y Funciones parciales AUTOR: ALEXANDRA MARIBEL ORTIZ SALAZAR ANA MILENA MARTILLO HUACON CINDY ELIZABETH GUEVARA ZAMBRANO KIMBERLY JENNIFFER GÓMEZ HERRERA WILFRIDO JOEL ANGULO VELASCO ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL DOCENTE: ROBERTO BASURTO QUILLIGANA PERÍODO: Mayo 2021 a septiembre 2021 MILAGRO – ECUADOR https://pregradovirtual.unemi.edu.ec/course/view.php?id=611 METODOS DE INTEGRACIÓN: Sustitución, Por parte, Trigonométricas y Funciones parciales Metodología La presente investigación, basa de manera general su análisis en las diferencias y características de los métodos de integración, para llegar a la misma se usaron fuentes bibliográficas que refuerzan el conocimiento impartido por el catedrático. Toda vez que se recopiló la información de fuentes confiables, como libros y artículos científicos. Es así que la metodología aplicada permite tener en claro los procedimientos, las técnicas y herramientas utilizadas para la obtención de resultados, representan operaciones realizadas donde intervienen varias reglas y principios de integración, los cuales dependen del tipo de integral, sean estas, definidas, indefinidas, propias e impropias. Los procesos, información y cálculos realizados en base a este tema, los vamos a trabajar a continuación. Introducción El cálculo integral originó en la antigüedad por Arquímedes (287-212 a. C.), que fue un matemático griego, que tuvo segmentos parabólicos. Luego se presentaron estudios Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Louis Cauchy, y a más tardar se fomentó métodos más rápidos en cuanto el aprendizaje y compresión de la integral, en cuál se desarrollaron problemas relativos en distintas ingenierías. Por lo cual se manifestó los métodos de integración con conceptos fundamentales, en cuanto las operaciones básicas, y sus distintas aplicaciones. Pero al estudiar la integral, hay que hablar sobre la integral conocida, lo que si tenemos una integral de la tabla la podemos reducirla a más simple. Entonces el teorema fundamental de cálculo, nos permiten encontrar integrales indefinidas, que comprende diferentes técnicas (combinada). Por ellos podemos calcular las derivadas y antiderivada de una función donde podemos encontrar los métodos de integración esto puede ser ejemplo típico y sencillo. La integración Tratará Funciones algebraica y trascendente tiene relación con las funciones circular. El problema de resolver una integral indefinida de operación puede llegar de muy complejas por los que se han facilitado diversos procedimientos que se llaman métodos que son cuatro muy importante. 1. Integración por sustitución algebraica: método apoyado en la regla de la cadena. 2. Integración por sustitución trigonométrica: método de integración de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas. 3. Integración por partes: método que refiere de la diferenciación de un producto. 4. Integración por fracciones parciales: método que refiere al cociente de polinomios. Los métodos de integración se presentan ejercicios simples pero ilustrativos que nos permiten llegar de manera continua hasta los que tienen incluso el mayor grado de dificultad. Desarrollo Las operaciones de integración de funciones pueden ser muy complejas. Se han introducido varios procedimientos generales para facilitarlos. Método de Sustitución El método consiste en sustituir el integrando o parte de este por otra función para que la expresión resultante sea más fácil de integrar. Si elegimos un cambio de variable de modo que al aplicarlo se obtiene en el integrando una función multiplicada por su derivada, la integral será inmediata. Pero en ocasiones un cambio mal escogido puede complicar más la integral (Granados, 2019). En la siguiente tabla se recopilan diferentes cambios de variable que suelen funcionar en la mayoría de las integrales que nos encontraremos Integral Cambio recomendable ∫(𝑎𝑥)𝑑𝑥 𝑧 = 𝑎 𝑥 ∫(𝑒𝑥)𝑑𝑥 𝑧 = 𝑒 𝑥 ∫(𝑥, ln 𝑥)𝑑𝑥 𝑧 = ln 𝑥 ∫(𝑥, 𝑎𝑟𝑐 … )𝑑𝑥 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐 … ∫(𝑠𝑖𝑛𝑚𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑛) z= cos x si m impar z=sin x si n impar z= tan x si m, n pares ∫ (𝑥, √𝑎2 − 𝑏2𝑥2) 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑏 sin 𝑡 ∫ (𝑥, √𝑎2 + 𝑏2𝑥2) 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑏 tan 𝑡 ∫ (𝑥, √𝑏2𝑥2 − 𝑎2) 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑏 sec 𝑡 Ejemplo 1: ∫(𝑥 − 3)√𝑥 + 4 𝑑𝑥 Sustituimos: 𝑎 = 𝑥 + 4 𝑑𝑎 𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑎 = 𝑑𝑥 Entonces: ∫(𝑥 − 3)√𝑎 𝑑𝑎 Despejamos x en 𝑎 = 𝑥 + 4 : 𝑥 = 𝑎 − 4 Reemplazamos x en: ∫(𝑎 − 4 − 3)√𝑎 𝑑𝑎 ∫(𝑎 − 7)𝑎 1 2⁄ 𝑑𝑎 ∫ (𝑎 3 2⁄ − 7𝑎 1 2⁄ ) 𝑑𝑎 ∫ 𝑎 3 2⁄ − ∫ 7𝑎 1 2⁄ 𝑑𝑎 𝑎 5 2⁄ 5 2 − 7 𝑎 3 2⁄ 3 2 + 𝐶 2𝑎 5 2⁄ 5 − 14𝑎 3 2⁄ 3 + 𝐶 Reemplazamos a y tenemos la respuesta:∫(𝑥 − 3)√𝑥 + 4 𝑑𝑥 = 2(𝑥+4) 5 2⁄ 5 − 14(𝑥+4) 3 2⁄ 3 + 𝐶 Ejemplo 2: ∫ 𝑥2 − 1 √𝑥3 − 3𝑥 + 16 3 𝑑𝑥 Sustituimos: 𝑎 = 𝑥3 − 3𝑥 + 16 𝑑𝑎 𝑑𝑥 = 3𝑥2 − 3 𝑑𝑎 = 3(𝑥2 − 1)𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑎 3(𝑥2 − 1) Entonces reconstruimos: ∫ 𝑥2 − 1 √𝑎 3 ∗ 𝑑𝑎 3(𝑥2 − 1) 1 3 ∫ 𝑑𝑎 √𝑎 3 1 3 ∫ 𝑎 −1 3⁄ 𝑑𝑎 1 3 ∗ 𝑎 2 3⁄ 2 3 + 𝐶 1 3 ∗ 3𝑎 2 3⁄ 2 + 𝐶 √𝑎2 3 2 + 𝐶 Reemplazamos a y tenemos la respuesta:∫ 𝑥2−1 √𝑥3−3𝑥+16 3 𝑑𝑥 = √(𝑥3−3𝑥+16)2 3 2 + 𝐶 Método Por partes Este método de integración parte del producto de dos funciones se identifica a u= u (x); v = (x). Si recordamos la derivada del producto de dos funciones (primera función por la derivada de la segunda función más la segunda función por la derivada de la primera): 𝒅 (𝒖 𝒗 ) = 𝒖 𝒗´ + 𝒗 𝒖´ Se integra ambos miembros de la igualdad: ∫ 𝒅 ( 𝒖 𝒗) = ∫ 𝒖 𝒗´ + 𝒗 𝒖´ ∫ 𝒅 ( 𝒖 𝒗) = ∫ 𝒖 𝒗´ + ∫ 𝒗 𝒖´ Entonces se tiene que: (𝒖)(𝒗) = ∫ 𝒖 𝒗´ + ∫ 𝒗 𝒖´ (𝒖)(𝒗) − ∫ 𝒗 𝒖´ = ∫ 𝒖 𝒗´ Reemplazando con respecto al diferencial de x, tenemos lo siguiente: ∫ 𝒖 𝒅𝒗 = (𝒖)(𝒗) − ∫ 𝒗 𝒅𝒖 Integración por partes Esto quiere decir que para poder integrar por partes se necesita identificar la función u con su respectivo diferencial du y el diferencial dv con su respectiva función v (Escandón, 2017). Ejemplo 1: ∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = Definimos nuestras variables u y dv, aplicando el razonamiento ILATE, derivamos e integramos respectivamente: 𝑢 = 𝐿𝑛𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 𝑥 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥3 3 Planteamos la integral: ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 ∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿𝑛 𝑥 ( 𝑥3 3 ) − ∫ 𝑥3 3 ( 1 𝑥 𝑑𝑥) ∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 1 3 𝑥3𝐿𝑛 𝑥 − 1 3 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 ∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 1 3 𝑥3𝐿𝑛 𝑥 − 1 3 ∫ 𝑥3 3 𝑑𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 1 3 𝑥3𝐿𝑛 𝑥 − 1 3 ( 𝑥3 3 ) + 𝐶 ∫ 𝑥2𝐿𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 1 3 𝑥3𝐿𝑛 𝑥 − 1 9 𝑥3 + 𝐶 Ejemplo 2: ∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 = Definimos nuestras variables u y dv, aplicando el razonamiento ILATE, derivamos e integramos respectivamente: 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 1 + 𝑥2 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥2 2 Aplicamos la fórmula de integración por partes y planteamos: ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 ∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 ( 𝑥2 2 ) − ∫ 𝑥2 2 ∗ 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑡𝑎𝑛−1𝑥 2 − 1 2 ∫ 𝑥2 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 Resolvemos la integral ∫ 𝑥2 1+𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2 + 1 − 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2 + 1 − 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ ( 𝑥2 + 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 − 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥) ∫ (1 𝑑𝑥 − 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥)= ∫ 1 𝑑𝑥 − ∫ 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 1 𝑑𝑥 − ∫ 1 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 + 𝐶 Reemplazamos el resultado en: ∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑡𝑎𝑛−1𝑥 2 − 1 2 ∫ 𝑥2 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑡𝑎𝑛−1𝑥 2 − 1 2 (𝑥 − 𝑡𝑎𝑛−1𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 (𝑥2𝑡𝑎𝑛−1𝑥 − 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛−1𝑥) + 𝐶 Método de Sustitución Trigonométricas Es el proceso que se puede aplicar a aquellas integrales en cuyo integrado aparezca algunas de las siguientes expresiones: √𝑎2 − 𝑥2 √𝑥2 − 𝑎2 √𝑎2 + 𝑥2 La mejor forma de realizar la integración por sustitución trigonométricas es eliminando el radical. Este método se basa en la utilización de triángulos rectángulos, el Teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas. Tener en cuenta los siguientes puntos: (EcuRed, 2011) Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas. Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de completar un http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas http://www.aaamatematicas.com/fra66hx2.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada cuadrado o una sustitución trigonométrica. Reducir una fracción impropia. Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción. Multiplicar por una forma unitaria 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) que al multiplicar por el integrando 𝑓(𝑥) permita modificar adecuadamente [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] 𝑔(𝑥) . Probar sustituir 𝑓(𝑥) por 1 ( 1 𝑓(𝑥) ) . Ejemplo 1: ∫ 𝑥3 √16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = Entonces tenemos que: 𝑎2 = 16 𝑢2 = 𝑥2 √𝑎2 = √16 √𝑢2 = √𝑥2 𝑎 = 4 𝑢 = 𝑥 Por lo tanto: 𝑢 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥 = 4 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃 = 4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 Sustituimos en: ∫ 𝑥3 √16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ (4 𝑠𝑖𝑛𝜃)3 √16 − (4 𝑠𝑖𝑛𝜃)2 (4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃) ∫ 64 𝑠𝑖𝑛3𝜃 √16 − 16 𝑠𝑖𝑛2𝜃 (4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃) = ∫ 64 𝑠𝑖𝑛3𝜃 √16(1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃) (4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃) ∫ 64 𝑠𝑖𝑛3𝜃 4𝑐𝑜𝑠2𝜃 4 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 64 𝑠𝑖𝑛3𝜃 𝑑𝜃 64 ∫ 𝑠𝑖𝑛3𝜃 𝑑𝜃 = 64 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 64 ∫( 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = Resolvemos la integral aplicando los métodos ya conocidos: 𝑢 = cos 𝜃 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 −64 ∫( 1 − 𝑢2)𝑑𝑢 = −64 ∫ 1𝑑𝑢 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 −64 ∫ 1𝑑𝑢 + ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = −64 (𝑢 − 𝑢3 3 ) + 𝐶 Reemplazamos los valores de u: 64 ∫( 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = − 64 (cos 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠3 𝜃 3 ) + 𝐶 Reemplazamos los valores de las funciones y obtenemos el resultado: ∫ 𝑥3 √16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = − 64 (cos 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠3 𝜃 3 ) + 𝐶 ∫ 𝑥3 √16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = − 64 ( √16 − 𝑥2 4 − 1 3 ( √16 − 𝑥2 4 ) 3 ) + 𝐶 ∫ 𝑥3 √16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = − 64 √16 − 𝑥2 4 + 64 3 ( √16 − 𝑥2 4 ) 3 + 𝐶 ∫ 𝑥3 √16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = − 16√16 − 𝑥2 + 64 3 ( (16 − 𝑥2) 3 2⁄ 64 ) + 𝐶 ∫ 𝑥3 √16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 1 3 (16 − 𝑥2) 3 2⁄ − 16√16 − 𝑥2 + 𝐶 Ejemplo 2: ∫ 1 𝑥2√𝑥2 + 4 𝑑𝑥 = Entonces tenemos que: 𝑎2 = 4 𝑢2 = 𝑥2 √𝑎2 = √4 √𝑢2 = √𝑥2 𝑎 = 2 𝑢 = 𝑥 Por lo tanto: 𝑢 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃 = 2 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 Sustituimos en: ∫ 1 𝑥2√𝑥2 + 4 𝑑𝑥 = ∫ 1 (2 𝑡𝑎𝑛𝜃)2√(2 𝑡𝑎𝑛𝜃)2 + 4 ( 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃) = ∫ 1 4𝑡𝑎𝑛2𝜃√4𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 4 ( 2 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝜃) = ∫ 1 4𝑡𝑎𝑛2𝜃√4(𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 1) ( 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃) = ∫ 1 4𝑡𝑎𝑛2𝜃√4𝑠𝑒𝑐2𝜃 ( 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃𝑑𝜃) = ∫ 1 4𝑡𝑎𝑛2𝜃 (2 sec 𝜃) 2 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝜃 4𝑡𝑎𝑛2𝜃 𝑑𝜃 = 1 4 ∫ 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 = 1 4 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃 = Resolvemos la integral aplicando los métodos ya conocidos: 𝑢 = sen 𝜃 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑑𝜃 1 4 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃 = 1 4 ∫ 𝑑𝑢 𝑢2 = 1 4 ∫ 𝑑𝑢 𝑢2 = 1 4 ∫ 𝑢−2𝑑𝑢 = 1 4 ( 𝑢−1 −1 ) + 𝐶 = − 1 4𝑢 + 𝐶 Reemplazamos los valores de u: 1 4 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃 = − 1 4𝑢 + 𝐶 1 4 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑑𝜃 = − 1 4𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐶 Reemplazamos los valores de las funciones y obtenemos el resultado: ∫ 1 𝑥2√𝑥2 + 4 𝑑𝑥 = − 1 4𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐶 ∫ 1 𝑥2√𝑥2 + 4 𝑑𝑥 = − 1 4 ( 𝑥 √𝑥2 + 4 ) + 𝐶 ∫ 1 𝑥2√𝑥2 + 4 𝑑𝑥 = − √𝑥2 + 4 4𝑥 + 𝐶 Método Fracciones Parciales Es el proceso de descomponer una fracción en otras más simples, recibe el nombre de “descomposición en fracciones parciales” (Gómez Lozano, 2015). Este método permite obtener de forma más inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. Se define como fracciones parciales a la función 𝑓(𝑥), en la cual la función depende de un numerador y un denominador. Se divide en dos tipos de fracciones: 1. Fracciones impropias: Se refiere cuando el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el grado del polinomio del denominador. 2. Fracciones propias: Se refiere cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador. Tener en cuenta los siguientes puntos para obtener la descomposición en fracciones parciales de 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑋) : (Morales , Muñoz , Ramos , & Yucra , 2018) Si el grado de 𝑃(𝑥) no es menor que el de 𝑄(𝑥) se deben dividir los polinomios para obtener la forma apropiada. Expresar 𝑄(𝑥) como un producto de factores lineales a𝑖x + b o formas cuadráticas irreducibles 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 y agrupar los factores repetidos para que 𝑄(𝑥) quede expresado por un producto de factores distintos de la forma (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑚 o bien (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑛 con 𝑚 𝑦 𝑛 enteros no negativos. Ejemplo 1: ∫ 7𝑥 + 3 (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = 7𝑥 + 3 (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) = 𝐴 𝑥 + 4 + 𝐵 𝑥 − 1 7𝑥 + 3 (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) = 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 4) (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) = 7𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 4) 7𝑥 + 3 = 𝐴𝑥 − 𝐴 + 𝐵𝑥 + 4𝐵 7𝑥 + 3 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 4𝐵 − 𝐴 7𝑥 + 3 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 + (4𝐵 − 𝐴) Establecemos un sistema de ecuaciones y resolvemos: { 𝐴 + 𝐵 = 7 −𝐴 + 4𝐵 = 3 5𝐵 = 10 𝐵 = 2 𝐴 + 2 = 7 𝐴 = 5 Ahora sustituimos los valores de A y B en: 7𝑥 + 3 (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) = 5 𝑥 + 4 + 2 𝑥 − 1 ∫ 5 𝑥 + 4 + 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ∫ 5 𝑥 + 4 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 5 ∫ 1 𝑥 + 4 𝑑𝑥 + 2 ∫ 1 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 5𝑙𝑛|𝑥 + 4| + 2𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝐶 ∫ 7𝑥 + 3 (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = 5𝑙𝑛|𝑥 + 4| + 2𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝐶 Ejemplo 2: ∫ 2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 (𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 + 4) 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥𝟐 − 4𝑥 − 8 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) 𝑑𝑥 2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) = 𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 − 1 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑥2 + 4 2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) = 𝐴(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) + 𝐵𝑥(𝑥2 + 4) + 𝑥(𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 − 1) 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) 2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 = 𝐴(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) + 𝐵𝑥(𝑥2 + 4) + 𝑥(𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 − 1) Reemplazamos con x=1 en toda la expresión para eliminar elementos lineales: 2 − 4 − 8 = 𝐴(1 − 1)(12 + 4) + 1𝐵(12 + 4) + 1(1𝐶 + 𝐷)(1 − 1) −10 = 𝐴(0)(5) + 𝐵(5) + (𝐶 + 𝐷)(0) −10 = 5𝐵 −2 = 𝐵 Reemplazamos valor de B y eliminamos segundo elemento lineal con x=0: 0 − 0 − 8 = 𝐴(0 − 1)(02 + 4) + 0 ∗ −2(02 + 4) + 0 ∗ (0 ∗ 𝐶 + 𝐷)(0 − 1) −8 = 𝐴(−1)(4) + 0 + 0 −8 = −4𝐴 2 = 𝐴 Reemplazamos valores de A y B: 2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 = 2(𝑥 − 1)(𝑥2 + 4) − 2𝑥(𝑥2 + 4) + 𝑥(𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 − 1) 2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 = 2𝑥3 − 2𝑥2 + 8𝑥 − 8 − 2𝑥3 − 8𝑥 + 𝐶𝑥3 − 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥2 − 𝐷𝑥 Igualamos la parte que multiplica a cada variable: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥𝟑 = 2 = 2 − 2 + 𝐶 2 = 𝐶 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥2 = 0 = −2 − 𝐶 + 𝐷 𝐶 + 2 = 𝐷 𝑆𝑖 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐶 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐷 = 4 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −4 = 8 − 8 − 𝐷 4 = 𝐷 Por lo tanto: ∫ 2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 (𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 + 4) 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + −2 𝑥 − 1 + 2𝑥 + 4 𝑥2 + 4 ∫ 2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 (𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 + 4)𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑥 + −2 𝑥 − 1 + 2𝑥 + 4 𝑥2 + 4 𝑑𝑥 ∫ 2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 (𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 + 4) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 − 2 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 − 1 + 2 ∫ 𝑥 𝑥2 + 4 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑑𝑥 𝑥2 + 4 ∫ 2𝑥𝟑 − 4𝑥 − 8 (𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 + 4) 𝑑𝑥 = 2𝐿𝑛(𝑥) − 2𝐿𝑛(𝑥 − 1) + 𝐿𝑛(𝑥2 + 4) + 2𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑥 2 ) + 𝐶 Conclusión Finalmente, podemos exponer que los métodos de integración tienen un gran valor para la aplicación de la Economía, con sus diferencias y características muy propias, es así que es fundamental conocerlos. Para los despejes y obtención de resultados se usaron diferentes métodos, como el de sustitución, integración de trigonometría ya que apoya al desarrollo de las soluciones matemáticas, también se utilizan entidades trigonométricas y el método de fracciones parciales, los cuales permiten llegar a los resultados de manera idónea. En síntesis todos estos ejercicios forman parte importante del conocimiento básico y aplicable en la carrera de economía, y para la construcción de otros recursos más analíticos. Bibliografía EcuRed. (Agosto de 2011). Integrales de funciones trigonométricas. Obtenido de https://www.ecured.cu/Integrales_de_funciones_trigonom%C3%A9tricas Escandón, P. C. (2017). Tecnicas de integracion . Obtenido de https://repositorio.upse.edu.ec/bitstream/46000/4249/1/Tecnicas%20de%20Integracion.p df Gómez Lozano, A. (2015). Notas sobre métodos de integración. Universidad Cooperativa de Colombia. Bogotá: Ediciones Universidad Cooperativa de Colombia. doi:http://dx.doi.org/10.16925/greylit.1162 Granados, L. H. (2019). Definición de Integral indefinida y constante de integración. Obtenido de https://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/prepa_ixtlahuaco/2019/5/derivada- constante-derivacion2.pdf Morales , C., Muñoz , M., Ramos , L., & Yucra , L. (2018). CÁLCULO INTEGRAL. Obtenido de Método de Integración por Fracciones Parciales: https://sites.google.com/site/pesqueria001/modulo-1-limites-y-continuidad/1-1-limites- de-funciones-reales-de-variable-real