Sistemas 2 orden

Vista previa del material en texto

CONTROL Y AUTOMATIZACION DE PROCESOS 
Escuela Sup. de Ing. de Sistemas UNPRG 
 
Bernardo Núñez Montenegro 1
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN 
 
Consideremos que tenemos el diagrama de bloques de un sistema, representado por: 
 
2
( 2 )
n
ns s
ω
ζω+
 
 
Considerando como sistemas de segundo orden, a los que presentan grado dos en el 
polinomio del denominador; y la función de transferencia de lazo cerrado del sistema 
representado en el diagrama de bloques, está dado por la ecuación que se muestra; 
entonces estamos ante un sistema de segundo orden. 
 
2
2 2
( )
( ) 2
n
n n
C s
R s s s
ω
ζω ω
=
+ +
 
 
Donde: 
nω = frecuencia natural no amortiguada 
ζ = relación de amortiguamiento (efectivo / critico) 
dω = frecuencia natural amortiguada 
 
Se dice que el comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden, se describe 
en función de los parámetros ζ , nω y dω 
 
( ) ( )2 2
1,2
2
2
2 2 4
2
2 2 1 1
2
n n n
n n
n n
r
ζω ζω ω
ζω ω ζ
ζ ω ω ζ
− ± −
=
− ± −
= = − ± −
 
Donde 21d nω ω ζ= − 
 
La respuesta de un sistema de segundo orden se puede caracterizar en función de la 
relación de amortiguamiento, encontrándonos varios casos: 
 
Caso subamortiguado, cuando: 0 1ζ< < 
Tendremos que los polos en lazo cerrado, serán complejos conjugados, y se encuentran 
en el semiplano izquierdo del plano complejo s. 
 
 
 
2( )
( ) ( )( )
n
n d n d
C s
R s s j s j
ω
ζω ω ζω ω
=
+ + + −
 
 
 
CONTROL Y AUTOMATIZACION DE PROCESOS 
Escuela Sup. de Ing. de Sistemas UNPRG 
 
Bernardo Núñez Montenegro 2
Si aplicamos a la entrada del sistema, un escalón unitario, entonces tenemos: 
 
2
2 2( ) ( 2 )
n
n n
C s
s s s
ω
ζω ω
=
+ +
 
 
Usando fracciones simples, tendremos la siguiente expresión: 
 
2 2 2 2
1
( ) ( )
n n
n d n d
sC
s s s
ζω ζω
ζω ω ζω ω
+
= − −
+ + + +
 
 
Aplicando la transformada inversa de laplace a la función C(s), tenemos: 
 
2
( ) 1 (cos )
1
nt
d dc t e t sen t
ζω ζω ω
ζ
−= − +
−
 
Al variar el factor de amortiguamiento relativo ζ , se observa que varía la frecuencia 
natural amortiguada dω , la que resulta ser para este caso particular, la frecuencia de 
oscilación transitoria 
 
Si el factor de amortiguamiento 0ζ = , la respuesta se vuelve no amortiguada y 
continúan las oscilaciones de manera indefinida, siendo: 
 
( ) 1 cos nc t tω= − 
 
 
Caso críticamente amortiguado: si 1ζ = 
En este caso: 
2
2
( )
( ) ( )
n
n
C s
R s s
ω
ω
=
+
, 
 
Tendremos dos polos iguales sobre el eje real. 
 
Aplicando un escalón unitario a la entrada, tenemos: 
2
2( ) ( )
n
n
C s
s s
ω
ω
=
+
; 
 
Hallando la transformada inversa de laplace, obtenemos finalmente la respuesta en 
función del tiempo 
 
( ) 1 (1 )nt nc t e t
ω ω−= − + , para tiempos muy grandes, la respuesta tiende a 1 
 
Caso sobreamortiguado: si 1ζ > 
En este caso los dos polos serán reales, negativos y diferentes 
Aplicando un escalón unitario a la entrada del sistema, tenemos que: 
2
2 2
( )
( 1)( 1)
n
n n n n
C s
s s s
ω
ζω ω ζ ζω ω ζ
=
+ + − + − −
 
CONTROL Y AUTOMATIZACION DE PROCESOS 
Escuela Sup. de Ing. de Sistemas UNPRG 
 
Bernardo Núñez Montenegro 3
Y luego la transformada inversa de laplace 
 
1 2
2
1 2
( ) 1 ( )
2 1
s t s t
n e ec t
s s
ω
ζ
− −
= + −
−
 
 
 
 
 
 
 
DEFINICIONES DE LAS ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA 
TRANSITORIA 
Muchos sistemas físicos son de segundo orden (o se pueden aproximar a ellos). En la 
práctica, se puede desear que un sistema se comporte de determinada manera ante una 
escalón unitario como señal de entrada. 
 
Terminología necesaria para poder especificar el comportamiento temporal. 
 
 
 
CONTROL Y AUTOMATIZACION DE PROCESOS 
Escuela Sup. de Ing. de Sistemas UNPRG 
 
Bernardo Núñez Montenegro 4
• Tiempo de retardo dt (tdelay): tiempo requerido para que la respuesta alcance 
por primera vez la mitad del valor final. 
• Tiempo de crecimiento rt (trising): tiempo requerido para que la respuesta pase 
del 0% al 100% de su valor final (o del 5% al 95% o del 10% al 90%). 
Generalmente el tiempo de 0% a 100% se emplea para sistemas 
subamortiguados y el de 10% al 90% para sistemas sobreamortiguados. 
• Tiempo pico tp(tpeak): tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer 
pico del sobrepaso. 
• Sobrepaso máximo Mp 
• Tiempo de asentamiento ts (tsetting): tiempo requerido para que la respuesta 
alcance y permanezca dentro de un rango especificado por un porcentaje del 
valor final (2% o 5%). 
 
n
ts π
ζω
= y 21 xMp e
ζ π
−
−= 
 
p
tr π ϕ
ω
−
= y 
p
tp π
ω
= 
 
Donde: 
21arctg ζϕ
ζ
−
= 21p nω ω ζ= − 
 
Se sugiere respuestas rápidas y amortiguadas; para ello ζ debe estar en un rango de 0,4 
a 0,8. Valores inferiores o superiores, producen sobre impulso o respuesta lenta. 
 
 
CONTROL Y AUTOMATIZACION DE PROCESOS 
Escuela Sup. de Ing. de Sistemas UNPRG 
 
Bernardo Núñez Montenegro 5
 
ESTABILIDAD SEGÚN LA UBICACIÓN DE POLOS Y CEROS 
Según la posición de los polos podemos determinar si un sistema es estable o no: 
( )
( )
( ) j
i
s z
W s
s p
+
=
+
∏
∏
 
 
• Un sistema es estable si todos sus polos están situados en el semiplano complejo 
negativo. 
• Un sistema es inestable si algún polo está situado en el semiplano, complejo 
positivo o si existen polos múltiples en el eje imaginario o en el origen. 
• Un sistema es limitadamente estable si existe un solo polo en el origen, estando 
los demás situados en el semiplano negativo. 
• Un sistema es marginalmente estable si existe una pareja simple (no múltiples) 
de polos complejos conjugados sobre el eje imaginario, estando los restantes 
polos situados en el semiplano negativo.