Proyecto ecuaciones diferenciales v1

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Soluciones mediante series de potencias
Por:
Santiago Piedrahíta Perez
Juan Esteban Echeverri Herrera
Propuesta presentada en la asignatura: Ecuaciones diferenciales
Profesor
Rubén Darío Borja Tamayo
 Institución universitaria de Envigado
Envigado 2022
Contenido
Planteamiento del problema	3
Marco Conceptual	4
Revisión de la literatura:	4
Series de potencias	4
Formulación de la ecuación de búsqueda	4
Estudios y documentos previos	5
Selección de repositorios bibliográficos	9
Conceptos previos	11
Aplicación e interpretación de resultados	12
Ecuaciones de Airy
Primera aplicación de ecuaciones de Airy mediante series de potencias
Segunda aplicación de ecuaciones de Airy mediante series de potencias
Tercera aplicación de ecuaciones de Airy mediante series de potencias	15
Referencias y trabajos citados
	22
Planteamiento del problema
Muchos problemas relacionados con las ecuaciones diferenciales no tienen un único método de solución, existen métodos que exhiben la inestabilidad al llegar al resultado, mientras que otros métodos pueden llegar producir estabilidad en su solución. Sin embargo, este proyecto estará centrado en dar solución a ecuaciones diferenciales con coeficientes variables que, son insolubles en términos elementales. Por esta razón, se eligió la aplicación de soluciones de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales de Airy, ya que es fascinante observar que, de un modo natural, estos problemas se ven reflejados en campos de la matemática y física[1]; por ejemplo, en la teoría de difracción de ondas de radio alrededor de la superficie terrestre, en el diseño de cáscaras toroidales delgadas que están sometidas a la acción de presiones internas y fuerzas radiales distribuidas [2], en el estudio de la deformación, tanto de columnas sujetas a fuerzas longitudinales, como en placas delgadas en las cuales actúan además de fuerzas transversales, fuerzas centrífugas internas [2] y cuando se estudia la aproximación WKM (Wentzel - Kramers - Brillouin). Además, la ecuación de Airy se usa para resolver determinados problemas de la mecánica cuántica, en donde puede aparecer la ecuación unidimensional de Schrodinger que describe la evolución temporal de una partícula subatómica masiva de naturaleza ondulatoria y no relativista [3] y [4]. Así mismo, el tema es de interés para el equipo, pues podría servir como modelo explicativo y/o predictivo para la difracción de ondas que se forman naturalmente. Por último, con este proyecto se pretende entender la aplicación de las series de potencias en ecuaciones diferenciales de Airy.
Marco Conceptual
Revisión de la literatura:
Series de potencias
Una serie de potencias es una serie infinita que tiene la forma 
y, escrita en su notación sigma, tiene la siguiente forma 
donde junto a la son constantes, además, el conjunto de constantes se denominan como los coeficientes de la serie de potencias; donde será una variable, es decir, la serie se convierte en una serie de términos variables. Sin embargo, si se asigna arbitrariamente un valor numérico a , entonces se obtendrá de nuevo una serie de términos constantes, este nombre se da porque cada uno de los términos que están en la sumatoria son función potencia, es decir, tienen la forma [5]. Ahora bien, al reemplazar por 0 en la función se obtiene que ésta, incluso, es igual a 1. Sin embargo, al igualar la expresión , se presentará una indeterminación que se ignorará para que el resultado de dicha función dé 1. Posteriormente, al restar ó , sustituir ó en la serie de potencias y multiplicar por , la serie de potencias siempre dará como resultado . Obteniendo de esta manera, la forma más popular de las series de potencias 
 y, en su notación sigma, .
Las series de potencias pueden ser vistas como funciones, tienen un buen comportamiento, puesto que éstas son continuas y se pueden derivar de acuerdo con el orden de la ecuación. Al derivar esta función, se obtiene de nuevo una serie de potencias, y, desde un lado práctico, las series de potencias se aproximan a su función suma, es decir, la suma parcial de orden , que no es más que un polinomio de grado que representa una aproximación a la función suma en su dominio de convergencia[5].
Según Mendoza Guzmán Jorge, las series de potencias constituyeron una herramienta conceptual en el proceso de incorporación de lo trascendente al cuerpo teórico de las Matemáticas; la idea de lo trascendente en Matemáticas está relacionada con las funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas y los sistemas numéricos. Sin embargo, en los currículos de Matemáticas el primer acercamiento que se da a lo trascendente es a partir de los números reales trascendentes tales como π, e, etc. [6].
Formulación de la ecuación de búsqueda
A mediados del siglo XX, Zill, saca al mercado su libro titulado ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, que está enfocado en el estudiante universitario. Además, Zill, consulta los temas de este libro con ayuda de los profesores pusto que él cree que a fin de cuentas, los profesores son los que eligen los temas que hay que usar en clase. Por último, este libro busca ejemplificar y explicar lo mejor posible para que, un estudiante universitario, se siente a leer y realizar sus ejercicios de los temas que el profesor haya elegido para sus clases[7]. Por otra parte, bases de datos como SCOPUS hacen posible tener registro de los artículos publicados al respecto, y, se hace evidente que a partir del año 1981, la cantidad de escritos relacionados con series de potencias aumenta. (Ver Figura 1); por eso, haciendo uso de la ecuación de búsqueda TITLE-ABS-KEY ( power AND series ) AND ( LIMIT-TO ( PUBSTAGE , "final" ) ) AND ( LIMIT-TO ( OA , "all" ) ) AND ( LIMIT-TO ( DOCTYPE , "ar" ) ) AND ( LIMIT-TO ( SUBJAREA , "ENGI" ) OR LIMIT-TO ( SUBJAREA , "MATH" ) OR LIMIT-TO ( SUBJAREA , "COMP" ) ) AND ( LIMIT-TO ( EXACTKEYWORD , "Article" ) ) AND ( LIMIT-TO ( LANGUAGE , "English" ) ) se encuentran diferentes artículos que se refieren al tema.
Estudios y documentos previos
Figura 1. Tendencia de publicaciones acerca de aplicaciones con series de potencias entre 1981 y 2020
 Fuente: Scopus “Analyze search results”
La función de color rojo explica el crecimiento de documentos hechos que se encuentran con las palabras clave Neuro computing desde el año 2000 hasta el 2022, teniendo su pico de mayor crecimiento en el 2016. Al buscar documentos con las palabras clave Plos Computational Biology, se evidencia que la función de color verde ha ido variando en cuanto a la cantidad de documentos hechos desde el 2007 hasta el 2021, tenienido su pico de crecimiento más alto en el 2011 con 11 documentos hechos por año. Al buscar documentos con la palabras clave Sensors, se evidencia que la función de color púrpura ha tenido un crecimiento continuo desde el 2010 hasta el 2021. Al buscar documentos con las palabras clave International Journal Of Molecular Sciences, se evidencia que la función de color naranja se ha mantenido constante hasta el año 2011 y, a partir del año 2019 hasta el 2021, se ha presentado su mayor crecimiento de documentos hechos por año. Por último, al buscar documentos con las palabras clave Physical Review E, se evidencia que su pico de crecimiento de documentos hechos por año comienza a partir del 2016 hasta el 2017 y, posterior a este año, la cantidad de documentos hechos por año empieza a verse reducida. (Ver Figura 2).
Figura 2. Tendencia de publicaciones hechas por fuente desde el año 2000 hasta el 2022
 Fuente: Scopus “Analyze search results”
Figura. 3. Autores destacados por su publicación en el campo de las series de potencias
 fractales Fuente: Scopus “Analyze search res
Teniendo en cuenta la ecuación de búsqueda, se evidencia que cuatro autores (Ver figura 3) están a la par en cuanto a cantidad de documentos hechos acerca series de potencias (Barbierie, R. Brown, E.N. Choi, S. Lichtwark, G.A. Todos con 3 documentos hechos en total), es decir,los autores anteriormente mencionados ocupan la primera, segunda, tercera y cuarta posición respectivamente. Mientras que, en las últimas posiciones, se encuentran seis autores (Baillet, S. Bruce, S.A. Cichocki, A. Dairymple, L.S. De Vico Fallani, F. Durstewitz.) con 2 documentos hechos por autor.
Figura 4. Instituciones y/o empresas interesadas en el campo de las series de potencias
Fuente: Scopus “Analyze search results”
La figura 4 muestra en orden descendente (de mayor a menor) la cantidad de documentos hechos por afiliación, siendo la primera afiliación la que posee más documentos y siendo la última afiliación la que posee menos documentos hechos. Además, la función compara a 10 afiliaciones de las más prestigiosas del mundo entre sí.
El Centro Nacional de la Recherche para la Investigación Científica (CNRS) lidera la gráfica de documentos por afiliación con 10 documentos hechos, Harvard Medical School, Imperial Collage London, University Collage London, University of Michigan, Ann Arbor está en segundo lugar con 7 documentos hechos por afiliación, Stanford University está en tercer lugar con 20 documentos hechos por afiliación, Massachusetts Institute of Technology está en cuarto lugar con 18 documentos hechos por afiliación, Harvard University está en quinto lugar con 17 documentos hechos por afiliación, Inserm está en sexto lugar con 15 documentos hechos por afiliación, University of Oxford está en séptimo lugar igualando a Inserm en la cantidad de documentos hechos por afiliación, University Collage London está en octavo lugar con 14 documentos hechos por afiliación, y en noveno y décimo lugar, respectivamente, se encuentran National Institutes of Health (NIH) y Chinese Academy of Sciences con 13 documentos hechos por afiliación cada uno.
Figura 5. Países que han invertido en el campo de los fenómenos naturales con características fractales Fuente: Scopus “Analyze search results”
Estados Unidos (USA), cuenta con el mayor número de documentos hechos por país, con unos 385 documentos en total, indicando así, el interés por parte de éste por los fractales. Luego, en segundo lugar, está el Reino Unido (United Kingdom) con 158 documentos hechos, que, en comparación a los demás países en orden descendente, se ubica como un país interesado por los fractales. Por último, Los demás países (Alemania, China, Canadá, Francia, Australia, Países bajos, España e Italia) no se llevan mucha diferencia, llegando a tener un 57.3% de promedio entre todos de documentos hechos por país.
Figura 6. Documentos por sector Fuente: Scopus “Analyze search results”
Hay 26.7% documentos en el sector agrícola, éste lidera la gráfica de anillo con un 0.6% más que bioquímica. El sector de la multi-disciplina cuenta con un 15% del anillo y es de color verde claro, la ingeniería cuenta con un 6% del anillo y es de color morado, la inmunología y microbiología cuentan con un 4% del anillo y es de color naranja, la medicina cuenta con un 3.6% del anillo y es de color azul celeste, la neurociencia cuenta con 3.2% del anillo y es de color vino tinto, la ciencia ambiental cuenta con un 2.6% del anillo y es de color amarillo, las matemáticas cuentan con 2.5% del anillo y es color rosado, las ciencias de la computación cuentan con 2.3% del anillo y es de color rojo obscuro, y por último, hay otros documentos en áreas ajenas mostradas en el anillo que cuentan con un 7.8%.
Se sabe que lo más conveniente para este tipo de investigación, es tener disponible una extensa variedad de fuentes de información, por lo tanto, se hace una búsqueda exhaustiva de revistas, libros, documentales y otras fuentes digitales para tener un amplio rango de perspectivas acerca de distintos momentos históricos y actuales relevantes.
Selección de repositorios bibliográficos
En un primer momento, se dialoga con los investigadores cuáles son las editoriales, bibliotecas y bases de datos académicas con mayor variedad de opciones y riqueza de información; al notar que todos los miembros tienen manera de ingresar a Google Académico, además de reconocer que este explorador permite guardar en una biblioteca personalizada los artículos que cada uno de los investigadores considera útiles para el estudio, se decide que primordialmente se ha de utilizar este buscador para tener repertorio extenso de artículos y libros que se relacionan con soluciones mediante series de potencias, ecuaciones de Airy, ecuaciones de Hermit y la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, cada participante del equipo conoce otros buscadores que considera aptos, así que, además de Google Académico, se consultan todos los repositorios que se consideran pertinentes, esto, al ser una decisión meramente basada en la opinión y experiencia, permite que haya gran diversidad de pensamiento y, a su vez, expande la calidad de referencias y bibliografía a usar. Así que, finalmente, las bases de datos que proporcionan las fuentes para la investigación, adicionales a la anterior mencionada, son Web of Science y Scopus. Por otra parte, se definen los siguientes textos (Ver tabla 1) como ejes principales de recolección de la información; no obstante, los demás documentos utilizados en el desarrollo del estudio se citan debidamente a lo largo del documento y referencian al final como corresponde.
Tabla 1
 	Selección de la bibliografía	
	Título
	Autores
	Resumen
	Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas con coeficientes constantes a través de valores y vectores propios. 
	Enrique Vilchez
	La resolución de relaciones de recurrencia es un tema de vital importancia para abordar distintos tipos de problemas en matemática e informática. Tradicionalmente los textos de estructuras discretas que proponen métodos de resolución de recursividades lineales, se basan en el planteamiento de ecuaciones polinómicas difícilmente programables.
Este artículo expone un método fundamentado en el uso de valores y vectores propios, brinda la facilidad por un lado de arrojar soluciones suficientemente generales y por otro, de utilizar un enfoque que permite su programación de una manera relativamente sencilla[10]
	
	
	
	Las series de potencias en el proceso de formalización de lo trascendente en matemáticas
	
Jorge Enrique Mendoza Guzmán
	En esta tesis hemos desarrollado un análisis de orden histórico epistemológico relacionado con la introducción de lo trascendente en Matemáticas. Se intenta mostrar que las series infinitas constituyeron la herramienta conceptual mediante la cual se le dio estatuto matemático a lo trascendente. En este sentido, es preponderante mostrar los diferentes momentos históricos en que empieza a emerger lo trascendente en Matemáticas, entendiendo lo trascendente en el sentido de Leibniz. De esta forma los trabajos de Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Leibniz (1646-1716), Brook Taylor (1685-1731), Colin Maclaurin (1698-1746), Leonhard Euler (1707-1783) y Augustin Cauchy (1789-1857), fueron claves a lo hora de rastrear la incorporación de lo trascendente. De esta forma, mostramos los puntos culminantes de dicho desarrollo[6].
	Notas sobre la función generalizada de Airy.
	René G. Escalante F.
	Consideramos aquí el problema de valores iniciales de Airy, el cual aparece de un modo
natural en muchas aplicaciones de la Física-Matemática. Resolvemos teóricamente el problema, obteniendo una solución particular y probando que el P.V.I. de Airy es un problema
bien planteado. Por último, hacemos algunos comentarios acerca de experimentos numéricos
previamente realizados[1].
	Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (Soluciones mediante series de potencias).
	Dennis G. Zill
	Zill, expresa que, la mayoría de ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes variables, son insolubles en términos de funciones elementales.
Para solucionar este tipo de ecuaciones, existen estrategias, una de ellas es suponer una solución en forma de series infinitas y, posteriormente, proceder de manera similar al método de coeficientes indeterminados[7].
Conceptosprevios
Sucesiones numéricas 
En matemáticas, una sucesión numérica está conformada por números y/o expresiones matemáticas que están concatenados uno detrás de otro. Además, las sucesiones numéricas pueden escribirse hacia adelante , hacia atrás , alternadas , binarias alternadas , etc. En donde su dominio está dado por . 
Una sucesión se diferencia de una serie porque en la serie los términos se suman, mientras que en la sucesión, los términos son secuenciales.Además, estas sucesiones numéricas traen consigo sus variantes, las cuales son: sucesiones aritméticas, sucesiones geométricas y sucesiones especiales[8].	
Series numéricas 
Las series numéricas son sucesiones que se extraen o se generan a partir de otra sucesión.
Por ejemplo, Leonhard Euler fue la primera persona en demostrar que las cifras del número (denominado así en honor a su descubrimiento) son infinitas y que, a su vez, éste es un número irracional. Además, definió que este número se podía calcular como o como , cuyo límite es , es decir: .
Radio de convergencia en una serie de potencias 
Se dice que una serie converge para un valor en particular de , siempre y cuando su límite tienda a infinito, es decir, ; de lo contrario, la serie no es convergente. Por otra parte, se dice que una serie converge totalmente, siempre y cuando la sumatoria de los valores absolutos de sus términos converja, así como se ve en la siguiente ecuación:
. Ahora bien, si existe el límite en las sumas parciales, entonces la serie de potencias converge como se ve en la siguiente ecuación: , en donde representa las sumas de una función y donde representa el último índice de la suma; de lo contrario, si no se cumple lo anterior, entonces la serie diverge; si se aplicase a una serie de potencias, tendría la siguiente forma , en donde el intervalo de convergencia, que es donde converge la serie en todos los números reales , converge en ; de lo contrario, si , la serie de potencias diverge. Por otra parte, si se tiene en cuenta el criterio del cociente, también se podrá determinar si una serie de potencias converge, diverge o si el criterio no es concluyente. Si se aplicara el criterio 
en la serie de potencias y suponiendo que para todo , entonces se podrá escribir el siguiente cociente: , en donde , siendo un número real; si , entonces la serie converge absolutamente, si , la serie diverge y si , entonces el criterio del cociente no es concluyente.[7]
 Una sucesión se diferencia de una serie porque en la serie los términos se suman, mientras que en la sucesión, los términos son secuenciales.
Series infinitas 
Una serie infinita, es una serie con un número infinito de términos que nunca paran de crecer, es decir, esta serie no tiene límite de crecimiento; su notación es la siguiente: 
ya que no se puede encontrar la suma de todos los términos de esta serie, porque son términos infinitos, entonces, se recurre a observar y analizar los patrones de estas series infinitas mediante sus sumas parciales[8]. 
Sumas parciales
Una suma parcial es una suma de un número finito de términos en una serie; si se observa la serie de estas sumas, se puede describir el comportamiento infinito de una suma infinita. Estas sumas se denotan como , donde indica el índice del último término de la suma y el resultado de la suma anterior; su notación es la siguiente: .
Su notación sigma es la siguiente: .
Por ejemplo, si se desea encontrar las tres primeras sumas parciales de ., se usará la siguiente fórmula , dando como resultado lo siguiente:
 ; ; =9. [8]
Aplicación e interpretación de resultados
En principio, para comprender qué es la ecuación diferencial de Airy, se explica para qué puede ser usada y qué forma tiene; una vez se haya recolectado la información teórica al respecto, se procede a solucionar dichas ecuaciones mediante las series de potencias. Para posteriormente, realizar el respectivo análisis de los resultados obtenidos.
Ecuaciones de Airy
Figura 1. Soluciones y de la ecuación diferencial de Airy mediante series 
Fuente: Fotografía de UdeaSytes por A. Montoya. Lince[9].
Como se mencionó en el planteamiento del problema,la ecuación de Airy, también conocida como función de Airy, suele aparecer en muchos problemas físicos y matemáticos como en la teoría de difracción de ondas de radio en la superficie terrestre, en el diseño de cáscaras toroidales delgadas que están sometidas a la acción de presiones internas y fuerzas radiales distribuidas [2], en el estudio de la deformación, tanto de columnas sujetas a fuerzas longitudinales, como en placas delgadas en las cuales actúan además de fuerzas transversales, fuerzas centrífugas internas [2] y cuando se estudia la aproximación WKM (Wentzel - Kramers - Brillouin). Además, la ecuación de Airy se usa para resolver determinados problemas de la mecánica cuántica, en donde puede aparecer la ecuación unidimensional de Schrodinger que describe la evolución temporal de una partícula subatómica masiva de naturaleza ondulatoria y no relativista.
La ecuación de Airy o función de Airy, tiene la forma canónica [9]. Por lo tanto, se plantean tres ecuaciones de Airy para solucionarlas mediante las series de potencias.
Primera aplicación de ecuaciones de Airy mediante series de potencias
Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea de Airy.
 .
El primer paso para resolver esta ecuación diferencial lineal mediante series de potencias es convertir la ecuación a una ecuación diferencial homogénea, para ello, se igualará la ecuación a 0; dando como resultado la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea . Nótese que al llevar la ecuación a la forma canónica, se observa que , ambas funciones son continuas en el dominio de todos los reales. Además, se evidencia que es un punto ordinario, esto implica que se puedan aplicar las series de potencias alrededor de [5] y [9]. Posteriormente, se convertirá la ecuación en términos de series de potencias de la siguiente manera , esto es posible porque la discontinuidad más cercana del punto está en infinito, es decir, , entonces el intervalo de convergencia está en ; ahora se derivará esta serie de potencias un total de dos veces, pues este es el orden de la ecuación que se tiene en un principio, quedando de la siguiente manera: ; ; al reemplazar en la ecuación diferencial se obtiene lo siguiente: ; luego, lo que se debe hacer es multiplicar la por la sumatoria, que es lo mismo que introducir la en , quedando la ecuación de la siguiente manera: , ahora se procede a convertir el exponente en para que la ecuación tenga los mismos exponentes, para ello, se usa siguiente propiedad de las sumatorias: , para lograr esto, se desarrollará el término de la parte izquierda de la sumatoria y se obtendrá lo siguiente: 
, luego se procede a sustituir en el término de la izquierda de la sumatoria para que el índice se reinicie a 0 nuevamente, para esto, se aplica la propiedad de las sumatorias anteriormente mencionada, es decir
 
, ahora se procede a agrupar términos y juntar las dos sumatorias en una sola, obteniendo lo siguiente:
; ahora bien, se igualan los términos y la sumatoria a 0, respectivamente. Al hacer esto, desaparecerá y se obtendrá que =0 y . Posteriormente, se despejará el primer término y quedará =0, luego se despejará para obtener la siguiente ecuación: .
Ahora, teniendo en cuenta la definición de la serie de potencias de se brindó en un principio , se sustituirá el índice de ésta en la ecuación 
de la siguiente manera:
-Para =0; , luego se seguirá iterando la de la ecuación.
-Para =1; , para obtener el factorial en esta ecuación, se agrega en el numerador y denominador el término faltante, que en este caso es 2, es decir.
-Para =2; , como anteriormente ya se halló , entonces se reemplaza en esta ecuación y queda lo siguiente: .
-Para =3; , como anteriormente ya se halló , entonces se reemplaza en esta ecuación y queda lo siguiente: . Nótese que para obtener el factorial en esta ecuación, se debe agregar enel numerador y denominador el término faltante, que en este caso es 4, es decir .
-Para =4; , como anteriormente ya se halló , entonces se reemplaza en esta ecuación y queda lo siguiente: . Nótese que para obtener el factorial en esta ecuación, se debe agregar en el numerador y denominador el término faltante, que en este caso es 5, es decir . 
-Para =5;
 , como anteriormente ya se halló , entonces se reemplaza en esta ecuación y queda lo siguiente: 
Nótese que cada tres iteraciones en el índice , la constante da y dará un valor igual 0, es decir, hay infinitas constantes que van a dar 0; esto se puede expresar como las siguientes series numéricas: 
· ).
· .
· .
En donde se evidencia que, las series numéricas al tener múltiplos de 3, indicarán el número de los coeficientes , es decir, se puede concluir que:
1. 
2. 
3. .
Para ir finalizando, se reemplazarán las constantes obtenidas mediante las serie de potencias en la que se tenía al inicio del problema, pero sin su notación sigma, es decir ; teniendo en cuenta la conclusión número 3, cada término de dará como resultado 0 al reemplazar en la , es decir y, al reemplazar las demás constantantes, se obtiene 
Por último, se expresa la ecuación diferencial linealmente independiente como una combinación lineal, para posteriormente, factorizar, es decir
 
. 
Al solucionar la ecuación de Airy , se puede concluir que, tendrá dos constantes que internamente serán series infinitas en donde, mediante el uso de series numéricas, se podrá indicar el valor de cada coeficiente de las constantes con . Además, al aplicar la combinación lineal para juntar ambas , se llega a una solución general explícita que, a su vez, es linealmente independiente.
Segunda aplicación de ecuaciones de Airy mediante series de potencias
Resolver la siguiente ecuación diferencial de Airy de segundo, que, a su vez, es lineal homogénea:
	
El primer paso es aplicar la propiedad distributiva y convertir la ecuación diferencial a una notación de potencias, la cual tiene la siguiente forma:
Luego, Se halla la primera y segunda derivada, es decir
 ; .
Ahora, se procede a sustituir en la ecuación diferencial, es decir
-2=0.
+)-2=0
Luego, acomodando la primera sumatoria y haciendo un cambio de índice → se obtiene:
Como es un índice mudo, entonces se podrá cambiar por nuevamente, y, en todos los términos, excluir para que quede de la siguiente manera:
Agrupando términos:
Obteniendo luego que y que:
Tercera aplicación de ecuaciones de Airy mediante series de potencias
Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de Airy que, a su vez, tiene una relación de recurrencia de tres términos.
.
El primer paso es aplicar la propiedad distributiva a la ecuación diferencial, quedando ésta de la siguiente forma:
.
Ahora se iguala a la forma de series de potencia, es decir . Ahora, se halla la primera y segunda derivada de esta ecuación, quedando lo siguiente:
;. Luego, se reemplaza la segunda derivada y la expresada en series de potencias, es decir
.
Una vez obtenida la serie de potencias, se procede a resolver la sumatoria del primer término cuando para que, al resolverla, sea posible sacar una constante y que el índice de la nueva sumatoria en 3 y, además, se procede a resolver la sumatoria del segundo término cuando para que, al resolverla, se pueda sacar una constante y que también el índice de ésta comience nuevamente en 1, quedando de la siguiente manera:
. Nótese que la que acompaña al último término de las sumatorias se puede expresar en términos de exponente, sumándole 1, es decir
, quedando la serie de potencias de la siguiente forma:
. Así pues, se realiza una sustitución en las tres sumatorias a fin de obtener índices y exponentes iguales, es decir, para la primera sumatoria se tiene que ; para la segunda sumatoria se tiene que (siendo ésta una sustitución directa) y, para la última sumatoria se tiene que ; quedando la serie de la siguiente manera:
Juntando sumatorias y aplicando factor común 
De esta serie de potencias, se concluye que si , entonces procede a despejar , es decir y, que si , entonces se podrá despejar para obtener una relación de recurrencia, quedando de la siguiente manera:
. Ahora, teniendo en cuenta el índice de la serie de potencias con éste iniciando en 1, es decir , se realizarán iteraciones en la serie de recurrencia, con una condición (suposición) asumida de que, , quedando lo siguiente:
Nota: Luego de esta relación de recurrencia, se realizará una nueva, con estas condiciones asumidas pero de forma alternadas, esto es debido a que, con ambas relaciones de recurrencia se realizará una combinación lineal, donde por un lado, se tienen constantes y por el otro, se tendrán constantes .
· Para ; .
· Para ; .
· Para ; .
Ahora, se realiza una nueva condición (suposición) asumida de que, y, por ende, , entonces la nueva relación de recurrencia quedaría de la siguiente manera:
· Para ; .
· Para ; .
· Para ; .
Para ir finalizando, se reemplazan las constantes obtenidas de cada una de las relaciones de recurrencias en la serie de potencias pero sin su notación sigma, es decir
· Relación de recurrencia 1: 
· Relación de recurrencia 2: 
Por último, se realiza la combinación lineal y se saca factor común en cada término, quedando que
.
Al obtener el resultado de solucionar la ecuación de Airy , se concluye que, existen infinitas soluciones para y para . Mediante el uso de series de potencias, es posible llegar a una solución explícita, pero ésta siempre será en general. Por último, al aplicar una combinación lineal, se comprueba que la ecuación diferencial es linealmente independiente.
Referencias y trabajos citados
[1] R. Escalante. “Notas sobre la función Airy”. Venezuela. Universidad Central de Venezuela. (2000).
[2] R.A. Clark. On the theory of thin toroidal shells. J. Math. Phys., 29:146–178, 1950.
[3] L.N. Nosova and S.A. Tumarkin. Tables of generalized Airy functions. Pergamon Press, Oxford, 1965.
[4] E. Schrödinger “An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules”. Physical Review. vol. 28, No.6, december, 1926.
[5] J. J. Ferrante, en colaboración con S. Barrutia. “Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias” . Argentina. Universidad tecnológica nacional.
[6] J. E. Mendoza Guzmán. Las series de potencias en el proceso de formalización de lo trascendente en matemáticas. Universidad del Valle. Santiago de Cali. 2017.
[7] D. G. Zill, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. 9th ed. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., 2009.
[8] L. Jordan and K. Dirga. Conceptos de álgebra II con trigonometría. Concepto de colección. CK-12 Flexbook next generation textbooks. 2015.
[9] A. Montoya. Lince (2017, Enero 27) “Ejemplo solución por series de E.D (E.D de Airy)” [Online]. Available: https://udeasytes.wordpress.com/ecuaciones/clases/semana-11-ecuaciones-diferenciales-de-coeficientes-variables/ejemplo-solucion-por-series-de-e-d-e-d-de-airy/ 
[10] E. Vilchez “Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas con coeficientes constantes a través de valores y vectores propios”, RDM, vol 10. No. 1. pp. 1-28, 2009.