4-B_RootLocus - Juan Ignacio Larrain (4)

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ICM2813 Control de Sistemas Mecánicos
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Matalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
Lugar geométrico de las raices - Diseño de parámetros
Tito Arevalo-Ramirez
11 de abril de 2023
1
En resumen, el lugar geométrico de las ráıces se puede deter-
minar en 7 pasos
2
Contents
Diseño de parámetros
Análisis de PID mediante el LGR
Gracias
3
Diseño de parámetros
El efecto de los parámetros de un sistema se puede determinar
mediante el lugar geométrico de las ráıces
A pesar que el LGR es un método diseñado para evaluar el
comportamiento de un sistema cuando se vaŕıa la ganancia del sistema,
C (s)
R(s)
=
k
s2 + 10s + k
el método de LGR se puede extender para entender el efecto de los
parámetros del sistema
4
El LGR se puede usar para seleccionar los parámetros del sistem
Consideremos la ecuación caracteŕıstica
ans
n + an−1s
n−1 + · · ·+ a1s + a0 = 0
Si deseamos conocer el efecto que tendrá a1 debemos aislar este
parámetro. Es decir, partimos por expresar nuestra ecuación caracteŕıstica
como:
1 + F (s) = 0
1 + kP(s) = 0
En este caso
1− a1
s
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a0
= 0
Y aplicamos los pasos para determinar el LGR
5
El efecto de más de un parámetro se puede determinar repi-
tiendo el método del LGR más de una vez
Consideremos la ecuación caracteŕıstica
s3 + s2 + βs + α = 0
Partimos por evaluar el efecto de β, para ello reescribimos la ecuación
caracteŕıstica
1 +
βs
s3 + s2 + α
= 0
¿Que podemos decir del denominador?
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El denominador es la ecuación caracteŕıstica del sistema cuando
β = 0
Primero evaluamos los efectos de α usando
s3 + s2 + α
Reescribimos la ecuación anterior como:
1 +
α
s2(s + 1)
= 0
Posteriormente, determinamos el efecto de β. Esto significa realizar el
método del LGR dos veces.
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Ejemplo de diseño
Consideremos un sistema para el control del cabezal de soldadura
descrito por
Debemos diseñar un sistema de control que satisfaga:
• Error en estado estable para una señal rampa de ess ≤ 35 %
• Coeficiente de amortiguación de las ráıces dominantes ζ ≥ 0,707
• Tiempo de establecimiento dentro del 2 % del valor final de Ts ≤ 3s
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Polos dominantes
Se definen Polos Dominantes a los polos más cercanos al origen del
plano s. La respuesta asociada a estos polos es más relevante que el
efecto de los polos más lejanos.
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Partamos por expresar nuestro sistema en términos que cono-
cemos
si eliminamos el lazo interno de realimentación tenemos:
G2(s) =
k1
s(s + 2) + sK1K2
10
Partamos por expresar nuestro sistema en términos que cono-
cemos
Ahora que conocemos la función de transferencia en lazo abierto,
analicemos las condiciones de diseño:
ess = ĺım
s→
sE (s) = ĺım
s→
s
1 + G2(s)
1
s2
ess =
2 + K1K2
k1
≤ 0,35
Note que ζ = 0,707 significa que los polos en lazo cerrado se deben
ubicar en una linea a 45◦ en la parte izquierda del plano. Además,
Ts =
4
σ
≤ 3
significa que la parte real del polo debe se mayor a 4/3
10
Partamos por expresar nuestro sistema en términos que cono-
cemos
Condiciones que debemos cumplir en
nuestro diseño
Si decimos α = k1 y β = K1K2,
entonces la ecuación caracteŕıstica
del sistema se podrá escribir como:
s2 + 2s + βs + α = 0
Con esta información podemos
partir a dibujar el lugar geométrico
de las ráıces y encontrar el rango de
α y β que cumpla las condiciones de
diseño.
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Lugar geométrico de las ráıces, primer paso
Expresamos nuestra ecuación caracteŕıstica como 1 + kP(s) = 0
1 + β
s
s2 + 2s + α
= 0
y nos concentramos en el denominador de la ecuación caracteŕıstica para
evaluar los efectos de α, es decir que construimos el LGR para:
1 +
α
s(s + 2)
= 0
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La variación de α se muestra en el siguiente LGR
Si recordamos la codición de error en estado estable
ess =
2 + K1K2
k1
≤ 0,35
El valor de α = k1 debe ser grande mientras que el valor de β = k2
deberá ser pequeño.
Buscamos polos en el LGR que nos
den un valor α grande
Los polos deben satisfacer
| α
s(s + 2)
| = 1
∠
α
s(s + 2)
= (2L + 1)180; L = ±1,±2, . . .
Un valor α = k1 = 20, genera polos s = −1± j4,36.
12
Los polos que encontramos para el valor de α son polos en lazo
abierto de nuestra ecuación caracteŕıstica original
Si sustituimos el valor de α = k1 = 20 en nuestra ecuación caracteŕıstica
original y graficamos el LGR tenemos:
1 + β
s
s2 + 2s + 20
= 0
Entonces, los polos en lazo cerrado que cumplen con las condiciones de
diseño se encuentran en β = K1K2 = 4,3⇒ k2 = 0,215
13
Análisis de PID mediante el LGR
El efecto del controlador PID sobre los polos en lazo cerrado
del sistema se puede analizar mediante el LGR
Nosotros conocemos que el controlado PID esta descrito por:
PID(s) = kp +
kI
s
+ kDs
Esta expresión la podemos reescribir como:
PID(s) =
kD(s
2 + as + b)
s
=
kD(s + z1)(s + z2)
s
Ahora consideremos el siguiente sistema
14
El efecto del controlador PID sobre los polos en lazo cerrado
del sistema se puede analizar mediante el LGR
¿Qué sucede con los polos en lazo cerrado a medida que se
incrementa la ganancia?
14
Gracias
La diapositiva de esta clase se inspiró en
Referencia Caṕıtulo
[?] 5.1, 5.2, 5.3
[?] 7.2, 7.3
[?] 6.2
[?] 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6
15
	Diseño de parámetros
	Análisis de PID mediante el LGR
	Gracias