4-A_RootLocus - Juan Ignacio Larrain (4)

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ICM2813 Control de Sistemas Mecánicos
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Matalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
Lugar geométrico de las raices
Tito Arevalo-Ramirez
10 de abril de 2023
1
El d́ıa de hoy exploraremos un método para determinar los
parámetros de un sistema de control
¿Para el sistema de la figura, cuál será el valor máximo que puede tomar
k antes de que el sistema se vuelva inestable?
C (s)
R(s)
=
k
s2 + 10s + k
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El d́ıa de hoy exploraremos un método para determinar los
parámetros de un sistema de control
¿Para el sistema de la figura, cuál será el valor máximo que puede tomar
k antes de que el sistema se vuelva inestable?
C (s)
R(s)
=
k
s2 + 10s + k
El método del lugar geométrico de las ráıces nos permitirá encontrar
los valores de k de forma cuantitativa y cualitativa.
2
Contents
Introducción
El problema de los sistemas de control
Representación de números complejos como vectores
Definición del lugar de las ráıces
Propiedades del lugar geométrico de las ráıces
Dibujando el lugar geométrico de las ráıces
Ejemplo
Gracias
3
Introducción
Determinar los polos de un sistema en lazo cerrado puede llegar
a ser complicado
Si consideramos el lazo de control descrito por la siguiente figura
y se expresan las funciones de transferencia como
G (s) =
NG (s)
DG (s)
H(s) =
NH(s)
DH(s)
la función de transferencia del sistema será
C (s)
R(s)
=
k1NG (s)DH(s)
DG (s)DH(s) + kNG (s)NH(s)
4
Determinar los polos de un sistema en lazo cerrado puede llegar
a ser complicado
la función de transferencia del sistema será
C (s)
R(s)
=
k1NG (s)DH(s)
DG (s)DH(s) + kNG (s)NH(s)
¿Qué podemos decir acerca de los polos del sistema de lazo
cerrado?, ¿Cómo los encontramos?
4
Determinar los polos de un sistema en lazo cerrado puede llegar
a ser complicado
¿Qué podemos decir acerca de los polos del sistema de lazo
cerrado?, ¿Cómo los encontramos? Una alternativa es usar el
método del lugar de las ráıces, el cual entrega una descripción gráfica de
los polos del sistema a medida que k1 vaŕıa
4
Recordemos que cualquier número complejo se puede represen-
tar como un vector
En el plano complejo, podemos representar los números complejos como
vectores y describirlos por su magnitud M y ángulo θ
s = σ + jω = M∠θ
Gráficamente
Con esto en mente, consideremos la siguiente función y valor de s
F (s) = s + a s = σ + jω
La representación gráfica se podrá realizar de dos maneras
5
Recordemos que cualquier número complejo se puede represen-
tar como un vector
Con esto en mente, consideremos la siguiente función y valor de s
F (s) = s + a s = σ + jω
La representación gráfica se podrá realizar de dos maneras
La forma alternativa de representar el número complejo, inicia el trazo
desde el cero de la función F (s) y termina en el punto s = σ + jω
5
Un numero complejo (s + a) se puede dibujar desde el cero de
la función hasta el punto s
Utilizando este concepto a funciones más complejas
F (s) =
∏m
i=1(s + zi )∏n
j=1(s + pj)
Cada factor del numerador y denominador es un número complejo que se
puede expresar por un vector.
Si evaluamos F (s) en cualquier punto s, es resultado se podrá determinar
como:
F (s)|s = M∠θ
M =
∏m
i=1 |(s + zi )|∏n
j=1 |(s + pj)|
θ =
m∑
i=1
∠(s + zi )−
n∑
j=1
∠(s + pj)
Note que los ángulos son medidos en sentido contrario a las manecillas
del reloj
6
Ejemplo
Dado
F (s) =
(s + 1)
s(s + 2)
Encontrar el valor de F (s) cuando s = −3 + j4.
Si evaluamos cada factor en s = −3 + j4 tenemos:
(s + 1)|−3+j4 =
√
20∠116,6
(s)|−3+j4 = 5∠126,9
(s + 2)|−3+j4 =
√
17∠104
Entonces,
F (s) = M∠θ =
√
20
5
√
17
∠(116,6− 126,9− 104,0)
= 0217∠− 114,3
7
Definición del lugar de las ráıces
El lugar geométrico de las ráıces se puede usar para analizar
y diseñar la respuesta del sistema en el transiente y estado
estable
Consideremos el sistema descrito por
C (s)
R(s)
=
k
s2 + 10s + k
Por simple inspección se notamos que a medida que k vaŕıe, los polos en
lazo cerrado cambiaran.
¿Cómo vaŕıan los polos?
8
El lugar geométrico de las ráıces se puede usar para analizar
y diseñar la respuesta del sistema en el transiente y estado
estable
El desplazamiento de los polos se puede encontrar heuŕısticamente
k Polo 1 Polo 2
0 -10 0
5 -9.47 -0.53
10 -8.87 -1.13
15 -8.16 -1.84
20 -7.24 -2.76
25 -5 -5
30 -5 + j2.24 -5 - j2.24
35 -5 + j3.16 -5 - j3.16
40 -5 + j3.87 -5 - j3.87
45 -5 + j4.47 -5 - j4.47
50 -5 + j5 -5 - j5
8
El lugar de las ráıces nos da información del transiente aśı como
del estado estable a medida que vaŕıa k
Por simple inspección determinemos la respuesta del sistema
k Polo 1 Polo 2
0 -10 0
5 -9.47 -0.53
10 -8.87 -1.13
15 -8.16 -1.84
20 -7.24 -2.76
25 -5 -5
30 -5 + j2.24 -5 - j2.24
35 -5 + j3.16 -5 - j3.16
40 -5 + j3.87 -5 - j3.87
45 -5 + j4.47 -5 - j4.47
50 -5 + j5 -5 - j5
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En el ejemplo anterior determinamos el lugar geométrico de las
ráıces factorando la ecuación caracteŕıstica
Para determinar el lugar geométrico de las ráıces de un sistema general
de control, consideremos la función de transferencia:
C (s)
R(s)
=
kG (s)
1 + KG (s)H(s)
Los polos existen cuando: 1 + KG (s)H(s) = 0, en otras palabras
kG (s)H(s) = −1 = 1∠(2l + 1)180; l = 0,±1,±2, . . .
Es decir
|kG (s)H(s)| = 1
∠kG (s)H(s) = (2l + 1)180
¿Cuándo un valor de sa será un polo del sistema?
10
En el ejemplo anterior determinamos el lugar geométrico de las
ráıces factorando la ecuación caracteŕıstica
¿Cuándo un valor de sa será un polo del sistema? Cuando el ángulo
del número complejo que resulta al evaluar la función de transferencia en
sa es un múltiplo impar de 180 para algún valor de k .
10
Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejo
del lugar geométrico de las ráıces
Paso 1: escriba la ecuación caracteŕıstica como :
1 + F (s) = 0
Reorganice la ecuación (en caso de ser necesario) para que el parámetro
de interés, k , aparezca como factor multiplicador.
1 + kP(s) = 0 1 + k
∏m
i=1(s − zi )∏n
j=1(s − pj)
= 0
Dibuje los polos y ceros de lazo abierto en el plano s
Nótese que:
• Se desea encontrar el lugar geométrico de las ráıces cuando k vaŕıa
desde [0,+∞[
• El LGR comienza en los polos y termina en los ceros del sistema en
lazo abierto, a medida que k aumenta.
• Existen n −m ramas que se aproximan a n −m ceros en el infinito 11
Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejo
del lugar geométrico de las ráıces
Paso 2: Localice los segmentos del eje real que pertenecen al LGR.
El LGR en el eje real siempre se encuentra a la izquierda de un número
impar de polos y ceros. Considere la ecuación caracteŕıstica:
1 + Gc(s)G (s) = 1 + k
2(s + 2))
s(s + 4)
Nótese que:
• hay tantos lugares geométricos
separados como números de
polos
• El LGR debe ser simétrico con
respecto al eje horizontal.
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Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejo
del lugar geométrico de las ráıces
Paso 3: El LGR se aproxima a los ceros en el infinito mediante aśıntotas
centradas en σA y con ángulos φA Cuando el número de ceros finitos de
P(s) es menor al número de polos finitos, existe n−m secciones del LGR
que terminan en ceros en el infinito.
Las aśıntotas se determinan como
σA =
∑n
j=1 pj −
∑m
i=1 zi
n −m
φA =
2L + 1
n −m
180; L = 0, 1, 2, . . . , n −m − 1
13
Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejo
del lugar geométrico de las ráıces
Paso 3: El LGR se aproxima a los ceros en el infinito mediante aśıntotas
centradas en σA y con ángulos φA
Considere la siguiente ecuación caracteŕıstica:
1 + Gc(s)G (s) = 1 + k
2(s + 1))
s(s + 2)(s + 4)2
La aśıntota y ángulos estarán dados por
σA =
−2 + (−4) + (−4)− (−1)
4− 1
= −3
φA = 60, (L = 0);
φA = 180, (L = 1),
φA = 300, (L = 2)
13
Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejodel lugar geométrico de las ráıces
Paso 3: El LGR se aproxima a los ceros en el infinito mediante aśıntotas
centradas en σA y con ángulos φA
13
Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejo
del lugar geométrico de las ráıces
Paso 4: Determinar donde el lugar geométrico cruza el eje imaginario (si
lo hace), utilizando el criterio de Routh-Hurtwitz
El punto de cruce se determina cuando una fila del arreglo de
Routh-Hurtwitz esta formada por solo ceros.
Considere la siguiente ecuación caracteŕıstica:
s4 + 7s3 + 14s2 + (8 + k)s + 3k = 0
Aplicando el criterio de Routh-Hurtwitz obtenemos:
s4 1 14 3k
s3 7 8 + k 0
s2 90− k 21k 0
s1 −k
2−65k+720
90−k 0 0
s0 21k 0 0
Una fila de ceros se encuentra con
− k2 − 65k + 720 = 0
k = 9,65
Entonces, con k = 9,65 el LGR
corta al eje imaginario en ±j1,69
14
Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejo
del lugar geométrico de las ráıces
Paso 5: Determinar el punto de quiebre en el eje real.
El punto de quiebre se da cuando existe multiplicidad en las ráıces de
lazo cerrado (dos o más ráıces en el mismo punto) Esto ocurre cuando la
ganancia es máxima es decir:
dk
ds
= 0
Supongamos que tenemos la sigueinte ecuación caracteŕıstica
1 +
k
(s + 2)(s + 4)
= 0
⇒ k = −(s + 2)(s + 4) = −(s2 + 6s + 8)
El punto de quiebre estará dado por
dk
ds
= −2s − 6 = 0; ⇒ s = −3
15
Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejo
del lugar geométrico de las ráıces
Paso 5: Determinar el punto de quiebre en el eje real.
15
Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejo
del lugar geométrico de las ráıces
Paso 6: Determinar ángulo de salida/entrada del lugar geométrico El
ángulo de salida del LGR de un polo es la diferencia entre el ángulo neto
debido a todos los demás polos y ceros y el ángulo criterio de
±180(2L + 1). Lo mismo ocurre con el ángulo de llegada a un cero
16
Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejo
del lugar geométrico de las ráıces
Paso 6: Determinar ángulo de salida/entrada del lugar geométrico
Consideremos la ecuación caracteŕıstica
1 +
k
(s + p3)(s2 − 2ζωn + ω2n)
= 0
16
Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejo
del lugar geométrico de las ráıces
Paso 6: Determinar ángulo de salida/entrada del lugar geométrico
Se debe cumplir que:
θ1 + θ2 + θ3 = θ1 + 90 + θ3 = 180
⇒ θ1 = 90− θ3 16
Definiremos un conjunto de reglas para encontrar un bosquejo
del lugar geométrico de las ráıces
Paso 7: Completamos el bosquejo del lugar geométrico de las raices. Esto
implica dibujar todas las secciones no cubiertas en los pasos anteriores
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Ejemplo:
Consideremos la siguiente ecuación
caracteŕıstica
1 +
k
s4 + 12s3 + 64s2 + 128s
= 0
Paso 1:
1 +
k
s(s + 4)(s + 4 + j4)(s + 4− j4)
= 0
Paso 2:
18
Ejemplo:
Paso 3:
El centro y ángulo de las aśıntotas es
σA =
−4− 4− 4j − 4 + 4j
4
= −3
φA =
2L + 1
4
180; L = 0, 1, 2, 3
φA = 45, 135, 225, 315
19
Ejemplo:
Paso 4: corte en el eje complejo
s4 + 12s3 + 64s2 + 128s + k = 0
Aplicando el criterio de
Routh-Hurtwitz obtenemos:
s4 1 64 k
s3 12 128 0
s2 53.33 k 0
s1 53,33(128)−12k53,33 0 0
s0 k 0 0
El valor ĺımite de k es 568.89
Por ende el cruce en el eje
imaginario es en s = ±j3,266
20
Ejemplo:
Paso 5: punto de quiebre
k = −s(s + 4)(s + 4 + j4)(s + 4− j4)
dk
ds
=
d − s(s + 4)(s + 4 + j4)(s + 4− j4)
ds
El valor máximo de k se encuentra
en s = −1,557
21
Ejemplo:
Paso 6: ángulo de salida del polo p1
se puede estimar como
θ1 + θ2 + θ3 + θ4 = 180 + L360
θ1 + 90 + θ3 + 90 = 180 + L360
⇒ θ1 = −135
El valor máximo de k se encuentra
en s = −1,557
22
Ejemplo:
Paso 7: Dibuje el lugar geométrico de las ráıces
23
Gracias
La diapositiva de esta clase se inspiró en
Referencia Caṕıtulo
[2] 5.1, 5.2, 5.3
[1] 7.2, 7.3
[4] 6.2
[3] 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6
24
R. C. Dorf and R. H. Bishop.
Modern control systems solution manual, 2011.
G. F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami-Naeini, and J. D.
Powell.
Feedback control of dynamic systems, volume 4.
Prentice hall Upper Saddle River, 2002.
N. S. Nise.
Control system engineering, john wiley & sons.
Inc, New York, 2011.
K. Ogata et al.
Modern control engineering, volume 5.
Prentice hall Upper Saddle River, NJ, 2010.
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	Introducción
	El problema de los sistemas de control
	Representación de números complejos como vectores
	Definición del lugar de las raíces
	Propiedades del lugar geométrico de las raíces
	Dibujando el lugar geométrico de las raíces
	Ejemplo
	Gracias