2B - Cinética Partículas - Dinámica de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

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Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
27 de Septiembre, 2022
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 1 / 37
El contenido de esta presentación ha sido basado mayormente en el siguiente libro:
A. V. Rao, “Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach,”
Cambridge University Press, 2005.
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Contenidos
1 Momentum lineal e impulso lineal
Momentum lineal y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum lineal
Conservación del momentum lineal
2 Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
3 Momentum angular e impulso angular
Momentum angular y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum angular
Conservación del momentum angular
4 Impulso lineal y angular instantáneo
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 3 / 37
Momentum lineal e impulso lineal
Contenidos
1 Momentum lineal e impulso lineal
Momentum lineal y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum lineal
Conservación del momentum lineal
2 Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
3 Momentum angular e impulso angular
Momentum angular y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum angular
Conservación del momentum angular
4 Impulso lineal y angular instantáneo
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 4 / 37
Momentum lineal e impulso lineal Momentum lineal y su derivada temporal
Contenidos
1 Momentum lineal e impulso lineal
Momentum lineal y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum lineal
Conservación del momentum lineal
2 Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
3 Momentum angular e impulso angular
Momentum angular y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum angular
Conservación del momentum angular
4 Impulso lineal y angular instantáneo
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 5 / 37
Momentum lineal e impulso lineal Momentum lineal y su derivada temporal
Momentum lineal
Sea P una part́ıcula de masa m que se mueve en un marco de referencia inercial
N . Además, sea r⃗ la posición de P y sea N v⃗ la velocidad de la part́ıcula observada
desde N .
Definición (Momentum lineal)
El momentum lineal de una part́ıcula P de masa m en el marco de referencia N ,
denotado
N
G⃗, se define como
N
G⃗ ≡ G⃗ = mN v⃗.
Observación (Segunda ley de Newton - Definión alternativa)
Dado que
N d
dt
(N
G⃗
)
=
N d
dt
(
mN v⃗
)
= mN a⃗, la segunda ley de Newton puede
ser expresada alternativamente como
F⃗ =
N d
dt
(N
G⃗
)
.
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Momentum lineal e impulso lineal Principio de impulso y momentum lineal
Contenidos
1 Momentum lineal e impulso lineal
Momentum lineal y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum lineal
Conservación del momentum lineal
2 Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
3 Momentum angular e impulso angular
Momentum angular y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum angular
Conservación del momentum angular
4 Impulso lineal y angular instantáneo
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Momentum lineal e impulso lineal Principio de impulso y momentum lineal
Impulso lineal
Sea P una part́ıcula de masa m que se mueve en un marco de referencia inercial N .
Además, sea F⃗ una fuerza que actúa sobre P . Supongamos ahora que consideramos
el efecto de la fuerza en un intervalo de tiempo dado t ∈ [t1, t2].
Definición (Impulso lineal)
El impulso lineal de una fuerza F⃗ en el intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2] se define
como
ˆ⃗
F =
∫ t2
t1
F⃗ dt.
Notando que ∫ t2
t1
F⃗ dt =
∫ t2
t1
N d
dt
(N
G⃗
)
dt =
N
G⃗(t2)−
N
G⃗(t1),
el impulso lineal puede ser alternativamente expresado como
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Momentum lineal e impulso lineal Principio de impulso y momentum lineal
Principio de impulso y momentum lineal
Definición (Principio de impulso y momentum lineal)
El principio de impulso y momentum lineal se define como
ˆ⃗
F =
N
G⃗(t2)−
N
G⃗(t1)
= mN v⃗(t2)−mN v⃗(t1).
Este principio establece que el cambio en el momentum lineal de una part́ıcula
durante un intervalo de tiempo especificado es igual al impulso lineal total de las
fuerzas externas que actúan sobre la part́ıcula durante el mismo intervalo de tiempo.
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Momentum lineal e impulso lineal Conservación del momentum lineal
Contenidos
1 Momentum lineal e impulso lineal
Momentum lineal y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum lineal
Conservación del momentum lineal
2 Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
3 Momentum angular e impulso angular
Momentum angular y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum angular
Conservación del momentum angular
4 Impulso lineal y angular instantáneo
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Momentum lineal e impulso lineal Conservación del momentum lineal
Conservación del momentum lineal
Sea
N
G⃗ el momentum lineal de una part́ıcula P en un marco de referencia inercial
N y sea u⃗ un vector unitario en R3. Entonces se dice que
N
G⃗ se conserva en la
dirección de u⃗ si
N
G⃗ · u⃗ = constante.
Dado que el producto punto es una función escalar, podemos derivar y obtenemos
d
dt
(N
G⃗ · u⃗
)
=
N d
dt
(N
G⃗
)
· u⃗+
N
G⃗ ·
N du⃗
dt
= 0.
Definición (Conservación de momentum lineal)
El momentum lineal de una part́ıcula se dice que se conserva si y solo si
F⃗ · u⃗+
N
G⃗ ·
N du⃗
dt
= 0.
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Momentum lineal e impulso lineal Conservación del momentum lineal
Conservación del momentum lineal
Supongamos ahora que la dirección u⃗ está fija en el marco de referencia inercial
N , es decir
N du⃗
dt
= 0⃗.
Observación (Conservación del momentum lineal en dirección inercialmente fija)
La conservación del momentum lineal de una part́ıcula en un marco de referencia
inercial N se conservará en la dirección inercialmente fija u⃗ si la componente de
fuerza que actúa sobre la part́ıcula en la dirección de u⃗ es cero, es decir
F⃗ · u⃗ = 0.
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Momentum lineal e impulso lineal Conservación del momentum lineal
Conservación del momentum lineal
Si el momentum lineal se conserva, tenemos que
N
G⃗ = ⃗constante.
Entonces, derivando obtenemos
F⃗ =
N d
dt
(N
G⃗
)
= 0⃗.
Observación (Conservación del momentum lineal)
El momentum lineal de una part́ıcula se conservará si la fuerza resultante que
actúa sobre la part́ıcula es cero. Es importante tener en cuenta que en general
N
G⃗ = ⃗constante ̸⇒
N
G⃗ · u⃗ = constante, ∀u⃗ ∈ R3,
debido a que hay direcciones u⃗ variantes en el tiempo tales que
constante · variable ̸= constante.
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Momentum lineal e impulso lineal Conservación del momentum lineal
Conservación del momentum lineal
Figure: Péndulo de Newton.1
1
Imagen tomada de: https://resize.hswstatic.com/u 0/w 480/gif/newtons-cradle-1.jpg
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Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de
Torque
Contenidos
1 Momentum lineal e impulso lineal
Momentum lineal y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum lineal
Conservación del momentum lineal
2 Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
3 Momentum angular e impulso angular
Momentum angular y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum angular
Conservación del momentum angular
4 Impulso lineal y angular instantáneo
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Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de
Torque
Momentum de una fuerza (torque)
Definición (Momentum de una fuerza o torque)
Sea F⃗ una fuerza que actúa sobre una part́ıcula P de masa m. Además, sea r⃗ la
posición de la part́ıcula y sea Q un punto arbitrario. Entonces el momentum de la
fuerza F⃗ o torque ejercido por la fuerza F⃗ relativo al punto Q, denotado M⃗Q, se
define como
M⃗Q = (r⃗ − r⃗Q)× F⃗ .
Supongamos ahora que consideramos otro punto arbitrario Q′. Análogamente
tenemos que el torque de la fuerza F⃗ relativo al punto Q′ es
M⃗Q′ = (r⃗ − r⃗Q′)× F⃗ .
Restando ambas ecuaciones anteriores, nos queda
M⃗Q − M⃗Q′ = (r⃗ − r⃗Q)× F⃗ − (r⃗ − r⃗Q′)× F⃗
= (r⃗Q′ − r⃗Q)× F⃗ .
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Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de
Torque
Teorema de Transporte de Torque
Teorema (Teorema de Transporte de Torque)
Sea F⃗ una fuerza que actúa sobre una part́ıcula P de masa m. Además, sea r⃗ la
posición de la part́ıcula y sean Q y Q′ dos puntos arbitrarios. El Teorema del
Transporte de Torque establece que
M⃗Q = M⃗Q′ + (r⃗Q′ − r⃗Q)× F⃗ .
El Teorema de Transporte de Torque relaciona el momentum debido a una fuerza
F⃗ relativo a un punto arbitrario Q con el momentum de esa misma fuerza relativo
cualquier otro punto Q′.
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Momentum angular e impulso angular
Contenidos
1 Momentum lineal e impulso lineal
Momentum lineal y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum lineal
Conservación del momentum lineal
2 Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
3 Momentum angular e impulso angular
Momentum angular y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum angular
Conservación del momentum angular
4 Impulso lineal y angular instantáneo
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 18 / 37
Momentum angular e impulso angular Momentum angular y su derivada temporal
Contenidos
1 Momentum lineal e impulso lineal
Momentum lineal y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum lineal
Conservación del momentum lineal
2 Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
3 Momentum angular e impulso angular
Momentum angular y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum angular
Conservación del momentum angular
4 Impulso lineal y angular instantáneo
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Momentum angular e impulso angular Momentum angular y su derivada temporal
Momentum angular
Definición (Momentum angular)
Sea P una part́ıcula de masa m que se mueve en un marco de referencia inercial N .
Sean además r⃗ la posición de la part́ıcula, N v⃗ la velocidad de la part́ıcula en N y Q un
punto arbitrario. Entonces, el momentum angular de la part́ıcula en un marco de
referencia inercial N relativo al punto Q se define como
N
H⃗Q = (r⃗ − r⃗Q)×m
(
N v⃗ − N v⃗Q
)
.
Al calcular la derivada temporal del momentum angular observada desde N , se tiene
N d
dt
(N
H⃗Q
)
=
N d
dt
(
(r⃗ − r⃗Q)×m
(
N v⃗ − N v⃗Q
))
=
N d
dt
((r⃗ − r⃗Q))×m
(
N v⃗ − N v⃗Q
)
+ (r⃗ − r⃗Q)×
N d
dt
(
m
(
N v⃗ − N v⃗Q
))
=
���
���
���
���
��:0(
N v⃗ − N v⃗Q
)
×m
(
N v⃗ − N v⃗Q
)
+ (r⃗ − r⃗Q)×m
(
N a⃗− N a⃗Q
)
= (r⃗ − r⃗Q)× F⃗ − (r⃗ − r⃗Q)×mN a⃗Q
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Momentum angular e impulso angular Momentum angular y su derivada temporal
Derivada temporal del momentum angular
Recordemos que por la definición de torque, se tiene que
(r⃗ − r⃗Q)× F⃗ = M⃗Q.
Definición (Derivada temporal del momentum angular)
La derivada temporal del momentum angular de la part́ıcula en un marco de
referencia inercial N relativo al punto Q se define como
N d
dt
(N
H⃗Q
)
= M⃗Q + (r⃗Q − r⃗)×mN a⃗Q
Observación (Momentum inercial relativo)
La cantidad
(r⃗Q − r⃗)×mN a⃗Q
es conocida como momentum de inercia del punto Q relativo al punto P .
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Momentum angular e impulso angular Momentum angular y su derivada temporal
Derivada temporal del momentum angular
Observación (Derivada temporal del momentum angular relativo a punto inercial)
Ahora supongamos que elegimos un punto de referencia O que está fijo en el
marco de referencia inercial N . Entonces la aceleración del punto O en N es
cero, lo que implica que el momentum de inercia relativo a dicho punto es cero
también. Aśı,
N d
dt
(N
H⃗O
)
= M⃗O
La ecuación anterior establece que la derivada temporal del momentum angular
de una part́ıcula relativa a un punto de referencia O que está fijo en el marco
de referencia inercial es igual al momentum debido a todas las fuerzas externas
relativas al punto O.
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Momentum angular e impulso angular Principio de impulso y momentum angular
Contenidos
1 Momentum lineal e impulso lineal
Momentum lineal y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum lineal
Conservación del momentum lineal
2 Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
3 Momentum angular e impulso angular
Momentum angular y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum angular
Conservación del momentum angular
4 Impulso lineal y angular instantáneo
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Momentum angular e impulso angular Principio de impulso y momentum angular
Impulso angular
Definición (Impulso angular)
El impulso angular del torque M⃗Q en el intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2] se define
como
ˆ⃗
MQ =
∫ t2
t1
M⃗Qdt
Notemos que
M⃗Q + (r⃗Q − r⃗)×mN a⃗Q =
N d
dt
(N
H⃗Q
)
∫ t2
t1
(
M⃗Q + (r⃗Q − r⃗)×mN a⃗Q
)
dt =
∫ t2
t1
N d
dt
(N
H⃗Q
)
dt∫ t2
t1
M⃗Qdt+
∫ t2
t1
(r⃗Q − r⃗)×mN a⃗Qdt =
N
H⃗Q(t2)−
N
H⃗Q(t1).
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Momentum angular e impulso angular Principio de impulso y momentum angular
Principio de impulso y momentum angular
Definición (Principio de impulso y momentum angular)
El principio de impulso y momentum angular relativo a un punto arbitrario Q
establece que
ˆ⃗
MQ +
∫ t2
t1
(r⃗Q − r⃗)×mN a⃗Qdt =
N
H⃗Q(t2)−
N
H⃗Q(t1)
El principio de impulso y momentum angular relativo a un punto de referencia
arbitrario Q establece que el cambio de momentum angular de una part́ıcula relativo
a Q durante un intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2] es igual a la suma entre el impulso
angular debido a todas las fuerzas externas aplicadas a la part́ıcula relativas al
punto Q y el impulso angular debido al momentum de inercia del punto Q relativo
al punto P en el mismo intervalo de tiempo.
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Momentum angular e impulso angular Principio de impulso y momentum angular
Principio de impulso y momentum angular
Observación(Principio de impulso y momentum angular relativo a punto inercial)
Supongamos ahora que elegimos un punto de referencia O que está fijo en el
marco de referencia inercial N . Entonces la aceleración del punto O es cero, y aśı
ˆ⃗
MO =
N
H⃗O(t2)−
N
H⃗O(t1)
El principio de impulso y momentum angular relativo a un punto O fijo en un
marco de referencia inercial establece que el cambio en el momentum angular de
una part́ıcula relativo aO es igual al impulso angular debido a todos fuerzas externas
aplicadas a la part́ıcula relativas al mismo punto.
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Momentum angular e impulso angular Conservación del momentum angular
Contenidos
1 Momentum lineal e impulso lineal
Momentum lineal y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum lineal
Conservación del momentum lineal
2 Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
3 Momentum angular e impulso angular
Momentum angular y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum angular
Conservación del momentum angular
4 Impulso lineal y angular instantáneo
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 27 / 37
Momentum angular e impulso angular Conservación del momentum angular
Conservación del momentum angular
Sea
N
H⃗Q el momentum angular de una part́ıcula P en un marco de referencia
inercial N y sea u⃗ un vector unitario en R3. Entonces se dice que
N
H⃗Q se conserva
en la dirección de u⃗ si
N
H⃗Q · u⃗ = constante.
Dado que el producto punto es una función escalar, podemos derivar y obtenemos
d
dt
(N
H⃗Q · u⃗
)
=
N d
dt
(N
H⃗Q
)
· u⃗+
N
H⃗Q ·
N du⃗
dt
= 0.
Definición (Conservación de momentum angular)
El momentum angular de una part́ıcula se dice que se conserva si y solo si(
M⃗Q + (r⃗Q − r⃗)×mN a⃗Q
)
· u⃗+
N
H⃗Q ·
N du⃗
dt
= 0.
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Momentum angular e impulso angular Conservación del momentum angular
Conservación del momentum angular
Observación (Conservación del momentum angular relativo a punto inercial)
Supongamos ahora que elegimos un punto de referencia O que está fijo en el
marco de referencia inercial N . Entonces la aceleración del punto O es cero, y aśı
M⃗O · u⃗+
N
H⃗O ·
N du⃗
dt
= 0.
En consecuencia, el momento angular
N
H⃗O relativo a un punto inercialmente fijo
O se conservará en la dirección de u⃗ si la ecuación anterior se satisface.
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 29 / 37
Momentum angular e impulso angular Conservación del momentum angular
Conservación del momentum angular
Si el momentum angular se conserva, tenemos que
N
H⃗Q = ⃗constante.
Entonces, derivando obtenemos
M⃗Q + (r⃗Q − r⃗)×mN a⃗Q =
N d
dt
(N
H⃗Q
)
= 0⃗.
Observación (Conservación del momentum angular)
El momentum angular de una part́ıcula se conservará si el torque resultante que
actúa sobre la part́ıcula (incluyendo el término de “torque ficticio”) es cero. Es
importante tener en cuenta que en general
N
H⃗Q = ⃗constante ̸⇒
N
H⃗Q · u⃗ = constante, ∀u⃗ ∈ R3,
debido a que hay direcciones u⃗ variantes en el tiempo tales que
constante · variable ̸= constante.
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 30 / 37
Momentum angular e impulso angular Conservación del momentum angular
Conservación del momentum angular
Figure: Bailarina.1
1
Imagen tomada de: https://openstax.org/resources/f6343406c922626518c9241c6f79ea3df73c5f9e
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Impulso lineal y angular instantáneo
Contenidos
1 Momentum lineal e impulso lineal
Momentum lineal y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum lineal
Conservación del momentum lineal
2 Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
3 Momentum angular e impulso angular
Momentum angular y su derivada temporal
Principio de impulso y momentum angular
Conservación del momentum angular
4 Impulso lineal y angular instantáneo
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 32 / 37
Impulso lineal y angular instantáneo
Impulso lineal y angular instantáneo
Definición (Impulso lineal instantáneo)
El impulso lineal instantáneo en t = τ se define como
ˆ⃗
F (τ) = lim
∆→0
∫ τ+∆
τ−∆
F⃗ dt.
Definición (Impulso angular instantáneo)
El impulso angular instantáneo en t = τ se define como
ˆ⃗
MQ(τ) = lim
∆→0
∫ τ+∆
τ−∆
(r⃗ − r⃗Q)× F⃗ dt = (r⃗ − r⃗Q)×
ˆ⃗
F (τ).
Los impulsos instantáneos sirven para caracterizar cambios instantáneos de mo-
mentum (especialmente choques), pues
ˆ⃗
F (τ) = lim
t→τ+
mN v⃗(t)− lim
t→τ−
mN v⃗(t)
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 33 / 37
Impulso lineal y angular instantáneo
Delta de Dirac
En muchas aplicaciones de la dinámica, se supone que los impulsos ocurren in-
stantáneamente. Para que un impulso tenga un valor distinto de cero durante un
intervalo de tiempo cero, es necesario que la fuerza sea infinita. Si bien, estric-
tamente hablando, no es posible aplicar una fuerza infinita, tal suposición es a
menudo una buena aproximación a la realidad. El modelamiento de una fuerza
infinita en un intervalo de tiempo cero se logra mediante la introducción de un
objeto matemático especial llamado delta de Dirac.
Definición (Delta de Dirac)
El delta de Dirac, denotado como δ(t− s), no es una función, sino más bien
una distribución, y se define de la siguiente manera:
δ(t− s) =
{
0 , t ̸= s
+∞, t = s.
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Impulso lineal y angular instantáneo
Delta de Dirac
El delta de Dirac cumple la siguiente propiedad:∫ +∞
−∞
f(t)δ(t− s)dt = f(s).
donde f(t) es una función arbitraria de t. De aqúı se desprende que si escogemos
f(t) = 1, entonces ∫ +∞
−∞
δ(t− s)dt = 1.
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Impulso lineal y angular instantáneo
Impulso lineal y angular instantáneo
Supongamos que la fuerza F⃗ (t) es infinita solo cuando t = τ y
ˆ⃗
F (τ) < +∞. Una
manera de describir la fuerza en dicho instante de tiempo seŕıa a través del delta
de Dirac:
F⃗ (t) =
ˆ⃗
F (τ)δ(t− τ)
Por lo tanto, aśı es claro ver que la relación entre el impulso lineal instantáneo y el
impulso angular instantáneo:
ˆ⃗
MQ(τ) = lim
∆→0
∫ τ+∆
τ−∆
(r⃗ − r⃗Q)× F⃗ dt
= lim
∆→0
∫ τ+∆
τ−∆
(r⃗ − r⃗Q)×
ˆ⃗
F (τ)δ(t− τ)dt
=
∫ +∞
−∞
(r⃗ − r⃗Q)×
ˆ⃗
F (τ)δ(t− τ)dt
= (r⃗ − r⃗Q)×
ˆ⃗
F (τ).
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 36 / 37
Fin de la presentación
Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
27 de Septiembre, 2022
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 2: Cinética de Part́ıculas - Parte B 27 de Septiembre, 2022 37 / 37
	Momentum lineal e impulso lineal
	Momentum lineal y su derivada temporal
	Principio de impulso y momentum lineal
	Conservación del momentum lineal
	Momentum de una fuerza (torque) y Teorema de Transporte de Torque
	Momentum angular e impulso angular
	Momentum angular y su derivada temporal
	Principio de impulso y momentum angular
	Conservación del momentum angular
	Impulso lineal y angular instantáneo
	Fin de la presentación