4A - Cinética Cuerpos Rígidos - Dinámica de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

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Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos
- Parte A
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña-Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
8 de Noviembre, 2022
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 1 / 63
El contenido de esta presentación ha sido basado mayormente en el siguiente libro:
A. V. Rao, “Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach,”
Cambridge University Press, 2005.
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Diferencia: Part́ıcula versus Cuerpo Ŕıgido
La diferencia clave entre una part́ıcula y un cuerpo ŕıgido es que una part́ıcula solo
puede experimentar un movimiento de traslación, mientras que un cuerpo ŕıgido
puede experimentar tanto un movimiento de traslación como un movimiento de
rotación.
En consecuencia, se requieren dos leyes de equilibrio, una para la traslación y otra
para la rotación, para especificar completamente el movimiento de un cuerpo ŕıgido.
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Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Tensores
4 Tensor de momentum de inercia
Tensor de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
5 Sistema de coordenadas en ejes principales
Rotación en torno a un eje principal
Determinación de base en ejes principales
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Centro de masa y momentum lineal
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Tensores
4 Tensor de momentum de inercia
Tensor de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
5 Sistema de coordenadas en ejes principales
Rotación en torno a un eje principal
Determinación de base en ejes principales
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Centro de masa y momentum lineal
Centro de masa
Definición (Centro de masa)
Sea R un cuerpo ŕıgido y sea r⃗ la posición de un punto P en R. Finalmente, sea
N un marco de referencia inercial. Entonces el centro de masa del cuerpo ŕıgido
R se define como
⃗̄r =
∫
R r⃗dm∫
R dm
=
∫
R r⃗dm
m
,
donde
m =
∫
R
dm
es la masa total del cuerpo ŕıgido R.
Denotando el volumen del cuerpo ŕıgido por V , el elemento diferencial de masa
dm se puede reexpresar como
dm = ρdV,
donde ρ = ρ(r⃗) es la densidad de masa por unidad de volumen de R y dV es un
elemento diferencial de volumen.
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Centro de masa y momentum lineal
Centro de masa
Observación (Densidad de masa por unidad de volumen)
En general la densidad de masa por unidad de volumen ρ = ρ(r⃗) es una variable
distribuida cuyo valor depende del punto r⃗ en el que sea evaluada en el cuerpo
ŕıgido R.
El diferencial de volumen dV dependerá del sistema de coordenadas que se ocupe:
1 Coordenadas cartesianas:
dV = dxdydz.
2 Coordenadas ciĺındricas:
dV = rdrdθdz.
3 Coordenadas esféricas:
dV = r2 sin(ϕ)drdϕdθ.
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Centro de masa y momentum lineal
Ejemplo: Centro de masa
Figure: Ejemplo de cuerpo ŕıgido R parametrizado en coordenadas cartesianas.
En este ejemplo tenemos que r⃗ = (x, y, z)T , y aśı:
⃗̄r =
∫ 1
0
∫ 1−√x
0
∫ 1−z√
x
xy
z
 ρ(x, y, z)dzdydx
∫ 1
0
∫ 1−√x
0
∫ 1−z√
x
ρ(x, y, z)dzdydx
.
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Centro de masa y momentum lineal
Momentum lineal
Definición (Momentum lineal)
Sea N v⃗ la velocidad de un punto P en un cuerpo ŕıgido R visto por un observador
en un marco de referencia inercial N . Entonces el momentum lineal de R en el
marco de referencia N se define como
N
G⃗ =
∫
R
N v⃗dm
A partir de la noción de momentum lineal se tiene que
N
G⃗ =
∫
R
N dr⃗
dt
dm =
N d
dt
(∫
R
r⃗dm
)
=
N d
dt
(
m⃗̄r
)
= m
N ⃗̄v
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Centro de masa y momentum lineal
Velocidad de un centro de masa
Definición (Velocidad de un centro de masa)
La velocidad del centro de masa de un cuerpo ŕıgido en un marco de referencia
inercial N se define como
N ⃗̄v =
∫
R
N v⃗dm
m
=
N
d⃗̄r
dt
.
donde ⃗̄r es la posición de su centro de masa.
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Centro de masa y momentum lineal
Aceleración de un centro de masa
Definición (Aceleración de un centro de masa)
La aceleración del centro de masa de un cuerpo ŕıgido en un marco de referencia
inercial N se define como
N ⃗̄a =
∫
R
N a⃗dm
m
=
N d
dt
(
N ⃗̄v
)
.
donde
N ⃗̄v es la velocidad de su centro de masa.
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Momentum angular
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Tensores
4 Tensor de momentum de inercia
Tensor de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
5 Sistema de coordenadas en ejes principales
Rotación en torno a un eje principal
Determinación de base en ejes principales
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Momentum angular
Momentum angular
Definición (Momentum angular)
El momentum angular de un cuerpo ŕıgido R relativo a un punto arbitrario Q se
define como
N
H⃗Q =
∫
R
(r⃗ − r⃗Q)×
(
N v⃗ − N v⃗Q
)
dm.
Por lo tanto, si Q coincide con el centro de masa del sistema, tenemos
Definición (Momentum angular relativo a centro de masa)
El momentum angular de un cuerpo ŕıgido R relativo a su centro de masa se define
como
N ⃗̄H =
∫
R
(
r⃗ − ⃗̄r
)
×
(
N v⃗ − N ⃗̄v
)
dm.
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Momentum angular
Momentum angular
Consideremos ahora los momentums angulares relativos a un punto arbitrario Q y
a un punto O fijo en el marco de referencia inercial N , respectivamente. Entonces
N
H⃗Q −
N
H⃗O =
∫
R
(r⃗ − r⃗Q)×
(
N v⃗ − N v⃗Q
)
dm−
∫
R
(r⃗ − r⃗O)× N v⃗dm
=
���
��
��:
∫
R
r⃗ × N v⃗dm−
∫
R
r⃗ × N v⃗Qdm−
∫
R
r⃗Q × N v⃗dm
. . .+
∫
R
r⃗Q × N v⃗Qdm−���
���
�:
∫
R
r⃗ × N v⃗dm+
∫
R
r⃗O × N v⃗dm
= −⃗̄r ×mN v⃗Q − r⃗Q ×m
N ⃗̄v + r⃗Q ×mN v⃗Q + r⃗O ×m
N ⃗̄v
N
H⃗Q =
N
H⃗O −
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN v⃗Q − (r⃗Q − r⃗O)×m
N ⃗̄v.
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Momentum angular
Momentum angular
Si ahora consideráramos que la posición Q correspondiera al centro de masa del
sistema, entonces tendŕıamos que
N ⃗̄H =
N
H⃗O −���
��
���: 0⃗(
⃗̄r − ⃗̄r
)
×mN ⃗̄v −
(
⃗̄r − r⃗O
)
×mN ⃗̄v
N ⃗̄H =
N
H⃗O −
(
⃗̄r − r⃗O
)
×mN ⃗̄v.
Despejando
N
H⃗O de la ecuación destacada en la diapositiva anterior obtenemos
N
H⃗O =
N
H⃗Q +
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN v⃗Q + (r⃗Q − r⃗O)×m
N ⃗̄v.
Substituyendo esta expresión en la ecuación destacada en esta diapositiva, nos
queda
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Momentum angular
Momentum angular
N ⃗̄H =
N
H⃗Q +
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN v⃗Q + (r⃗Q − r⃗O)×m
N ⃗̄v −
(
⃗̄r − r⃗O
)
×mN ⃗̄v.
Observación (Momentum angular relativo a punto arbitrario)
El momentum angular de un cuerpo ŕıgido relativo a un punto de referencia arbi-
trario Q puede reescribirse en términos del centro de masa delsistema como
N
H⃗Q =
N ⃗̄H +
(
r⃗Q − ⃗̄r
)
×m
(
N v⃗Q −
N ⃗̄v
)
.
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Tensores
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Tensores
4 Tensor de momentum de inercia
Tensor de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
5 Sistema de coordenadas en ejes principales
Rotación en torno a un eje principal
Determinación de base en ejes principales
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Tensores
Tensor
Definición (Tensor)
Un tensor (o tensor de segundo orden), denotado T⃗ , es un operador lineal que
asocia un vector a⃗ ∈ R3 a otro vector b⃗ ∈ R3, es decir, si T⃗ es un tensor y a⃗ ∈ R3
es un vector, entonces existe un vector b⃗ tal que
b⃗ = T⃗ · a⃗,
donde el operador binario “·” no es el producto escalar entre dos vectores, sino que
denota la operación del tensor T⃗ sobre el vector a⃗.
Como los tensores son operadores lineales, satisfacen las siguientes propiedades
∀a⃗, b⃗ ∈ R3 y ∀k ∈ R:
1 T⃗ · (⃗a+ b⃗) = T⃗ · a⃗+ T⃗ · b⃗ .
2 T⃗ · (ka⃗) = kT⃗ · a⃗ .
3 Existe un tensor cero O⃗ tal que O⃗ · a⃗ = 0⃗.
4 Existe un tensor identidad o tensor unitario U⃗ tal que U⃗ · a⃗ = a⃗.
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Tensores
Clases de tensores
Definición (Tensor inverso)
Se dice que un tensor T⃗ es invertible si existe un tensor T⃗−1 tal que
T⃗ · T⃗−1 = T⃗−1 · T⃗ = U⃗ .
Si T⃗ es invertible, entonces T⃗−1 es denominado inverso de T⃗ .
Definición (Tensor transpuesto)
La transposición de un tensor T⃗ , denotada T⃗T , satisface la propiedad de que para
todo a⃗ ∈ R3 y b⃗ ∈ R3,
(T⃗T · a⃗) · b⃗ = a⃗ · (T⃗ · b⃗).
Definición (Tensor simétrico)
Se dice que un tensor T⃗ es simétrico si es igual a su transpuesta, es decir, T⃗ es
simétrico si
T⃗ = T⃗T .
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Tensores
Clases de tensores
Definición (Tensor antisimétrico)
Se dice que un tensor T⃗ es antisimétrico si es igual al negativo de su transpuesta,
es decir, T⃗ es simétrico si
T⃗ = −T⃗T .
Definición (Tensor ortogonal)
Se dice que un tensor invertible T⃗ es ortogonal si su transpuesta es igual a su
inversa, es decir, T⃗ es ortogonal si
T⃗T = T⃗−1.
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Tensores
Producto tensorial entre vectores
Definición (Producto tensorial entre vectores)
Sean a⃗ y b⃗ vectores en R3. Entonces el producto tensorial entre a⃗ y b⃗, denotado
a⃗⊗ b⃗ se define como un tensor de la siguiente manera
T⃗ = a⃗⊗ b⃗.
Se puede ver que un tensor se obtiene a partir de una operación sobre un par de
vectores. Luego, usando la definición de tensor, el producto escalar entre el tensor
a⃗⊗ b⃗ y el vector c⃗ se define como
(⃗a⊗ b⃗) · c⃗ = (⃗b · c⃗)⃗a
c⃗ · (⃗a⊗ b⃗) = (⃗a · c⃗)⃗b.
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Tensores
Producto tensorial entre vectores
Observación (Producto tensorial entre vectores no conmutativo)
Se puede ver que, a diferencia del producto escalar entre dos vectores, el producto
escalar entre un tensor a⃗ ⊗ b⃗ y un vector c⃗ depende del orden de la operación, es
decir, en general tenemos que
(⃗a⊗ b⃗) · c⃗ ̸= c⃗ · (⃗a⊗ b⃗).
Supongamos ahora que {e⃗1, e⃗2, e⃗3} es una base ortonormal para R3. Luego,
(e⃗i ⊗ e⃗j) · e⃗k = (e⃗j · e⃗k)e⃗i, i, j, k = 1, 2, 3.
Aśı,
(e⃗i ⊗ e⃗j) · e⃗k =
{
e⃗i, si j = k
0, si j ̸= k
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Tensores
Representación de tensores en bases
Sean a⃗, b⃗ ∈ R3. Entonces a⃗ y b⃗ se pueden expresar en la base ortonormal {e⃗1, e⃗2, e⃗3}
como
a⃗ = a1e⃗1 + a2e⃗2 + a3e⃗3
b⃗ = b1e⃗1 + b2e⃗2 + b3e⃗3
El producto tensorial entre a⃗ y b⃗ queda
a⃗⊗ b⃗ = (a1e⃗1 + a2e⃗2 + a3e⃗3)⊗ (b1e⃗1 + b2e⃗2 + b3e⃗3)
=
3∑
i=1
3∑
j=1
aibj e⃗i ⊗ e⃗j .
Ahora, dado que a⃗ ⊗ b⃗ es un tensor, un tensor T⃗ se puede expresar en una base
ortonormal {e⃗1, e⃗2, e⃗3} como
T⃗ =
3∑
i=1
3∑
j=1
Tij e⃗i ⊗ e⃗j .
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Tensores
Representación de tensores en bases
Definición (Representación de un tensor en una base)
La expresión de un tensor T⃗
T⃗ =
3∑
i=1
3∑
j=1
Tij e⃗i ⊗ e⃗j
se llama representación del tensor T⃗ en la base {e⃗1, e⃗2, e⃗3}.
Por lo tanto,
T⃗T =
3∑
i=1
3∑
j=1
Tij e⃗j ⊗ e⃗i.
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Tensores
Representación de tensores en bases
En el caso del tensor U⃗ , entonces
U⃗ =
3∑
i=1
3∑
j=1
Uij e⃗i ⊗ e⃗j =
3∑
i=1
e⃗i ⊗ e⃗i.
En otras palabras, para el tensor identidad tenemos que
Uij =
{
1, si j = k
0, si j ̸= k
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Tensor de momentum de inercia
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Tensores
4 Tensor de momentum de inercia
Tensor de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
5 Sistema de coordenadas en ejes principales
Rotación en torno a un eje principal
Determinación de base en ejes principales
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Tensor de momentum de inercia Tensor de inercia
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Tensores
4 Tensor de momentum de inercia
Tensor de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
5 Sistema de coordenadas en ejes principales
Rotación en torno a un eje principal
Determinación de base en ejes principales
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Tensor de momentum de inercia Tensor de inercia
Tensor de inercia
Sea P un punto fijo en un cuerpo ŕıgido R y sea N v⃗ la velocidad de P en un marco
de referencia inercial N . Además, sea Q un punto arbitrario fijo en R y sea N v⃗Q la
velocidad del punto Q en el marco de referencia inercial N . Finalmente, sea N ω⃗R
la velocidad angular de R en el marco de referencia inercial. Entonces, como P y
Q son puntos fijos en R, la velocidad P relativa a Q en el marco de referencia N
viene dada por
N v⃗ − N v⃗Q = N ω⃗R × (r⃗ − r⃗Q) .
Substituyendo esto en la definición de
N
H⃗Q, se obtiene
N
H⃗Q =
∫
R
(r⃗ − r⃗Q)×
(
N v⃗ − N v⃗Q
)
dm
=
∫
R
(r⃗ − r⃗Q)×
(
N ω⃗R × (r⃗ − r⃗Q)
)
dm
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Tensor de momentum de inercia Tensor de inercia
Tensor de inercia
Denotando ρ⃗Q = r⃗ − r⃗Q, entonces
N
H⃗Q =
∫
R
ρ⃗Q ×
(
N ω⃗R × ρ⃗Q
)
dm
Sin embargo, una propiedad para el triple producto cruz establece que
ρ⃗Q ×
(
N ω⃗R × ρ⃗Q
)
= (ρ⃗Q · ρ⃗Q)N ω⃗R −
(
ρ⃗Q · N ω⃗R
)
ρ⃗Q.
De modo que
N
H⃗Q puede expresarse como
N
H⃗Q =
∫
R
[
(ρ⃗Q · ρ⃗Q)N ω⃗R −
(
ρ⃗Q · N ω⃗R
)
ρ⃗Q
]
dm
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Tensor de momentum de inercia Tensor de inercia
Tensor de inercia
Usando la definición del producto escalar entre un tensor y un vector,(
ρ⃗Q · N ω⃗R
)
ρ⃗Q = ρ⃗Q
(
ρ⃗Q · N ω⃗R
)
= (ρ⃗Q ⊗ ρ⃗Q) · N ω⃗R.
Aśı,
N
H⃗Q =
∫
R
[
(ρ⃗Q · ρ⃗Q)N ω⃗R − (ρ⃗Q ⊗ ρ⃗Q) · N ω⃗R
]
dm
=
∫
R
[
(ρ⃗Q · ρ⃗Q) U⃗ · N ω⃗R − (ρ⃗Q ⊗ ρ⃗Q) · N ω⃗R
]
dm
=
(∫
R
[
(ρ⃗Q · ρ⃗Q) U⃗ − (ρ⃗Q ⊗ ρ⃗Q)
]
dm
)
· N ω⃗R
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8de Noviembre, 2022 30 / 63
Tensor de momentum de inercia Tensor de inercia
Tensor de inercia
Definición (Tensor de inercia)
El tensor de momentum de inercia o tensor de inercia de un cuerpo ŕıgido R relativo
a un punto Q fijo en el mismo cuerpo se define como
I⃗RQ =
∫
R
[
(ρ⃗Q · ρ⃗Q) U⃗ − (ρ⃗Q ⊗ ρ⃗Q)
]
dm
Observación (Simetŕıa del tensor de inercia)
Dado que los tensores U⃗ y (ρ⃗Q ⊗ ρ⃗Q) son simétricos, entonces el tensor de inercia
I⃗RQ también es simétrico. Es decir,
I⃗RQ = I⃗
R
Q
T .
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Tensor de momentum de inercia Tensor de inercia
Tensor de inercia
Teorema (Momentum angular y tensor de inercia)
El momentum angular de un cuerpo ŕıgido R relativo a un punto Q (con Q fijo
en R) en el marco de referencia inercial N puede entonces escribirse de forma
compacta como
N
H⃗Q = I⃗
R
Q ·
N ω⃗R.
Fijemos ahora Q en el centro de masa del cuerpo ŕıgido R, y definamos
r⃗Q = ⃗̄r ⇒ ρ⃗Q = r⃗ − ⃗̄r ≡ ρ⃗.
Entonces,
N ⃗̄H =
(∫
R
[
(ρ⃗ · ρ⃗) U⃗ − (ρ⃗⊗ ρ⃗)
]
dm
)
· N ω⃗R
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 32 / 63
Tensor de momentum de inercia Tensor de inercia
Tensor de inercia
Definición (Tensor de inercia relativo a centro de masa)
El tensor de momentum de inercia o tensor de inercia de un cuerpo ŕıgido R relativo
a su centro de masa se define como
⃗̄IR =
∫
R
[
(ρ⃗ · ρ⃗) U⃗ − (ρ⃗⊗ ρ⃗)
]
dm
Observación (Momentum angular y tensor de inercia relativo a centro de masa)
El momentum angular de un cuerpo ŕıgido R relativo a su centro de masa en el
marco de referencia inercial N puede entonces escribirse de forma compacta como
N ⃗̄H = ⃗̄IR · N ω⃗R.
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 33 / 63
Tensor de momentum de inercia Momentums y productos de inercia
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Tensores
4 Tensor de momentum de inercia
Tensor de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
5 Sistema de coordenadas en ejes principales
Rotación en torno a un eje principal
Determinación de base en ejes principales
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Tensor de momentum de inercia Momentums y productos de inercia
Momentums y productos de inercia
Se ve que, de acuerdo con la definición de tensor general, el tensor de inercia es
una cantidad sin coordenadas. En consecuencia, utilizando el tensor de inercia
es posible llegar a una expresión sin coordenadas para el momento angular de
un cuerpo ŕıgido. Sin embargo, en la práctica es necesario elegir un sistema de
coordenadas en el que expresar el tensor de momento de inercia. La elección
de dicho sistema de coordenadas conduce a un conjunto de cantidades escalares
llamadas momentums de inercia y productos de inercia.
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Tensor de momentum de inercia Momentums y productos de inercia
Momentums y productos de inercia
Consideremos un sistema de coordenadas EQ con origen Q y base E⃗ = {e⃗1, e⃗2, e⃗3}
fija en un cuerpo ŕıgido R. Entonces el tensor de inercia relativo al punto fijo del
cuerpo Q, I⃗RQ , se puede representar en la base E⃗ como
I⃗RQ =
3∑
i=1
3∑
j=1
IQij e⃗i ⊗ e⃗j ,
con IQij = I
Q
ji debido a la simetŕıa de I⃗
R
Q .
Definición (Momentums y productos de inercia)
Las cantidades IQ11, I
Q
22 y I
Q
33 se denominan momentums de inercia de R relativos
a un punto Q fijo en el cuerpo en la base E⃗, mientras que las cantidades IQ12, I
Q
13
y IQ23 se denominan productos de inercia de R relativos a un punto Q fijo en el
cuerpo en la base E⃗.
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 36 / 63
Tensor de momentum de inercia Momentums y productos de inercia
Momentums y productos de inercia
Supongamos ahora que ρ⃗Q se expresa en términos de la base E⃗ como
ρ⃗Q = ρ1e⃗1 + ρ2e⃗2 + ρ3e⃗3,
entonces
ρ⃗Q · ρ⃗Q = ρ12 + ρ22 + ρ32
ρ⃗Q ⊗ ρ⃗Q =
3∑
i=1
3∑
j=1
ρiρj e⃗i ⊗ e⃗j ,
y
U⃗ =
3∑
i=1
e⃗i ⊗ e⃗i.
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 37 / 63
Tensor de momentum de inercia Momentums y productos de inercia
Momentums y productos de inercia
Luego
(ρ⃗Q · ρ⃗Q) U⃗ − (ρ⃗Q ⊗ ρ⃗Q) = (ρ12 + ρ22 + ρ32)
3∑
i=1
e⃗i ⊗ e⃗i −
3∑
i=1
3∑
j=1
ρiρj e⃗i ⊗ e⃗j
= (ρ2
2 + ρ3
2)e⃗1 ⊗ e⃗1 − ρ1ρ2e⃗1 ⊗ e⃗2 − ρ1ρ3e⃗1 ⊗ e⃗3
. . .− ρ2ρ1e⃗2 ⊗ e⃗1 + (ρ12 + ρ32)e⃗2 ⊗ e⃗2 − ρ2ρ3e⃗2 ⊗ e⃗3
. . .− ρ3ρ1e⃗3 ⊗ e⃗1 − ρ3ρ2e⃗3 ⊗ e⃗2 + (ρ12 + ρ22)e⃗3 ⊗ e⃗3
Dado que los productos tensoriales e⃗i ⊗ e⃗j , con i, j = 1, 2, 3, son mutuamente
ortogonales, deducimos que los momentums de inercia son
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 38 / 63
Tensor de momentum de inercia Momentums y productos de inercia
Momentums y productos de inercia
IQ11 =
∫
R
(ρ2
2 + ρ3
2)dm
IQ22 =
∫
R
(ρ1
2 + ρ3
2)dm
IQ33 =
∫
R
(ρ1
2 + ρ2
2)dm.
Aśı también, los productos de inercia son
IQ12 = I
Q
21 = −
∫
R
ρ1ρ2dm
IQ13 = I
Q
31 = −
∫
R
ρ1ρ3dm
IQ23 = I
Q
32 = −
∫
R
ρ2ρ3dm
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 39 / 63
Tensor de momentum de inercia Momentums y productos de inercia
Momentums y productos de inercia
Observación (Momentums y productos de inercia relativos a centro de masa)
Notemos que el desarrollo anterior es válido también cuando Q corresponde al
centro de masa del cuerpo ŕıgido R. En tal caso hay que considerar que ρ⃗ = r⃗− ⃗̄r.
Además, los momentums se inercia se denotan por Ī11, Ī22 y Ī33, mientras que los
productos de inercia por Ī12, Ī13 y Ī23.
Finalmente, el momentum angular de un cuerpo ŕıgido R relativo a un punto Q
fijo en el mismo, en un marco de referencia inercial N , queda dado por
N
H⃗Q = I⃗
R
Q ·
N ω⃗R
= (IQ11ω1 + I
Q
12ω2 + I
Q
13ω3)e⃗1
. . .+ (IQ12ω1 + I
Q
22ω2 + I
Q
23ω3)e⃗2
. . .+ (IQ13ω1 + I
Q
23ω2 + I
Q
33ω3)e⃗3
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 40 / 63
Tensor de momentum de inercia Momentums y productos de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema (Momentum angular representado en una base E⃗)
Sea E⃗ = {e⃗1, e⃗2, e⃗3} una base fija en un cuerpo ŕıgidoR. Elmomentum angular del
cuerpo ŕıgido R relativo a un punto Q fijo en el mismo, en un marco de referencia
inercial N , queda dado por
{N
H⃗Q
}
E⃗
=
IQ11 IQ12 IQ13IQ12 IQ22 IQ23
IQ13 I
Q
23 I
Q
33

E⃗
·
ω1ω2
ω3

E⃗
donde N ω⃗R = ω1e⃗1 + ω2e⃗2 + ω3e⃗3 es la velocidad angular del cuerpo ŕıgido
expresado en términos de la base E⃗.
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Tensor de momentum de inercia Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Tensores
4 Tensor de momentum de inercia
Tensor de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
5 Sistema de coordenadas en ejes principales
Rotación en torno a un eje principal
Determinación de base en ejes principales
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 42 / 63
Tensor de momentum de inercia Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
Teorema de Ejes-Paralelos
En general, el punto de referencia más conveniente sobre el cual calcular el mo-
mentum angular de un cuerpo ŕıgido depende del problema. Por ejemplo, para
algunos problemas puede ser más conveniente elegir el centro de masa como punto
de referencia, mientras que para otros problemaspuede ser más conveniente elegir
un punto de referencia que no sea el centro de masa. En consecuencia, es útil
desarrollar una forma de relacionar el momentum angular de un cuerpo ŕıgido con
respecto al centro de masa con el momentum angular de un cuerpo ŕıgido con
respecto a otro punto de referencia fijo en el cuerpo.
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 43 / 63
Tensor de momentum de inercia Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
Teorema de Ejes-Paralelos
Supongamos que se desea determinar la relación entre el tensor de inercia de un
cuerpo ŕıgido R relativo a su centro de masa y el tensor de inercia relativo a un
punto fijo alternativo Q. Recordemos que
N
H⃗Q =
N ⃗̄H +
(
r⃗Q − ⃗̄r
)
×m
(
N v⃗Q −
N ⃗̄v
)
.
Sea π⃗ = r⃗Q − ⃗̄r. Por el Teorema de Transporte tenemos que
N v⃗Q −
N ⃗̄v =
N d
dt
(
r⃗Q − ⃗̄r
)
=���
��
��:0R d
dt
(
r⃗Q − ⃗̄r
)
+ N ω⃗R ×
(
r⃗Q − ⃗̄r
)
.
De esta forma podemos reexpresar la primera ecuación como
N
H⃗Q =
N ⃗̄H + π⃗ ×m
(
N ω⃗R × π⃗
)
.
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 44 / 63
Tensor de momentum de inercia Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
Teorema de Ejes-Paralelos
Notando que tanto
N
H⃗Q como
N ⃗̄H pueden escribirse en términos de sus tensores
de inercia,
N
H⃗Q = I⃗
R
Q ·
N ω⃗R
N ⃗̄H = ⃗̄IR · N ω⃗R,
entonces,
I⃗RQ ·
N ω⃗R = ⃗̄IR · N ω⃗R + π⃗ ×m
(
N ω⃗R × π⃗
)
.
Sin embargo, notemos que
π⃗ ×
(
N ω⃗R × π⃗
)
= (π⃗ · π⃗)N ω⃗R −
(
π⃗ · N ω⃗R
)
π⃗
= (π⃗ · π⃗)N ω⃗R − (π⃗ ⊗ π⃗) · N ω⃗R
= (π⃗ · π⃗) U⃗ · N ω⃗R − (π⃗ ⊗ π⃗) · N ω⃗R
=
[
(π⃗ · π⃗) U⃗ − (π⃗ ⊗ π⃗)
]
· N ω⃗R
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Tensor de momentum de inercia Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
Teorema de Ejes-Paralelos
Por lo tanto, obtenemos lo siguiente:
I⃗RQ ·
N ω⃗R = ⃗̄IR · N ω⃗R +m
[
(π⃗ · π⃗) U⃗ − (π⃗ ⊗ π⃗)
]
· N ω⃗R.
Observación (Tensor de inercia relativo a punto arbitrario)
El tensor de inercia de un cuerpo ŕıgidoR relativo a un punto de referencia arbitrario
Q puede reescribirse en términos del centro de masa del sistema como
I⃗RQ =
⃗̄IR +m
[
(π⃗ · π⃗) U⃗ − (π⃗ ⊗ π⃗)
]
.
Es importante notar que es independiente de la rotación N ω⃗R.
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 46 / 63
Tensor de momentum de inercia Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
Teorema de Ejes-Paralelos
Ahora consideremos dos sistemas de coordenadas, denotados Ē y EQ, cada uno
fijo en un cuerpo ŕıgido R. Además, supongamos que comparten la misma base
E⃗ = {e⃗1, e⃗2, e⃗3} pero tienen diferentes oŕıgenes. En particular, de Ē es el centro de
masa de R mientras que el origen de EQ es un punto Q arbitrario fijo en el cuerpo.
Claramente Ē y EQ son sistemas de coordenadas paralelas porque difieren solo en
su oŕıgenes.
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Tensor de momentum de inercia Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
Teorema de Ejes-Paralelos
Figure: Dos sistemas de coordenadas paralelas Ē y EQ en un cuerpo ŕıgido R.
Comparten la misma base E⃗, pero difieren en origen.1
1
A. V. Rao, Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach, Cambridge University Press, 2005.
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 48 / 63
Tensor de momentum de inercia Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
Teorema de Ejes-Paralelos
Notemos que
I⃗RQ =
⃗̄IR +m
[
(π⃗ · π⃗) U⃗ − (π⃗ ⊗ π⃗)
]
3∑
i=1
3∑
j=1
IQij e⃗i ⊗ e⃗j =
3∑
i=1
3∑
j=1
Īij e⃗i ⊗ e⃗j +m
[
(π⃗ · π⃗) U⃗ − (π⃗ ⊗ π⃗)
]
Pero dado quem
[
(π⃗ · π⃗) U⃗ − (π⃗ ⊗ π⃗)
]
tiene la misma estructura que (ρ⃗Q · ρ⃗Q) U⃗−
(ρ⃗Q ⊗ ρ⃗Q) (ver Diapositiva 37), se cumple que
3∑
i=1
3∑
j=1
IQij e⃗i ⊗ e⃗j =
3∑
i=1
3∑
j=1
Īij e⃗i ⊗ e⃗j
. . .+m(π2
2 + π3
2)e⃗1 ⊗ e⃗1 −mπ1π2e⃗1 ⊗ e⃗2 −mπ1π3e⃗1 ⊗ e⃗3
. . .−mπ2π1e⃗2 ⊗ e⃗1 +m(π12 + π32)e⃗2 ⊗ e⃗2 −mπ2π3e⃗2 ⊗ e⃗3
. . .−mπ3π1e⃗3 ⊗ e⃗1 −mπ3π2e⃗3 ⊗ e⃗2 +m(π12 + π22)e⃗3 ⊗ e⃗3
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Tensor de momentum de inercia Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
Teorema de Ejes-Paralelos
Aśı, en forma matricial nos quedaIQ11 IQ12 IQ13IQ12 IQ22 IQ23
IQ13 I
Q
23 I
Q
33
 =
Ī11 +m(π22 + π32) Ī12 −mπ1π2 Ī13 −mπ1π3Ī12 −mπ2π1 Ī22 +m(π12 + π32) Ī23 −mπ2π3
Ī13 −mπ3π1 Ī23 −mπ3π2 Ī33 +m(π12 + π22)
 .
Haciendo la igualdad elemento a elemento y considerando que el tensor de inercia
es simétrico, se formula el Teorema de Ejes-Paralelos de la siguiente manera.
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Tensor de momentum de inercia Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
Teorema de Ejes-Paralelos
Teorema (Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner))
Sea R un cuerpo ŕıgido. Considerando una única base E⃗ = {e⃗1, e⃗2, e⃗3}, su tensor
de inercia I⃗RQ relativo a un punto Q arbitrario, pero fijo en el mismo cuerpo ŕıgido,
puede calcularse a partir de su tensor de inercia ⃗̄IR relativo al centro de masa en
términos de sus momentos y productos de inercia como
IQ11 = Ī11 +m(π2
2 + π3
2)
IQ22 = Ī22 +m(π1
2 + π3
2)
IQ33 = Ī33 +m(π1
2 + π2
2)
IQ12 = I
Q
21 = Ī12 −mπ1π2
IQ13 = I
Q
31 = Ī13 −mπ1π3
IQ23 = I
Q
32 = Ī23 −mπ2π3
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 51 / 63
Tensor de momentum de inercia Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
Teorema de Ejes-Paralelos
Observación (Cálculo de tensor de inercia relativo a centro de masa)
A la inversa, el Teorema de Ejes-Paralelos se puede utilizar para calcular los mo-
mentos y productos de inercia relativos al centro de masa dados los momentos y
productos de inercia relativos a un punto Q fijo en R.
Observación (Tensor de inercia relativo a dos puntos arbitrarios)
En el caso en que se desee trasladar los momentos y productos de inercia entre
dos puntos arbitrarios P y Q fijos en el cuerpo ŕıgido R, es necesario aplicar el
Teorema de Ejes-Paralelos dos veces; primero desde P al centro de masa, y luego
desde el centro de masa hasta Q.
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 52 / 63
Sistema de coordenadas en ejes principales
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Tensores
4 Tensor de momentum de inercia
Tensor de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
5 Sistema de coordenadas en ejes principales
Rotación en torno a un eje principal
Determinación de base en ejes principales
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Sistema de coordenadas en ejes principales Rotación en torno a un eje principal
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Tensores
4 Tensor de momentum de inercia
Tensor de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
5 Sistema de coordenadas en ejes principales
Rotación en torno a un eje principal
Determinación de base en ejes principales
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 54 / 63
Sistema de coordenadas en ejes principales Rotación en torno a un eje principal
Ejes principales
Consideremos el caso en que un cuerpo ŕıgido R gira en torno a una dirección tal
que su momento angular relativo a un punto Q fijo en el cuerpo, visto desde un
marco de referencia inercial N ,
N
H⃗Q, es paraleloa la velocidad angular
N ω⃗R.
Entonces tendŕıamos que
N
H⃗Q = I
N ω⃗R,
con I ∈ R. Es decir, son vectores colineales. Aśı también, por la definición de
momentum angular, nos queda
I⃗RQ ·
N ω⃗R = IN ω⃗R.
Definición (Direcciones o ejes principales)
En general, se dice que los vectores propios del tensor de de inercia I⃗RQ son direc-
ciones o ejes principales.
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Sistema de coordenadas en ejes principales Rotación en torno a un eje principal
Ejes principales
Observación (Direcciones o ejes principales)
Debido a que el tensor de inercia I⃗RQ es real y simétrico (es decir, I⃗
R
Q = I⃗
R
Q
T ),
sabemos que sus valores propios son reales. También se sabe que un tensor de
inercia es positivo semi-definido (es una generalización del concepto de “masa”).
En consecuencia, los valores propios de I⃗RQ deben ser no negativos. Además, sus
vectores propios son mutuamente ortogonales (consecuencia de la simetŕıa).
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 56 / 63
Sistema de coordenadas en ejes principales Determinación de base en ejes principales
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Tensores
4 Tensor de momentum de inercia
Tensor de inercia
Momentums y productos de inercia
Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
5 Sistema de coordenadas en ejes principales
Rotación en torno a un eje principal
Determinación de base en ejes principales
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 57 / 63
Sistema de coordenadas en ejes principales Determinación de base en ejes principales
Determinación de base en ejes principales
Supongamos que elegimos expresar el tensor de inercia, I⃗RQ , y la velocidad angular
de R, N ω⃗R, en términos de una base fija en el cuerpo E⃗ = {e⃗1, e⃗2, e⃗3}. Entonces
tenemos que
I⃗RQ ·
N ω⃗R = IN ω⃗R
= IU⃗ · N ω⃗R
⇒
(
I⃗RQ − IU⃗
)
· N ω⃗R = 0.
Esto puede ser reexpresado matricialmente comoIQ11 IQ12 IQ13IQ12 IQ22 IQ23
IQ13 I
Q
23 I
Q
33
− I
1 0 00 1 0
0 0 1
 ·
ω1ω2
ω3
 =
00
0
 .
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 58 / 63
Sistema de coordenadas en ejes principales Determinación de base en ejes principales
Determinación de base en ejes principales
Por lo tanto, los “I” que satisfacen la ecuación anterior deben satisfacer también
la ecuación caracteŕıstica, que se obtiene a partir de
det
IQ11 − I IQ12 IQ13IQ12 IQ22 − I IQ23
IQ13 I
Q
23 I
Q
33 − I
 = 0
Las soluciones para “I” son escalares conocidos como valores propios del tensor
I⃗RQ , los cuales denotaremos como I
Q
1 , I
Q
2 y I
Q
3 . Éstos a su vez están relacionados
a vectores propios del tensor I⃗RQ , que denotaremos como e⃗
p
1, e⃗
p
2 y e⃗
p
3. Los valores
y vectores propios están relacionados de la siguiente forma:
I⃗RQ · e⃗
p
1 = I
Q
1 e⃗
p
1
I⃗RQ · e⃗
p
2 = I
Q
2 e⃗
p
2
I⃗RQ · e⃗
p
3 = I
Q
3 e⃗
p
3
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 59 / 63
Sistema de coordenadas en ejes principales Determinación de base en ejes principales
Determinación de base en ejes principales
Hasta el momento hemos hecho todo asumiendo que trabajamos con un sistema de
coordenadas con base E⃗. Es decir, tanto el tensor de inercia I⃗RQ como los vectores
propios están expresados en términos de dicha base. Si usamos la notación {I⃗RQ }E⃗
para referirnos al tensor de inercia en términos de la misma base arbitraria E⃗ que
hemos estado usando, y {I⃗RQ }E⃗p para referirnos al tensor de inercia en términos de
la base generada por los vectores propios de {I⃗RQ }E⃗ , entonces las relaciones entre
valores y vectores propios mostradas anteriormente pueden reescribirse como
{I⃗RQ }E⃗ · P⃗ = P⃗ · {I⃗
R
Q }E⃗p ,
con P⃗ =
[
e⃗p1 e⃗
p
2 e⃗
p
3
]
(P⃗ es una matriz de 3× 3) y
{I⃗RQ }E⃗p =
IQ1 0 00 IQ2 0
0 0 IQ3
 .
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 60 / 63
Sistema de coordenadas en ejes principales Determinación de base en ejes principales
Determinación de base en ejes principales
Dado que los vectores propios de una matriz simétrica real son mutuamente ortogo-
nales, la matriz de vectores propios P⃗ es una matriz ortogonal, es decir, P⃗−1 = P⃗T .
Por lo tanto,
P⃗T · {I⃗RQ }E⃗ · P⃗ = {I⃗
R
Q }E⃗p ,
Definición (Base y sistema de coordenadas en direcciones o ejes principales)
Una base E⃗p que da como resultado que la matriz de momentos de inercia tenga
la forma de la ecuación anterior se denomina base de direcciones o ejes principales
y el sistema de coordenadas correspondiente se denomina sistema de coordenadas
en direcciones o ejes principales.
Definición (Momentos de inercia en direcciones o ejes principales)
Los vectores propios de la matriz {I⃗RQ }E⃗ son conocidos como momentos de inercia
en direcciones o ejes principales del cuerpo ŕıgido R.
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 61 / 63
Sistema de coordenadas en ejes principales Determinación de base en ejes principales
Determinación de base en ejes principales
Figure: Ejemplo de un sistema de coordenadas E⃗ arbitrario (en color azul) y un
sistema de coordenadas E⃗p en ejes principales de un cuerpo ŕıgido R ciĺındrico
(en rojo).
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 62 / 63
Fin de la presentación
Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos
- Parte A
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña-Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
8 de Noviembre, 2022
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte A 8 de Noviembre, 2022 63 / 63
	Centro de masa y momentum lineal
	Momentum angular
	Tensores
	Tensor de momentum de inercia
	Tensor de inercia
	Momentums y productos de inercia
	Teorema de Ejes-Paralelos (Teorema de Huygens-Steiner)
	Sistema de coordenadas en ejes principales
	Rotación en torno a un eje principal
	Determinación de base en ejes principales
	Fin de la presentación