4B - Cinética Cuerpos Rígidos - Dinámica de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

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Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos
- Parte B
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña-Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
17 de Noviembre, 2022
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte B 17 de Noviembre, 2022 1 / 43
El contenido de esta presentación ha sido basado mayormente en el siguiente libro:
A. V. Rao, “Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach,”
Cambridge University Press, 2005.
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Fuerzas
Es evidente que la acción de una fuerza sobre una part́ıcula debe ocurrir en la
ubicación de la part́ıcula porque una part́ıcula es un solo punto. Sin embargo, a
diferencia de una part́ıcula, un cuerpo ŕıgido es una colección de puntos que ocupa
un volumen distinto de cero en R3. En consecuencia, el movimiento de un cuerpo
ŕıgido debido a la aplicación de una fuerza depende del punto particular del cuerpo
ŕıgido al que se aplica la fuerza. Por lo tanto, al describir la acción de una fuerza
sobre un cuerpo ŕıgido, es necesario especificar tanto la fuerza como la ubicación
o posición en R3 donde actúa la fuerza. En particular, como veremos, el punto
de aplicación de una fuerza sobre un cuerpo ŕıgido afecta tanto al movimiento de
traslación como al de rotación del cuerpo.
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Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
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Torque puro
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
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Torque puro
Torque puro
A diferencia de las part́ıculas, cuyos movimientos solo se ven afectados por fuerzas,
el movimiento de un cuerpo ŕıgido se ve afectado por fuerzas y los llamados torques
puros.
Definición (Torque puro)
Un torque puro es un momentum aplicado a un cuerpo que surge por la acción de
más de una fuerza. La suma de tales fuerzas es cero, y el movimiento generado es
puramente rotatorio.
Consideremos un torque puro τ⃗P que actúa sobre un punto P en un cuerpo ŕıgido
R como se muestra a continuación.
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Torque puro
Torque puro
Figure: Torque puro τ⃗P que actúa sobre un cuerpo ŕıgido R relativo al punto P .1
1
A. V. Rao, Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach, Cambridge University Press, 2005.
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Torque puro
Torque puro
Supongamos ahora que reemplazamos τ⃗P con un par de fuerzas F⃗ y −F⃗ , que se
aplican en los puntos A y B, respectivamente. Los puntos A y B pueden expresarse
como posiciones relativas al punto P de la siguiente manera:
ρ⃗ = r⃗A/P = Posición de A relativa a P . (1)
−ρ⃗ = r⃗B/P = Posición de B relativa a P . (2)
Definición (Cupla)
Una cupla se forma a partir de un par de fuerzas (F⃗ ,−F⃗ ), junto con las posiciones
relativas (ρ⃗,−ρ⃗), y se denota (ρ⃗, F⃗ ).
Observación (Cupla)
Nótese que en una cupla (ρ⃗, F⃗ ), el par de fuerzas (F⃗ ,−F⃗ ) suma cero, por lo que
no genera desplazamiento del cuerpo ŕıgido, sino que solo rotación.
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Torque puro
Torque puro
Figure: Cupla (ρ⃗, F⃗ ) que reemplaza un torque puro τ⃗P que actúa sobre un cuerpo
ŕıgido con respecto al punto P .1
1
A. V. Rao, Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach, Cambridge University Press, 2005.
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Torque puro
Torque puro
En términos de la cupla (ρ⃗, F⃗ ), el torque puro τ⃗P se puede escribir como
τ⃗P = ρ⃗× F⃗ + (−ρ⃗)× (−F⃗ ) = 2ρ⃗× F⃗ .
Observación (Torque puro)
No existe una cupla única (ρ⃗, F⃗ ) para reemplazar un torque puro porque la posición
relativa ρ⃗ y la fuerza F⃗ se pueden escalar de manera rećıproca mediante un escalar
a, a ̸= 0, sin cambiar el valor de τ⃗P , es decir,
(aρ⃗)× (F⃗ /a) + (−aρ⃗)× (−F⃗ /a) = 2ρ⃗× F⃗ = τ⃗P .
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Torque puro
Torque puro
Supongamos ahora que se elige un punto arbitrario Q (diferente del punto P ) en
el cuerpo ŕıgido. Además, sean r⃗P/Q la posición del punto P relativa a Q y r⃗A/Q
y r⃗B/Q las posiciones de los puntos A y B relativas al punto Q, respectivamente.
Luego,
r⃗A/Q = r⃗P/Q + r⃗A/P = r⃗P/Q + ρ⃗
r⃗B/Q = r⃗P/Q + r⃗B/P = r⃗P/Q − ρ⃗.
El momentum sobre el punto Q debido la cupla (ρ⃗, F⃗ ), denotado τ⃗Q, está dado
por
τ⃗Q = r⃗A/Q × F⃗ + r⃗B/Q × (−F⃗ )
= (r⃗P/Q + ρ⃗)× F⃗ + (r⃗P/Q − ρ⃗)× (−F⃗ )
= r⃗P/Q × F⃗ + ρ⃗× F⃗ + r⃗P/Q × (−F⃗ ) + (−ρ⃗)× (−F⃗ )
= 2ρ⃗× F⃗
≡ τ⃗P .
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Torque puro
Torque puro
Observación (Torque puro invariante a traslaciones)
El momentum τ⃗Q sobre el punto Q y el momento τ⃗P sobre el punto P debido a
la cupla (ρ⃗, F⃗ ) son idénticos. En otras palabras, un torque puro se puede trasladar
entre dos puntos cualesquiera en un cuerpo ŕıgido sin cambiar su efecto sobre el
cuerpo.
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Torque puro Potencia y trabajo
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
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Torque puro Potencia y trabajo
Potencia y trabajo
Supongamos que τ⃗ es un torque puro que actúa sobre un cuerpo ŕıgido R. Además,
sea N ω⃗R la velocidad angular de R en un marco de referencia inercial N .
Definición (Potencia de un torque puro)
La potencia producida por un torque puro τ⃗ en el marco de referencia N se define
como
NPτ⃗ = τ⃗ · N ω⃗R.
Definición (Trabajo de un torque puro)
El trabajo de un torque puro τ⃗ en el intervalo de tiempo de t1 a t2 en el marco de
referencia N está dado por
NWτ⃗ =
∫ t2
t1
NPτ⃗dt =
∫ t2
t1
τ⃗ · N ω⃗Rdt.
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Torque puro Torques conservativos
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
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Torque puro Torques conservativosTorques conservativos
Sea Θ⃗ ∈ R3 un vector columna cuyos elementos describen la orientación de un
cuerpo ŕıgido R en un marco de referencia inercial N , es decir,
Θ⃗ =
θ1θ2
θ3
 .
Definición (Torque conservativo)
Se dice que un torque τ⃗ c es conservativo si el trabajo realizado es independiente de
la trayectoria tomada para rotar el cuerpo ŕıgido desde Θ⃗(t1) = Θ⃗1 a Θ⃗(t2) = Θ⃗2.
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Torque puro Torques conservativos
Torques conservativos
En otras palabras, si N ω⃗R
(1)
, . . . ,N ω⃗R
(n)
son las velocidades angulares en un
marco de referencia inercial N que corresponden a un conjunto arbitrario de n
trayectorias que comienzan en Θ⃗1 y terminan en Θ⃗2, entonces el torque puro τ⃗
c es
conservativo si, para todas las n trayectorias), tenemos
NWτ⃗
c
12 =
∫ t2
t1
τ⃗ c · N ω⃗R
(1)
dt = . . . =
∫ t2
t1
τ⃗ c · N ω⃗R
(n)
dt.
Definición (Enerǵıa potencial de un torque)
Una consecuencia del hecho de que un torque conservativo sea independiente de la
trayectoria, es que existe una función escalar NV = NV (Θ⃗) tal que
τ⃗ c = −∇Θ⃗
NV = − ∂
∂Θ⃗
(NV )
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Torque puro Torques conservativos
Torques conservativos
Definición (Potencia de un torque conservativo)
La potencia de un torque conservativo se puede escribir como
NP cτ⃗ = τ⃗
c · N ω⃗R = −∇Θ⃗
NV · N ω⃗R.
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Teorema de Transporte de Torque
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
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Teorema de Transporte de Torque
Teorema de Transporte de Torque
Sean F⃗1, . . . , F⃗n las fuerzas que actúan sobre un cuerpo ŕıgido R. Además, sean
r⃗1, . . . , r⃗n las posiciones en que se aplican dichas fuerzas, respectivamente. Fi-
nalmente, sea τ⃗ el torque puro resultante que actúa sobre R. Entonces el torque
resultante relativo a un punto arbitrario Q se define como
M⃗Q =
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)× F⃗i + τ⃗ .
Supongamos ahora que consideramos otro punto arbitrario Q′. Análogamente
tenemos que el torque debido a todas las fuerzas y todos los torques puros relativos
al punto Q′ es
M⃗Q′ =
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q′)× F⃗i + τ⃗ .
Restando ambas ecuaciones anteriores, nos queda
M⃗Q − M⃗Q′ = (r⃗Q′ − r⃗Q)×
n∑
i=1
F⃗i.
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Teorema de Transporte de Torque
Teorema de Transporte de Torque
Denotemos la sumatoria de fuerzas como
F⃗ =
n∑
i=1
F⃗i.
Teorema (Teorema de Transporte de Torque)
El Teorema del Transporte de Torque establece que
M⃗Q = M⃗Q′ + (r⃗Q′ − r⃗Q)× F⃗ .
El Teorema de Transporte de Torque se puede utilizar para determinar el torque
aplicado a un cuerpo ŕıgido R relativo a un punto Q cuando ya se conoce el torque
aplicado relativo a un punto Q′.
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Leyes de Euler
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
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Leyes de Euler
Leyes de Euler
Las Leyes de Euler consisten en una extensión al movimiento de cuerpos ŕıgidos
de las Leyes de Newton, que describen movimiento de part́ıculas puntuales.
Sir Isaac Newton (1642-1727).1 Leonhard Euler (1707-1783).2
1
https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac Newton
2
https://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard Euler
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Leyes de Euler
Leyes de Euler
Debido a que un cuerpo ŕıgido tiene movimiento tanto de traslación como de
rotación, se requieren dos leyes de equilibrio independientes para especificar com-
pletamente el movimiento del cuerpo. En particular, se necesita una ley de equilibrio
para describir el movimiento de traslación y otra ley para describir el movimiento
de rotación del cuerpo ŕıgido. Estas dos leyes de equilibrio para un cuerpo ŕıgido
se denominan Leyes de Euler
1 Primera Ley de Euler: La fuerza resultante aplicada a un cuerpo ŕıgido R
es igual al producto de la masa del cuerpo ŕıgido y la aceleración de su
centro de masa en un sistema de referencia inercial N , es decir,
F⃗ = mN ⃗̄a.
2 Segunda Ley de Euler: El momentum (torque) resultante aplicado a un
cuerpo ŕıgido R relativo a un punto O punto fijo en un marco de referencia
inercial N es igual a la derivada temporal del momentum angular del cuerpo
ŕıgido relativo al punto O en el marco de referencia N , es decir,
M⃗O =
N d
dt
(N
H⃗O
)
.
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Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
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Segunda Ley de Euler: Formas alternativas Relativa a punto arbitrario
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
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Segunda Ley de Euler: Formas alternativas Relativa a punto arbitrario
Relativa a punto arbitrario
Recordando que la relación entre el momentum angular de un cuerpo ŕıgido en
un sistema de referencia inercial N relativo a un punto de referencia arbitrario
Q,
N
H⃗Q, y el momentum angular de un cuerpo ŕıgido en un marco de referencia
inercial N relativo a un punto O fijo en N ,
N
H⃗O, está dado por (ver Diapositiva
13, Parte A)
N
H⃗Q =
N
H⃗O −
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN v⃗Q − (r⃗Q − r⃗O)×m
N ⃗̄v,
entonces podemos derivar temporalmente en el marco de referencia N . Aśı,
N d
dt
(N
H⃗Q
)
=
N d
dt
(N
H⃗O
)
−
(
N ⃗̄v −�
��>N v⃗Q
)
×mN v⃗Q −
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN a⃗Q
. . .−
(
N v⃗Q −��
�*0N v⃗O
)
×mN ⃗̄v − (r⃗Q − r⃗O)×m
N ⃗̄a.
Notando que
N ⃗̄v × N v⃗Q = −N v⃗Q ×
N ⃗̄v,
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Segunda Ley de Euler: Formas alternativas Relativa a punto arbitrario
Relativa a punto arbitrario
N d
dt
(N
H⃗Q
)
=
N d
dt
(N
H⃗O
)
−
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN a⃗Q − (r⃗Q − r⃗O)×m
N ⃗̄a.
Aplicando la Segunda Ley de Euler y luego el Teorema de Transporte de Torque,
nos queda
N d
dt
(N
H⃗Q
)
= M⃗O −
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN a⃗Q − (r⃗Q − r⃗O)×m
N ⃗̄a
= M⃗Q +���
���
�:
(r⃗Q − r⃗O)× F⃗ −
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN a⃗Q −���
��
���
�:
(r⃗Q − r⃗O)×m
N ⃗̄a.
Observación (Momentum inercial relativo)
La cantidad
(r⃗Q− ⃗̄r)×mN a⃗Q
es conocida como momentum de inercia del punto Q relativo al centro de masa
del cuerpo ŕıgido.
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Segunda Ley de Euler: Formas alternativas Relativa a punto arbitrario
Relativa a punto arbitrario
Observación (Segunda Ley de Euler relativa a punto arbitrario)
El momentum (torque) resultante aplicado a un cuerpo ŕıgido R relativo a un
punto de referencia arbitrario Q en un marco de referencia inercial N es igual a
la derivada temporal del momentum angular del cuerpo ŕıgido relativo al punto de
referencia Q en el marco de referencia N , es decir,
N d
dt
(N
H⃗Q
)
= M⃗Q + (r⃗Q − ⃗̄r)×mN a⃗Q.
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Segunda Ley de Euler: Formas alternativas Relativa a centro de masa
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
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Segunda Ley de Euler: Formas alternativas Relativa a centro de masa
Relativa a centro de masa
Supongamos que elegimos el punto de referencia Q pasa a ser el centro de masa
del cuerpo ŕıgido. Entonces r⃗Q = ⃗̄r, lo que implica que (r⃗Q − ⃗̄r) ×mN a⃗Q = 0 y
M⃗Q =
⃗̄M . Por lo tanto, la Segunda Ley de Euler relativa al centro de masa del
cuerpo ŕıgido quedaŕıa como se muestra a continuación.
Observación (Segunda Ley de Euler relativa a centro de masa)
El momentum (torque) resultante aplicado a un cuerpo ŕıgidoR relativo a su centro
de masa en un marco de referencia inercial N es igual a la derivada temporal del
momentum angular del cuerpo ŕıgido relativo a su centro de masa en el marco de
referencia N , es decir,
⃗̄M =
N d
dt
(
N ⃗̄H
)
.
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Sistema de cuerpos ŕıgidos
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte B 17 de Noviembre, 2022 32 / 43
Sistema de cuerpos ŕıgidos
Sistema de cuerpos ŕıgidos
Los problemas que involucran un sistema de cuerpos ŕıgidos se resuelven de manera
similar a los problemas que involucran un sistema de part́ıculas, es decir, en un
problema que involucra múltiples cuerpos ŕıgidos, se analiza el sistema dividido en
subsistemas de todo el sistema y el movimiento de cada subsistema relevante. Sin
embargo, a diferencia de una part́ıcula, que tiene solo una ley fundamental de la
cinética, un cuerpo ŕıgido tiene dos leyes fundamentales de la cinética.
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Dinámica rotacional
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte B 17 de Noviembre, 2022 34 / 43
Dinámica rotacional Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos - Parte B 17 de Noviembre, 2022 35 / 43
Dinámica rotacional Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Recordemos que el momentum angular de un cuerpo ŕıgido R relativo a un punto
Q fijo en R se puede escribir en términos del tensor de momento de inercia I⃗RQ
como
N
H⃗Q = I⃗
R
Q ·
N ω⃗R.
Tomando su derivada temporal en un marco de referencia inercial N , obtenemos
N d
dt
(N
H⃗Q
)
=
N d
dt
(
I⃗RQ ·
N ω⃗R
)
Aplicando el Teorema de Transporte de Torque, notamos que
N d
dt
(
I⃗RQ ·
N ω⃗R
)
=
R d
dt
(
I⃗RQ ·
N ω⃗R
)
+ N ω⃗R ×
(
I⃗RQ ·
N ω⃗R
)
=
�
��
��*
0
R d
dt
(
I⃗RQ
)
· N ω⃗R + I⃗RQ ·
R d
dt
(
N ω⃗R
)
︸ ︷︷ ︸
N α⃗R
+N ω⃗R ×
(
I⃗RQ ·
N ω⃗R
)
.
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Dinámica rotacional Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Con esto nos queda
N d
dt
(N
H⃗Q
)
= I⃗RQ ·
N α⃗R + N ω⃗R ×
(
I⃗RQ ·
N ω⃗R
)
.
Sin embargo, como vimos anteriormente, se puede demostrar que
N d
dt
(N
H⃗Q
)
= M⃗Q + (r⃗Q − ⃗̄r)×mN a⃗Q.
Aśı, finalmente,
⇒ M⃗Q + (r⃗Q − ⃗̄r)×mN a⃗Q = I⃗RQ ·
N α⃗R + N ω⃗R ×
(
I⃗RQ ·
N ω⃗R
)
.
Observación (Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia)
La Segunda Ley de Euler en términos del tensor de inercia referido al centro de
masa de un cuerpo ŕıgido R, sin asumir un sistema de coordenadas, está dada por
⃗̄M = ⃗̄IR · N α⃗R + N ω⃗R ×
(
⃗̄IR · N ω⃗R
)
.
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Dinámica rotacional Ecuaciones de Euler
Contenidos
1 Torque puro
Potencia y trabajo
Torques conservativos
2 Teorema de Transporte de Torque
3 Leyes de Euler
4 Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
Relativa a punto arbitrario
Relativa a centro de masa
5 Sistema de cuerpos ŕıgidos
6 Dinámica rotacional
Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
Ecuaciones de Euler
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Dinámica rotacional Ecuaciones de Euler
Ecuaciones de Euler
Sea {e⃗1, e⃗2, e⃗3} una base fija en un cuerpo ŕıgido R. Entonces,
N ω⃗R = ω1e⃗1 + ω2e⃗2 + ω3e⃗3
N α⃗R = ω̇1e⃗1 + ω̇2e⃗2 + ω̇3e⃗3
Como ⃗̄IR =
∑3
i=1
∑3
j=1 Īij e⃗i ⊗ e⃗j , entonces por las propiedades del producto
tensorial obtenemos
⃗̄IR · N ω⃗R = (Ī11ω1 + Ī12ω2 + Ī13ω3)e⃗1
. . .+ (Ī12ω1 + Ī22ω2 + Ī23ω3)e⃗2
. . .+ (Ī13ω1 + Ī23ω2 + Ī33ω3)e⃗3
⃗̄IR · N α⃗R = (Ī11ω̇1 + Ī12ω̇2 + Ī13ω̇3)e⃗1
. . .+ (Ī12ω̇1 + Ī22ω̇2 + Ī23ω̇3)e⃗2
. . .+ (Ī13ω̇1 + Ī23ω̇2 + Ī33ω̇3)e⃗3
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Dinámica rotacional Ecuaciones de Euler
Ecuaciones de Euler
Si denotamos
H1 = Ī11ω1 + Ī12ω2 + Ī13ω3
H2 = Ī12ω1 + Ī22ω2 + Ī23ω3
H3 = Ī13ω1 + Ī23ω2 + Ī33ω3,
entonces
N ω⃗R ×
(
⃗̄IR · N ω⃗R
)
= (H3ω2 −H2ω3)e⃗1 + (H1ω3 −H3ω1)e⃗2
. . .+ (H2ω1 −H1ω2)e⃗3.
Por otra parte, asumiendo que ⃗̄M = M̄1e⃗1 + M̄2e⃗2 + M̄3e⃗3, nos queda que
M̄1 = (Ī11ω̇1 + Ī12ω̇2 + Ī13ω̇3) + (H3ω2 −H2ω3)
M̄2 = (Ī12ω̇1 + Ī22ω̇2 + Ī23ω̇3) + (H1ω3 −H3ω1)
M̄3 = (Ī13ω̇1 + Ī23ω̇2 + Ī33ω̇3) + (H2ω1 −H1ω2).
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Dinámica rotacional Ecuaciones de Euler
Ecuaciones de Euler
Substituyendo los valores de H1, H2 y H3 llegamos a lo siguiente.
Observación (Ecuación de Euler)
Asumiendo {e⃗1, e⃗2, e⃗3} es una base fija en un cuerpo ŕıgido R, la Segunda Ley de
Euler da lugar a las siguientes ecuaciones
M̄1 = Ī11ω̇1+ Ī12(ω̇2 − ω1ω3) + Ī13(ω̇3 + ω1ω2)
. . .+ (Ī33 − Ī22)ω3ω2 + Ī23(ω22 − ω32)
M̄2 = Ī12(ω̇1 + ω2ω3) + Ī22ω̇2 + Ī23(ω̇3 − ω1ω2)
. . .+ (Ī11 − Ī33)ω1ω3 + Ī13(ω32 − ω12)
M̄3 = Ī13(ω̇1 − ω2ω3) + Ī23(ω̇2 + ω1ω3) + Ī33ω̇3
. . .+ (Ī22 − Ī11)ω2ω1 + Ī12(ω12 − ω22).
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Dinámica rotacional Ecuaciones de Euler
Ecuaciones de Euler
Observación (Ecuación de Euler en Ejes Principales)
Si {e⃗1, e⃗2, e⃗3} es una base fija en los ejes principales de un cuerpo ŕıgido R, la
Segunda Ley de Euler da lugar a las siguientes ecuaciones
M̄1 = Ī1ω̇1 + (Ī3 − Ī2)ω3ω2
M̄2 = Ī2ω̇2 + (Ī1 − Ī3)ω1ω3
M̄3 = Ī3ω̇3 + (Ī2 − Ī1)ω2ω1.
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Fin de la presentación
Caṕıtulo 4: Cinética de Cuerpos Ŕıgidos
- Parte B
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña-Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
17 de Noviembre, 2022
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	Torque puro
	Potencia y trabajo
	Torques conservativos
	Teorema de Transporte de Torque
	Leyes de Euler
	Segunda Ley de Euler: Formas alternativas
	Relativa a punto arbitrario
	Relativa a centro de masa
	Sistema de cuerpos rígidos
	Dinámica rotacional
	Segunda Ley de Euler y Tensor de Inercia
	Ecuaciones de Euler
	Fin de la presentación