3A - Cinética Sistema Partículas - Dinámica de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

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Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas
- Parte A
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña-Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
11 de Octubre, 2022
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte A11 de Octubre, 2022 1 / 36
El contenido de esta presentación ha sido basado mayormente en el siguiente libro:
A. V. Rao, “Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach,”
Cambridge University Press, 2005.
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Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Segunda Ley de Newton
4 Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
5 Derivada temporal del momentum angular
6 Impulso y momentum
Impulso lineal y momentum lineal
Impulso angular y momentum angular
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Centro de masa y momentum lineal
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Segunda Ley de Newton
4 Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
5 Derivada temporal del momentum angular
6 Impulso y momentum
Impulso lineal y momentum lineal
Impulso angular y momentum angular
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Centro de masa y momentum lineal
Centro de masa
Definición (Centro de masa)
Consideremos un sistema que consta de n part́ıculas P1, . . . , Pn de masa
m1, . . . ,mn, respectivamente. Además, sea N un marco de referencia inercial
y sea r⃗i (i = 1, . . . , n) la posición de la i-ésima part́ıcula en el marco de referencia
N . Entonces la posición del centro de masa del sistema se define como
⃗̄r =
∑n
i=1 mir⃗i∑n
i=1 mi
=
∑n
i=1 mir⃗i
m
,
donde
m =
n∑
i=1
mi
es la masa total del sistema.
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Centro de masa y momentum lineal
Centro de masa
Figure: Un sistema de n part́ıculas que se mueven en un marco de referencia
inercial N .1
1
A. V. Rao, Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach, Cambridge University Press, 2005.
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Centro de masa y momentum lineal
Momentum lineal
Definición (Momentum lineal)
El momentum lineal de un sistema de n part́ıculas se define como
N
G⃗ =
n∑
i=1
mi
N v⃗i
A partir de la noción de momentum lineal se tiene que
N
G⃗ =
n∑
i=1
mi
N dr⃗i
dt
=
N d
dt
(
n∑
i=1
mi
N r⃗i
)
=
N d
dt
(
m⃗̄r
)
= m
N
d⃗̄r
dt
= m
N ⃗̄v
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Centro de masa y momentum lineal
Velocidad de un centro de masa
Definición (Velocidad de un centro de masa)
La velocidad del centro de masa de un sistema de n part́ıculas se define como
N ⃗̄v =
∑n
i=1 mi
N v⃗i
m
=
N
d⃗̄r
dt
.
donde ⃗̄r es la posición del centro de masa y N v⃗i (i = 1, . . . , n) es la velocidad de
la i-ésima part́ıcula en el marco de referencia N .
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Centro de masa y momentum lineal
Aceleración de un centro de masa
Definición (Aceleración de un centro de masa)
La aceleración del centro de masa de un sistema de n part́ıculas se define como
N ⃗̄a =
∑n
i=1 mi
N a⃗i
m
=
N d
dt
(
N ⃗̄v
)
.
donde
N ⃗̄v es la velocidad del centro de masa y N a⃗i (i = 1, . . . , n) es la aceleración
de la i-ésima part́ıcula en el marco de referencia N .
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Momentum angular
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Segunda Ley de Newton
4 Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
5 Derivada temporal del momentum angular
6 Impulso y momentum
Impulso lineal y momentum lineal
Impulso angular y momentum angular
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Momentum angular
Momentum angular
Definición (Momentum angular)
El momentum angular de un sistema de n part́ıculas relativo a un punto arbitrario
Q se define como
N
H⃗Q =
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)×mi
(
N v⃗i − N v⃗Q
)
.
Por lo tanto, Q coincide con el centro de masa del sistema, tenemos
Definición (Momentum angular relativo a centro de masa)
El momentum angular de un sistema de n part́ıculas relativo a su centro de masa
se define como
N ⃗̄H =
n∑
i=1
(
r⃗i − ⃗̄r
)
×mi
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
.
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Momentum angular
Momentum angular
Consideremos ahora los momentums angulares relativos a un punto arbitrario Q y
a un punto O fijo en el marco de referencia inercial N , respectivamente. Entonces
N
H⃗Q −
N
H⃗O =
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)×mi
(
N v⃗i − N v⃗Q
)
−
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗O)×miN v⃗i
=
��
��
�
��*n∑
i=1
r⃗i ×miN v⃗i −
n∑
i=1
r⃗i ×miN v⃗Q −
n∑
i=1
r⃗Q ×miN v⃗i
. . .+
n∑
i=1
r⃗Q ×miN v⃗Q −
�
��
�
��
�*n∑
i=1
r⃗i ×miN v⃗i +
n∑
i=1
r⃗O ×miN v⃗i
= −⃗̄r ×mN v⃗Q − r⃗Q ×m
N ⃗̄v + r⃗Q ×mN v⃗Q + r⃗O ×m
N ⃗̄v
N
H⃗Q =
N
H⃗O −
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN v⃗Q − (r⃗Q − r⃗O)×m
N ⃗̄v.
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Momentum angular
Momentum angular
Si ahora consideráramos que la posición Q correspondiera al centro de masa del
sistema, entonces tendŕıamos que
N ⃗̄H =
N
H⃗O −���
��
���: 0⃗(
⃗̄r − ⃗̄r
)
×mN ⃗̄v −
(
⃗̄r − r⃗O
)
×mN ⃗̄v
N ⃗̄H =
N
H⃗O −
(
⃗̄r − r⃗O
)
×mN ⃗̄v.
Despejando
N
H⃗O de la ecuación destacada en la diapositiva anterior obtenemos
N
H⃗O =
N
H⃗Q +
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN v⃗Q + (r⃗Q − r⃗O)×m
N ⃗̄v.
Substituyendo esta expresión en la ecuación destacada en esta diapositiva, nos
queda
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Momentum angular
Momentum angular
N ⃗̄H =
N
H⃗Q +
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN v⃗Q + (r⃗Q − r⃗O)×m
N ⃗̄v −
(
⃗̄r − r⃗O
)
×mN ⃗̄v.
Observación (Momentum angular relativo a punto arbitrario)
El momentum angular de un sistema de part́ıculas relativo a un punto de referencia
arbitrario Q puede reescribirse en términos del centro de masa del sistema como
N
H⃗Q =
N ⃗̄H +
(
r⃗Q − ⃗̄r
)
×m
(
N v⃗Q −
N ⃗̄v
)
.
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Segunda Ley de Newton
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Segunda Ley de Newton
4 Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
5 Derivada temporal del momentum angular
6 Impulso y momentum
Impulso lineal y momentum lineal
Impulso angular y momentum angular
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Segunda Ley de Newton
Segunda Ley de Newton
Supongamos que dejamos que R⃗i es la fuerza resultante que actúa sobre la part́ıcula
i en un sistema de n part́ıculas. La fuerza resultante que actúa sobre la part́ıcula i
se puede descomponer en dos partes: (1) una fuerza externa al sistema y (2) una
fuerza debida a todas las demás part́ıculas del sistema. Por conveniencia, sean
F⃗i = Fuerza externa al sistema ejercida sobre la part́ıcula i-ésima,
f⃗ij = Fuerza ejercida por la j-ésima part́ıcula sobre la part́ıcula i-ésima,
con i, j = 1, . . . , n.
Por la Tercera Ley de Newton se tiene que
f⃗ij = −f⃗ji.
Además, como una part́ıcula no puede ejercer fuerza sobre śı misma, entonces
f⃗ii = 0.
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Segunda Ley de Newton
Segunda Ley de Newton
En consecuencia, la fuerza resultante que actúa sobre la part́ıcula i, denotada R⃗i,
está dada por
R⃗i = F⃗i +
n∑
j=1
f⃗ij , i = 1, . . . , n.
Aśı, aplicando la Segunda Ley de Newton sobre la i-ésima part́ıcula obtenemos
mi
N a⃗i = F⃗i +
n∑
j=1
f⃗ij .
Sumando sobre todas las part́ıculas del sistema, nos queda que
n∑
i=1
mi
N a⃗i =
n∑
i=1
F⃗i +
�
�
�
�
�>
0
n∑
i=1
n∑
j=1
f⃗ij .
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Segunda Ley de Newton
Segunda Ley de Newton
Definición (Segunda Ley de Newton para un sistema de part́ıculas)
La Segunda Ley de Newton para un sistema de n part́ıculas es
m
N ⃗̄a =
n∑
i=1
F⃗i
Esta ecuación establece que la fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema
de part́ıculas es igual al producto entre la masa del sistema y la aceleración del
centro de masa del mismo.
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Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Segunda Ley de Newton
4 Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
5 Derivada temporal del momentum angular
6 Impulso y momentum
Impulso lineal y momentum lineal
Impulso angular y momentum angular
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Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
Torque
Consideremos un sistema de part́ıculas P1, . . . , Pn de masa m1, . . . ,mn, respec-
tivamente. Además, sean F⃗1, . . . , F⃗n las fuerzas externas resultantes que actúan,
respectivamente, sobre P1, . . . , Pn. Finalmente, sea N un marco de referencia in-
ercial y sea Q un punto arbitrario. Entonces el torque debido a todas las fuerzas
externas relativo al punto Q, se define como
M⃗Q =
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)× F⃗i.
Por lo tanto, el torque debido a todas las fuerzas externas relativo al punto O seŕıa
M⃗O =
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗O)× F⃗i.
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Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
Torque
Definición (Torque relativo al centro de masa)
El torque debido a todas las fuerzas externas relativo al centro de masa se define
como
⃗̄M =
n∑
i=1
(
r⃗i − ⃗̄r
)
× F⃗i.
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Derivada temporal del momentum angular
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Segunda Ley de Newton
4 Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
5 Derivada temporal del momentum angular
6 Impulso y momentum
Impulso lineal y momentum lineal
Impulso angular y momentum angular
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Derivada temporal del momentum angular
Derivada temporal del momentum angular
Anteriormente vimos que el momentum angular de un sistema de n part́ıculas
relativo a un punto arbitrario Q se define como
N
H⃗Q =
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)×mi
(
N v⃗i − N v⃗Q
)
.
Derivando esta expresión respecto al tiempo, tenemos
N d
dt
(N
H⃗Q
)
=
��
���
���
���
���
���:
0
n∑
i=1
(
N v⃗i − N v⃗Q
)
×mi
(
N v⃗i − N v⃗Q
)
. . .+
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)×mi
(
N a⃗i − N a⃗Q
)
=
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)×miN a⃗i −
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)×miN a⃗Q
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Derivada temporal del momentum angular
Derivada temporal del momentum angular
N d
dt
(N
H⃗Q
)
=
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)×miN a⃗i −
n∑
i=1
r⃗i ×miN a⃗Q +
n∑
i=1
r⃗Q ×miN a⃗Q
=
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)×miN a⃗i −
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN a⃗Q
=
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)×
F⃗i + n∑
j=1
f⃗ij
− (⃗̄r − r⃗Q)×mN a⃗Q
=
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)× F⃗i +
��
���
���
���:0n∑
i=1
n∑
j=1
(r⃗i − r⃗Q)× f⃗ij
. . .−
(
⃗̄r − r⃗Q
)
×mN a⃗Q
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Derivada temporal del momentum angular
Derivada temporal del momentum angular
Definición (Derivada temporal del momentum angular)
La derivada temporal del momentum angular de un sistema de n part́ıculas en un
marco de referencia inercial N relativo a un punto Q arbitrario se define como
N d
dt
(N
H⃗Q
)
= M⃗Q + (r⃗Q − ⃗̄r)×mN a⃗Q
Observación (momentum inercial relativo a centro de masa)
La expresión
(r⃗Q − ⃗̄r)×mN a⃗Q
es conocida como momentum de inercia del punto Q relativo al centro de masa
del sistema.
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Derivada temporal del momentum angular
Derivada temporal del momentum angular
Observación (Derivada temporal del momentum angular simplificada)
Supongamos que elegimos un punto de referencia O que está fijo en el marco de
referencia inercial N . Entonces la aceleración del punto O en N es cero, lo que
implica que el momentum de inercia relativo a dicho punto es cero también. Aśı,
N d
dt
(N
H⃗O
)
= M⃗O
Si en cambio elegimos como punto de referencia el centro de masa, obtendŕıamos
N d
dt
(
N ⃗̄H
)
= ⃗̄M
Se ve a partir de estos resultados que, para los casos especiales en los que el punto
de referencia está fijo en un sistema de referencia inercial N o si es el centro
de masa del sistema, la suma de los torques debidos a todas las fuerzas externas
relativo al punto de referencia es igual a la derivada temporal del momento angular
relativo al punto de referencia.
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Impulso y momentum
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Segunda Ley de Newton
4 Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
5 Derivada temporal del momentum angular
6 Impulso y momentum
Impulso lineal y momentum lineal
Impulso angular y momentum angular
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Impulso y momentum Impulso lineal y momentum lineal
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Segunda Ley de Newton
4 Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
5 Derivada temporal del momentum angular
6 Impulso y momentum
Impulso lineal y momentum lineal
Impulso angular y momentum angular
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte A11 de Octubre, 2022 28 / 36
Impulso y momentum Impulso lineal y momentum lineal
Impulso lineal y momentum lineal
Definición (Momentum lineal)
El momentum lineal de un sistema de n part́ıculas en el marco de referencia N ,
denotado
N
G⃗, se define como
N
G⃗ = m
N ⃗̄v =
n∑
i=1
mi
N v⃗i =
n∑
i=1
N
G⃗i,
donde
N
G⃗i, i = 1, . . . , n, es el momentum lineal de la i-ésima part́ıcula.
Definición (Impulso lineal)
El impulso lineal de una fuerza externa F⃗ sobre un sistema de n part́ıculas en el
intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2] se define como
ˆ⃗
F =
∫ t2
t1
F⃗ dt.
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Impulso y momentum Impulso lineal y momentum lineal
Impulso lineal y momentum lineal
Recordemos que la Segunda Ley de Newton para un sistema de part́ıculas es
F⃗ = m
N ⃗̄a.
Consideramos el movimiento en un intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2]. Luego, inte-
grando la ecuación anterior en dicho intervalo se cumple que∫ t2
t1
F⃗ dt =
∫ t2
t1
m
N ⃗̄adt = m
(
N ⃗̄v2 −
N ⃗̄v1
)
Definición (Principio de impulso y momentum lineal)
El principio de impulso y momentum lineal para el caso de un sistema de n part́ıculas
establece que
ˆ⃗
F =
N
G⃗(t2)−N
G⃗(t1)
= m
N ⃗̄v(t2)−m
N ⃗̄v(t1).
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Impulso y momentum Impulso angular y momentum angular
Contenidos
1 Centro de masa y momentum lineal
2 Momentum angular
3 Segunda Ley de Newton
4 Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
5 Derivada temporal del momentum angular
6 Impulso y momentum
Impulso lineal y momentum lineal
Impulso angular y momentum angular
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Impulso y momentum Impulso angular y momentum angular
Impulso angular y momentum angular
Definición (Momentum angular)
El momentum angular de un sistema de n part́ıculas relativo a un punto arbitrario
Q se define como
N
H⃗Q =
n∑
i=1
(r⃗i − r⃗Q)×mi
(
N v⃗i − N v⃗Q
)
.
Definición (Impulso angular)
El impulso angular de una fuerza externa F⃗ sobre un sistema de n part́ıculas en el
intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2] se define como
ˆ⃗
MQ =
∫ t2
t1
M⃗Qdt.
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Impulso y momentum Impulso angular y momentum angular
Impulso angular y momentum angular
Recordemos que la derivada temporal del momentum angular de un sistema de n
part́ıculas en un marco de referencia inercial N relativo a un punto Q arbitrario se
define como
M⃗Q + (r⃗Q − ⃗̄r)×mN a⃗Q =
N d
dt
(N
H⃗Q
)
Consideramos el movimiento en un intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2]. Luego, inte-
grando la ecuación anterior en dicho intervalo se cumple que∫ t2
t1
(
M⃗Q + (r⃗Q − ⃗̄r)×mN a⃗Q
)
dt =
∫ t2
t1
N d
dt
(N
H⃗Q
)
dt
Definición (Principio de impulso y momentum angular)
El principio de impulso y momentum angular relativo a un punto arbitrario Q para
el caso de un sistema de n part́ıculas establece que
ˆ⃗
MQ +
∫ t2
t1
(r⃗Q − ⃗̄r)×mN a⃗Qdt =
N
H⃗Q(t2)−
N
H⃗Q(t1)
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Impulso y momentum Impulso angular y momentum angular
Impulso angular y momentum angular
Observación (Momentum inercial relativo)
La expresión ∫ t2
t1
(r⃗Q − ⃗̄r)×mN a⃗Qdt
es conocida como impulso angular de inercia del punto Q relativo al centro de masa
en un intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2].
Observación (Principio de impulso y momentum angular relativo a punto inercial)
Supongamos ahora que elegimos un punto de referencia O que está fijo en el marco
de referencia inercial N . Entonces la aceleración del punto O es cero, y aśı
ˆ⃗
MO =
N
H⃗O(t2)−
N
H⃗O(t1)
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte A11 de Octubre, 2022 34 / 36
Impulso y momentum Impulso angular y momentum angular
Impulso angular y momentum angular
Observación (Principio de impulso y momentum angular relativo a centro de
masa)
Supongamos ahora que elegimos al centro de masa como punto de referencia.
Entonces el impulso angular de inercia del punto Q relativo al centro de masa es
cero, y aśı
⃗̂̄
M =
N ⃗̄H(t2)−
N ⃗̄H(t1),
donde
⃗̂̄
M es el impulso angular debido a todas las fuerzas externas relativas al
centro de masa del sistema, es decir,
⃗̂̄
M =
∫ t2
t1
⃗̄Mdt.
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte A11 de Octubre, 2022 35 / 36
Fin de la presentación
Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas
- Parte A
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña-Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
11 de Octubre, 2022
David E. Acuña-Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte A11 de Octubre, 2022 36 / 36
	Centro de masa y momentum lineal
	Momentum angular
	Segunda Ley de Newton
	Momentum de un sistema de fuerzas (torque)
	Derivada temporal del momentum angular
	Impulso y momentum
	Impulso lineal y momentum lineal
	Impulso angular y momentum angular
	Fin de la presentación