Capitulo3_Conduccion_TS_share - Edwin (1)

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TRANSFERENCIA 
DE CALOR
MECD543 
Carlos Naranjo Mendoza
Semestre 2022A
Para lectura, C
arlos N
aranjo
CAPÍTULO 3
CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO
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CAPÍTULO 3
CONTENIDO:
• Método de la resistencia interna 
despreciable
• Soluciones analíticas a los 
problemas de conducción 
unidimensional
• Métodos numéricos para la 
solución de la ecuación de la 
difusión de calor
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CAPÍTULO 3
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:
• Comprender el fenómeno de transferencia de calor por conducción 
en estado transitorio.
• Comprender el método simplificado de la resistencia interna 
despreciable.
• Aplicar soluciones analíticas exactas y aproximadas para resolver 
problemas de conducción de calor en estado transitorio.
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Conducción de Calor en Estado Transitorio
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➢ Condiciones que varían con
el tiempo
➢ Problemas de trasferencia
de calor dependen del
tiempo
➢ Régimen transitorio o no estable.
¿Cuándo sucede?
➢ Cuando cambian las condiciones
de Frontera.
¿Ejemplos?
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Conducción de Calor en Estado Transitorio
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Para evaluar efectos transitorios se
analizan diferentes métodos
sencillos y complejos.
Si los gradientes de temperatura de
un elemento sólido son pequeños
se emplea el método más sencillo
que se conoce como resistencia
interna despreciable
T
Distancia
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Método de la Resistencia Interna despreciable o Lumped capacitance Method
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Temple de una pieza que inicialmente
se encuentra a 𝑇𝑖 y se sumerge en un
líquido con 𝑇∞ < 𝑇𝑖 .𝑇𝑖 disminuirá en t > 0 hasta alcanzar 𝑇∞
¿Qué tipo de Trasferencia de 
Calor?
El método de la resistencia interna 
despreciable hace la suposición de 
que la temperatura es uniforme 
espacialmente en cualquier 
instante, es decir que los 
gradientes de temperatura son 
despreciables.
Convección
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¿Qué sucede con la ley de Fourier y este concepto?
∴ esta consideración es 
aceptable siempre que la R por 
conducción sea la 
suficientemente pequeña en 
ese caso la resistencia 
dominante es la de 
convección.
𝑞 = −𝑘𝐴 𝑑𝑇𝑑𝑥𝑞 = −𝑘𝐴∆𝑇∆𝑥 ∆𝑇𝑞 = −∆𝑥𝑘𝐴𝑅∆𝑇∆𝑥 → 0 𝑅 → 0
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No es posible utilizar la 
ecuación de la difusión de calor, ∴ se debe analizar a partir de 
un balance de energía. ሶ𝐸𝑖𝑛 − ሶ𝐸𝑜𝑢𝑡 + ሶ𝐸𝑔𝑒𝑛 = ሶ𝐸𝑠𝑡− ሶ𝐸𝑜𝑢𝑡 = ሶ𝐸𝑠𝑡−ℎ𝐴𝑠 𝑇 − 𝑇∞ = 𝜌𝑉𝑐 𝑑𝑇𝑑𝑡𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞−ℎ𝐴𝑠𝜃 = 𝜌𝑉𝑐 𝑑𝜃𝑑𝑡
𝜌𝑉𝑐ℎ𝐴𝑠 𝑑𝜃𝑑𝑡 = −𝜃
Si en t = 0𝑇 = 𝑇𝑖𝜌𝑉𝑐ℎ𝐴𝑠 න𝜃𝑖𝜃 𝑑𝜃𝜃 = −න0𝑡𝑑𝑡𝜌𝑉𝑐ℎ𝐴𝑠 ln 𝜃𝑖𝜃 = 𝑡①
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𝜃𝜃𝑖 = 𝑇 − 𝑇∞𝑇𝑖 − 𝑇∞ = 𝑒 − ℎ𝐴𝑠𝜌𝑉𝑐 𝑡 ②
①Determina el tiempo que tarda 
en alcanzar una temperatura T. 
② Determina la temperatura que 
alcanza en un t determinado.
¿Qué sucede si 𝑡→∞?𝑇 = 𝑇∞
𝜌𝑉𝑐ℎ𝐴𝑠 ln 𝜃𝑖𝜃 = 𝑡① 𝜌𝑉𝑐ℎ𝐴𝑠 = 𝜏 →𝜏 = 1ℎ𝐴𝑠 𝜌𝑉𝑐 = 𝑅𝑡𝐶𝑡
Constante térmica de 
tiempo.
¿Dónde han visto antes 
algo similar?
𝐶𝑡 = capacitancia (resistencia 
interna despreciable)𝑅𝑡 = resistencia por convección 
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Si aumenta 𝑅𝑡 o 𝐶𝑡 que sucede?
T varía mas lentamente.
Demora más en alcanzar 𝑇∞.
𝜏 = 1ℎ𝐴𝑠 𝜌𝑉𝑐 = 𝑅𝑡𝐶𝑡
𝜃𝜃𝑖 = 𝑇 − 𝑇∞𝑇𝑖 − 𝑇∞ = 𝑒 − ℎ𝐴𝑠𝜌𝑉𝑐 𝑡 ②
Para determinar la trasferencia total 
de calor desde el inicio hasta un 
tiempo igual a t𝑄 = 0𝑡׬ 𝑞𝑑𝑡 = ℎ𝐴𝑠 0𝑡׬ 𝜃𝑑𝑡 con ②𝑄 = 𝜌𝑉𝑐𝜃𝑖 1 − 𝑒 −𝑡𝜏−𝑄 = ∆𝐸𝑠𝑡
¿Hasta cuando es aplicable el método 
de la resistencia interna despreciable?
- Es un método sencillo , simple, preferible, ¡pero 
es importante saber para qué casos nomas se lo 
puede emplear!
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Imaginemos una pared plana
𝑇𝑠2𝑇∞𝐿𝑇𝑠1 𝑇∞ < 𝑇𝑠1𝑇∞ < 𝑇𝑠2 < 𝑇𝑠1
Balance de energía
𝑘𝐴𝐿 𝑇𝑠1 − 𝑇𝑠2 = ℎ𝐴(𝑇𝑠2 − 𝑇∞)
Conducción = convección
En x=L
𝑇𝑠1 − 𝑇𝑠2𝑇𝑠2 − 𝑇∞ = 𝐿/𝑘𝐴1/ℎ𝐴 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐
𝑩𝒊 → número de Biot → adimensional 
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐 = ℎ𝐿𝑘ℎ𝐿𝑘 = 𝐵𝑖
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Proporciona una medida de la caída de 
temperatura en el sólido en relación a 
la diferencia de temperatura entre el 
fluido y la superficie.
𝑆𝑖 𝐵𝑖 ≪ 1
Es adecuado suponer gradiente nulo. 
La resistencia del sólido es mucho 
menor a la del fluido con la superficie
𝑇𝑠1 − 𝑇𝑠2𝑇𝑠2 − 𝑇∞ = 𝐿/𝑘𝐴1/ℎ𝐴 = 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐 ¿Cómo se puede ver el gradiente de temperatura para 
diferentes números de Bi?
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El método de la resistencia interna 
despreciable es válido para 
números de Bi mucho menores a 1, 
entonces se puede aplicar siempre 
que satisfaga la siguiente 
condición:𝐵𝑖 = ℎ𝐿𝑐𝑘 < 0.1 𝐿𝑐 = 𝑉𝐴𝑠
Pared plana
Cilindro
Esfera
𝐿𝑐 = 12 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟𝐿𝑐 = 𝑟𝑜/2𝐿𝑐 = 𝑟𝑜/3
De forma más conservativa:
Cilindro
Esfera
𝐿𝑐 = 𝑟𝑜𝐿𝑐 = 𝑟𝑜
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ℎ𝐴𝑠𝑡𝜌𝑉𝑐 = ℎ𝑡𝜌𝑐𝐿𝑐 = ℎ𝐿𝑐𝑘 𝑘𝜌𝑐 𝑡𝐿𝑐2 = ℎ𝐿𝑐𝑘 𝛼𝑡𝐿𝑐2
𝐵𝑖 𝐹𝑜𝛼
ℎ𝐴𝑠𝑡𝜌𝑉𝑐 = 𝐵𝑖 ∙ 𝐹𝑜
𝐹𝑜 = 𝛼𝑡𝐿𝑐2 →número de Fourier𝜃𝜃𝑖 = 𝑇 − 𝑇∞𝑇𝑖 − 𝑇∞ = 𝑒−𝐵𝑖∙𝐹𝑜
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Conducción en Estado Transitorio
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Efectos espaciales:
Cuando los gradientes de
Temperatura en el medio ya no son
despreciables.
En la forma mas básica, la
conducción, considerando efectos
transitorios, se describe mediante la
ecuación de la difusión de calor.
Esta combina los efectos transitorios
y espaciales.
Consideremos una pared plana 
donde la conducción es 
unidimensional y no tiene 
generación de calor:𝜕2𝑇𝜕𝑥2 = 1𝛼 𝜕𝑇𝜕𝑡
Requiere una condición
inicial y 2 de frontera.
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Condición inicial
-L L
x
𝑇 𝑥, 0 = 𝑇𝑖
ቤ𝜕𝑇𝜕𝑥 𝑥=0 = 0
ቤ−𝑘 𝜕𝑇𝜕𝑥 𝑥=𝐿 = ℎ(𝑇 𝐿, 𝑡 − 𝑇∞)
𝑇 = 𝑇(𝑥, 𝑡, 𝑇𝑖 , 𝑇∞, 𝐿, 𝑘, 𝛼, ℎ)
Definir parámetros adimensionales𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞𝜃𝑖 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞𝜃∗ = 𝜃𝜃𝑖 = 𝑇 − 𝑇∞𝑇𝑖 − 𝑇∞0 ≤ 𝜃∗ ≤ 1𝑥∗ = 𝑥𝐿
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𝐿 → mitad del espesor𝑡∗ = 𝛼𝑡𝐿2 = 𝐹𝑜𝜕2𝜃∗𝜕𝑥∗2 = 𝜕𝜃∗𝜕𝑡∗𝜕2𝜃∗𝜕𝑥∗2 = 𝜕𝜃∗𝜕𝐹𝑜
Condición inicial:𝜃∗(𝑥∗, 0) = 1
Condición de frontera:ቤ𝜕𝜃∗𝜕𝑥∗ 𝑥∗=0 = 0ቤ𝜕𝜃∗𝜕𝑥∗ 𝑥∗=1 = −Bi𝜃∗(1, 𝑡∗)
Entonces:𝜃∗ = 𝑓(𝑥∗, 𝐹𝑜, 𝐵𝑖)
Simplifica las soluciones
Depende solamente de𝑥∗, 𝐹𝑜, 𝐵𝑖
-L L
x
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Pared Plana con convección
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Resolución de 𝜃∗ = 𝑓(𝑥∗, 𝐹𝑜, 𝐵𝑖)
es una serie infinita sin embargo
se puede solucionar
aproximando a un solo término.
Solución exacta
-L L𝑥∗ = 𝑥𝐿
𝑇∞,ℎ 𝑇∞,ℎ
𝑇 𝑥, 0 = 𝑇𝑖
Pared espesor 2L con
conducción unidimensional.
Distribución de temperaturas es simétrica.
Plano medio 𝑥∗ = 0
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Solución exacta es:
𝜃∗ = ෍𝑛=1∞ 𝐶𝑛𝑒 −𝜁𝑛2𝐹𝑜 𝐶𝑜𝑠(𝜁𝑛𝑥∗)𝐹𝑜 = 𝛼𝑡𝐿2𝐶𝑛 = 4𝑆𝑒𝑛(𝜁𝑛)2𝜁𝑛 + 𝑆𝑒𝑛(2𝜁𝑛)𝜁𝑛 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒:𝜁𝑛 tan 𝜁𝑛 = 𝐵𝑖
Apéndice B3 en función de Bi
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Solución Aproximada
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Si Fo > 0,2 la solución se puede 
aproximar con el primer término 
de la serie.𝜃∗ = 𝐶1𝑒(−𝜁12𝐹𝑜)𝐶𝑜𝑠(𝜁1𝑥∗)𝜃∗ = 𝜃𝑜∗𝐶𝑜𝑠(𝜁1𝑥∗)𝜃𝑜∗ = 𝑇𝑜−𝑇∞𝑇𝑖−𝑇∞ ; temp. en el 
plano medio 𝑥∗ = 0𝜃𝑜∗ = 𝐶1𝑒(−𝜁12𝐹𝑜)
𝐶1 = 4𝑠𝑒𝑛(𝜁1)2𝜁1 + 𝑠𝑒𝑛(2𝜁1)𝜁1 → primera raíz de 𝜁𝑛 tan 𝜁𝑛 = 𝐵𝑖
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Trasferencia Total de Energía 
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A veces es necesario conocer la
energía total que disminuye en la
pared en cualquier tiempo t.𝐸𝑖𝑛 − 𝐸𝑜𝑢𝑡 = ∆𝐸𝑠𝑡𝑆𝑖 𝑇∞ < 𝑇𝑖𝐸𝑖𝑛 = 0𝐸𝑜𝑢𝑡 = 𝑄∆𝐸𝑠𝑡 = 𝐸 𝑡 − 𝐸(0)
𝑄 = −[𝐸 𝑡 − 𝐸(0)]𝑄 = −න𝜌𝑐 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖 𝑑𝑉
𝑄0 = 𝜌𝑐𝑉(𝑇𝑖 − 𝑇∞)
Energía interna inicial.
Energía máxima que se
puede trasferir en t = ∞𝑄𝑄0 = න− 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖𝑇𝑖 − 𝑇∞ 𝑑𝑉𝑉 = 1𝑉න 1 − 𝜃∗ 𝑑𝑉
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La forma aproximada𝑄𝑄0 = 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜁1)𝜁1𝜃0∗
Ver tabla 5.1 pág. 301
¿Al existir simetría a que es 
equivalente?
Pared de espesor igual a L con una 
superficie aislada en (𝑥∗ = 0) y 
convección en 𝑥∗ = 1
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Condición de frontera
ቤ𝜕𝜃∗𝜕𝑥∗ 𝑥∗=0 = 0
También se puede emplear para
la condición de temperatura
superficial constante. En ese casoℎ = ∞ ∴ 𝐵𝑖 = ∞.
𝑇∞ = 𝑇𝑠
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Sistemas Radiales con Convección 
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¡Se puede obtener soluciones
exactas o aproximadas, así
como para la pared plana!
Solución exacta
𝜃∗ = ෍𝑛=1∞ 𝐶𝑛𝑒 −𝜁𝑛2𝐹𝑜 𝐽0(𝜁𝑛𝑟∗)𝐹𝑜 = 𝛼𝑡𝑟02
𝐶𝑛 = 2𝜁𝑛 𝐽1(𝜁𝑛)𝐽02(𝜁𝑛) + 𝐽12(𝜁𝑛)
𝜁𝑛 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒:
𝜁𝑛 𝐽1(𝜁𝑛)𝐽0(𝜁𝑛) = 𝐵𝑖𝐽1𝐽0 Funciones Besselde primera claseApéndice B.4
▪ Cilindro
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𝜃∗ = ෍𝑛=1∞ 𝐶𝑛𝑒 −𝜁𝑛2𝐹𝑜 1𝜁𝑛𝑟∗ 𝑆𝑒𝑛 (𝜁𝑛𝑟∗)
𝐶𝑛 = 4[𝑠𝑒𝑛 𝜁𝑛 − 𝜁𝑛𝐶𝑜𝑠(𝜁𝑛)]2𝜁𝑛 − 𝑆𝑒𝑛(2𝜁𝑛)
▪ Esfera
𝐹𝑜 = 𝛼𝑡𝑟02
𝜁𝑛 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒:1 − 𝜁𝑛 Cot 𝜁𝑛 = 𝐵𝑖
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Soluciones Aproximadas:
a 1 término de la serie
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𝜃∗ = 𝐶1𝑒 −𝜁12𝐹𝑜 𝐽0 (𝜁1𝑟∗)
𝑇𝑜 − 𝑇∞𝑇𝑖 − 𝑇∞
▪ Cilindro infinito 𝑆𝑖 𝐹𝑜 > 0,2
𝜃∗ = 𝜃0∗𝐽0(𝜁1𝑟∗)𝜃0∗ → temperatura lineal central
𝜃0∗ = 𝐶1𝑒 −𝜁12𝐹𝑜
𝐶1 𝑦 𝜁1 (tabla 5.1 pág.. 227)
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𝜃∗ = 𝐶1𝑒 −𝜁12𝐹𝑜 1𝜁1𝑟∗ 𝑆𝑒𝑛 (𝜁1𝑟∗)
▪ Esfera
𝜃∗ = 𝜃0∗ 1𝜁1𝑟∗ 𝑆𝑒𝑛 (𝜁1𝑟∗)𝜃0∗ → temperatura central
𝜃0∗ = 𝐶1𝑒 −𝜁12𝐹𝑜
𝑆𝑖 𝐹𝑜 > 0,2
𝑇𝑜 − 𝑇∞𝑇𝑖 − 𝑇∞
Transferencia de energía 
▪ Cilindro infinito𝑄𝑄0 = 1 − 2𝜃0∗𝜁1 𝐽1(𝜁1)𝑄0 = 𝜌𝑉𝑐(𝑇𝑖 − 𝑇∞)
▪ Esfera
𝑄𝑄0 = 1 − 3𝜃0∗𝜁13 (𝑆𝑒𝑛 𝜁1 − 𝜁1𝐶𝑜𝑠(𝜁1))
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Aplica para temperatura impuesta
superficial 𝑇𝑠𝐵𝑖 = ∞ℎ = ∞𝑇∞ → 𝑇𝑠
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Sólido semi-infinito
Solución de:
• Geometría simple para la cual se 
pueden obtener soluciones analíticas.
• Se extiende al infinito en todas las 
direcciones excepto en una: solo existe 
una superficie identificable. 
(Unidimensional).
• Si se cambian súbitamente las 
condiciones de frontera en esta 
superficie se produce conducción 
unidimensional transitoria.
• Ejemplos: vigas o sólidos empotrados, 
superficie de la tierra.
𝜕2𝑇𝜕𝑥2 = 1𝛼 𝜕𝑇𝜕𝑡𝑇 𝑥 → ∞, 𝑡 = 𝑇𝑖
Condiciones de frontera:
Caso 1: Temperatura superficial impuesta𝑇 𝑥, 0 = 𝑇𝑖𝑇 0, 𝑡 = 𝑇𝑠𝑇𝑠
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Sólido semi-infinito
Solución: 𝜕2𝑇𝜕𝑥2 = 1𝛼 𝜕𝑇𝜕𝑡Condiciones de frontera:Caso 2: flujo de calor constante en un extremo𝑇 𝑥, 0 = 𝑇𝑖𝑞"0 ቤ−𝑘 𝜕𝑇𝜕𝑥 𝑥=0 = 𝑞𝑠"
Caso 3:expuesto a convección𝑇 𝑥, 0 = 0
ቤ−𝑘 𝜕𝑇𝜕𝑥 𝑥=0 = ℎ[𝑇∞ − 𝑇(0, 𝑡)]𝑇∞, ℎ
Se define una variable de simiralidad 𝜂
que es 𝑓(𝑥, 𝑡)𝜂 = 𝑥(4𝛼𝑡)1/2𝑑𝜂𝑑𝑥 = 1(4𝛼𝑡)1/2𝑑𝜂𝑑𝑡 = − 𝑥2𝑡(4𝛼𝑡)1/2
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Sólido semi-infinito
Cambio en condiciones de frontera:𝜕𝑇𝜕𝑥 = 𝑑𝑇𝑑𝜂 𝜕𝜂𝜕𝑥 = 14𝛼𝑡 12 𝑑𝑇𝑑𝜂
𝜕2𝑇𝜕𝑥2 = 𝑑𝑑𝜂 𝜕𝑇𝜕𝑥 𝜕𝜂𝜕𝑥 = 𝑑𝑑𝜂 14𝛼𝑡 12 𝑑𝑇𝑑𝜂 𝑑𝜂𝑑𝑥 == 𝑑2𝑇𝑑𝜂2 ∗ 14 ∝ 𝑡𝜕𝑇𝜕𝑡 = 𝑑𝑇𝑑𝜂 𝜕𝜂𝜕𝑡 = − 𝑥2𝑡 4𝛼𝑡 12 𝑑𝑇𝑑𝜂∴𝜕𝑇𝜕𝑡 = −2𝜂 𝑑𝑇𝑑𝜂
Si x = 𝜂 = 0𝑇 𝜂 = 0 = 𝑇𝑆
x→ ∞ 𝑦 𝑡 = 0 𝜂 → ∞𝑇 𝜂 → ∞ = 𝑇𝑖
𝑑 𝑑𝑇𝑑𝜂𝑑𝑇𝑑𝜂 = −2𝜂𝑑𝜂
𝑑𝑥𝑥 = −2𝜂𝑑𝜂
ln 𝑥 = −𝑛2 + 𝐶´1
𝑑2𝑇𝑑𝜂2 = −2𝜂 𝑑𝑇𝑑𝜂𝑑 𝑑𝑇𝑑𝜂𝑑𝜂 = −2𝜂 𝑑𝑇𝑑𝜂
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Sólido semi-infinitoln 𝑑𝑇𝑑𝜂 = −𝑛2 + 𝐶´1 =𝑑𝑇𝑑𝜂 = 𝐶1𝑒−𝑛2 = 𝑒−𝑛2 ∗ 𝑒𝐶´1 = 𝐶1𝑒−𝑛2𝑇 = 𝐶1න0𝜂 𝑒−𝜂2𝑇 = 𝐶1න0𝜂 𝑒−𝑢2𝑑𝑢 + 𝐶2
en 𝜂 = 0 𝑇 = 𝑇𝑠𝐶2 = 𝑇𝑆
𝑇 = 𝐶1න0𝜂 𝑒−𝑢2𝑑𝑢 + 𝑇𝑠
en 𝜂 = ∞ 𝑇 = 𝑇1
𝑇𝑖 = 𝐶1න0∞𝑒−𝑢2𝑑𝑢 + 𝑇𝑠 ; 𝑇𝑖 = 𝐶1 𝜋1/22 + 𝑇𝑠
𝐶1 = 2(𝑇𝑖 − 𝑇𝑠)𝜋1/2
𝑇 − 𝑇𝑠𝑇𝑖 − 𝑇𝑠 = 2𝜋1/2න0𝜂 𝑒−𝑢2𝑑𝑢 ≡ erf 𝜂
erf = función Gaussiana de error.
Apéndice B.
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Sólido semi-infinitoerf(𝜂) = 1𝜂 → ∞
𝑞"𝑠 = −𝑘 ቤ𝑑𝑇𝑑𝑥 𝑥=0 = −𝑘(𝑇𝑖 − 𝑇𝑠) 𝑑(erf 𝜂)𝑑𝜂 ቤ𝑑𝜂𝑑𝑥 𝜂=0𝑞"𝑠 = 𝑘(𝑇𝑠 − 𝑇𝑖) 2𝜋12 𝑒−𝜂2 ቚ(4𝛼𝑡)−1/2 𝜂=0𝑞"𝑠 = 𝑘(𝑇𝑠 − 𝑇𝑖)(𝜋𝛼𝑡)1/2
Caso 1: 𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇𝑠𝑇𝑖 − 𝑇𝑠 = erf 𝑥2 𝛼𝑡𝑞"𝑠(𝑡) = 𝑘(𝑇𝑠 − 𝑇𝑖)𝜋𝛼𝑡
Caso 2: q"s = q"0𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖
= 2𝑞𝑜" 𝛼𝑡𝜋 12𝑘 𝑒 −𝑥24𝛼𝑡 − 𝑞𝑜"𝑥𝑘 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝑥2 𝛼𝑡
Caso 3:
−𝑘 ቤ𝑑𝑇𝑑𝑥 𝑥=0 = ℎ[𝑇∞ − 𝑇 0, 𝑡 ]
𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇𝑖𝑇∞ − 𝑇𝑖 = erfc 𝑥2 𝛼𝑡 − 𝑒 ℎ𝑥𝑘 +ℎ2𝛼𝑡𝑘2 ∗ 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝑥2 𝛼𝑡 + ℎ 𝛼𝑡𝑘
erfc𝑤 = 1 − erf𝑤 (función complementaria de error) 
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Sólido semi-infinito
𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇𝑠𝑇𝑖 − 𝑇𝑠 = 0.9𝛿𝑝 = 2.3 𝛼𝑡2
Profundidad de incidencia térmica: Dos sólidos en contacto:Para lectura, C
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