S03 s2 - Material

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Nivelación de Matemáticas 
para Ingeniería
RAZONES Y PROPORCIONES
INTRODUCCION A LOS 
NUMEROS REALES
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el alumno
resuelve problemas con autonomía y seguridad,
cuya solución requiera del uso de razones y
proporciones.
ESQUEMA DE LA UNIDAD
INTRODUCCIÓN 
ALOS NÚMEROS 
REALES
OPERACIONES
CON ENTEROS
OPERACIONES 
CON 
FRACCIONES
OPERACIONES 
CON 
DECIMALES
RAZONESY
PROPORCIONES
• Razón Geométrica: Se denomina así si la comparación se realizapor 
cociente.
𝑎
𝑏
=𝑟
• Ejemplo: Comparar 300 con 30:
300 : 30 = 10
Se observa que 300 contiene a 30, diez veces
Comparación de dos razones.
Proporción Aritmética: Se llama así a la comparación de dosrazones 
aritméticas.
Proporción Geométrica: Se llama así a la igualdad de dos razones 
geométricas.
Proporción AritméticaContinua
Es aquella cuyos medios son 
iguales
𝑎 − 𝑏 = 𝑏 −𝑐
b: segunda diferencial o 
media aritmética
c: tercera diferencial
Proporción Aritmética Discreta
Es aquella cuyos cuatro términos 
son diferentes
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑
d: cuarta diferencial
Proporción Geométrica Continua
Es aquella cuyos medios son iguales
=
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
b: segunda proporcional o media 
proporcional
c: tercera proporcional
Proporción Geométrica 
Discreta
Es aquella cuyos cuatro 
términos son diferentes
𝑎 𝑐
𝑏
=
𝑑
d: cuarta proporcional
En una Proporción la razón entre la suma de los antecedentes y la 
suma de los consecuentes es igual a cualquier razón de la proporción .
Ejemplo
1,2
6  12  6 12  6 12  3(6) 12
5 10 510 510 3(5)10
• Si se suman o restan los primeros términos, y se hace lo mismo con los segundos 
términos, la razón no varía.
1. Si a - c = 40. Calcular b en:
a  b  c
5 7 2
5 7 2
Supongamos que a  b  c es igual aK
y 𝑐 = 2 Kluego 𝑎/5 = K implica 𝑎 = 5 K similarmente 𝑏 =7 K 
Sustituyendo en 𝑎 −𝑐 = 40, resulta:
5 K − 2 K = 40 3 K = 40 K = 40/3
De lo anterior
b = 7 K = 7(40/3) = 280/3
Solución:
Si a + b – c = 273. Calcular d en:
9 11 13 21
a

b

c

d
a + 𝑏 − 𝑐 = 273
𝑎 = 9𝑘, 𝑏 = 11𝑘,
𝑐 = 13𝑘, 𝑑 = 21𝑘
Hallamos k
9𝑘 + 11𝑘 − 13𝑘 = 273
7𝑘 = 273
𝑘 = 39
Luego:
𝑑 = 21(39) = 819
Solución:
Del problema, se tiene:
3. La suma de dos números es 980 y su razón es 5/9. Calcular su razón aritmética.
a= 5𝑘
b = 9𝑘
luego:
a + b =980
5k+9k=980
14𝑘 =980
𝑘 = 70Razón:
b − a = 9𝑘 − 5𝑘 = 4 × (70) = 280
Solución:
Del problema, se tiene:
4. Un jugador de billar “A” da ventaja a otro “B”en 30 carambolas, para un 
partido de 100 ; además “B” le da ventaja a “C” en 20 carambolas, para un otro 
partido de 50 carambolas . ¿ Cuántas carambolas dará ventaja “A” a “C” en un 
partido de 150.
𝐴
𝐵
=
100
70
𝐵
𝐶
=
50
30
𝐴
𝐵
∗
𝐵
𝐶
=
100
70
∗
50
30
=
50
21
pero se trata de un juego con 150 
carambolas, entonces:
50 ∗ 3
21 ∗ 3
=
150
63
La ventaja será : 150-63= 87 carambolas.
Solución:
RAZONES YPROPORCIONES
Calcular la media aritmética de 35 y 25; la tercera
diferencial de 17 y 11; la cuarta diferencial de 45; 32 y 17
dando como respuesta las suma de las cantidades halladas.
30 + 5 + 4 = 39
RAZONES YPROPORCIONES
Dos amigos viven en un edificio de 15 pisos. El primero en el 10mo
piso y el segundo en el 3er piso. ¿Cuántas veces más alejado del
primer piso se encuentra el primero con respecto al segundo?
𝟐𝟏
𝟑
veces más