S07 s2 - Material - Distancia entre plano

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DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS 
ESPACIO VECTORIAL EN ℛ𝟑
¿Cuál es la utilidad de los Planos en ℝ𝟑?
Sirve para determinar, representar y calcular las ecuaciones de los planos en tres
dimensiones.
Se encuentran en el estudio del álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales, análisis
matemático, calculo, etc.
Se utiliza para hacer estructuras 
paralelas y perpendiculares en el 
espacio, teniendo en cuenta la 
distancia entre ellas y el ángulo que 
forman.
RECTAS Y PLANOS EN R3
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante encuentra la distancia entre planos en 
problemas de aplicación en Ingeniería, así como determina la intersección 
entre Planos y el ángulo Diedro.
Datos/Observaciones
DISTANCIA 
ENTRE 
PLANOS 
ÁNGULO 
ENTRE 
PLANOS
ESPACIO VECTORIAL EN 𝓡𝟑
Sea 𝑆 un punto del espacio y 𝑃 un plano. Si 𝑇 es cualquier punto sobre 𝑃, y 𝑛 es un 
vector normal 𝑃, entonces la distancia que separa a 𝑆 de 𝑃 es igual a la componente del 
vector Ԧ𝑣 = Ԧ𝑆 − 𝑇 sobre la normal 𝑛. 
1 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
𝑑 𝑆, 𝑃 = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑛 Ԧ𝑣 =
|( Ԧ𝑆 − 𝑇) ∙ 𝑛|
||𝑛||
La distancia entre dos planos 
paralelos:
𝑃1: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷1 = 0
𝑃2: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷2 = 0
Es: 𝑑 𝑃1, 𝑃2 =
|𝐷2 − 𝐷1|
𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
Hallar la distancia del punto 𝑆(5, −2,3) al plano 𝑃 =
{ Τ2, −1,6 + 𝑡 1,0,3 + 𝑠 2,−2,3 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ}.
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
𝑛 = Ԧ𝑎 × 𝑏 =
Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘
1 0 3
2 −2 3
= (6,3, −2)
𝑑 𝑆, 𝑃 =
6, 3, −2 ∙ 3,−1,−3
36 + 9 + 4
=
21
7
𝑑 𝑆, 𝑃 = 3
Un punto sobre 𝑃 es 𝑇(2,−1,6) y dos vectores sobre 𝑃 son Ԧ𝑎 = (1,0,3) y 𝑏 =
(2, −2,3).
Un vector que va de 𝑇 a 𝑆 es:
Ԧ𝑣 = 5,−2,3 − 2,−1,6 = (3,−1,−3)
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
Al ser dos planos NO PARALELOS,
estos se intersecan en
el espacio. 
El producto de dicha intersección 
genera una recta en el espacio.
Observación 
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
𝜃
El ángulo 𝜃 entre dichos planos es igual al suplemento del ángulo formado por los 
vectores
normales, es decir:
3 ÁNGULO ENTRE PLANOS
PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
Hallar el ángulo diedro que forman los planos:
𝑃1: 4𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 + 3 = 0 y 𝑃2: 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 5 = 0
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
𝑛2 = 2,−1,3
𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
4,2, −6 ∙ (2,−1,3)
16 + 4 + 36 4 + 1 + 9
RPTA: 𝜃 = 115.38°
𝑛1 = 4,2, −6
𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
−3
7
LISTO PARA MI EJERCICIOS RETOS
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIO RETO
1. Hallar la distancia del punto 𝑆(4, −1,5) al plano 𝑃{ 1, −3,1 + 𝑡 2,1, −2 + 𝑠(1,3,4)}.
2. Hallar la distancia entre los planos paralelos dados
𝑃1: 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 9 = 0, 𝑃2: 4𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 21 = 0
3. Dos caras de un cubo están en los planos 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 y 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 5 = 0. 
Hallar el volumen de este cubo.
4. Obtener la ecuación vectorial de la recta de intersección de los pares de los planos 
cuyas ecuaciones son: 𝑃1: 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0, 𝑃2: 𝑦 − 3𝑧 + 4 = 0.
5. Obtener el ángulo formado por planos cuyas ecuaciones son: 𝑃1: 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 6 = 0,
𝑃2: 4𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 + 2 = 0.
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. El ángulo que forman dos planos es el mismo 
ángulo que forman sus vectores normales.
2. La distancia entre dos planos es el mismo que la 
distancia entre un punto del plano hacia el otro.
3. La recta que se forma al interceptar dos planos 
tiene como vector director al producto vectorial 
de los vectores normales de los planos
Datos/Observaciones
PLANOS PARALELOS Y 
PERPENDICULARES
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
Excelente tu 
participación
Las dificultades me hacen 
más fuerte.
Ésta sesión quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios 
propuestos de ésta sesión y 
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus 
dudas.