Deformación y Ley de Hooke en Resistencia de Materiales

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CAPITULO 2
DEFORMACION SIMPLE
I. OBJETIVO
En este capítulo se estudia otro gran campo de la resistencia d materiales, los cambios de forma, es decir las deformaciones q acompañan a un determinado estado de fuerzas. En particular se estudia las relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas que, junto con las condiciones de equilibrio y las relaciones fuerza deformación, permitan resolver los problemas estáticamente indeterminados.
II. TEORIA
2.1 DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACION
El diagrama es la curva resultante graficada con los valores del esfuerzo y la correspondiente deformación unitaria en el espécimen calculado a partir de los datos de un ensayo de tensión o de compresión.
a)  Límite de proporcionalidad:
Se observa que va desde el origen O hasta el punto llamado límite de proporcionalidad, es un segmento de recta rectilíneo, de donde se deduce la tan conocida relación de proporcionalidad entre la tensión y la deformación enunciada en el año 1678 por Robert Hooke. Cabe resaltar que, más allá la deformación deja de ser proporcional a la tensión.
b) Limite de elasticidad o limite elástico:
Es la tensión más allá del cual el material no recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino que queda con una deformación residual llamada deformación permanente.
c) Punto de fluencia:
Es aquel donde en el aparece un considerable alargamiento o fluencia del material sin el correspondiente aumento de carga que, incluso, puede disminuir mientras dura la fluencia. Sin embargo, el fenómeno de la fluencia es característico del acero al carbono, mientras que hay otros tipos de aceros, aleaciones y otros metales y materiales diversos, en los que no manifiesta.
d) Esfuerzo máximo:
Es la máxima ordenada en la curva esfuerzo-deformación.
e) Esfuerzo de Rotura:
Verdadero esfuerzo generado en un material durante la rotura.
DEFORMACION
El valor de la deformación є es el coeficiente del alargamiento (deformación total) δ y la longitud L en la que se ha producido.
De este modo solo se obtiene el valor medio de la deformación. La expresión correcta de la deformación en cualquier punto es:
Las condiciones para aplicar la deformación media son:
· El elemento sometido a tensión debe tener una sección transversal o recta constante.
· El material debe ser homogéneo
· La carga o fuerza debe ser axial
ESFUERZO DE TRABAJO Y FACTOR DE SEGURIDAD
El esfuerzo de trabajo es el esfuerzo real que soporta el material bajo la acción de unas cargas, y no debe pasar al esfuerzo admisible , que es el máximo al que puede ser sometido el material.
Como es difícil determinar exactamente el límite de proporcionalidad, se acostumbra tomar como base el esfuerzo admisible el límite de fluencia () o, en su defecto, el esfuerzo último dividiéndolos entre el número N, convenientemente elegido, que se lama factor de seguridad:
2.2 LEY DE HOOKE: DEFORMACION AXIAL - DISTORSION
Considerando el diagrama esfuerzo – deformación, observemos su parte rectilínea. La pendiente de la recta se llama módulo de elasticidad y se representa por la letra E:
Este módulo no es otra cosa que la ley de Hooke.
Otra forma de expresar la ley de Hooke, muy conveniente a veces es sustituir σ por su equivalente P/A y є por δ/L, de modo:
DEFORMACION ANGULAR(O POR CORTANTE) – DISTORSION
Las fuerzas cortantes producen una deformación angular o distorsión, de la misma manera que las fuerzas axiales originan deformaciones longitudinales.
La deformación angular media se obtiene dividiendo entre L.
Suponiendo que la ley de Hooke es válida en el cortante, existe una relación lineal entre la distorsión y el esfuerzo cortante dada por:
Donde G es el módulo de elasticidad al cortante. La relación entre la deformación tangencial total y las fuerzas cortantes aplicada es:
Donde V representa la fuerza cortante que actúa sobre la sección de área As que la soporta.
PROBLEMAS
1. Determinar el alargamiento producido por una fuerza de 100 kN aplicada a una barra plana de 20 mm de espesor y de ancho que varía gradual y linealmente desde 20 mm hasta 40 mm en una longitud de 10 m. 
Suponga E= 200x10^9 N/m2
En una sección m-n a una distancia x del extremo más estrecho, la semianchura y es, por condiciones geométricas.
2. Durante la prueba esfuerzo deformación se ha obtenido para que un esfuerzo de 35 MN/m2 la deformación ha sido de 167x10^-6 m/m, y para que un esfuerzo de 140 MN/m2, de 667x10^-6 m/m. Si el límite de proporcionalidad es de 200 MN/m2, ¿Cuál es el valor del módulo elástico? ¿Cuál el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0.002? 
3. Dos barras de acero AB y BC soportan una carga P=30 kN.
La sección AB es 300 mm2 y la de BC es 500 mm2. Si E=200GPa, determinar el desplazamiento horizontal y vertical del punto B.
Empezaremos calculando las deformaciones totales producidas por la acción de P. Del equilibrio =50 kN a tensión y 40 kN a compresión.
mm, hacia la derecha
 
 = 9.09 mm hacia abajo
4. La barra rígida AB se sujeta a dos varillas verticales como se muestra en la figura está en posición horizontal antes de aplicar la carga P. Si P=50 kN, determine el movimiento vertical de la barra.
 	
 
5. Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rigidas están articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo como se indica en la figura. En B una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN. Determinar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C.
2.3 ESFUERZOS DE ORIGEN TERMICO
Es bien conocido el hecho de cambios de temperatura provocan en los cuerpos dilaciones o contracciones, de esta manera que la deformación lineal , bien dada por:
En donde es el coeficiente de dilatación lineal, L longitud y es la variación de temperatura.
PROBLEMAS
1. Una varilla de acero de 150mm2 se sección, está sujeta en sus extremos a dos puntos fijos, estando estirada con una fuerza total de 5000N a 20ºC. calcular el esfuerzo en la varilla a -20ºC. ¿a qué temperatura se anulara el esfuerzo?
=11.7 um/(m.ºC) y E= 200 x 10^9 N/m2
A=150mm2
P=5000N
T=20ºC
σ 20ºC=? ; 
 
2. Un bloque rigido tiene una masa de 5 Mg pende de tres varillas simétricamente colocadas, como se indica en la figura. Antes de colgar el bloque, los extremos interiores de la varila estaban en el mismo nivel. Determinar la tensión de cada varilla después de suspender cada bloque y de una elevación de temperatura de 40ºC. emplear datos de la tabla siguiente:
	
	Cada 
varilla de acero
	Varilla de bronce
	Área 
	500
	900
	E
	200x10^9
	83x10^9
	α
	11.7
	18.9
Los esfuerzos son:
3. Una barra rígida horizontal de masa despreciable está conectada a dos varillas según se muestra en la figura. Si el sistema esta originalmente libre de esfuerzos, determine el cambio de temperatura que causara el esfuerzo de tensión de 60 MPa en la varilla de acero.
Solución.
También
 
III. CONCLUSIONES
· Las fuerzas axiales producen una distribución uniforme de esfuerzo cuyo valor es:
Y dan lugar a unas deformaciones totales dada por:
· En el caso que las deformaciones laterales estén parcial o totalmente impedidas se aplica la ley de Hooke.
· Los esfuerzos de origen térmico se calculan determinando las relaciones entre las deformaciones térmicas.